Kis-Benedek´Agnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek ...

Eötvös Loránd Tudományegyetem 

Természettudományi Kar 

Kis-Benedek Ágnes 

Szimmetrikus és periodikus 

szerkezetek merevsége 

Alkalmazott matematikus MSc 

Operációkutatás szakirány 

Szakdolgozat 

Témavezető: 

Jordán Tibor, tanszékvezető egyetemi tanár 

Operációkutatási Tanszék 

Budapest, 2012

Tartalomjegyzék 

Bevezető 1 

1. Általános gráfmerevségi bevezető 3 

1.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.2. Gráfmerevség jellemzése d = 2 esetén . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2. Henneberg-típusú műveletek 9 

2.1. Szimmetrikus szerkezetek - bevezető . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.2. C3 a síkban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.2.1. Műveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.2.2. Síkbeli szerkezetek alaptételeinek analógiája . . . . . . . 13 

3. Fix rácsú és ”cone” (kúpos) szerkezetek 22 

3.1. A generikus merevséghez szükséges kombinatorikus modell . . . 22 

3.2. Merevségi tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

3.3. Algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.3.1. Algoritmus annak eldöntésére, hogy ρ(G) triviális-e . . . 30 

3.3.2. Ross-gráf merev komponenseinek meghatározása . . . . 31 

3.3.3. cone-Laman gráf merev komponenseinek meghatározása 32 

Γ = Z/3Z speciális eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

Γ = Z/kZ általános eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

4. Matroidelméleti megközelítés 35 

4.1. Hányadosgráf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

ii

TARTALOMJEGYZÉK iii 

4.2. d-periodikus gráf - merevségi bevezető . . . . . . . . . . . . . . 36 

4.3. Matroidok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4.3.1. Matroidelméleti bevezető . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4.3.2. Matroidok és merevség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

5. Friss eredmények 43 

5.1. Tükörszimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

5.2. Tükörszimmetria és Diéder-csoport . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

Irodalomjegyzék 45

Köszönetnyilvánítás 

Ezúton szeretném megköszönni a témavezetőmnek, Jordán Tibornak az út- 

mutatásokat és hasznos tanácsokat, valamint hogy segített közelebbről megis- 

merkedni ezzel a szerteágazó, érdekes témakörrel, és rendelkezésemre bocsá- 

totta a legfrissebb eredményeket. 

iv

Bevezető 

A szerkezetek merevségének vizsgálata számos különböző alkalmazási területen 

felmerülő probléma. Jelen szakdolgozat a periodikus és szimmetrikus szerkeze- 

tek merevségét tárgyalja, amelyet szintén több valós életbeli probléma motivál, 

úgy mint a fehérjék, kristályszerkezetek és zeolitok vizsgálata. 

A fehérjék szerkezetének vizsgálata természetesen nagy jelentőséggel bír 

biokémiai szempontból. A fehérjeszerkezetek reprezentálhatók mechanikus 

szerkezetként, különböző korláttípusokat használva a kovalens kötés, hidrogén 

kötés, sóhidak és torziós szögek modellezéséhez. A kötések által alkotott 

hálózat elemzésére, a flexibilis és merev részek meghatározására gráfelméleti 

technikákat alkalmaznak. 

Az algoritmusnak meg kell számolnia a szabadsági fokokat ebben a háló- 

zatban, és azonosítania kell a merev és rugalmas részstruktúrákat a fehérjében, 

beleértve a túlkorlátozott régiókat, melyekben több kötés van, mint az a me- 

revség eléréséhez szükséges, valamint az alulhatározott régiókat, melyek nem 

merevek, azaz kötés-elfordulások lehetségesek. Az extra korlátozások száma 

vagy a megmaradt kötés-forgatás szabadsági fokok száma egy részstruktúrában 

számszerűsíti a relatív merevséget/flexibilitást, és biztosít egy rugalmassági 

indexet minden kötésre. Ezt a számítási eljárást először üvegszerű anyagok 

analízisére használták. Megközelítőleg egymilliószor gyorsabb, mint a mole- 

kuláris dinamikai szimuláció, és egyetlen statikus háromdimenziós struktúra 

analíziseként méri a protein fő- és oldalláncainak alapvető rugalmasságát. A 

természetben gyakori a szabályosság, szimmetria, és a kristálykapcsolatok is 

1

BEVEZETŐ 2 

befolyásolják a rugalmasságot. Ezt a fehérjék vizsgálatakor is figyelembe kell 

venni. 

Egy olyan nagyobb molekulát, amely két azonos kisebb molekula össze- 

kapcsolódásával keletkezik, dimernek nevezünk. A két összekapcsolódó mo- 

lekula energiaminimalizálási okokból forgásszimmetrikusan kapcsolódik, és a 

molekula változásai is megőrzik a szimmetriát. A dimerek gyakori alloszterikus 

fehérjék, mint például a triptofán represszor, amely a DNS-hez kötődve gátolja 

a triptofántermelést. A triptofán a 20 standard fehérjealkotó aminosav egyike, 

az alváshoz szükséges neurotranszmitterek előanyaga. 

1. ábra. Zeolitok. [24] 

A forgásszimmetrikus anyagokon kívül más szabályos elrendeződésű anya- 

gok is vannak, mint például a periodikus kristályszerkezetek, perovszkit, kvarc, 

aluminoszilikátok (pl. kerámiakészítéshez) és zeolitok. 

A zeolitok kristályos mikroporózus szerkezetek, melyeket számos terüle- 

ten használnak, például molekulaszűrőként, szagelszívóknál, mosószergyártás- 

nál, takarmánykiegészítőknél, üdítőitalok adalékanyagaként, az űrkutatásban, 

és számos más helyen. 

Manapság a szintetikus zeolitok a legfontosabb katalizátorok a petrolké- 

miai finomítókban. Jelentős erőfeszítések irányultak új zeolitok szintetizálásá- 

ra speciális pórusgeometriával.[19], [24], [18] 

Így nem meglepő, hogy a merevségi kérdéskör ezen ága igen aktív kutatási 

területnek számít.

1. fejezet 

Általános gráfmerevségi 

bevezető 

A következőkben végig rúd-csukló típusú szerkezeteket tárgyalunk. Először 

bevezetem az alapvető gráfmerevségi fogalmakat, valamint röviden ismertetem 

az alapvető tételeket. 

A fogalmak tetszőleges d dimenziós térben értelmezhetők, de a merevség 

tesztelése, illetve előállítási tételek d > 2 esetén nem ismertek. 

1.1. Alapfogalmak 

A rúd-csukló szerkezeteket úgy képzelhetjük el, hogy a gráf élei merev rudak, 

míg a gráf csúcsai olyan csuklók, melyek mentén a rudak szabadon elfordul- 

hatnak, de természetesen a gráf által adott struktúrát, vagyis a kapcsolódást 

az élek és csúcsok között végig meg kell őrizni mozgás közben. 

1.1.1. Definíció. Legyen G = (V, E) egy gráf, és legyen p : V → R d a pontok 

egy elhelyezése a d-dimenziós térben. Az éleknek a pontokat összekötő, egymást 

esetleg metsző egyenes szakaszok felelnek meg. Ekkor azt mondjuk, hogy a 

(G, p) szerkezet a G gráf egy realizációja R d -ben. 

1.1.2. Definíció. A (G, q) szerkezet ekvivalens a (G, p) szerkezettel, ha a 

3

FEJEZET 1. 

ÁLTALÁNOS GRÁFMEREVSÉGI BEVEZETŐ 4 

megfelelő élek hossza a két realizációban ugyanaz, vagyis minden uv ∈ E-re 

|p(u) − p(v)| =|q(u) − q(v)| teljesül. 

1.1.3. Definíció. A (G, q) szerkezet kongruens a (G, p) szerkezettel, ha bár- 

mely két pont távolsága a két realizációban ugyanannyi, vagyis |p(u) − p(v)| = 

|q(u) − q(v)| teljesül minden u, v ∈ V -re. 

1.1. ábra. A két szerkezet ekvivalens, de nem kongruens R 2 -ben. 

1.1.4. Definíció. A (G, p) szerkezet merev, ha létezik ɛ > 0, hogy minden 

olyan (G, p)-vel ekvivalens (G, q) szerkezetre, ahol ∀u ∈ V -re |p(u) − q(u)| < ɛ 

teljesül, arra (G, q) kongruens is (G, p)-vel. 

1.1.5. Definíció. (G, p) folytonos mozgása (G, q)-ba: olyan Pv(t) függvények 

(v ∈ V , t ∈ [0, 1]), melyekre teljesülnek a következők: 

• ∀v ∈ V -re Pv(0) = p(v), Pv(1) = q(v); 

• ∀uv ∈ E, ∀t ∈ [0, 1]-re |Pu(t) − Pv(t)| = |Pu(0) − Pv(0)|; 

• ∀v ∈ V , ∀t ∈ [0, 1]-re Pv(t) folytonos. 

1.1.6. Tétel. [12] (G, p) pontosan akkor merev, ha bármely folytonos mozgása 

csak vele kongruens szerkezetbe viheti.

FEJEZET 1. 


1.1.7. Definíció. (G, p) infinitezimális mozgása alatt olyan u : V → R d 

függvényt értünk, hogy ∀vi, vj ∈ V -re (u(vi) − u(vj))(p(vi) − p(vj)) = 0 tel- 

jesül. 

Ez intuitíven azt jelenti, hogy a szerkezet pontjainak adunk egy kis 

kezdősebességet, és ezen irányokkal infinitezimálisan deformáljuk az egész szer- 

kezetet. 

1.1.8. Definíció. A (G, p) szerkezet merevségi mátrixát jelölje R(G, p). Ez 

egy |E|×d|V | méretű mátrix, melyben minden élhez tartozik egy sor, és minden 

csúcshoz tartozik dimenziószámnyi oszlop. Az uv él sorát jelölje R(G, p)uv, 

ebben a sorban minden u-tól és v-től különböző pozícióban 0, az u-hoz tartozó 

részen p(u) − p(v), a v-hez tartozó részen pedig p(v) − p(u) áll: 

� 

. . . 0 u1 − v1 . . . ud − vd 0 . . . 0 v1 − u1 . . . vd − ud 0 . . . 

1.1.9. Megjegyzés. Az u pontosan akkor infinitezimális mozgása (G, p)-nek, 

ha R(G, p) · u = 0. 

1.1.10. Megjegyzés. Ha figyelembe vesszük, hogy R(G, p) magterében biz- 

tosan szerepelni fognak a triviális mozgások (eltolás és forgatás), a következő 

felső becslést kapjuk: |V | ≥ d + 2 esetén rang(R(G, p)) ≤ d|V | − � � d+1 

, míg 

2 

� 

. 

|V | ≤ d + 2 esetén rang(R(G, p)) ≤ � |V | 

2 

1.2. ábra. Merev, de nem infinitezimálisan merev R 2 -ben. 

�

FEJEZET 1. 


1.1.11. Definíció. (G, p) infinitezimálisan merev, ha rang(R(G, p)) = d|V |− 

� 

. 

� d+1 

2 

� vagy rang(R(G, p)) = � |V | 

2 

1.1.12. Tétel. [20],[12] Ha (G, p) infinitezimálisan merev, akkor merev. 

(Fordítva nem feltétlenül igaz!) 

1.1.13. Tétel. [20],[12] Ha (G, p) ”kellően általános helyzetű”, vagyis generi- 

kus (p koordinátáinak halmaza algebrailag független Q felett), akkor már igaz, 

hogy (G, p) pontosan akkor infinitezimálisan merev, ha merev. 

Bár egy szerkezet merevsége függ a realizációtól, a fenti tétel következmé- 

nyeképp nem csak szerkezetek, de gráfok merevségéről is van értelme beszélni. 

Egy adott gráf majdnem minden realizációja hasonlóképp viselkedik merevségi 

szempontból. 

1.1.14. Definíció. A G gráf merev, ha létezik infinitezimálisan merev (G, p) 

realizációja. 

1.2. Gráfmerevség jellemzése d = 2 esetén 

A síkban ismert a merev gráfok jellemzése, létezik rájuk előállítási tétel, vala- 

mint hatékony algoritmus a merevség tesztelésére. A jellemzéshez szükség van 

a függetlenség fogalmának bevezetésére. 

1.2.1. Definíció. A (G, p) szerkezet független, ha R(G, p) sorai lineárisan 

függetlenek. 

1.2.2. Definíció. A G = (V, E) gráf független, ha létezik független realizáci- 

ója. 

1.2.3. Megjegyzés. Ha G = (V, E) független, akkor |E| ≤ 2|V | − 3. (Ez az 

R(G, p) rangjára vonatkozó felső becslés d = 2 esetben.) 

G pontosan akkor merev, ha létezik benne 2|V | − 3 élszámú független részgráf. 

Ez egy ritka tanú a merevségre.

FEJEZET 1. 


1.2.4. Definíció. G = (V, E) ritka, ha ∀X ⊆ V , |X| ≥ 2-re i(X) ≤ 2|X| − 3, 

ahol i(X) jelöli a feszített élek számát. 

1.2.5. Lemma. Ha G = (V, E) független, akkor ritka. 

a gráfon. 

A merev gráfok jellemzéséhez szükségünk lesz két kiterjesztési műveletre 

1.2.6. Definíció. A másodfokú kiterjesztés jelentse azt, hogy egy új csúcsot 

veszünk a gráfhoz, és összekötjük két régi csúccsal. A harmadfokú kiterjesztés 

pedig jelentse azt, hogy egy új csúcsot veszünk a gráfhoz, választunk a régi 

csúcsok közül két olyat, amelyek közt vezet él, ezt az élt töröljük, majd az új 

csúcsot összekötjük ezzel a két régi csúccsal, és még egy harmadikkal. 

1.2.7. Lemma. Legyen adott a G gráf és annak egy p realizációja a síkon. Ha 

a másodfokú kiterjesztésben szereplő három csúcs nincs egy egyenesen, akkor 

a művelet megőrzi a függetlenséget. Ha a harmadfokú kiterjesztésben szereplő 

három régi csúcs nem kollineáris, valamint az új csúcs rajta van a törölt él 

végpontjainak egyenesén, ez a művelet is megőrzi a függetlenséget. 

1.3. ábra. Másod-, illetve harmadfokú kiterjesztés. (A harmadfokú kiterjesztés 

nem az említett merevséget megőrző módon szerepel az ábrán.) 

1.2.8. Lemma. Ha a G gráf ritka, |V (G)| ≥ 3, elvégezhető a másod- vagy a 

harmadfokú kiterjesztés inverz művelete a ritkaság megőrzése mellett.

FEJEZET 1. 


1.2.9. Tétel. (Laman-tétel) [14] G ritka ⇐⇒ G független. 

1.2.10. Tétel. (Henneberg-féle előállítási tétel) [3] G pontosan akkor mini- 

málisan merev (más szóval izosztatikus), ha megkapható egyetlen élből másod- 

és harmadfokú kiterjesztésekkel. 

1.2.11. Definíció. Az X = (X1, . . . , Xt), Xi ⊆ V , |Xi| ≥ 2 halmaz egy 

fedése G = (V, E)-nek, ha ∪ t i=1E(Xi) = E. A fedés értéke pedig V al(X ) = 

� t 

i=1 (2|Xi| − 3). 

A következő tétel ad egy Co-NP jellemzést. 

1.2.12. Tétel. Lovász-Yemini tétel [13] A független élhalmazok mérete és a 

fedések értéke között a következő egyenlőség teljesül: 

max {F : F ⊆ E ritka} = min {V al(X ) : X fedés}. 

1.2.13. Megjegyzés. Elég ún. vékony fedésekre minimalizálni, vagyis ame- 

lyekre teljesül az |Xi ∩ Xj| ≤ 1 egyenlőtlenség. 

A merevség tesztelésére, illetve maximális ritka halmaz számítására léte- 

zik O(n 2 ) futásidejű algoritmus, mely a futás során végig fenntart egy optimális 

fedést. 

1.2.14. Definíció. Egy G gráf 3Fa2 partíciója azt jelenti, hogy az élhalmazt 

három éldiszjunkt fára partícionáljuk, melyekre teljesül az, hogy a gráf minden 

pontját pontosan két darab fa tartalmazza. 

Egy 3Fa2 partíciót megfelelőnek (proper) nevezünk, ha a diszjunkt fáknak 

nincsenek nemtriviális részfái, melyek ugyanazt a csúcshalmazt feszítik. 

1.2.15. Tétel. (Crapo tétele) [15] Egy G gráf pontosan akkor generikusan 

izosztatikus, ha van megfelelő (proper) 3Fa2 partíciója. 

-

2. fejezet 

Henneberg-típusú műveletek 

Érdekes kérdés, hogy szimmetrikus szerkezetek és nem feltétlenül szimmetrikus 

mozgások esetén megfogalmazhatók-e a korábbi síkbeli tételekkel analóg állí- 

tások. Ebben a fejezetben a 2π/3-szögű forgatás esetét tárgyalom. 

2.1. Szimmetrikus szerkezetek - bevezető 

2.1.1. Definíció. A (G, p) d-dimenziós szerkezet szimmetria operációja olyan 

x izometriája a térnek, hogy valamely α ∈ Aut(G) esetén ∀v ∈ V -re x(p(v)) = 

p(α(v)) teljesül. 

nevezzük. 

Ezek csopotját a kompozícióra nézve a (G, p) szerkezet pont csoportjának 

Jelölje C3 a 2π/3-as forgatást, C3 pedig a csoportját. Adott S d-dimenziós 

szimmetriacsoport és adott G gráf esetén R(G,S) jelenti G azon d-dimenziós 

realizációit, ahol S (nem feltétlenül valódi) részcsoportja a gráf pont cso- 

portjának. Másképp megfogalmazva R(G,S) tartalmaz minden (G, p) realizáci- 

ót, amihez létezik Φ : S → Aut(G) leképezés, hogy 

(*) ∀v ∈ V (G) és ∀x ∈ S esetén x(p(v)) = p(Φ(x)(v)). 

A fenti összefüggést kielégítő szerkezetet Φ-típusúnak nevezzük, és a 

Φ-típusú R(G,S)-beli realizációk halmazát R(G,S,Φ)-vel jelöljük. 

9

FEJEZET 2. HENNEBERG-TÍPUSÚ MŰVELETEK 10 

2.1. ábra. Izosztatikus szerkezetek a síkon C3 pont csoporttal. Az első szer- 

kezet a háromszög prizma gráf egy realizációja R(G,C3,Φ)-ben, ahol Φ(C3) = 

(v1v2v3)(v4v5v/). A második szerkezet a K3,3 gráf egy realizációja R(G,C3,Ψ), 

ahol Ψ(C3) = (v1v2v3)(v4v5v6). 

2.1.2. Definíció. Tekintsük a G = (V, E) gráf ponthalmazán a Kn = (V, E ′ ) 

teljes gráfot, továbbá az S szimmetriacsoportot a Φ : S → Aut(G) leképezéssel. 

A (G, p) ∈ R(G,S,Φ) szerkezet (S, Φ)-generikus, ha R(Kn, p) tetszőleges rész- 

mátrixának determinána akkor és csak akkor 0, ha minden olyan p ′ -re 0, ami 

kielégíti (*)-t. 

Intuitíven ez azt jelenti, hogy egy ilyen realizáció az Sv = {Φ(x)(v)|x ∈ S} 

szimmetria orbitok reprezentánsainak elhelyezése generikus pozíciókba. (A 

többi csúcs helyzete ebből már egyértelmű.) 

2.1.3. Definíció. Adott a G gráf, S szimetriacsoport, illetve a hozzá tar- 

tozó Φ : S → Aut(G) leképezés. G-t (S, Φ)-generikusan infinitezimálisan 

merevnek (függetlennek, izosztatikusnak) nevezzük, ha G minden realizációja, 

ami (S, Φ)-generikus, infinitezimálisan merev (független, izosztatikus). 

2.1.4. Tétel. [10] Legyen G egy gráf, S szimmetriacsoport, Φ : S → Aut(G) 

leképezés olyan, hogy R(G,S,Φ) �= ∅. Ekkor a következők ekvivalensek: 

• ∃ infinitezimálisan merev (független, izosztatikus) (G, p) ∈ R(G,S,Φ) szer- 

kezet; 

• G minden (S, Φ)-generikus realizácója infinitezimálisan merev (független, 

izosztatikus).


2.2. C3 a síkban 

A továbbiakban tekintsük az origó középpontú, 2π/3 szögű forgatást a síkban. 

2.2.1. Műveletek 

2.2.1. Definíció. Adott a G gráf, valamint a Φ : C3 → Aut(G) leképezés, és 

(G, p) ∈ R(G,C3,Φ). A (v, p(v)) csuklót C3 fixálja Φ-re nézve, ha Φ(C3)(v) = v. 

A fixált csuklók száma (G, p)-ben jΦ(C3). 

2.2.2. Megjegyzés. Ha (v, p(v)) (G, p) ∈ R(G,C3,Φ)-beli csuklót C3 fixálja Φ-re 

nézve, akkor C3(p(v)) = p(Φ(C3)(v)) = p(v), azaz v a C3 forgatás középpont- 

jában fekszik. 

2.2.3. Tétel. [2] Adott a G gráf, Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus, (G, p) 

egy izosztatikus szerkezet R(G,C3,Φ)-ben, továbbá a p(v) pontok feszítsék ki R 2 -et. 

Ekkor G teljesíti a Laman-feltételeket és jΦ(C3) = 0. 

A tétel bizonyítása a szimmetrikus Maxwell-egyenlőségből olvasható ki. 

Bővebben lásd: [2]. 

2.2.4. Definíció. [23] Adott G gráf, v1, v2 ∈ V (G), v1 �= v2, C3 = {Id, C3, C 2 3} 

a síkban, Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus. Vegyünk három új u1, u2, u3 

pontot, valamint a következő éleket: 

u1v1, u1v2, u2Φ(C3)(v1), u2Φ(C3)(v2), u3Φ(C 2 3)(v1), u3Φ(C 2 3)(v2). 

Ezt a műveletet (C3, Φ) ponthozzáadásnak nevezzük. 

2.2.5. Definíció. [23] Adott a G gráf, v1, v2, v3 ∈ V (G) páronként különbözők, 

v1v2 ∈ E(G), C3 = {Id, C3, C 2 3} a síkban, Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus, és 

v1, v2 nem lehetnek fixek Φ(C3)-ra nézve. Vegyünk három új u1, u2, u3 pontot, 

töröljük a v1v2, Φ(C3)(v1v2), Φ(C 2 3)(v1v2) éleket, valamint húzzuk be a következő 

új éleket: u1vi, u2Φ(C3)(vi), u3Φ(C 2 3)(vi), ahol i = 1, . . . , 3. Ezt a műveletet 

(C3, Φ) élfelosztásnak nevezzük.


2.2.6. Definíció. [23] Adott a G gráf, v0 ∈ V (G), C3 = {Id, C3, C 2 3} a síkban, 

Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus, v0 nem fix Φ(C3)-ra nézve. Vegyünk három 

új u1, u2, u3 pontot, valamint a következő új éleket: 

u1u2, u2u3, u3u2, u1v0, u2Φ(C3)(v0), u3Φ(C 2 3)(v0). 

Ezt a műveletet (C3, Φ) háromszög-kiterjesztésnek nevezzük. 

2.2.7. Megjegyzés. A fenti három művelet mindegyike végrehajtható másod- 

és harmadfokú kiterjesztések sorozataként is, tehát megőrzik a Laman-tulaj- 

donságot. A ponthozzáadás jól láthatóan három darab másodfokú kiterjesztés 

szimmetrikusan elvégezve. Az élfelosztás három darab harmadfokú kiterjesztés 

szimmetrikusan elvégezve. A háromszög-kiterjesztéshez úgy juthatunk el, ha 

először u1-et másodokú kiterjesztéssel hozzákapcsoljuk v1-hez és v2-höz. Ezután 

u2-t harmadfokú kiterjesztéssel kapcsoljuk u1-hez, v2-höz és v3-hoz az u1v2 él 

törlésével, végül u3-at szintén harmadfokú kiterjesztéssel hozzákapcsoljuk u1- 

hez, u2-höz és v3-hoz az u2v3 él törlésével. 

2.2. ábra. Ponthozzáadás, élfelosztás és háromszög-kiterjesztés. 

2.2.8. Definíció. [23] Adott a G gráf, C3 = {Id, C3, C 2 3} a síkban, Φ : C3 → 

Aut(G) homomorfizmus. A G gráfnak egy (C3, Φ) 3Fa2 partíciója olyan spe- 

ciális {E(T0), E(T1), E(T2)} 3Fa2 partíció, melyben ∀i ∈ {1, 2, 3}-ra megkö- 

veteljük, hogy Φ(C3)(Ti) = Ti+1 teljesüljön modulo 3. (Ez egy 3Fa2 partíció 

faforgatási tulajdonsággal.)


2.2.2. Síkbeli szerkezetek alaptételeinek analógiája 

2.2.9. Tétel. [7] Legyen G egy izosztatikus gráf a síkban, és legyen v egy har- 

madfokú csúcsa, melynek szomszédai: w1, w2, w3. Ekkor a v törlésével keletkező 

gráfban ki lehet választani w1, w2 és w3 közül két olyat, hogy közéjük behúzva 

egy élt az új G ′ gráf is izosztatikus legyen. 

A következő definíció általánosítja a szerkezet fogalmát. 

2.2.10. Definíció. Legyen G egy gráf, V (G) = {v1, . . . , vn}. Egy R 2 -beli keret 

egy olyan (G, p, q) hármas, melyre p : V (G) → R 2 , q : E(G) → R 2 \ {0} 

leképezések olyanok, hogy minden vivj ∈ E(G)-re létezik λij ∈ R 2 , melyre 

p(vi) − p(v − j) = λijq(vivj). (λij = 0 is lehetséges.) 

2.2.11. Definíció. A (G, p, q) keret általánosított merevségi mátrixa R 2 -ben 

a következő: 

R(G, p, q) = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

. 

0 . . . 0 q(vivj) 0 . . . 0 −q(vivj) 0 . . . 0 

2.2.12. Definíció. Azt mondjuk, hogy a (G, p, q) keret független, ha R(G, p, q) 

sorai lineárisan függetlenek. 

2.2.13. Megjegyzés. Ha a (G, p, q) keret független és vivj ∈ E(G) esetén 

p(vi) �= p(vj), akkor a (G, p) szerkezet is független. 

2.2.14. Tétel. [23] Legyen G egy legalább három pontú gráf, C3 = {Id, C3, C 2 3} 

a síkban, Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus. A következők ekvivalensek: 

• (A) R(G,C3,Φ) �= ∅ és G (C3, Φ)-generikusan izosztatikus; 

• (B) |E(G)| = 2|V (G)|−3, i(X) ≤ 2|X|−3 minden X ⊆ V (G), |X| ≥ 2 

esetén, továbbá jΦ(C3) = 0; 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠


• (C) ∃(K3, Φ0) = (G0, Φ0), (G1, Φ1), . . . , () = (G, Φ) konstrukciósorozat, 

amelyre Gi+1 a fent definiált három művelet valamelyikével kapható meg 

Gi-ből, Φi+1|V (Gi) = Φi, továbbá Φi+1(C3)|u1,u2,u3 = (u1u2u3), ahol a 

három új pontot u1, u2, u3 jelöli; 

• (D) G-nek van egy megfelelő (proper) (C3, Φ) 3Fa2 partíciója. 

Bizonyítás: 

(A) ⇒ (B): A 2.2.3 tétel éppen ezt mondja ki. 

(B) ⇒ (C) Ez az irány teljes indukciót használva esetvizsgálattal veze- 

thető le, felhasználva a gráf (hagyományos értelemben vett) Henneberg-felépí- 

tésére vonatkozó ismereteket. 

A Φ : C3 → Aut(G) létezése és jΦ(C3) = 0 miatt |V (G)| ≡ 0 modulo 3. A 

legkisebb ilyen gráf a K3, amelyhez nemtriviális Φ tartozik. Az alapeset tehát 

kész. Tegyük fel, hogy n pontig tudjuk, hogy igaz az állítás, és tekintsünk egy 

|(V (G)| = n + 3 pontú gráfot. 

Ha ennek a gráfnak van v másodfokú pontja, akkor már csak az kell, 

hogy v, Φ(C3)(v) és Φ(C 2 3)(v) (egymástól különböző másodfokú) pontok közt 

nem vezet él. Ha vΦ(C3)(v) ∈ E(G), akkor a szimmetria miatt ez a három 

pont egy háromszöget alkot, mely nem kapcsolódik a gráf többi részéhez, tehát 

G nem lehet Laman-tulajdonságú: 

|E(G−{v, Φ(C3)(v), Φ(C 2 3)(v)})| = |E(G)|−3 = 2|V (G)|−6 = 2|V (G− 

{v, Φ(C3)(v), Φ(C 2 3)(v)})|. 

Tehát a v, Φ(C3)(v), Φ(C 2 3)(v) pontok olyanok, hogy az ő törlésük után 

keletkező gráfban a Laman-feltétel megőrződik, az indukció miatt létezik a 

tételbeli konstrukciósorozat, és ők a ponthozzáadás művelettel adhatók a gráf- 

hoz a sorozat utolsó elemeként. 

Ha a G gráfnak nincs másodfokú pontja, akkor a Laman-feltétel garan- 

tálja, hogy van harmadfokú pontja, jelölje ezt ismét v. 

Négy esetet kell megkülönböztetnünk v, Φ(C3)(v), Φ(C 2 3)(v) elhelyezke- 

dését tekintve:


• (1) nem vezet köztük él, de mindhárman ugyanazzal a három ponttal 

szomszédosak; 

• (2) nem vezet köztük él, de bármely kettőnek van közös szomszédja; 

• (3) nem vezet köztük él, és szomszédjaik is különbözőek; 

• (4) vΦ(C3)(v) ∈ E(G) (ekkor harmadik szomszédaik különbözőek, mivel 

nincs a forgatás által fixált pont). 

2.3. ábra. Négy különböző eset a harmadfokú pont elforgatottjainak és 

szomszédainak kapcsolatára. 

Az (1) esetben a 2.2.9 Tétel miatt v leemelhető oly módon, hogy szomszé- 

dai közül kettőt éllel kötünk össze, és v-t töröljük (a harmadfokú kiterjesztés 

Henneberg-művelet inverzeként), valamint ugyanezt végrehajthatjuk sorban 

Φ(C3)(v)-re és Φ(C 2 3)(v)-re is, vagyis a szomszédait páronként összekötjük, 

míg v-t és képeit töröljük. Ekkor a Laman-feltétel megőrződik. Indukcióval 

erre a gráfra létezik a kívánt konstrukciósorozat, és befejező lépésként még egy 

élfelosztásra lesz szükségünk, hogy visszakapjuk G-t. 

A (2) és (3) esetben a 2.2.9 Tétel miatt szintjén leemelhető v oly módon, 

hogy szomszédai közül kettőt összekötünk, legyenek ezek v1 és v2. v elforgatott- 

jaival ugyanezt megtesszük (de ott nem feltétlenül a szimmetrikus szomszédok 

közé kerül él). Így a G0 gráfhoz jutunk. H ⊆ G0−{v1, v2} részgráfra igaz lesz a 

következő: |E(H)| ≤ 2|V (H)|−4. Sőt, ha G ′ jelöli a G gráfból v és elforgatott- 

jai törlésével kapott gráfot, minden H ⊆ G ′ -re, ahol v1, v2 ∈ H, ugyanez igaz.


Illetve mivel G ′ invariáns a forgatásra, minden olyan H részgráfra is teljesül az 

összefüggés, amely tartalmazza Φ(C3)(v1)-t és Φ(C3)(v2)-t, vagy Φ(C3) 2 (v1)- 

t és Φ(C3) 2 (v2)-t. Ki fog derülni, hogy {v1, v2}, {Φ(C3)(v1), Φ(C3)(v2)} és 

{Φ(C3) 2 (v1), Φ(C3) 2 (v2)} diszjunkt párok. 

Tegyük fel, hogy {v1, v2} = {Φ(C3)(v1), Φ(C3)(v2)}. Ekkor v1 = Φ(C3)(v2) 

és v2 = Φ(C3)(v1), amiből következik, hogy v2 = Φ(C3)(v1) = Φ(C3) 2 (v2), de ez 

ellentmond annak, hogy nincs a forgatás által fixált pont. A többire ugyanígy. 

adódik. 

Definiáljuk a következő gráfot: 

G = G ′ + {{v1, v2}, {Φ(C3)(v1), Φ(C3)(v2)}, {Φ(C3) 2 (v1), Φ(C3) 2 (v2)}}. 

Ez kielégíti a Laman-feltételeket. 

|E(G)| = |E(G ′ )| + 3 = |E(G)| − 6 = 2|V (G)| − 9 = 2|V (G)| − 3 rögtön 

Tegyük fel, hogy létezik H ⊆ G ′ , v1, v2, Φ(C3)(v1), Φ(C3)(v2) ∈ V (H) és 

|E(H)| = 2|V (H)| − 4. Φ(C3)(H)-t és Φ(C3)(H)-t is tekinthetjük, hasonló 

tulajdonságokkal. Legyen H ′ = H ∪ Φ(C3)(H). Ekkor |E(H ′ )| = |E(H)| + 

|E(Φ(C3)(H))| − |E(H ∩ Φ(C3)(H))| ≥ 2|V (H)| − 4 + 2|V (Φ(C3)(H)| − 4 − 

(2|V (H ∩ Φ(C3)(H))| − 4) = 2|V (H ′ )| − 4, mert H ∩ Φ(C3)(H) részgráfja 

G ′ -nek, és tartalmazza Φ(C3)(v1)-t és Φ(C3)(v2)-t. H ′ szintén tartalmazza 

őket, ezért |E(H ′ )| = 2|V (H ′ )| − 4. Hasonló igaz H ′′ = H ′ ∩ Φ(C3) 2 (H)- 

ra, |E(H ′′ )| = 2|V (H ′′ )| − 4, ráadásul H ′′ invariáns a forgatásra és nincs fix 

pontja, vagyis éleinek és csúcsainak száma 3-mal osztható. Ez ellentmond 

|E(H ′′ )| = 2|V (H ′′ )| − 4-nek. 

Tehát minden H ⊆ G ′ -re, ahol v1, v2, Φ(C3)(v1), Φ(C3)(v2), arra |E(H)| ≤ 

2|V (H)|−5 teljesül. (A forgatással kapott álítások igazak G ′ invarianciája mi- 

att.) Már csak azt kell megmutatni, hogy ez sem teljesülhet egyenlőséggel, 

ha H még Φ(C3) 2 (v1), Φ(C3) 2 (v2)-t is tartalmazza. Indirekt tegyük fel, hogy 

létezik H, ami egyenlőséggel teljesíti. Akkor H elforgatottjaira ugyanez igaz. 

Legyen H ′ = H ∪ Φ(C3)(H). Ekkor |E(H ′ )| = |E(H)| + |(EΦ(C3)(H)| − 

|E(H ∩Φ(C3)(H)| ≥ 2|V (H)|−5+2|V (Φ(C3)(H)|−5−(2|V (H ∩Φ(C3)(H))|− 

5) = 2|V (H ′ )| − 5, mivel H ∩ Φ(C3)(H) is részgráfja G ′ -nek, és tartalmazza 

v1, v2-t és Φ(C3)(v2), Φ(C3)(v2)-t. Így |E(H′ )| = 2|V (H ′ )| − 5. Hasonló igaz


H ′′ = H ′ ∪Φ(C3)(H)-ra. Csakhogy H ′′ invariáns a forgatásra, nincs fix pontja, 

és így pontjainak és éleinek száma 3-mal osztható, ami ellentmond a kapott 

egyenlőségnek. 

Tehát G teljesíti a Laman-feltételeket, és így az indukciós feltétel fel- 

használva, valamint egy élfelosztást végrehajtva készen vagyunk. 

A (4) esetben v-t és képeit törölve Laman-gráfhoz jutunk, amelynek 

az indukció szerint létezik megfelelő konstrukciósorozata, így utolsó lépésként 

elvégezhetjük a háromszög-kiterjesztés műveletét. 

(C) ⇒ (D): Ismét pontszám szerinti indukciót alkalmazunk. K3 esetén 

a három fa a három különböző élből áll. Ráadásul ha egy él a T1 fában van, 

elforgatottja legyen a T2 fában, míg annak elforgatottja a T3 fában. Ezt a 

faforgatási tulajdonságot végig megőrizzük. (Ha egy új élről eldöntjük, hogy a 

Ti fához kapcsolódjon, mert valamely végpontjába már vezet Ti-beli él, akkor 

az elforgatottjába szükségképp vezet Ti+1-beli, tehát ez a tulajdonság nem 

kerül összeütközésbe azzal, hogy fákat építünk, vagyis összefüggő részgráfokat.) 

Tegyük fel, hogy n pontig igaz az állítás, és lássuk be V (G) = n+3-ra. A konst- 

rukciósorozat G-t megelőző elemét jelölje G ′ . Külön esetekként vizsgáljuk, 

hogy G előállításához mi volt az utolsó művelet. 

Ha az utolsó művelet ponthozzáadás, egy új pont éleit úgy rakhatjuk be 

két különböző fába, hogy megnézzük a két szomszédját, és mivel mindketten 

két-két fában vannak benne, ki tudunk választani két különböző fát az új pont 

éleinek számára. Ha az egyik új pont éleinél döntöttünk, elforgatottjainak 

tudunk úgy választani, hogy fennmaradjon a fenti faforgatási tulajdonság. 

Ha az utolsó művelet élfelosztás, akkor egy új pont három élét kell két 

különböző fába beosztani. Az új pont három szomszédja közül kettő G ′ -ben 

szomszédos volt, de a köztük lévő élt a művelet során töröltük. Az új pont 

ezen két régi ponthoz kapcsolódó éle tehát megkaphatja a törölt él típusát. 

Az új pont harmadik éléhez két lehetséges fatípus tartozhat, ezek közül az 

egyiket még biztos nem használtuk el, tehát tudunk választani minden élhez


megfelelő fát. Az új pont elforgatottjainak válasszuk úgy a címkézését, hogy 

fennmaradjon a faforgatási tulajdonság. 

Ha az utolsó művelet háromszög-kiterjesztés volt, mindhárom új pont 

egy-egy régi ponthoz kapcsolódik, és itt kihasználjuk, hogy végig fenntartottuk 

a faforgatási tulajdonságot. Ugyanis emiatt ha az egyik új és az egyik G ′ -beli 

pontot összekötő él típusa Ti lett, az elforgatottja Ti+1-beli, annak az elforga- 

tottja pedig Ti+2-beli lesz (modulo 3 számolva). Ezek után vegyünk egy olyan 

élet, mely két új pont közt vezet. Ennek az élnek a típusát a végpontjaihoz 

kapcsolódó két él típusától függően szabadon megválaszthatjuk, és a faforgatás 

szabályainak megfelelően a többi már adódik. 

Vagyis G-nek is létezik (C3, Φ) 3Fa2 partíciója. 

(D) ⇒ (A): Crapo eredeti eredményére Tay adott egy bizonyítást, ame- 

lyhez hasonló megközelítés használható ennek az iránynak a belátására. 

Tegyük fel, hogy {T0, T1, T2} egy megfelelő (C3, Φ) 3Fa2 partíció. A 2.1.4 

alapján elegendő találni egy (G, p) ∈ R(G,C3,Φ)-t, ami izosztatikus. Mivel az 

élhalmaz három fa uniója, |E(G)| = 2|V (G)| − 3. 

találni, amelyre (G, p) ∈ R(G,C3,Φ) független. 

Így elég olyan p realizációt 

Legyen a0 = (0, 0), a1 = (1, 0) és a2 = ( 1 

2 , √ 3 

2 ). Jelölje Vi azon pontok 

halmazát, melyek nincsenek benne Ti-ben. Ekkor (G, p, q) legyen a következő: 

p(v) = ⎧ai, 

ha v ∈ Vi; 

⎪⎨ a2 − a1 = (− 

q(e) = 

⎪⎩ 

1 

2 , √ 3) 

, ha e ∈ E(T0) 

2 

a0 − a2 = (− 1 

2 , − √ 3) 

, ha e ∈ E(T1) 

2 

a1 − a0 = (1, 0) , ha e ∈ E(T2) 

A hozzá tartozó R(G, p, q)-t módosítsuk úgy, hogy felcseréljük az oszlo- 

pait: a páratlanadik oszlopokat vesszük előre egymás után (sorrendjüket nem 

módosítva), majd a párosadik oszlopokat (sorrendjüket szintén nem módosít- 

va). Ezután ha szükséges, cseréljük fel a sorokat is úgy, hogy először a T0- 

beli élek, aztán a T1-beli élek, aztán pedig a T3-beli élek sorai következzenek. 

Ezek a műveletek nem befolyásolják a sorok összefüggőségét, így elég a kapott 

R ′ (G, p, q) mátrix sorainak függetlenségét belátni R(G, p, q) sorainak függet-


lenségéhez. Jelölje az e élhez tartozó sort Fe. 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

− 1 

2 

− 1 

2 

− 1 

2 

1 

2 

. 

. 

− 1 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 

√ 3 

2 

− √ 3 

2 

√ 3 

2 

− √ 3 

2 

. 

. 

− √ 3 

2 

1 −1 0 . . . 0 

. 

. 

. .. 

. 

1 −1 0 0 

√ 3 

2 

√ 3 

2 

− √ 3 

2 

Indirekt tegyük fel, hogy � 

e∈E(G) αeFe = 0, úgy hogy αe �= 0 valamely 

e ∈ E(G)-re. 

Tegyük fel, hogy αe �= 0 valamely e ∈ T2-re. Mivel T2 fa, ∃vs ∈ V (T2), 

amelyre � 

e∈E(T2) = C �= 0. A 3Fa2 partíció tulajdonságai miatt vs-nek benne 

kell lennie valamelyik másik fában is, tegyük fel, hogy ez T1. Ekkor ∀e ∈ T0-ra 

(Fe)s = 0, (Fe)|V (G)|+s = 0. Az indirekt feltevés miatt � 

e∈E(T1) αe(Fe)s = 

−C. Ekkor viszont a mátrix speciális alakja miatt � 

e∈E(T1) αe(Fe)|V (G)|+s = 

� 

e∈E(G) αe(Fe)|V (G)|+s = − √ 3C �= 0. Tehát ebben az esetben ellentmondásra 

jutunk, vagyis minden e ∈ E(T2)-re αe = 0. Törölhetjük a T2-nek megfelelő 

sorokat R ′ (G, p, q)-ből, és elég a maradékról belátni a függetlenséget. Ez 

megtehető a mátrix alkalmas bázistranszformációja után a fentihez hasonló 

érveket alkalmazva. 

A következő teendő (G, p, q) pontjainak szimmetrikus széthúzása. Tegyük 

fel, hogy |Vi| ≥ 2. Mivel {T0, T1, T2} egy megfelelő partíció, < V0 > ∩Ti nem 

összefüggő valamely i ∈ {1, 2}-re. Tegyük fel, hogy i = 2-re nem összefüggő, 

ekkor az elforgatottjaik, azaz < V1 > ∩T0 és < V2 > ∩T1 szintén nem 

lesznek összefüggőek. Legyen A a < V0 > ∩T2 egy összefüggő komponensének 

csúcshalmaza. Legyen t ∈ R, pt : V (G) → R 2 , qt : E(G) → R 2 a következő: 

⎞ 

⎟ 

⎠


⎧ 

(− 

⎪⎨ 

pt(v) = 

1 

2t, − √ 3t) 

, ha v ∈ A 

2 

(1 + t, 0) , ha v ∈ Φ(C3)(A) 

⎪⎨ 

qt(e) = 

( 1 

2 (1 − t), √ 3 

2 (1 + t)) , ha v ∈ Φ(C3) 2 (A) 

p(v) , különben. 

⎪⎩ 

⎧ 

(1 + 1 

⎪⎩ 

(1 + 3 

2t, √ 3 

2 

2t, √ 3 

2 

t) , ha e ∈ EA,V1\Φ(C3)(A) 

t) , ha e ∈ EA,Φ(C3)(A) 

(− 1 

2 − t, √ 3 

2 ) , ha e ∈ EΦ(C3)(A),V2\Φ(C3) 2 (− 

(A) 

1 3 − 2 2t, √ 3 

2 (1 + t)) , ha e ∈ EΦ(C3)(A),Φ(C3) 2 (− 

(A) 

1 

2 (1 − t), − √ 3 

2 (1 + t)) , ha e ∈ EΦ(C3) 2 (− 

(A),V0\A 

1 

2 , − √ 3 

2 − √ 3t , ha e ∈ EΦ(C3) 2 (A),A 

q(e) , különben. 

, ahol EX,Y jelenti az X és Y köztes éleinek számát valamely X, Y ⊆ 

V (G) diszjunkt halmazokra. 

Ekkor (G, p, q) = (G, p0, q0). Ha t ′ -t változónak tekintjük, a (G, pt ′, qt ′) 

pontosan akkor lineárisan összefüggő (R[t ′ ] fölött), ha minden |E(G)|×|E(G)|- 

s részmátrix deteminánsa azonosan 0. Ezek t ′ -ben polinomiálisak, így azon 

t ′ -k halmaza, amelyekre R(G, pt ′, qt ′) sorai nem lineárisan függetlenek, egy F 

varietást alkotnak, amelynek komplementere ha nemüres, sűrű nyílt halmaz. 

Mivel t = 0 /∈ F , majdnem minden t-re a mátrix sorai lineárisan függetlenek 

lesznek, azaz létezik t0 �= 0, amire (G, pt0, qt0) keret független. Az eljárást 

folytatva eljutunk egy olyan (G, p, q) kerethez, amelyben minden uv ∈ E(G)- 

re p(u) �= p(v). 

Vagyis a tételt beláttuk. � 

Így a 2.2.13 miatt (G, p) egy független szerkezet R(G,C3,Φ)-ben. 

2.2.15. Megjegyzés. Az előző tételhez hasonló eredmények ismertek C∈-re, 

ami a π-szögű forgatás csoportja, valamint CS-re, ami a tükrözés csoportja. 

Sejtés, hogy C2v-re és C3v-re is levezethető ilyen típusú tétel, de komplikáltabb 

módon. [22] 

Schulze eredményei olyan szempontból gyengébbek, mint a periodikus 

eset hasonló eredményei, hogy csak izosztatikus szerkezetekről szól, viszont 

olyan szempontból erősebbek, hogy ezek olyan szerkezetekről is információt


adnak, amiktől nem követeljük meg a szimmetriát, csak épp mellékesen szim- 

metrikusak.

3. fejezet 

Fix rácsú és ”cone” (kúpos) 

szerkezetek 

Ebben a fejezetben olyan R 2 -beli speciális gráfok merevségének tesztelésére 

adunk algoritmusokat, melyekhez szimmetriára, illetve periodikusságra vonat- 

kozó extra feltételek is tartoznak. 

3.1. A generikus merevséghez szükséges kombinatorikus 

modell 

A szerkezet speciális struktúrája miatt nem az egész szerkezetet, hanem az ún. 

színezett gráfot vizsgáljuk a fejezet során. 

3.1.1. Definíció. Legyen G = (V, E) egy véges irányított multigráf, továbbá 

legyen adva egy hozzá tartozó γ = (γij)ij∈E, γij ∈ Γ csoport. A (G, γ) párt 

színezett gráfnak nevezzük. 

Egy adott periodikus vagy szimmetrikus szerkezethez tartozó színezett 

gráfot úgy konstruálhatunk meg, hogy a pont-orbitokat összehúzzuk pontokká, 

az él-orbitokat összehúzzuk élekké, továbbá a pont-orbitok és él-orbitok inci- 

denciáját megtartva az éleket tetszőleges módon megirányítjuk. Ez egy véges 

gráfreprezentációját adja a pont-orbitoknak és él-orbitoknak. Egy ij ∈ E 

22

FEJEZET 3. FIX RÁCSÚ ÉS ”CONE” (KÚPOS) SZERKEZETEK 23 

élhez tartozzon egy címke vagy szín, amit úgy kapunk meg, hogy felemeljük 

az ij élt az eredeti gráf egyetlen olyan ij élévé, melynek töve egy i-hez tartozó 

kiválasztott i reprezentánselem. Ekkor az ij él feje γijj, ahol j a j választott 

reprezentánseleme. Ez a γij lesz az ij él színe. 

Ez a gráf az egyes orbitokról egy-egy csúcsot tartalmaz, és a címkézett 

élek mutatják a teljes szerkezet struktúráját. Ennek a fogalomnak a bevezetését 

az a tény indokolja, hogy a gráfhoz kapcsolódó extra periodicitási/szimmetria 

feltételek miatt bizonyos csúcsok kénytelenek együtt mozogni. 

3.1. ábra. Periodikus szerkezet és egy hozzá tartozó színezett gráf. 

3.1.2. Megjegyzés. Fix rácsú periodikus szerkezetre Γ = Z 2 ; míg k ≥ 2 egész 

”cone” (kúpos) gráfra Γ = Z/kZ. 

3.1.3. Definíció. Azokat a mozgásokat tekintjük megengedett folytonos moz- 

gásoknak, amelyek megőrzik a csúcs-él kapcsolatokon és a rudak hosszán kívül 

az adott periodicitási, ill. szimmetria feltételeket is. 

3.1.4. Definíció. Egy fix rácsú szerkezet merev, ha az egyetlen megengedett 

mozgás az eltolás; míg egy kúpszerkezetet akkor hívunk merevnek, ha az egyetlen 

megengedett mozgás a középpont körüli forgatás. 

3.1.5. Definíció. Egy szimmetrikus/periodikus szerkezet minimálisan merev, 

ha merev, de bármely él-orbit rúdjainak eltávolítása után már nem az.


3.2. Merevségi tételek 

A következőkben az ilyen típusú gráfok merevségének vizsgálatához szükséges 

definíciók és tételek szerepelnek. A továbbiakban jelölje n a pontok, m pedig 

az élek számát a gráfban. 

3.2.1. Definíció. Legyen a G ciklikus teréből Γ-ba képező ρ függvény a következő: 

ρ(C) = � 

ij∈C,előre-él γij − � 

ij∈C,hátra-él γij, ahol C fix bejárású kör 

G-ben. 

3.2.2. Definíció. ρ(G ′ ) jelöli G ′ Γ-képét, amit triviálisnak nevezzük, ha min- 

den G ′ által feszített C kör ρ(C) képe az identitás. Különben nemtriviális. 

Jelölje n a G gráf csúcsainak, m pedig az éleinek számát. 

3.2.3. Tétel. [8] Egy generikus fix rácsos szerkezet a hozzárendelt (G, γ) szí- 

nezett gráffal minimálisan merev ⇐⇒ 

(1) m = 2n − 2; 

(2) ∀ G ′ nemüres részgráfra, amelynek pontszáma n ′ , élszáma m ′ , és triviális 

a Z 2 -képe, teljesül a következő: m ′ ≤ 2n ′ − 3; 

(3) ∀ G ′ nemüres részgráfra, amelynek pontszáma n ′ , élszáma m ′ , és nemtri- 

viális a Z 2 -képe, teljesül a következő: m ′ ≤ 2n ′ − 2. 

Azokat a gráfokat, melyek teljesítik a tételben szereplő három feltételt, 

Ross-gráfoknak hívjuk. Ha csak a (2) és (3) feltételek teljesülnek, a gráf Ross- 

ritka. 

3.2.4. Definíció. A 3.2.3 alapján a maximálisan merev részszerkezet általános 

fix rácsú szerkezetben megfelel azon G-beli maximális részgráfnak, ahol m ′ = 

2n ′ − 2. Ezeket nevezzük (G, γ) merev komponenseinek. 

3.2.5. Tétel. [9] Egy generikus ”cone” (kúpos) szerkezet a hozzárendelt szí- 

nezett gráffal minimálisan merev ⇐⇒ 

(1) m = 2n − 1;


(2) ∀ G ′ nemüres részgráfra, amelynek pontszáma n ′ , élszáma m ′ , és triviális 

a Z/kZ-képe, teljesül a következő: m ′ ≤ 2n ′ − 3; 

(3) ∀ G ′ nemüres részgráfra, amelynek pontszáma n ′ , élszáma m ′ , és nemtri- 

viális a Z/kZ-képe, teljesül a következő: m ′ ≤ 2n ′ − 1. 

Az ilyen gráfokat nevezzük cone-Laman-gráfoknak. (A Ross-gráfokkal 

analóg módon, csak épp 2n ′ − 2 helyett 2n ′ − 1-gyel.) 

A Ross- és cone-Laman gráfok matroidcsaládok. [9] 

3.2.6. Lemma. [8] Legyen (G, γ) egy színezett gráf. ρ(G) triviális ⇔ G min- 

den T feszítő erdőjére ρ triviális minden T által indukált alapkörre. 

Következzenek a (k, l)-ritkasággal kapcsolatos alapfogalmak. ([16]) Ezek 

a (k, l)-ritkasági fogalmak a megfelelő matroid alapfogalmainak felelnek meg, 

ez indokolja az elnevezéseket is. 

3.2.7. Definíció. A (k, l)-ritkaság azt jelenti, hogy m ′ ≤ kn ′ − l teljesül min- 

den részgráfra. Ha m = kn − l, a gráf (k, l)-gráf. 

3.2.8. Definíció. A (k,l)-kör olyan gráf, ami nem (k, l)-ritka, de bármely élét 

elhagyva már az. Ezek mindig (k, l − 1)-gráfok, és a megfelelő matroid köreit 

alkotják. 

3.2.9. Definíció. A G gráf (k, l)-bázisa alatt olyan maximális G ′ részgráfot 

értünk, amely (k, l)-ritka. A definíció megfelel a matroid bázis fogalmának. 

3.2.10. Definíció. Ha a G ′ gráf (k, l)-bázis, ij ∈ E(G) − E(G ′ ), akkor a 

0(k, l)-alapkör ij-re és G ′ -re az egyetlen (k, l)-kör G ′ + ij-ben. 

3.2.11. Megjegyzés. Egy gráf ”(2, 3)-” tulajdonságú ⇔ Laman-gráf. 

A későbbi algoritmusokhoz felhasználjuk a ”pebble game”-et, amely egy 

egyszerű és elegáns kombinatorikus módszer, csupán a gráf irányításának meg- 

felelő változtatását használja. A (k,l)-”pebble game” segítségével O(1) idő 

ellenőrizni, hogy egy ij él feszített-e valamely (k, l)-komponensben. O(n 2 ) 

idő frissíteni a komponenseket, ha egy G + ij (k, l)-ritka. Továbbá O(n) idő 

szükséges adott (k, l)-ritka gráfra alapkör számításához.


3.2.12. Definíció. (Legkisebb közös ős fában) Legyen T r-gyökerű fa, i, j ∈ 

V (T ). Ekkor i és j legkisebb közös őse T -ben az a csúcs, ahol az egyértelmű 

i → r-út és a j → r-út először találkoznak. 

Ez O(n) előprocesszálás után O(1) időben számítható. (Bővebben: [4].) 

3.2.13. Lemma. [21] Legyen G egy gráf, és tegyük fel, hogy a Laman-körök 

G-ben éldiszjunktak. Ekkor minden G-beli Laman-bázisra ugyanaz az alapkör, 

és minden Laman-kör G-ben egy alapkör. 

Bizonyítás: Legyen G egy Laman-bázisa L. A matroidtulajdonság miatt 

minden Laman-kör egyúttal Laman-alapkör L-re, vagy előáll kör eliminációs 

lépésekkel. Az éldiszjunktságra vonatkozó feltevés miatt a második eset nem 

fordulhat elő, tehát az állítás igaz, mivel L-t tetszőlegesen választottuk. � 

3.2.14. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy színezett gráf, és tegyük fel, hogy G 

egy (2, 2)-gráf. (G, γ) Ross gráf ⇔ G-ben minden L Laman-bázisra a Laman- 

kör minden ij ∈ E − E(L)-re nemtriviális Z 2 -képpel rendelkezik. 

Bizonyítás: (G, γ) legyen a feltételeknek megfelelő. Figyeljük meg, hogy 

minden G-beli G ′ (2, 2)-blokknak tartalmaznia kell Laman-kört, ugyanis egy 

G ′ -beli Laman-bázis nem tartalmazhatja az összes élt, mert túl sok van. De 

ha bármely G ′ (2, 2)-blokknak triviális a Z 2 -képe, akkor a részgráfjainak is az, 

aminek tartalmaznia kell Laman-kört. Emiatt (G, γ) pontosan akkor Ross- 

gráf, ha minden Laman-körnek nemtriviális a Z 2 -képe. 

Még azt kell belátnunk, hogy minden Laman-kör helyett elég csak a 

Laman-alapkörökre megkövetelnünk a nemtrivialitást. A Laman-körök (2, 2)- 

blokkok G-ben, és nem tartalmazhatnak kisebb (2, 2)-blokkokat. Mivel G 

(2, 2)-gráf, így a G-beli (2, 2)-blokkok közül bármely kettőre igaz az, hogy vagy 

éldiszjunktak, vagy (2, 2)-blokkban metszik egymást. Ebből következik, hogy 

a Laman-körök, amik nem tartalmaznak kisebb (2, 2)-blokkot, éldiszjunktak, 

vagyis a 3.2.13 alapján az állítás igaz. �


3.2.15. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy színezett gráf Γ = Z/kZ csoporttal, 

és tegyük fel, hogy G (2, 2)-kör. (G, γ) pontosan akkor cone-Laman gráf, ha 

bármely élt eltávolítva G-ből Ross-gráfot kapunk. 

Bizonyítás: Ha létezik olyan él, melynek törlése után nem Ross-gráfot 

kapunk, akkor ez a gráf tartalmaz triviális képű részgráfot, amely nem Laman- 

ritka. Mivel ez az eredeti G gráfnak is részgráfja, G nem lehet cone-Laman. 

Tehát az állítás balról jobbra iránya igaz. 

Legyen G ′ egy (2,2)-blokk G-ben. Mivel G (2,2)-kör, G �= G ′ . Legyen 

ij ∈ E(G) − E(G ′ ), ekkor a feltétel miatt G − ij Ross-gráf, tehát G ′ -nek 

nemtriviális a Γ-képe. Mivel G ′ tetszőleges volt, az állítás másik iránya is igaz. 

� 

3.2.16. Lemma. [21] Legyen G egy (2, 1)-gráf. Ekkor a (2, 2)-körök G-ben 

éldiszjunktak. 

3.2.17. Lemma. [21] Legyen G egy (2, 1)-gráf, G ′ pedig Laman-kör G-ben. 

Ekkor G ′ -t vagy tartalmazza egy (2, 2)-kör vagy G ′ Laman-alapkör. 

Bizonyítás: Legyen L egy tetszőleges Laman-bázis. Terjesszük ki egy 

R (2,2)-bázissá. Ha G ′ éldiszjunkt minden (2,2)-körtől, akkor része R-nek. 

Minden Laman-kör alapkör L-re nézve, tehát ekkor G ′ Laman-alapkör. 

Tegyük fel, hogy G ′ metsz egy G ′′ (2,2)-kört, a metszetüket jelölje G∩, 

az uniójukat G∪. Mivel G ′ (2,2)-gráf, a következőt kapjuk: 

2|V (G∩)| − 2 ≥ |E(G∩)| = 2|V (G ′ )| − 2 + 2|V (G ′′ )| − 1 − |E(G∪)| ≥ 2|V (G ′ )| − 

2 + 2|V (G ′′ )| − 1 − 2|V (G∪)| + 1 = 2|V (G∩)| − 2. 

Mivel minden megfelelő G ′ gráf Laman-ritka, G ′ ∩ G ′′ = G ′ -t kapjuk, 

twhát G ′ egy (2,2)-kör. � 

3.2.18. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy színezett gráf. (G, γ) cone-Laman 

gráf ⇔ 

(1) G egy (2, 1)-gráf; 

(2) minden G-beli R (2, 2)-bázisra az ij ∈ E(G) − E(R) éllel kapott G ′ alapkör 

bármely élét eltávolítva Ross-gráfot kapunk; 

(3) minden L Laman-bázisra G-ben a Laman-alapkör Γ-képe nemtriviális.


Bizonyítás: Elég belátni, hogy minden Laman-kör Γ-képe nemtriviális. 

A 3.2.17 alapján két típus van: amelyek nem metszenek más Laman-kört, 

tehát Laman-alapkörök valamely Laman-bázisra, illetve amelyek (2, 2)-körök 

részgráfjai, ezek pedig éldiszjunktak a 3.2.16 miatt. Ezek után a 3.2.15 lemmá- 

ból megkapjuk a kívánt állítást. � 

A következő lemmákhoz szükségünk lesz egy G-hez tartozó G irányítatlan 

gráf definiálására. A G gráfot úgy kapjuk G-ből, hogy minden csúcsot három 

példányban veszünk fel, és az ij irányított, γ színű élnek megfelelően behúzunk 

az új gráfban három új élt: ikjk+γ (k = 0, 1, 2) modulo 3 számolva. 

Ehhez tartozik egy π : G → G természetes fedőleképezés, ami ik-t i-be, 

ikjk+γ-t ij-be viszi. A fedőleképezés definíció szerint olyan folytonos leképezés, 

amelyre véve a képtér egy elemét, annak létezik olyan nyílt környezete, amely- 

nek ősképe előáll páronként diszjunkt nyílt halmazok uniójaként úgy, hogy π 

minden ilyen nyílt halmazt homeomorf módon képez le. Ez szemléletesen azt 

jelenti, hogy a G gráfot rátekerjük G-re. A π −1 az i fölötti ”fiber”, vagyis i 

ősképeinek halmaza. 

3.2.19. Lemma. [21] Legyen (G, γ) Z/3Z-színezett gráf, G ′ ⊆ G. Ekkor 

ha G ′ Z/3Z-képe triviális, akkor π −1 (G ′ ) megegyezik a G ′ három diszjunkt 

példányával. Ha G ′ Z/3Z-képe nemtriviális, akkor π −1 (G ′ ) összefüggő. 

3.2.20. Lemma. [21] (G, γ) Z/3Z-színezett gráf. Ha G Laman-ritka, akkor 

(G, γ) cone-Laman-ritka. 

Bizonyítás: A bizonyítás kontrapozitív módon történik, tegyük fel, hogy 

(G, γ) nem cone-Laman-ritka. Legyen G ′ ⊆ G, ekkor két esetet kell megkülön- 

böztetni. 

Először tegyük fel, hogy G ′ képe triviális és m ′ ≥ 2n ′ − 2. A 3.2.19 miatt 

π −1 (G ′ ) három diszjunkt másolata G ′ -nek, de ekkor ellentmondást kapunk, 

mert ekkor G nem lesz Laman-ritka. 

A második eset az, hogy G ′ képe nemtriviális és m ′ ≥ 2n ′ . A 3.2.19 miatt 

π −1 (G ′ ) összefüggő és megegyezik a G ′ orbitjaival, így 3n ′ pontja és legalább


6n ′ éle van, ami szintén ellentmondásra vezet. � 

3.2.21. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy Z/3Z-színezett gráf. Ha a G nem 

Laman-ritka, akkor (G, γ) nem cone-Laman-ritka. 

Bizonyítás: A bizonyítás ismét kontrapozitív módon történik. Tegyük 

fel, hogy G nem Laman-ritka. Ekkor tartalmaz egy G ′ Laman-kört, legyen O 

az orbitja. Ismét két esetet különböztetünk meg. 

Először tegyük fel, hogy O három példányú másolata G ′ -nek. Ekkor π(O) 

is egy másolata G ′ -nek triviális képpel, ami megsérti a cone-Laman-ritkaságot, 

tehát ebben az esetben az állítás igaz. 

A másik eset az, hogy O összefüggő, így ∀γ ∈ {0, 1, 2}-re αγ(G ′ ) és 

αγ+1(G ′ ) metszete nemüres. Legyen A = G ∩ α1(G ′ ). Minden páronkénti 

metszet izomorf A-val. Legyen B = G ′ ∩ α1(G ′ ) ∩ α2(G ′ ). Ekkor |E(O)| = 

3|E(G ′ )|−3|E(A)|+|E(B)|. Mivel G ′ Laman-kör, A és B is Laman-ritkák. Így 

a fenti egyenlőség jobb oldala akkor minimális nemüres A és B esetén, ha A és 

B (2,3)-szorosak. Emiatt O-nak kétszer annyi éle van, mint pontja. A 3.2.19 

lemma miatt π(O) képe nemtriviális, tehát megsérti a cone-Laman-ritkaságot, 

vagyis az állítás igaz. � 

3.2.22. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy Z/3Z-színezett gráf. G ′ ⊆ G egy 

cone-Laman merev komponens ⇔ π −1 (G ′ ) egy szimmetrikus (2,3)-komponense 

G-nek. 

Bizonyítás: Következik a 3.2.20 és 3.2.21 lemmákból. � 

3.2.23. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy színezett gráf, Γ = Z/3Z. (G, γ) 

cone-Laman ⇔ G Laman-gráf. 

Sőt, (G, γ) merev komponensei megfelelnek G merev komponenseinek. 

Bizonyítás: Következik a 3.2.20, 3.2.21 és 3.2.22 lemmákból. � 

Tegyük fel, hogy G összefüggő, T feszítőfa r gyökérrel. Pi jelöli az r-ből 

i-be vezető utat T -ben.


3.2.24. Definíció. (ρ Γ-képe) A ρ Γ-képét jelölje σij, amit definiáljunk a 

következőképp. Először számítsuk ki az r gyökérponthoz tartozó értékeket: 

� 

σri = jk∈Pi,elore−el γjk − � 

jk∈Pi,hatra−el γjk. Ezután megadhatjuk a többi pontpárhoz 

tartozó értékeket: legyen σij = σri − σrj, ha j ∈ Pi. Ha σji-t már 

definiáltuk, σij = −σji. 

3.2.25. Lemma. Legyen (G, γ) összefüggő színezett gráf, T gyökeres feszítőfa, 

ij ∈ E(G) − E(T ), és legyen i és j legkisebb közös őse a fában x. Ha C az 

ij-vel vett alapkör T -re, ρ(C) = σxi + γij − σjx. 

3.2.26. Lemma. Legyen (G, γ) összefüggő. Létezik O(n + m) algoritmus an- 

nak eldöntésére, hogy ρ(G) Γ-képe triviális-e. 

3.3. Algoritmusok 

Az elméleti háttér után következzenek a fő kérdéseket megoldó algoritmusok. 

([21]) 

Három fő problémát szeretnénk algoritmikusan kezelni: a merevség tesz- 

telését, nem merev gráf maximális merev részgráfjának meghatározását, va- 

lamint egy gráf maximális részgráfjának keresését adott független hosszkorlá- 

toknak megfelelően. 

3.3.1. Algoritmus annak eldöntésére, hogy ρ(G) triviális-e 

A következő algoritmus segítségével ellenőrizhetjük, hogy ρ(G) triviális-e. 

Input: (G, γ). 

Lépések: 

• T gyökeres feszítő fa keresése. 

• σri kiszámítása ∀ i ∈ V (G)-re.


• ∀ij ∈ E(T )-re T -beli alapkör képének számítása. 

Output: Ha létezik alapkör, amelynek képe nemtriviális, akkor ρ(G) nem 

triviális. Különben ρ(G) triviális. 

Az algoritmus helyessége következik a 3.2.6 lemmából, hiszen az algorit- 

mus épp egy feszítőfa alapköreit vizsgálja meg. 

Futásidő: A feszítő fa keresése O(m) időt vesz igénybe. σri kiszámítása 

O(n) idő alatt történik. Az alapkör képének számítása O(n + m) időben 

történik, mert ennyi időt vesz igénybe a fabeli legkisebb közös ősök megha- 

tározása, utána pedig körönként O(1) idő szükséges. Tehát összesen O(n + m) 

idő alatt ér véget az algoritmus. 

3.3.2. Ross-gráf merev komponenseinek meghatározása 

A következő algoritmus segítségével meghatározhatjuk egy Ross-gráf merev 

komponenseit. 

Input: (G, γ). 

Algoritmus: A ”pebble game”-et fogjuk használni (2,2)- és (2,3)-ritka gráfokra 

párhuzamosan. 

Kezdésként inicializáljuk egyenként a (2,2)- és (2,3)-komponenseket. 

Ezután ∀ij ∈ E(G)-re: 

• Ha ij-t feszíti egy (2,2)-komponens a (2,2)-ritka gráfban, eldobjuk ij-t, 

és a következő éllel folytatjuk. 

• Ha nem feszíti egyik (2,3)-komponens sem, adjuk hozzá az általunk 

épített (2,2)- és (2,3)-ritka gráfokhoz is, és frissítsük a komponenseket. 

• Különben használjuk a (2,3)-”pebble game”-et a legkisebb G ′ (2,3)-blokk 

azonosítására, ami ij-t feszíti. Hozzáadjuk G ′ -höz ij-t és kiszámítjuk a


Z 2 -képét. Ha triviális, eldobjuk ij-t, és a következő éllel folytatjuk. 

• Ha nemtriviális, ij-t a (2,2)-ritka gráfhoz adjuk és frissítjük a kompo- 

nenseit. 

Az outputot a (2,2)-ritka gráf (2,2)-komponensei adják. 

A matroidtulajdonság garantálja, hogy a mohó megközelítés jó eredményt 

ad. Definíció szerint egy Ross-gráf merev komponensei pontosan a (2,2)- 

komponensek. Az első lépés biztosítja, hogy egy (2,2)-ritka gráfot tartunk 

fent, a második és harmadik lépés helyességét a 3.2.14 lemmából látjuk, mivel 

új (2,2)-blokkok létrejöttekor az szükséges, hogy nemtriviális Z 2 -képpel ren- 

delkezzenek. Az utolsó lépés pedig biztosítja, hogy minden lépésben frissítsük 

a merev komponenseket. 

Futásidő: Az első kettő, valamint az utolsó lépés összesen O(n 2 ) időt vesz 

igénybe az algoritmus futása során. A harmadik lépés O(n) időbe telik, és mivel 

Θ(m) iterációban hajtjuk végre, végül egy O(nm)-es, futásidőt kapunk, vagyis 

az algoritmus O(n 3 ) futásidejű. 

3.3.1. Megjegyzés. Ha csak azt akarjuk eldönteni, hogy a gráf merev-e, le- 

állhatunk az első olyan élnél, amit el kell dobnunk. Emiatt, mivel O(n) élünk 

van, a futásidő O(n 2 ) lesz. 

3.3.3. cone-Laman gráf merev komponenseinek meghatározása 

Γ = Z/3Z speciális eset 

A következő algoritmusok segítségével meghatározhatjuk egy cone-Laman gráf 

merev komponenseit. 

Először nézzük azt a speciális esetet, amikor Γ = Z/3Z. 

Input: (G, γ).


gráf. 

• A korábban említett G megkonstruálása. 

• (2,3)-”pebble game” használatával G merev komponenseinek meghatáro- 

zása. 

Output: A G szimmetrikus merev komponenseinek megfelelő G-beli rész- 

Az algoritmus helyessége a 3.2.23 lemmából azonnal következik. 

A futásidő O(n 2 ). 

Γ = Z/kZ általános eset 

Most tekintsük az általános esetet, vagyis legyen Γ = Z/kZ. 

Input: (G, γ) és k. 

Output: a (2,1)-komponensek az általunk épített (2,1)-ritka gráfban. 

Algoritmus: Kezdének (2,1)-, (2,2)- és (2,3)-”pebble game”. 

Aztán ∀ ij ∈ E(G)-re: 

• Ha ij-t feszíti egy (2,1)-komponens a (2,1)-ritka gráfban, eldobjuk ij-t, 

és a következő éllel folytatjuk. 

• Ha ij-t nem feszíti egyik (2,3)-komponens sem, ij-t hozzáadjuk mindhá- 

rom ritka gráfhoz, amit építünk, majd frissítjük a komponenseket, és a 

következő éllel folytatjuk. 

• Ha ij-t nem feszíti egyik (2,2)-komponens sem, ellenőrizzük, hogy a 

Laman-alapkörnek a (2,3)-ritka gráfban nemtriviális-e a Z/kZ-képe. Ha 

nem, eldobjuk ij-t. Különben ij-t hozzáadjuk a (2,1)- és (2,2)-ritka 

gráfokhoz és frissítjük a komponenseket. 

• Különben ij-t nem feszíti egy (2,1)-komponens sem. Megkeressük azt a 

G ′ minimális (2,2)-blokkot, ami feszíti ij-t, és ellenőrizzük, hogy G ′ + ij


Ross-gráffá válik-e bármely él eltávolítása után. Ha igen, ij-t hozzáadjuk 

a (2,1)-gráfhoz. Különben eldobjuk. 

A helyesség bizonyítása a Ross-gráf esetéhez hasonlóan történik a 3.2.18 

lemma alapján. 

Futásidő: Minden iteráció O(n 3 ) időt vesz igénybe, így az algoritmus 

futásideje O(n 5 ) lesz.

4. fejezet 

Matroidelméleti megközelítés 

Ez a fejezet más szemszögből vizsgálja a merevségi kérdéskört, előtérbe kerül a 

merevség mögött meghúzódó matroidstruktúra. Malestein és Theran adott egy 

tételt generikus periodikus szerkezetek minimális merevségéről ([8]), melynek 

egy Shin-ichi Tanigawától származó rövidebb, matroidelméleti bizonyítását is- 

mertetem ebben a fejezetben ([1]). 

4.1. Hányadosgráf 

Az alábbi fejezetben a hányadosgráffal foglalkozunk, amely megfelel az előző 

fejezet színezett gráf fogalmának. 

4.1.1. Definíció. [8] Egy d-periodikus gráf alatt olyan (G, Γ) párt értünk, 

ahol G = (V, E) egyszerű végtelen gráf, minden pont foka véges, Γ ⊂ Aut(G) 

pedig a d-rangú automorfizmusok egy szabad Ábel-csoportja fixpont nélkül, véges 

sok pont-orbittal (és következésképp véges sok él-orbittal). Γ a periodicitási 

csoportja vagy periodicitási rácsa G-nek. 

4.1.2. Definíció. [8] Ekkor a G/Γ = (V/Γ, E/Γ) hányadosgráf az előző fe- 

jezetben már ismertetett színezett gráffal azonos. 

Legyen φ : G → G/Γ fedő leképezés és ρ : H1(G/Γ) → Γ szürjektív 

homeomorfizmus φ-hez, ahol H1(G/Γ) a G/Γ első homológia csoportja egész 

35

FEJEZET 4. MATROIDELMÉLETI MEGKÖZELÍTÉS 36 

együtthatókkal (amely azonosítható a G/Γ ciklikus térrel). Minden információ 

a fedő leképezésről (és fedő térről) elkódolható G/Γ-ba v reprezentáló csúcs 

fixálásával minden [v] pályáról. 

4.1.3. Definíció. Egy digráfot Γ-gain gráfnak (elérési gráfnak) hívunk, ha 

minden [e] össze van kapcsolva egy γ[e] elemmel a Γ csoportból, úgy hogy ∀[e]- 

re γ[e] = −γ[e] teljesül, ahol [e] jelöli [e] megfordítottját. 

4.1.4. Megjegyzés. G/Γ gain-gráf. 

4.1.5. Megjegyzés. � 

[e]∈C γ[e] független a reprezentáló csúcsok választásától 

minden G/Γ-beli C körre. 

4.2. d-periodikus gráf - merevségi bevezető 

Jelölje τ(R d ) a d-dimenziós euklideszi tér eltoláscsoportját. 

4.2.1. Definíció. Egy d-periodikus (G, Γ) gráf elhelyezése R d -ben egy olyan 

p : V → R d és π : Γ → τ(R d ) függvénypár, ahol p injektív leképezés, amely 

minden csúcshoz egy pontot rendel, π injektív homomorfizmusa Γ-nak, továbbá 

p és π kielégíti a periodicitást: 

∀v ∈ V -re és ∀γ ∈ Γ-ra teljesül p(γv) = π(γ)(p(v)). 

Az így kapott rúd-csukló szerkezet: (G, Γ, p, π). 

4.2.2. Definíció. Egy elhelyezés l : E → R súlyokat indukál a gráfon: legyen 

l(uv) = p(u) és p(v) távolsága. 

4.2.3. Definíció. (G, Γ) realizációja l súlyokkal egy olyan (p, π) elhelyezés, 

ami l-t indukálja, azaz a következő rendszer megoldása a periodikusság mellett: 

∀e = uv ∈ E-re < p(v) − p(u), p(v) − p(u) >= l(e) 2 . 

Az egyszerűség kedvéért γ1, . . . , γd bázist választva megfeleltetjük Γ-t 

Z d -vel. Minden γ ∈ Γ egyértelműen kifejezhető a következőképpen: γ = 

� d 

k=1 ck γγk, ahol c k γ ∈ Z. Legyen cγ = (c 1 γ, . . . , c d γ) ∈ Z d .


Minden π-nek megfeleltethető egy d × d-es M ∈ GL(d) mátrix µ1, . . . , µd 

oszlopvektorokkal a következő összefüggés alapján: 

π(γ) = � d 

k=1 ck γπ(γk) = � d 

k=1 ck γµk = Mcγ. 

Tehát a periodicitás miatt p egyértelműen meghatározott, ha minden 

csúcspályáról választunk egy reprezentáló csúcsot, és megadjuk a hozzá tartozó 

pontot. Így minden csúcspályára az elhelyezések tere azonosítható (Rd ) V/Γ × 

GL(d)-vel. A realizációs teret leíró egyenletek rendszere a következő: 

< p(γ[e]v) − p(u), p(γ[e]v) − p(u) >= l(e) 2 , [e] = [u][v] ∈ E/Γ. 

Mivel p(γ[e]v) = p(v)+π(γ[e]) = p(v)+Mce, ahol ce = cγ [e] , ez kifejezhető 

az alábbi módon: 

(∗) < p(v) + Mce − p(v), p(v) + Mce − p(u) >= l(e) 2 , [e] = [u][v] ∈ E/Γ. 

4.2.4. Definíció. A (G, Γ) l súlyok melletti R realizációs tere a fenti egyen- 

lőséget kielégítő elhelyezések altere. 

4.2.5. Definíció. R/E(d) definiálja a C konfigurációs teret, amely az E(d) 

euklideszi tér kvóciens tere. 

4.2.6. Definíció. Egy periodikus szerkezetet merevnek mondunk, ha az elhe- 

lyezése izolált pont C-ben. 

4.2.7. Definíció. A (G, Γ; p, π) periodikus szerkezet infinitezimális mozgásai- 

nak tere R érintőtere (p, π)-ben. 

Feltesszük, hogy (p, π) sima, így differenciálás után a következőt kapjuk: 

< p(v) + Mce − p(u), ˙p(v) + ˙ Mce − ˙p(u) >= 0, [e] = [u][v] ∈ E/Γ-ra. 

4.2.8. Definíció. Ha ˙p kibővíthető R d egy infinitezimális izometriájává, ˙p-t 

triviálisnak nevezzük. 

4.2.9. Definíció. A szerkezet infinitezimálisan merev, ha minden lehetséges 

infinitezimális mozgás triviális.


4.2.10. Definíció. Az R merevségi mátrix egy |E/Γ| × (d|V/Γ| + d 2 )-mátrix, 

amely a (∗)-hoz tartozik. 

4.2.11. Tétel. [1] (G, Γ, ; p, π) infinitezimálisan merev ⇔ R rangja d|V/Γ| + 

d2 − � � d+1 

. 2 

4.2.12. Definíció. Az R(G, Γ) generikus d-merevségi matroid a merevségi 

mátrix sormatroidja generikus elhelyezés mellett. 

4.3. Matroidok 

4.3.1. Matroidelméleti bevezető 

4.3.1. Definíció. Egy µ : 2 E → Z függvényt polimatroid függvénynek neve- 

zünk, ha µ(∅) = 0, µ nemcsökkenő, továbbá szubmoduláris, azaz teljesül rá a 

következő egyenlőtlenség: 

µ(X) + µ(Y ) ≥ µ(X ∩ Y )µ(X ∪ Y ). 

(E, µ)-t polimatroidnak hívjuk. 

µ indukál E-n egy matroidot, melyben azon F ⊆ E-k lesznek függetlenek, 

amelyeknek minden F ′ részhalmazára µ(F ′ ) ≥ |F ′ | teljesül. 

Legyen ˆµ(F ) = max{ � 

e∈F x(e)|x : F → R, ∀F ′ �= ∅ � 

e∈F ′ x(e) ≤ 

µ(F ′ )}. Ez nemcsökkenő szubmoduláris függvény, és átírható a következőképp: 

µ(F ) = min{ � 

1≤i≤k f(Fi)|{F1, . . . , Fk} partíciója F − nek}. 

(E, ˆµ) egy PM(µ) polimatroidot indukál. 

Vezessük be a lineárisan reprezentálható polimatroidok fogalmát. Legyen 

E véges halmaz, valamint tartozzon minden e ∈ E-hez egy Ae ∈ R d lineáris 

altér. Vezessük be a dim : 2 E → Z függvényt a következőképpen: dim(F ) = 

dim{Ae|e ∈ F }. 

4.3.2. Megjegyzés. (E, dim) egy polimatroidot alkot.


4.3.3. Definíció. Ha (E, µ) polimatroid izomorf (E, dim) polimatroiddal va- 

lamely {Ae}-re, akkor az egy lineáris polimatroid. 

4.3.4. Megjegyzés. Lineáris polimatroidok összege is lineáris polimatroid. 

4.3.5. Definíció. Legyen A az R d lineáris altereinek egy véges halmaza. Kor- 

látozzuk A-t egy H generikus hipersíkra (H = {x ∈ R d | < a, x >= 0} valamely 

a ∈ R d -re, ahol a koordinátái algebrailag függetlenek Q fölött). Ezt a műveletet 

Dilworth-csonkolásnak nevezzük. 

4.3.6. Tétel. [13] A legyen R d lineáris altereinek egy családja, H pedig egy 

generikus hipersík R d -ben. 

Ekkor dim{A ∩ H|A ∈ A} = min{ � k 

i=1 (dim{A|A ∈ Ai} − 1}, ahol a minimumot 

A minden {A1, . . . , Ak} partícióján nézzük. 

4.3.2. Matroidok és merevség 

Tekintsük a d-periodikus G gráfot fedő transzformációs Γ csoporttal, és a kap- 

csolódó ρ : H1(G/Γ) → Γ leképezéssel. Láttuk, hogy Γ megfeleltethető Z d -vel. 

Minden F � E-t azonosítsuk F � E/Γ-val, amely az F által indukált G/Γ- 

beli részgráf. Ekkor tekinthetjük H1(F ) → H1(G/Γ) → Γ-t, egybefűzését a 

befoglalásnak és φ-nek. Jelölje dF a H1(F ) képének rangját Γ-ban. 

Tekintsük a g(F ) = nF − ωF , g : 2 E /Γ → Z függvényt, ahol nF jelöli 

az F -beli pontorbitok számát, és ωF jelöli az F -beli összefüggő komponensek 

számát. Ez a G/Γ grafikus matroidjának rangfüggvénye. 

Vezessük be a következő függvényt: f(F ) = nF − ωF + dF , f : 2 E/Γ → Z. 

Ez nemcsökkenő, szubmoduláris függvény, továbbá ∀e ∈ E/Γ-ra f(e) ≤ 1, így 

indukál egy M(f) = (E, f) matroidot. 

Bevezethetünk egy másik G ′ matroidot is E/Γ-n, amely lineáris, és min- 

den [e] ∈ E/Γ-t egy (n + d)-dimenziós vektor reprezentál, amelynek első n 

értéke a reprezentáló csúcsokkal, utolsó d értéke pedig Γ bázisával van megfelel- 

tetve. Az uv élhez tartozó sorban a v-nek megfelelő pozícióban 1, u-nak 

megfelelő pozícióban -1, a többi csúcs helyén 0, γi-nek megfelelő pozícióban 

pedig ci(e) áll. Az ezen vektorokból álló, G-t reprezentáló mátrixot jelölje R:


Ruv = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0, −1, 0, . . . , 0, c1(e), . . . , cd(e)). 

4.3.7. Lemma. A következők ekvivalensek G/Γ = (V/Γ, E/Γ)-ra: bármely 

F � E/Γ-ra 

• (a) F független M(f)-ben; 

• (b) Bármely maximális F ′ erdőre F -ben {ρ(C(F ′ , e)) ∈ Z d |e ∈ F − F ′ } 

lineárisan független R d -ben; 

• (c) F független G ′ -ben. 

Bizonyítás: 

(a) ⇒ (b): Ha (b) nem lenne igaz, akkor |F − F ′ | > dF valamely F ′ 

erdőre. Mivel |F | = |F ′ | + |F − F ′ | > (nF − ωF ) + df, ellentmondásra jutunk, 

hiszen a feltétel szerint |F | = f(F ) = nF − ωF + df-nek kellene teljesülnie. 

(b) ⇒ (c): Minden e ∈ F \F ′ -re vegyük az RF -beli sorokat és összegezzük. 

(Ahol RF jelöli az R F -nek megfelelő részét.) Az így kapott vektorban az 

első |V | koordináta nulla, míg az utolsó d koordináta ρ(C(F ′ , e)). Ez e- 

nek megfelelő sort cseréljük le ezzel a vektorral minden e ∈ F \F ′ -re. Így 

R megváltozott, és blokkonként vizsgálható. A bal felső blokk F incidencia 

mátrixa, ami pontosan akkor sor-független, ha F egy erdő. A bal középső blokk 

nulla. A jobb középső blokk tartalmazza ρ(C(F ′ , e))-t minden e ∈ F \F ′ -re, és 

ez a blokk a feltétel szerint független. Tehát az állítás igaz. 

(c) ⇒ (a): Vegyünk egy nemüres I ⊆ F halmazt, és tekintsük a hozzá 

tartozó sorok részmátrixát. A mátrix magjának dimenziója legalább (n−nF )+ 

(ωF + (d − dF ), ezért |I| ≤ n + d − [(n − nF ) + ωF + (d − dF )] = nF − ωF + dF 

megtartja az RF sor-függetlenségét. � 

Így M(f) lineáris polymatroid, amelyben minden e ∈ E/Γ megfelel egy 

egydimenziós vektortérnek, ahol a vektorok a korábban említett Re vektor αe- 

szeresei: 

Ae = {(0, . . . , 0, αe, 0, . . . , 0, −αe, 0, . . . , 0, c1(e)αe, . . . , cd(e)αe)|αe ∈ R}.


Tekintsük a kétdimenziós szerkezeteket: 

4.3.8. Definíció. (G, Γ) minimálisan merev, ha merev, de bármely él-orbitját 

elhagyva már nem az. 

4.3.9. Tétel. [8] (G, Γ) 2-periodikus gráfra R(G, Γ) = M(2f − 1). Azaz 

(G, Γ) generikusan minimálisan merev ⇐⇒ hányadosgráfjára teljesülnek a kö- 

vetkezők: m = 2n + 1 és minden F � E/Γ-ra |F | ≤ 2(nF − ωF + dF ) − 1. 

Bizonyítás: Tekintsük a PM(2f) = (E, 2f) polimatroidot. PM(f) = 

M(f) = (E, f)-nek van {Ae} lineáris reprezentációja, és így PM(2f)-nek is 

van, mégpedig Ae ⊕ Ae ⊆ (R) 2n+4 . Cseréljük fel a koordináták sorrendjét, 

fésüljük össze őket: az első vektor i-edik koordinátája után a második Ae 

vektor i-edik koordinátája következzen. 

Vegyünk egy generikus (p, π) elhelyezést, és definiáljuk a H ⊆ R 2n+4 

hipersíkot a következőképp: 

H = {(x1, y1, . . . , xn, yn, z1, w1, z2, w2)| � 

[i]∈V/Γ < p(i), (−yi, xi) > + � 

1≤i≤d < 

µi, (−wi, zi) >= 0}. 

Figyeljük meg, hogy (Ae ⊕ Ae) ∩ H egy egydimenziós lineáris tér. Tehát 

R(G, Γ) megkapható PM(2f)-ből Dilworth-csonkolással. Azt kapjuk 4.3.6 

felhasználásával, hogy: 

dim{(Ae ⊕ Ae) ∩ H | e ∈ E/Γ} = 

min{ � 

i (dim{Ae ⊕ Ae | e ∈ Fi} − 1) | {F1, . . . , Fk} partíciója F -nek} = 

min{ � 

i (2 dim{Ae | e ∈ Fi} − 1) | {F1, . . . , Fk} partíciója F -nek} = 

min{ � 

i (2f(Fi) − 1) | {F1, . . . , Fk} partíciója F -nek}, 

ami F rangja PM(2f − 1)-ben. 

Így R(G, Γ) = PM(2f − 1). 

Mivel bármely e-re 2f(e) − 1 ≤ 1, PM(2f − 1) valóban martoid, és 

R(G, Γ) = M(2f − 1). � 

A periodikus szerkezeteket úgy is meg lehet közelíteni, mint a hányados- 

gráf elhelyezését egy tóruszon. Az előző fejezetben láttunk eredményeket fix 

tórusz esetére [21], ebben a fejezetben pedig teljesen változtatható tóruszra


[8]. Azonban az is értelmes kérdés, hogy mi a helyzet, ha a tórusz részlegesen 

változtatható. Ezt az atomi mozgások időbeli skálázása motiválja. Ha a tórusz 

x-irányba változtatható, akkor létezik egy Henneberg-típusú karakterizáció. 

4.3.10. Tétel. [17] Egy színezett gráf generikusan minimálisan merev részben 

változtatható tóruszon ⇔ előállítható egyetlen hurokélből gain-megőrző Henne- 

berg-műveletekkel.

5. fejezet 

Friss eredmények 

Az alábbiakban szerepel néhány új összefüggés, amely a 2. fejezetben is- 

mertetett eredmények és a hányadosgráf kapcsolatáról szól. 

5.1. Tükörszimmetria 

5.1.1. Tétel. [22] Legyen (GS, p) tükörszimmetrikus generikus szerkezet. Ek- 

kor (GS, p) pontosan akkor minimálisan merev, ha GS (2, 3)-kritikus, nincs fix 

pontja, és pontosan egy fix éle van. 

A fix él feltétel és a hányadosgráf kapcsolata következik. Jelölje GS a 

tükörszimmetrikus gráfot, G pedig a hányadosgráfját. Ha GS-nek egy fix éle 

van, akkor |VS| = 2|V | és |ES| = 2|E| − 1. 

5.1.2. Állítás. [11] Ha GS (2,3)-kritikus és egy fix éle van, akkor G (2,1)- 

kritikus, egy hurokéle van, és teljesül ∀X ⊆ E identitáshalmazra, hogy |X| ≤ 

2|V (X)| − 3. 

Az állítás megfordítása nem igaz. 

5.1.3. Állítás. [11] G (2,1)-kritikus, egy hurokéle van, és teljesül ∀X ⊆ E 

identitáshalmazra, hogy |X| ≤ 2|V (X)|−3 ⇔ |E| = 2|V |−3, G (2,2)-ritka, de 

ha X ⊆ E minden orbitból legfeljebb egy pontot fed, akkor |X| ≤ 2|V (X)| − 3. 

43

FEJEZET 5. FRISS EREDMÉNYEK 44 

5.1. ábra. Példa arra, mikor az 5.1.2 állítás második fele teljesül, de az első 

nem. 

5.2. Tükörszimmetria és Diéder-csoport 

A szimmetrikus Henneberg-műveletek során az eredeti merevségi mátrix és 

az orbitmátrix rangja is megőrződik, így Schulze eredményei átdolgozhatók a 

gain-gráfok nyelvére. A következő eredmények erről szólnak: 

Definiálható a CS tükröszimmetriára és a h-hoz tartozó Dh Diéder-cso- 

portra egy ritkaságfogalom, hasonlóan a 3. fejezet Ross-ritkaság és cone- 

Laman-ritkaság fogalmához. Továbbá ebből egy élszámra vonatkozó feltétellel 

kapható a CS-szoros, illetve Dh gráf, hasonlóan a 3. fejezet Ross-gráf és cone- 

Laman-gráf fogalmához. A CS-szoros, illetve Dh gráfokra létezik Henneberg- 

típusú karakterizáció. [6] 

5.2.1. Tétel. [6] (G, Φ) egy CS-szimmetrikus merev szerkezet hányadosgráfja 

⇔ (G, Φ)-nek van CS-szoros részgráfja. 

5.2.2. Tétel. [6] (G, Φ) egy Dh-szimmetrikus merev szerkezet hányadosgráfja 

⇔ (G, Φ)-nek van Dh-szoros részgráfja.

Irodalomjegyzék 

[1] Shin-ichi Tanigawa, A Note on the Generic Rigidity of Periodic Frame- 

works, (kézirat), (2011). 

[2] B. Schulze, Combinatorial and geometric rigidity with symmetry con- 

straints, Ph.D. thesis, York University, Toronto, Canada, (2009). 

[3] L. Henneberg, Die Grapische Statik der starren Systeme, Leipzig, (1911). 

[4] D. Harel, R. E. Tarjan, Fast algorithms for finding nearest common ances- 

tors, SIAM J. Comput., 13:338-355, (1984). 

[5] E. Ross, B. Schulze, W. Whiteley, Finite motions from periodic frameworks 

with added symmetry, International Journal of Solids and Structures 48, 

1711-1729, (2011). 

[6] T. Jordán, V. E. Kaszanitzky, Shin-ichi Tanigawa, Gain-Sparsity and Sym- 

metric Rigidity in the Plane, kézirat, (2012). 

[7] T.-S. Tay, W. Whiteley, Generating isostatic frameworks, Topol. Struct. 

11, 21-69, (1985). 

[8] J. Malestein, L. Theran, Generic combinatorial rigidity of periodic frame- 

works, arXiv:1008.1837v3, (2010). 

[9] J. Malestein, L. Theran, Generic rigidity of frameworks with orientation- 

preserving crystallographic symmetry, arXiv:1108.2518v2, (2012). 

45

IRODALOMJEGYZÉK 46 

[10] B. Schulze, Injective and non-injective realizations with symmetry, Con- 

tributions to Discrete Mathematics, Volume 5, Number 1, 59-89, (2009). 

[11] Kaszanitzky Viktória, kézirat, (2012). 

[12] B. Jackson, Notes on the Rigidity of Graphs, Levico Conference Notes, 

22-26 October (2007). 

[13] L. Lovász, Y. Yemini, On generic rigidity in the plane, SIAM Journal on 

Algebraic and Discrete Methods, 3:91–98, (1982). 

[14] G. Laman, On graphs and rigidity of plane skeletal structures, J. Engi- 

neering Math. 4, 331-340, (1970). 

[15] H. Crapo, On the generic rigidity of plane frameworks, Inst. Nat. Rech. 

en Informatique et Automatique (INRIA), No. 1278, (1990). 

[16] A. Lee, I. Streinu, Pebble game algorithms and sparse graphs, Discrete 

Math., 308(8):1425-1437, (2008). 

[17] A. Nixon, E. Ross, Periodic Rigidity on a Variable Torus Using Inductive 

Constructions, arXiv:1204.1349, (2012). 

[18] Schulze, A. Sljoka, W. Whiteley, Protein Flexibility of Dimers: Do Sym- 

metric Motions Play a Role in Allosteric Interactions?, AIP Conference 

Proceedings of AMMCS, (2011). 

[19] D. J. Jacobs, A. J. Rader, L. A. Kuhn, M. F. Thorpe, Protein Flexibility 

Predictions Using Graph Theory, PROTEINS: Structure, Function, and 

Genetics 44:150–165, (2001). 

[20] B. Roth, Rigid and flexible frameworks, Amer. Math. Monthly 88 (1981), 

no. 1, 6–21. 

[21] M. Berardi, B. Heeringa, J. Malestein, L. Theran, Rigid components in 

fixed-lattice and cone frameworks, Proceedings of the 23rd Annual Cana- 

dian Conference on Computational Geometry, Toronto, Ontario, Canada, 

August 10-12, (2011).

IRODALOMJEGYZÉK 47 

[22] B. Schulze, Symmetric Laman theorems for the groups C2 and CS, The 

electronic journal of combinatorics, 17, (2010). 

[23] B. Schulze, Symmetric Versions of Laman’s Theorem, Discrete and Com- 

putational Geometry (2009), arXiv:0907:1958. 

[24] A. Sartbaeva, S. A. Wells, M. M. J. Treacy, M. F. Thorpe, The flexibility 

window in zeolites, Nature Materials 5, 962 - 965, (2006). 

[25] R. Conelly, P. W. Fowler, S. D. Guest, B. Schulze, W. J. Whiteley, When 

is a symmetric pin-joined framework isostatic?, Int. J. Solids Struct. 46, 

762-773, (2009).

Név: Kis-BenedekÁgnes 

ELTE Természettudományi Kar, szak: 

ETR azonosító: KIAPACT.ELTE 

Szakdolgozat címe: 

NYILATKOZAT 

Szimmetrikusésperiodikusszerkezetekmerevsége 

A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a 

dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és 

idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a 

megfelelő idézés nélkül nem használtam fel. 

AlkalmazottmatematikusMsc 

Budapest, 20 12.05.30. 

_______________________________ 

a hallgató aláírása

Kis-Benedek´Agnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?