Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál

180
Az (5.2.2.-5) vektoregyenlet jelölései:
v
i
( 3)
x =
( 7)
=
( v v v )
X i
( 3,7)
⎛1
⎜
= ⎜0
⎜
⎝0
0 0
1 0
0 1
( a b c κ dα
dβ
dγ
)
0
Yi
0
0
Zi
T
;
A
i
T
;
l
X
Y
i
( 3)
i
Z
i
i
=
0
Z
0
0
T
( X ′ - X Y ′-Y
Z ′ − Z ) .
i
i
− Y
i
-Z
X
i
i
i
i
Y
i
− X
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
i
i
i
i
(5.2.2.-6)
A T − vel transzponált mátrixot jelölünk.
p (i = 1,2, …, p) db közös pont esetén p számú (5.2.2.-5) alakú vektoregyenletünk van.
Ezek összegzéseként írhatjuk:
v
= A ⋅ x − l . (5.2.2.-7)
( 3 p) ( 3 p,7) ( 7) ( 3 p)
Az (5.2.2.-7) vektoregyenletben értelemszerően
⎛ v ⎞ ⎛l
⎞ ⎛ A ⎞
⎜ ( 3 1
) ⎟ ⎜ ( 3 1
) ⎟ ⎜ ( 3,7 1
)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜
v
2 ⎟ ⎜
l
2 ⎟ ⎜
A
2
( 3)
( 3)
( 3,7)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
v = ⎜ . ⎟;
l = ⎜ . ⎟;
A = ⎜ . . (5.2.2.-8)
( 3 p)
( 3 p,7)
⎜
.
⎟ ⎜
.
⎟ ⎜
.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ v ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ ( ) ⎟ ⎜ ( ) ⎟ ⎜ ( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ p
l
p
A
p
3
3
3,7
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( 3 p)
A 7 paramétert tartalmazó x vektort a legkisebb négyzetek elve szerinti alábbi megoldás szolgáltatja:
−1
= ⎜
⎛ T
⎟
⎞
⎜
⎛ T
x A ⋅ A ⋅ A ⋅ l
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎞ . (5.2.2.-9)
7 ⎝ 7,3 p 3 p,7
⎠ ⎝ 7,3 p 3 p ⎠
A meghatározott paramétereket az (5.2.1.-1) vektoregyenletbe helyettesítve, az elsı
rendszerben ismert térbeli derékszögő koordináták (X) a második rendszerbe (X’) átszámíthatók.
Ha ezután a második rendszerhez tartozó vetületre kívánunk áttérni, elıbb az (5.1.2.-7)
összefüggésekbe (az (5.1.2.-7) összefüggések utáni példa), majd az ellipszoidi földrajzi koordináták
ismeretében a vetületi egyenletekbe helyettesítünk (5.-1. ábra). Ha ismerjük a második
rendszer ellipszoidján a geoidundulációkat, az ellipszoidi magasságokból a tengerszint feletti
magasságokat az (1.2.1.2.-11) képlet szerint az
m = h − N
(5.2.2.-10)
összefüggés szolgáltatja (5.-1. ábra). Az (5.2.2.-10) képletben N most a geoidunduláció. Ha a
közös pontok második rendszerbeli térbeli derékszögő koordinátáinak számításakor a
geoidundulációkat nem vettük figyelembe, úgy a hasonlósági transzformáció elvégzése után
közvetlenül a tengerszint feletti magasságokat kapjuk, azokkal a fenntartásokkal, amelyeket
az 5.-1. ábra jelölésmagyarázata utáni bekezdésben összefoglaltunk.
A paraméterek pontosságát jellemzı mérıszámok a kiegyenlítı számításból ismerete-
T −
sen a ( ) 1
Q = A ⋅ A inverz mátrix átlós elemeinek négyzetgyökei. A paraméterek középhibáit