Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál

72
s
12
= d
12
3
⎡ x ⎤
− ⎢ 2 ⎥
⎣12
⋅ R ⋅ cosδ
⎦
x2
x1
3
⎡ y ⎤
− ⎢ 2 ⎥
⎣12
⋅ R ⋅ sinδ
⎦
y2
y1
,
3 3
3 3
x2
− x1
y2
− y1
s
12
= d12
−
−
,
2
2
12 ⋅ R ⋅ cosδ
12 ⋅ R ⋅sinδ
12
12
vagy, figyelembe véve, hogy
cos
=
x − x
2 1
δ
12
és
d12
sinδ
12
=
y2
− y
d
12
1
, írhatjuk:
3 3 3 3
d ⎛
12
x2
− x1
y2
− y1
12 12
.
2
12 ⎟ ⎞
s = d − ⋅
⎜ +
⋅ R ⎝ x2
− x1
y2
− y1
⎠
Végezzük el a zárójelben kijelölt mőveleteket! Az s = s12
, d = d12
jelölésbeli egyszerősítéssel
végül:
2
2 2
2 ⎤
( x + x ⋅ x + x + y + y ⋅ y + ) ⎥⎦
⎡ 1
s = d ⋅
⎢
1−
⋅
2 1 1 2 2 1 1 2
y2
. (2.1.3.1.-6)
⎣ 12 ⋅ R
Vezessük be az
2
2 2
2
( x + x ⋅ x + x + y + y ⋅ y y )
1
U = ⋅
2 1 1 2 2 1 1 2
+
2
(2.1.3.1.-7)
12 ⋅ R
jelölést. A (2.1.3.1.-6) képlet átrendezésével és a binomiális sor felhasználásával az
d 1
m = = ≈ 1+
U
s 1−U
(2.1.3.1.-8)
hossztorzulási tényezıt kapjuk, ahol U a hossztorzulás. Összevetve ezt a hossztorzulási tényezıre
adott 1.2.2.12. fejezetbeli
d
m = = m0 + U
(1.2.2.12.-10)
s
összefüggéssel, látjuk, hogy m = 0
1, ami természetes, hiszen érintı vetületrıl van szó.
Végül, a hosszredukció a (1.2.2.12.-14) képlet szerint számítható:
A hosszredukcióval korrigált távolság:
∆ s = d − s = U ⋅ s . (2.1.3.1. -9)
s = d + ∆s
. (2.1.3.1.-10)
A (2.1.3.1.-8) összefüggésbıl látszik, hogy, mivel U pozitív, a hosszredukció is pozitív,
azaz, amint az egyébként is könnyen belátható, a sztereografikus vetületi távolságok nagyobbak
a gömbi távolságoknál. A K kezdıpontban a hossztorzulás 0, attól távolodva, a
(2.1.3.1.-7) összefüggés szimmetrikussága miatt, a hossztorzulás a K pont körüli koncentrikus
körök mentén nı.