Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál

57
Az ábrán sraffozással jelölt ABC gömbi háromszög F felületének bevezetésével az
F F , F felületeket két-két részre bontjuk:
α
,
β γ
F
F α
F β
F γ
= F + A′BC ,
= F + B′AC ,
= F + C′AB , továbbá
+ F + F = 3 ⋅ F + A′
BC + B′
AC + C′
AB
α β γ
.
Az ábrán a hátul lévı C’AB felület egyenlı a gömb felénk esı CA’B’ felületével. A
3 ⋅ F = 2 ⋅ F + F helyettesítéssel ekkor írhatjuk:
F
+ F + F = 2 ⋅ F + F + A′
BC + B′
AC + CA′
B′
α β γ
.
Ezen összefüggés utolsó 4 tagjának összege a gömb felénk esı
2
⋅π fél felülete, vagyis
2 ⋅ R
F
+ F + F = 2 ⋅ F + 2 ⋅π
⋅ R
2
α β γ
. (1.2.2.12.-23)
A (1.2.2.12.-22) és a (1.2.2.12.-23) kifejezések bal oldalai megegyeznek, ezért a jobb oldalak
is egyenlık:
2 α + β + γ
2
2 ⋅ F + 2 ⋅π ⋅ R = ⋅ 4 ⋅π
⋅ R ,
o
360
α + β + γ 2 2
F = ⋅π
⋅ R - π ⋅ R , végül
o
180
F =
o π 2
( + β + γ −180 ) ⋅ ⋅ R
α .
o
180
De az ABC gömbháromszögre a gömbi szögfölösleg
s ezért
0
ε = α + β + γ −180 ,
o
ε = F 180 F
⋅ = ⋅ ρ ′′ , (1.2.2.12.-24)
2
R π R
2
ahol ρ ′′ az 1 radián – az ε kicsinységét figyelembe véve – szögmásodpercekben kifejezett
értéke: ρ ′′ = 206264 , 8′
. Újabb megengedhetı közelítéssel a gömbi háromszög F felületét a
megfelelı vetületi háromszög T területével helyettesítjük:
T
ε = ⋅ ρ′
2
R
. (1.2.2.12.-25)
Az ellipszoidi szögfölösleget a gömbi szögfölösleggel értelmezzük. A gömb sugara ez
esetben az
c
R = M ⋅ N =
(1.2.1.3.-1)
2
V
összefüggéssel számítható.