A Föld elméleti alakja

Geodézia I.
A Föld elméleti alakja
Gyenes Róbert, Tarsoly Péter
1

A Föld elméleti alakja
• Történeti áttekintés
• Alapelv
• Mérési módszerek
• A Föld nehézségi erıtere
2

A Föld elméleti alakja – Történeti áttekintés
• Platón (ie. 427-347) és
Arisztotelész (ie. 384-322)-a Föld
gömb alakú
• Erastothenes (ie. 275-194)
– Út: 50 nap, tevekaraván
– R≅7423 km
– Mai: ≈6371 km
– Közelítések
• Poszidoniusz
– ie.II. sz, Alexandria és
Rhodosz között, hajó
– csillagok magassági
szögének mérése
– Ptolemaiosz-i.sz 2. század
• gömb alakú Föld
matematikai
ábrázolása
3

Háromszögelés alapelve
Alkmaar
Willebrord Snellius
(1580-1626)
Távolság közvetett
módon történı
meghatározása
Fernel – 1525,
Párizs és Amiens
között
August Hirschvogel
(1493-1541)
Tycho Brache
(1546-1601)
Bergen
4

A Föld elméleti alakja – Történeti áttekintés
• Háromszögelésen alapuló fokmérések, XVIII sz.
• Newton és Huygens gravitációs törvényeken – a Föld a sarkoknál
lapult
• Francia Tudományos Akadémia
– Picard Amiens és Malvoisine között
– Cassini Dunkerque és a spanyol határ között
• 1 fok középponti szöghöz kisebb távolság északon, mint délen, vagyis a
Föld az egyenlítınél lapult
• Expedíciók
– Maupertius - Lappföld (1730-1736)
– Bouguer - Peru (1735-1745)
• Geometriai lapultság kérdése: Newton elméletének bizonyítása
• Tömegvonzás hatása: csillagászati úton meghatározott koordináták
eltérnek a háromszögelésbıl kapottaktól
– Bouguer - Andok
– XIX sz. Everest - India
5

Pierre Bouguer
(1698-1758)
ellipszoidi normális
1749
a csillagászati úton
meghatározott
földrajzi koordinátákra
a hegy tömege
vonzást gyakorol,
mintha a függılegest
valami húzná a nagy
tömegek irányába. A
helyi függıleges
tehát nem egyezik
meg azzal, ami a Föld
geometriai alakjához
kötıdik, nevezetesen
az ellipszoidi
normálissal.
helyi függıleges
6

A Föld elméleti alakja – Történeti áttekintés
Karl Friedrich Gauss
(1777-1855)
1828
George Gabriel Stokes
(1819-1903)
1849: Föld elméleti
alakja
meghatározható
tisztán fizikai
mérések alapján ⇒
Stokes elmélete
Johann Benedikt Listing
(1808-1882)
⇒ Geoid fogalma (1873)
Friedrich Robert Helmert
(1843-1917)
1880: Elsı teljes felsıgeodézia könyv
7

A Föld elméleti alakja - Irodalom
• Gauss, C.F., 1828: Bestimmung des
Breitenunterscchiedes zwischen den Sternwarten von
Gottingen und Altona, Gottingen.
• Stokes, G.G. (1849): On the variation of gravity at the
surface of the Earth, Transactions of the Cambridge
Philosophical Society, V. 8, p. 672.
• Listing, J.B. (1873): Über unsere jetzige Kenntnis der
Gestalt und Grosse der Erde, Nachr. d. Kgl., Gesellsch.
d. Wiss. und der Georg-August-Univ., 33-98, Gottingen.
• Helmert, F.R. (1880): Die mathematischen und
physicalischen Theorien der hoheren Geodasie,
Teubner, Leipzip, Frankfurt.
• Heiskanen, W.A. and H. Moritz (1967): Physical
Geodesy, W.H. Freeman, San Francisco.
• Torge, W., 2001: Geodesy, Walter de Gruyter, Berlin.
8

A Föld elméleti alakja – Modern
módszerek
Altiméteres magasságmérés-
Satellite Altimetry
Mőholdról mőholdra követés –
Satellite to Satellite
Tracking
9

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erıtér
• A nehézségi (erı) vektor és komponensei
– Gravitációs erı (Föld - tömegpont)
– Centrifugális erı
– Egyéb égitestek ( Hold, Nap, stb. )
• Potenciál- és potenciálkülönbség fogalma
• Szintfelület fogalma
• Függıvonal fogalma
• Geoid fogalma
10

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erıtér
Tömegvonzás hatása
F i
P(X P
,Y P
,Z P
,m)
dM i
dV i
X i
,Y i
,Z i
l i
F t
F
i
M
= −G
dM
l
i
2
i
⋅ m
l
l
=
−G
dM
l
i
2
i
⋅ m
1
l
i
⎡X
⎢
⎢
Y
⎢
⎣Z
i
i
i
−
−
−
X
Y
Z
P
P
P
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
11

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erıtér
Föld tengely körüli forgásának hatása
p
P
F C
R
F
C
=
p
⋅
ω
2
⋅
1
p
⋅ p
12

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erıtér
Egyéb égitestek tömegvonzása
P
F N
F H
F
Nap
=
M
−G
l
Nap
2
Nap
l
1
Nap
⎡X
⎢
⎢ Y
⎢
⎣
Z
Nap
Nap
Nap
−
−
−
X
Y
Z
P
P
P
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
F
Hold
=
M
−G
l
Hold
2
Hold
l
1
Hold
⎡X
⎢
⎢
Y
⎢
⎣Z
Hold
Hold
Hold
−
−
−
X
Y
Z
P
P
P
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
13

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erıtér
Nehézségi erı
P
F N
F H
F C
F t
g
M
g = F + F +
t
C
F
t
( égitestek)
14

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erıtér
• Nehézségi vektor
– 3 komponens
• Egyetlen skalár
– potenciál
P 0
α
ds
P i
W i
g
W 0
∆W
=
−g
⋅
ds
=
−
g
⋅
ds
⋅
cos α
15

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erıtér
Szintfelületek származtatása
P 0 ds
W i
W 0
g
90˚
16

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erıtér
Terep
Közepes óceán / tengerszint
P
W P
W 0 ≅geoid
17

A Föld elméleti alakja – Helyettesítı
felületek
Forgási ellipszoid
Pl. WGS 84
– a = 6 378 137 m
– f = 1/298.257223563 ⇒(b = 6 356 752.314 m)
– GM = 3986005 x 10 -8 m 3 /sec 2
– ω = 7292115 x 10 -11 rad/sec
18

A Föld elméleti alakja – Normál nehézségi
erıtér
• Normál ellipszoid
– Tömeg = Föld tömege
– Forgási szögsebesség = Föld forgási
szögsebesség
– Ekvipotenciális felület
– Inercianyomatékok különbsége azonos
n
n
n
2 2
I XX = mi
⋅ ( Yi
+ Zi
) ∑
2 2
I YY = mi
⋅ ( Xi
+ Zi
) ∑
2 2
IZZ
= mi
⋅ ( Xi
+ Yi
)
∑
i=
1
i=
1
i=
1
19

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erıtér
anomáliái
• Potenciálzavar : T = W 0
- U 0
• Geoid magasság (geoid unduláció) : N
• Függıvonal-elhajlás : θ
• Nehézségi anomália : ∆g = |g | - |γ |
Függıvonal
Ellipszoidi normális
N
W 0
θ
Geoid
U 0
γ
g
Normál ellipszoid
20

Geoid és ellipszoid közötti összefüggések
21

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erıtér
Terep
P
Közepes óceán / tengerszint
h
H
Forgási ellipszoid
N
W P
N = h - H
W 0 ≅geoid
22

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erıtér, a
gyakorlatban
23

A Föld elméleti alakja – A geoid
http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/ICGEM.html
24