Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál

127
4.1.1. A szögtartóság alapegyenletei
Az eddig tárgyalt síkvetületekre egyaránt jellemzı, hogy felírhatók zárt alakban, s a
vetületi számítások élességének a számítási élesség szab határt. A Gauss-Krüger vetület vetületi
egyenletei zárt alakban nem írhatók fel.
A lineármodulus négyzetét az 1.2.2.1. pontban a
l
2
2
2 2
( dd
) dx
+ dy
=
2
( ds) ( M ⋅ dΦ) 2 + ( r ⋅ dΛ) 2
= . (1.2.2.1.-5)
összefüggéssel adtuk meg. Alakítsuk át az (1.2.2.1.-5) összefüggést:
A (4.1.1.-1)-ben
2 2
2 dx
+ dy
l =
. (4.1.1.-1)
2
⎡⎛
⎞ ⎤
2 M
2
r ⋅ ⎢⎜
⋅ dΦ⎟
+ dΛ
⎥
⎢⎣
⎝ r ⎠ ⎥⎦
M – a meridián irányú görbületi sugár (1.2.1.2.-6. képlet) és
Vezessük be az
r = N ⋅ cosΦ
. (1.2.2.1.-4)
M
r
M
⋅ d Φ = ⋅ dΦ
= dΨ
N ⋅ cosΦ
(4.1.1.-2)
jelölést.
Írjunk a továbbiakban d Λ helyett dL
-t.
L = Λ − Λ 0
- a közép-meridiántól számított, attól keletre pozitív, nyugatra negatív elıjelő ellipszoidi
földrajzi hosszúság.
Helyettesítsük (4.1.1.-2)-t a (4.1.1.-1)-be:
l
2
=
r
2
dx
⋅
2
+ dy
2
2 2
( dΨ
+ dL
)
. (4.1.1.-3)
Írjuk fel a (4.1.1.-3)-t komplex változókkal:
l
2
=
r
2
⋅
( dx
+ i ⋅ dy) ⋅ ( dx
− i ⋅ dy)
( dΨ
+ i ⋅ dL) ⋅ ( dΨ
− i ⋅ dL)
=
r
2
d
⋅
( x + i ⋅ y) ⋅ d( x − i ⋅ y)
d( Ψ + i ⋅ L) ⋅ d( Ψ − i ⋅ L)
, (4.1.1.-4)
ahol i = −1
. A számlálóban és a nevezıben a kijelölt mőveletet elvégezve
és
d
2
2 2 2
( −1) ⋅ dy
= dx
dy
2
x −
+
d
2
2 2 2
( −1) ⋅ dL = dΨ
+ dL
2
Ψ −
.