szerkezetek szeizmikus terhelése - Műszaki Mechanikai Tanszék ...

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM
Műszaki Mechanikai Tanszék
_____________________________________________________________________
SZERKEZETEK SZEIZMIKUS TERHELÉSE
Modálanalízis alkalmazása
OKTATÁSI SEGÉDLET

Összeállította:
2
dr. Vörös Gábor, egyetemi docens
2004. november

3
TARTALOM
1.Bevezetés: ...................................................................................................................... 4
1.1. Földrengések mértéke ............................................................................................ 4
2. Gyorsulás válaszspektrum ............................................................................................ 7
2.1. Tervezési gyorsulás spektrum.............................................................................. 11
3. Rugalmas rendszerek szeizmikus terhelése ................................................................ 14
3.1. A rendszer mozgása ............................................................................................. 14
3.2. Összegzési szabályok........................................................................................... 18
3.3. Belső erők számítása............................................................................................ 19
3.4. Hatásos tömeg...................................................................................................... 20
3.5. Hiányzó tömeg korrekció..................................................................................... 21
4. Kidolgozott mintafeladatok ........................................................................................ 23
4.1. Két szabadságfokú keret ...................................................................................... 23
4.2. Oszlop, hiányzó tömeg korrekcióval ................................................................... 26
5. Ajánlott irodalom........................................................................................................ 30

1.Bevezetés:
4
Évente átlag öt-hatezer olyan földrengést regisztrálnak, amelyek az épített
objektumokban okozhatnak számottevő károkat. A szerkezetekben a szeizmikus terhelés
következtében kialakuló mechanikai hatások – alakváltozások, igénybevételek – elemzésére
alkalmas eljárásokat a magasabb műszaki kultúrával rendelkező és a földrengésekkel
gyakrabban sújtott országokban – USA, Japán – fejlesztették ki, és a ma általánosan használt,
különböző nemzeti biztonsági és tervezési előírások is ezekre az eredményekre alapulnak.
Bár Magyarország nem tartozik a magas szeizmicitású területek közé, egyes vidékeken
és károsodásuk esetén súlyos katasztrófát okozó rendszerek – például atomerőművek –
tervezésénél és ellenőrzésénél ezeket a vizsgálati módszereket alkalmazni kell.
A földrengések kialakulását leíró elméletek közül a legáltalánosabban elfogadott a
rugalmas átrendeződési mechanizmus elmélete (Ried, 1906). Az elmélet szerint a föld felső,
szilárd kérgét alkotó tektonikus lemezek lassú, de eltérő mozgást végeznek. A táblák mozgása
során, a lemezek széleinek környezetében, a repedések, törésvonalak mentén helyi rugalmas
alakváltozások alakulnak ki. Amikor ezek a deformációk elérnek egy kritikus mértéket, az
alakváltozások hirtelen átrendeződnek és ezzel nagy alakváltozási energia szabadul fel. Ez a
hatás a tektonikus táblákban longitudinális (dilatációs) és tranzverzális (nyíró) hullámmozgás
formájában terjed. A földrengés középpontja – a hipocentrum – általában a törésvonalak
mentén van, ennek helyét a föld felszínén az epicentrum jelöli ki. Mivel a longitudinális és a
tranzverzális hullámok terjedési sebessége különböző, de meghatározható, egy mérési helytől
a hullámok érkezési idő különbségéből az epicentrum helyét meg lehet határozni. A
törésvonallal határos részek az elsődleges mozgás során túllendülhetnek az új egyensúlyi
helyzeten, ami ismételt elcsúszásokat okozhat. Ezek okozzák a főrengést követő, kisebb
utórengéseket. Ez az elmélet az alapja annak az eljárásnak, hogy a jövőben várható rengések
számát és mértékét a múltbeli események statisztikai elemzésével lehet becsülni.
1.1. Földrengések mértéke
Mérnöki szempontból fontos szerkezeti vizsgálatokhoz használható, a talajmozgást
jellemző mérőszámok maghatározása. A régebben használt, ismertebb intenzitás skálák a
tízfokozatú ”Mercalli” (1902), a tizenkét fokozatú ”Módosított Mercalli” vagy ”Mercalli –
Cancini - Sieberg” (1931) és a hét fokozatú ”Japán” intenzitás skálák, amelyek az okozott

5
károk szöveges leírása (az épületeken keletkezett repedések mértéke, stb.) alapján jellemzik a
földrengéseket [1].
A szubjektív észlelésen alapuló intenzitás skáláknál pontosabb, a felszabaduló
energiával arányos mérőszám a ”Richter” (1935) skála szerinti erősség, jele M. Az M erősség
mérőszáma az epicentrumtól 100 km távolságra lévő Wood-Anderson szeizmográf mikronban
mért (10 -6 m) legnagyobb kitérésének tízes alapú logaritmusa. A Wood-Anderson
szeizmográf egy egy-szabadságfokú csillapított lengő rendszer, aminek a lengésideje T = 0,8
sec, a relatív csillapítása ξ = 0,8. Mérési eredmények szerint a földrengés során felszabaduló
E energia és a Richter skála szerinti M erősség kapcsolata:
( )
lg E / E = 11. 8 + 1, 5M .
0
Tehát a felszabaduló energia 32-szeres növekedése a Richter skála szerint egy fokozat
növekedést okoz (10 1,5 ≈ 32). Az eddig észlelt legerősebb rezgés erőssége nem haladta meg
az M = 9 értéket. Az M = 5 alatti rezgések általában már nem okoznak komolyabb szerkezeti
károsodást. A Richter skála mellett még további mérőszámokat is használnak, amelyek
pontosabban jellemzik a felszabaduló energia nagyságát, illetve a földfelszín
hullámmozgásának mértékét, jellegét.
Az intenzitás és erősség mérőszámok a rengés egészét jellemző adatok, ezért a helyi
hatások, az épített szerkezetekben kialakuló alakváltozások, belső erők meghatározására
közvetlenül nem használhatóak. Mivel a földrengés hatására a szerkezetek alapjai a talajjal
együtt mozognak, mérnöki szempontból egy földrengés legfontosabb jellemző paraméterei
közé sorolható a felszíni mozgásokat leíró vízszintes és függőleges irányú talajmozgás-idő,
illetve talajgyorsulás-idő függvény (accelerogram). Ebből, többek között, meghatározható az
amax maximális talajgyorsulás, a rengés időtartama és a domináns frekvencia tartomány.
Új szerkezetek tervezésénél a múltbeli események mérési eredményeit közvetlenül nem
lehet felhasználni, mivel – a tapasztalatok szerint – egy adott helyen még a hasonló erősségű
földrengések során felvett gyorsulás idő függvények is eltérnek egymástól.
Az idő függvényében változó terhelés – támaszmozgás – hatására kialakuló szerkezeti
válaszok, a mozgások, feszültségek szintén változnak az idő függvényében, ezek részletes
számítása, különösen nagyméretű modellek esetén, igen hosszadalmas művelet. Mérnöki
szempontból, a megoldás legfontosabb eredménye általában nem az időbeli változás, hanem a
vizsgált időszakaszban kialakuló maximális értékek, a legnagyobb elmozdulás, reakcióerők,
nyomatékok, vagy a legnagyobb igénybevétel számértéke, illetve ezeknek egy felső becslése.

6
A földrengés során a vizsgált mechanikai modellben kialakuló maximális értékek
közvetlen számítására alkalmas eljárást, a gyorsulás spektrumok módszerét, Biot és Housner
(1941) dolgozták ki.
1. ábra. Az 1989. október 17. (Loma Prieta) földrengés talajmozgásai [6].

2. Gyorsulás válaszspektrum
7
2. ábra. Egy szabadságfokú oszcillátor
Először vizsgáljuk a 2. ábrán látható egy szabadságfokú csillapított lengő rendszert,
aminek a mozgásegyenlete
illetve
( g )
m && u+ && u + d u& + k u = 0
,
&& &
2
u+ 2 ωξ u+ω u =−ag
(2.1)
alakban írható fel, ahol a támasz ismertnek tekintett mozgását az ag =u&& g t gyorsulás
függvény (accelerogram) írja le és u(t) az alaphoz viszonyított relatív elmozdulás. A
csillapítás nélküli rendszer sajátfrekvenciája, a lengésidő és a relatív (Lehr féle) csillapítás
2πd
ω= k / m , T= , ξ=
ω 2ω m
A (2.1) egyenlet megoldása, a nyugalmi, u( t = 0) = 0 és ( )
tömegpont relatív mozgása, a Duhamel integrál alakjában írható fel:
t
1
u t =− a τ exp⋅ −ξ⋅ω⋅t−τsinω t−τd τ .
( ) ( )
() ( ) ( )
A csillapított rendszer frekvenciája
g
ωd τ= 0
∫ d
()
. (2.2)
u& t = 0 = 0 állapotból induló
2
ω d =ω 1−ξ
. Ha ξ > 1, akkor a rendszer túlcsillapított
és a mozgása aperiodikus. A továbbiakban - mivel a valóságos szerkezetek többségénél,
amelyekben nincs koncentrált lengéscsillapító elem, a relatív csillapítás kicsi, ξ ≤ 0,3 -
elhanyagolhatjuk a csillapított és a csillapítatlan rendszer frekvenciája közti különbséget, azaz

8
ωd ≈ ω. Ezzel a közelítéssel élve az elkövetett hiba kisebb, mint 5 %. A nyugalmi helyzetből
induló tömegpont relatív mozgása
t
1 1
u() t =− a g ( τ) exp⋅ −ξ⋅ω⋅( t −τ) sin ω t−τdτ=− V t
ω ∫
ω
τ= 0
( ) ( ) ()
alakban írható fel, ahol V(t) a rendszer pszeudó sebessége. A tömegpont relatív sebességét az
(2.3)
t
u& () t =ξV() t − ∫ a g ( τ ) exp⋅( −ξ⋅ω⋅( t −τ) ) cos ω( t−τ) dτ,
(2.4a)
τ= 0
az abszolút gyorsulását pedig a következő összefüggésből számíthatjuk ki:
t
( ) ( )
() () () ( ) ( )
&& u t + a t =ω V t + 2ξω a τ exp⋅ −ξ⋅ω⋅ t −τ cos ω t−τ dτ
. (2.4b)
g g
τ= 0
∫
Amint az a relatív elmozdulás (2.3) szerinti alakjából kitűnik, egy adott ag(t) talajmozgás
esetén a nyugalmi állapotból induló, egy szabadságfokú rugalmas rendszer mozgása, válasza
csak az ω sajátfrekvenciától és a ξ relatív csillapítás értékétől függ.
Egy szerkezet tervezése illetve ellenőrzése szempontjából fontos eredmény a maximális
relatív elmozdulás. A terhelés teljes időtartama alatt a szerkezet (2.3) szerinti relatív
elmozdulásának maximuma
( () ) ()
( ) v( ) d (
1 1
max u t = max V t = S ω, ξ = S ω, ξ ) , (2.5)
ω ω
ahol Sd az elmozdulás válasz spektrum és Sv a pszeudó sebesség válasz spektrum.
A 2. ábrán látható egyszerű rendszerben a rugóerő, a rugalmas elem igénybevétele a
(2.3) relatív elmozdulás ismeretében a (2.2) felhasználásával számítható:
aminek a maximuma az (2.5) definíció szerint
ahol
1
F t k u t k V t m V t
ω
() = () = − () = − ω ()
( () ) ()
( ) v ( ) a (
max F t = m ω max V t = mωS ω, ξ = mS ω, ξ), (2.6)
t ⎛ ⎞
( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
Sa ωξ , =ω Sv =ω S d =ω max⎜ a g τ exp⋅−ξ⋅ω⋅t −τ sinωt−ττ
⎜ ∫ d ⎟ , (2.7)
⎟
⎝ τ= 0
⎠
,

9
a pszeudó gyorsulás válasz spektrum, vagy röviden a gyorsulás spektrum. A „pszeudó” jelző
itt azt jelenti, hogy az Sa nem pontosan a (2.4b) szerinti abszolút gyorsulás maximuma. A
(2.1) mozgásegyenlet szerint, ha eltekintünk a csillapító erőtől, a tömegpont abszolút
gyorsulásának közelítő értéke:
2
( && u+ ag ) ≅ ω ( x ) =ω Sv = Sa
( ω ξ)
max max ,
Az eddigiekben a (2.5) és (2.7) szerint definiált három válasz spektrum kapcsolata:
2
S= a ω S= v ω S d . (2.8)
Tehát az Sd elmozdulás spektrum a relatív elmozdulás maximumát, az Sa gyorsulás
spektrum az abszolút gyorsulás maximumának közelítő értékét, a gyorsulás spektrum és a
tömeg szorzata pedig a rugalmas elem maximális igénybevételét adja a mozgó talajon álló
rugalmas rendszer frekvenciájának és csillapításának függvényében. A spektrumokat
különböző források vagy az ω sajátfrekvencia, vagy a T = 2π/ω lengésidő függvényében adják
meg.
A gyorsulás spektrum számítását szemlélteti a 3. ábra, ahol a gyakran idézett, M = 7,1
erősségű El Centro (California, 1940. május 18.) földrengés alkalmával mért egyik ag(t)
talajgyorsulás komponensből a (2.7) numerikus integrálásával számolt Sa (T, ξ) spektrumok
láthatóak. Itt az alsó ábra a több mérési eredmény feldolgozása alapján átlagolt simított
spektrumokat mutatja.
A gyorsulás spektrum egy fontos tulajdonságát lehet megmutatni a következő példán.
Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor a támaszgyorsulást az
ag = amax sinαt
egyszerű harmonikus függvény írja le. A (2.1) mozgásegyenlet megoldása:
{ exp sin cos sin cos ⎤}
a max
u() t = D 2
ω
2 2 ( −ξωt) ⎡
⎣
β( β + 2ξ −1) ω t+ 2ξβ 2
ω t⎤ ⎡
⎦
+
⎣(
1−β ) αt−2ξβ αt
⎦
D
1
α
, = .
= β 2 2
ω
2 ( 1−β ) + ( 2ξβ)
.

10
3. ábra. A gyorsulás spektrum származtatása

11
Ha a rendszer k merevsége, és ezzel az ω frekvenciája is nagy az α értékéhez képest, akkor
β→0 és D→1. A tömegpont relatív mozgása ilyenkor
amax amax
u() t ≈ Dsin α t = sinαt
2 2
ω ω
alakú lesz. A gyorsulás spektrum határértéke a definíció szerint
( , ) ( , )
S ω→∞ ξ = S T →0 ξ =a max . (2.9a)
a a
Ez az eredmény szemlélet alapján is belátható, ugyanis a merev rendszer a támasszal együtt
mozog és a rugóban kialakuló maximális igénybevétel az mamax tehetetlenségi (inercia) erő.
Másrészről, ha rendszer merevsége kicsi és ezért a β→∞, akkor
és a gyorsulás spektrum másik határértéke
2.1. Tervezési gyorsulás spektrum
u( t) ≈ 0
,
( , ) ( )
S ω→0 ξ = S T →∞, ξ = 0.
(2.9b)
a a
A (2.9a) tulajdonsága alapján a különböző gyorsulás spektrumokat normálni lehet,
például az amax = 1 m/sec 2 , vagy az amax = g (g = 9,81m/sec 2 ) értékre. Már meglévő,
különböző erősségű talajmozgásokból készített simított és normált gyorsulás spektrumok
tanulmányozása során megfigyelték, hogy azok alakja hasonló, a mérési helyre jellemző. A
spektrumok felső burkolója a tervezési gyorsulás spektrum, ami felhasználható az adott
helyen lévő szerkezetek tervezéséhez vagy utólagos ellenőrzéséhez.
Az esetek többségében – például az alacsony szeizmicitású országokban - nincs
elegendő mérési eredmény a telephelyi tervezési gyorsulás spektrum meghatározásához. A
tárggyal foglalkozó szabványok, biztonsági előírások megbízható mérési adatok hiányában
egy normál spektrum alkalmazását javasolják. Az IAEA (Nemzetközi Atomenergia
Ügynökség) és az ASME (USA) tervezési előírásaiban szereplő normál gyorsulás spektrumok
láthatóak a 4. ábrán. Ezek előállításánál az átlagoláshoz négy amerikai földrengés adatait
használták: El Centro (1934), El Centro (1940), Olympia (1949) és Taft (1952).

Sa/amax
Sa/amax
6
5
4
3
2
1
0
6
5
4
3
2
1
0
12
(Hz) ξ=0,005 ξ=0,02 ξ=0,05 ξ=0,1
0 0 0 0 0
0.25 0.8 0.63 0.52 0.43
2.5 5.95 4.25 3.13 2.28
9 4.96 3.54 2.61 1.9
33 1 1 1 1
Vízszintes gyorsulás spektrum
0.1 1 10 100
Hz
4a. ábra. Vízszintes irányú gyorsulás spektrum
(Hz) ξ=0,005 ξ=0,02 ξ=0,05 ξ=0,1
0 0 0 0 0
0.35 0.54 0.42 0.34 0.28
2.5 5.67 4.05 2.98 2.17
9 4.96 3.54 2.61 1.9
33 1 1 1 1
Függőleges gyorsulás spektrum
0,005
0,02
0,05
0.1 1 10 100
Hz
4b. ábra. Függőleges irányú gyorsulás spektrum
0,1
0,005
0,02
0,05
0,1

13
A normál tervezési gyorsulás spektrumok alkalmazása Magyarországon is elfogadott.
Használatához azonban még egy fontos adatra van szükség, a várható földrengés maximális
talajgyorsulására. Ezt múltbéli eseményeknek statisztikai módszerekkel, történő elemzésével
lehet meghatározni. A vizsgálat eredményeként megállapítható, hogy mi a „P” valószínűsége
egy adott szintű földrengés egy éven belüli előfordulásának. Példaként, a magyarországi
szeizmológiai viszonyokhoz hasonló adottságú angliai területre érvényes eredményt mutat az
5. ábra. Ebből megállapítható, hogy az ábra érvényességi területén, egy berendezés tervezett
élettartama alatt mekkora a talajmozgás gyorsulásának a várható legnagyobb értéke.
Atomerőművekben a nukleáris folyamatot szabályozó berendezéseket, a nemzetközi
biztonsági előírások szerint, a 10 4 évente egyszer várható legnagyobb szintű földrengéssel
szemben is ellenállóvá kell tervezni. Az 5. ábrából a logP = -4 értékhez amax ≈ 0,25 g
maximális szabad földfelszíni gyorsulás tartozik.
5. ábra Szeizmikus valószínűségi görbe

14
3. Rugalmas rendszerek szeizmikus terhelése
A következőkben megvizsgáljuk, hogy az egy szabadságfokú rendszer kapcsán definiált
gyorsulás spektrum hogyan használható a több szabadságfokú lineáris rendszerek
vizsgálatánál. A lineárisan rugalmas mechanikai rendszerek mozgásegyenlete valamilyen
diszkretizációs eljárást – például az energetikai szélsőérték elvek direkt eljárásait, a véges
elemek módszerét vagy a Ritz módszert – követve az
MU&& + DU& + KU = P(t)
differenciál egyenletrendszer alakjában irható fel, ahol U(t) a rendszer mozgását leíró
paraméterek (szabadságfokok vagy csomóponti elmozdulások, forgások) vektora és P(t) a
külső terhelések vektora. Az M, D és K a rendszer tömeg, csillapítás és merevségi
(szimmetrikus) mátrixai, méretük NxN, ha N a rendszer szabadságfoka.
Legyen a mechanikai rendszer terhelése a rögzített pontok ismert Ug mozgása, a
támaszmozgás vagy talajmozgás és U a támaszokhoz viszonyított relatív mozgás. Ezzel a
mozgásegyenlet:
3.1. A rendszer mozgása
( g )
M U&& + U&& + DU& + KU = 0.
(3.1)
A támaszmozgás ismert és irányonként független gyorsulásai a három globális koordináta
irányában aX(t), aY(t) és aZ(t). Jelölje RX , RY és RZ a hatásmátrixokat. Ezek a rendszer
mozgását leíró U vektorok, ha a rögzített támaszpontokban az előírt kényszermozgás az X, Y
és Z irányú egységnyi (dimenziótan) statikus elmozdulás.
Ha a földrengés hullámhossza jóval kisebb, mint a vizsgált szerkezet horizontális mérete,
akkor feltételezhetjük, hogy a támaszok azonos mozgást végeznek. (Talajviszonyoktól
függően a szeizmikus hullámok átlagos terjedési sebessége 1000-2000 m/sec, a domináns
frekvencia 2-5 Hz, hullámhosszuk 500-1000 m körüli.)
Azonos támaszmozgás esetén az RX , RY, RZ hatásmátrixok a rendszer koordináta tengelyek
irányú, merevtestszerű mozgásait írják le. Például, ha a támaszok mindegyikének az
elmozdulása az X, Y és Z irányokban ug, vg, wg, akkor az egész rendszer abszolút mozgása
Ug = ugRx + vgRy + wg
z
R . (3.2)

15
A hatásmátrixok felhasználásával a (3.1) mozgásegyenlet:
[ a (t) a (t) a (t) ]
MU&& + DU& + KU = − M R + R + R . (3.3)
X X Y Y Z Z
Ezt az N egyenletből álló kapcsolt differenciálegyenlet rendszert bizonyos feltételek
teljesülése esetén, célszerű transzformációval, a modálanalízis ismert módszerével N
független egyenletté lehet alakítani. Ehhez először meg kell határozni az
M U&
& + KU
= 0 csillapítás nélküli szabad (homogén) rendszer mozgásegyenletének
N
∑
i=
1
U (t) = Φ
i
sin( ω
alakú periodikus megoldását. Az itt megjelenő Φi sajátvektorokat (lengésképeket) és ωi
frekvenciákat alábbi sajátérték feladat megoldása adja:
2 [ K M ω ] Φ = 0
− i i
i
t)
, i = 1, 2, .., N , ω1 ≤ ω2 ≤ ... ≤ ωN. (3.4)
Ismeretes, hogy a sajátvektorok a merevségi és tömegmátrixokra ortogonálisak,
T
Φ M Φ = δ M , Mi a modális tömeg , (3.5a)
i
j
ij
i
T
Φ K Φ = δ K , Ki a modális merevség , (3.5b)
i
j
ij
i
ahol δij = 1 ha i = j és δij = 0 ha i≠j. Tételezzük fel, hogy ez az ortogonalitás a csillapítási
mátrixra is teljesül:
δ D = Φ D Φ i , Di a modális csillapítás. (3.5c)
T
i j ij
Ez utóbbi feltételezés biztosan teljesül, ha a csillapítás Rayleigh típusú, azaz D = a K + b M.
A most meghatározott Mi, Ki, és Di modális mennyiségek számértéke függ a Φi
sajátvektorok kiszámítási módjától, illetve normálásától is. A sajátvektorok lehetnek
egységvektorok, de előírhatjuk azt is, hogy a sajátvektor legnagyobb abszolút értékű
koordinátája legyen egységnyi, vagy például azt, hogy a sajátvektorok legyenek a
tömegmátrixra normáltak. Ez utóbbi esetben a (3.5a) szerinti modális tömegek értéke Mi = 1.
A normálás módjától függetlenül, mindig érvényesek az alábbi összefüggések:
2
Ki = ω i M i , Di = 2 ξ i M i ωi
, (3.6)
ahol a dimenziótan ξi a relatív modális csillapítás (vagy a Lehr féle csillapítás), aminek értéke
0 ≤ ξi ≤ 1 ha a mozgás periodikus.

16
Visszatérve az általános (3.1) mozgásegyenlethez, annak megoldását most már az alábbi
formában keressük,
N
U(t) = ∑Φ
jY j(t)
. (3.7)
j1 =
Ha ezt a feltételezett megoldást a (3.1) egyenletbe helyettesítjük, majd azt megszorozzuk
ballról valamelyik Φi T sajátvektorral (itt T a transzponálás jele), akkor a (3.5) ortogonalitási
tulajdonságok miatt az eredeti kapcsolt egyenletrendszer szétesik a következő független
egyenletekre:
MY&& + DY& + KY = P,
i = 1, 2,....,N , (3.8)
i i i i i i i
ahol a Pi(t) modális erő a (3.3) mozgásegyenlet jobb oldalából származik:
P(t) = Φ P(t)
=
T
i i
[ ]
=− Φ M R a (t) + R a (t) + R a (t) =−L a (t) −L a (t) −L
a (t) .
T
i X X Y Y Z Z iX X iY Y iZ Z
Az X, Y és Z irányú modális gerjesztési faktorok:
iX
T
i
X
iY
T
i
Y
iZ
T
i
Z
(3.9)
L = Φ M R , L = Φ M R , L = Φ M R . (3.10)
A (3.8) egyenletben, mivel az lineáris és a szuperpozíció elve alkalmazható, a továbbiakban
csak egy irányú (például X) talajmozgás hatásának számítását részletezzük:
ami a (3.6) összefüggések felhasználásával az
MY&& + DY& + KY = −La
(t) ,
i iX i iX i iX iX X
L
Y&& + Y& 2ξω + Y ω = − a (t) , i = 1, 2, ...., N , (3.11)
2 iX
iX iX i i iX i
Mi
X
alakban is felírható. A homogén kezdeti (indításkor a rendszer nyugalomban van,
elmozdulása és a sebessége is zérus) feltételekhez tartozó partikuláris megoldás a (2.3)
alapján a
L L
Y (t) ∫ a (t) exp(-ξ ω(t τ)) sin(ω (t τ)) dτ V (t) (3.12)
iX
iX
=−
Miωi t
τ= 0
X i i − i − =
iX
−
Miωi iX
Duhamel integrálból számítható, ahol ViX(t) jelöli a modális pszeudó sebességet.

17
A pszeudó sebességnek a terhelés teljes időtartamán vett maximális értéke a (2.5) és (2.7)
definíciók alapján:
1
max V (t) = S ω ,ξ ) , (3.13)
[ ] (
iX aX i i
ωi
ahol SaX(ωi ,ξi) jelöli az X irányú szeizmikus terhelést jellemző gyorsulás spektrumot.
Fontos megemlíteni, hogy az (3.3) kapcsolt differenciálegyenlet rendszer csak akkor
transzformálható az (3.8) független egyenletekbe, ha a csillapítási mátrixra vonatkozó (3.5c)
ortogonalitási feltétel is teljesül. Lényeges továbbá, hogy a (3.4) sajátérték feladat növekvő
sorrendbe rendezett ωi sajátértékeihez – bizonyos esetekben, a Pi(t) gerjesztés tulajdonságaitól
is függően – a (3.12) szerint csökkenő Yi(t) függvények tartoznak, ezért az eredő megoldás
számításánál – nagyságrendi megfontolások alapján – rendszerint elegendő a rendszer N
szabadságfokánál jóval kevesebb, csak n < N modális komponenssel számolni. Például, ha a
4. ábra szerinti tervezési gyorsulás spektrumokat használjuk, akkor csak a 0 – 33 Hz
tartományba eső frekvenciákat és lengésképeket használjuk a további szeizmikus
számításoknál. Magas, toronyszerű szerkezeteknél gyakran még az n = 1 is elfogadható
eredményt ad.
Az X irányú talajmozgás következtében a rendszer (3.7) szerinti eredő – a támaszokhoz
képest relatív – mozgása
L
U U Φ Φ iX , (3.14a)
n n n
iX
X(t) = ∑ iX(t) = ∑ iY iX(t) = −∑
i V (t)
i= 1 i= 1 i= 1 Miωi ahol a modális mozgás komponensek
L
U (t) = Φ Y (t) = −Φ
V (t) . (3.14b)
iX i iX i
iX
Miωi iX
A terhelés teljes időtartama alatt a modális komponensek maximuma a (3.13) felhasználásával
⎡ L ⎤
iX LiX
UiX = max[ UiX (t) ] = max ⎢ΦiV iX (t) ⎥ = ΦiS 2 aX ( ωi, ξ i ) = A iX Φ i , (3.15)
⎣ Miωi ⎦ Miωi ahol AiX jelöli a modális amplitúdót:
L
A = S (ω ,ξ ) . (3.16)
iX
iX
2
Miωi aX i i
A (3.14b) szerinti Nx1 méretű UiX vektor elemei a rendszer szabadságfokainak legnagyobb
értékei, a modális amplitúdók.

3.2. Összegzési szabályok
A terhelés időtartama alatt a mozgás legnagyobb értéke az eredő mozgás maximuma:
18
X = max[ n ⎡
X (t) ] = max ⎢∑ i= 1
⎤
iX (t) ⎥ = SUM [ AiX
i
U U U Φ ] . (3.17)
⎣ ⎦
Itt a SUM nem algebrai összegzést jelöl, mivel a tagonkénti maximumok összege nem
feltétlenül azonos az összeg maximumával. A probléma abból adódik, hogy a modális
komponensek maximum számításánál, a (3.15) egyenletből az idő változó, és ezzel az egyes
modális komponensek fáziskülönbsége is eltűnt. Mivel az összegzés pontos és általános
definícióját nem lehet megadni, az alább felsorolt közelítő formulákat használják. A
továbbiakban az U = SUM(Ui) definícióban jelölje UK és Ui,K a vektorok k-adik koordinátáit.
Abszolút értékek összegzése:
Az eredő értéke az amplitúdók abszolút értékének az összege:
n
K = ∑ i K
i
(3.18a)
U U ,
Ez a módszer túl konzervatív, mert a maximális értékek, kitérések biztosan nem egy időben
jelentkeznek.
Négyzetes összegzés (SRSS, Square Root Sum of Squares)
K =
n
2
∑ i K
i
(3.18b)
U U ,
Az SRSS módszer a legáltalánosabban elterjedt. Azon a feltevésen alapul, hogy a modális
komponensek egymástól teljesen függetlenek. Azt az esetet leszámítva, mikor a frekvenciák
nagyon közel vannak egymáshoz, jó becslést ad.
Az abszolút és a SRSS összegzés kombinációja
A kétféle összegzési eljárás egyik lehetséges, egyszerű kombinációja
n
2
K = ( − ) i, K +
max ∑ i, K
i
U 1 c U c U
. (3.18c)
ahol a c paraméter értéke 0,0 és 1,0 közötti, egyéb megfontolás vagy előírás alapján
meghatározható.

19
NRL (Naval Research Laboratory) összegzés
Ennél az összegzési eljárásnál kiválasztjuk a legnagyobb ⏐Ui,K⏐max abszolút értékű
koordinátát és ezt kiegészítjük a többi négyzetes (SRSS) összegével:
R
K
n
2
2
= Ri,
K + ∑ Ri,
K − Ri,
K . (3.18.d)
max
Teljes négyzetes összegzés (CQC, Complete Quadratic Combination)
i
Ez az eljárás figyelembe veszi a frekvenciák "távolságát" és a modális csillapításokat is:
ahol
n n
max
U = ∑∑ U ⋅U ⋅ρ , (3.18.e)
ρ =
K i, K j,
K ij
i= 1 j= 1
( )
8⋅ξ ⋅ 1+ r ⋅r
2 3/ 2
2 2
( 1− r ) + 4⋅ξ ⋅r⋅ ( 1+ r)
ij 2 2
ami két frekvencia közti kapcsolatot fejez ki és r = ωj/ωi . Ha a frekvenciák nagyon távol
vannak egymáshoz (ωi >> ωj, r→0) , akkor ez az összegzés az SRSS összegzésbe megy át, ha
pedig a két frekvencia nagyon közel van egymáshoz (azaz, r→1) , akkor az amplitúdók
abszolút értékének összegét adja.
Az előzőekben felsorolt szabályok valamelyike szerint összegezzük egy adott irányú
támaszmozgáshoz tartozó modális komponensek maximumait. Több irányú támaszmozgás
esetén a (3.17) szerinti, irányonkénti maximumokból mindig a négyzetes összegzés (SRSS)
szerint határozzuk meg az eredő maximumot:
3.3. Belső erők számítása
n
2 2 2
( )
U = ∑ U + U + U . (3.19)
i iX iY iZ
i= 1
A belső erők számítását a (3.14) elmozdulás vektor alapján végezhetjük el. Az UX(t)
vektorból megszerkeszthető a vizsgált rendszer egy elemének U e X(t) elmozdulás vektora és
ezzel a belső erők – mivel a szerkezet anyaga lineárisan rugalmas – a következők szerint
számolhatóak:
e e e
e e LiX
P X (t) = k U X (t) = k Φi
ViX
(t) . (3.20)
M ω
n
∑
i=
1
i
i
,

20
A k e mátrix a szerkezeti elem elmozdulás – belső erők transzformációs mátrixa. Végeselem
modell esetén, egyes elemtípusoknál ez az elem merevségi mátrixa. A fenti, (3.20)
kifejezésben a (k e Φi e ) vektor azt a belső erőt, igénybevételt vagy feszültség eloszlást jelöli,
amely a Φi vektorral (lengésképpel) leírható statikus elmozdulás során alakul ki az elemben.
Ez a belső erő vagy feszültség a statikai számításhoz hasonló algoritmus szerint számolható.
A terhelés időtartama alatt kialakuló legnagyobb belső erő komponensek értéke a (3.15)
elmozdulás maximumokhoz hasonlóan számítható:
n
e e ⎡ e e L ⎤ iX
e e
PX = max X(t) max i V iX(t) SUM ⎡ iA⎤
⎣
⎡P ⎦
⎤ = ⎢∑k Φ ⎥ =
iX
i= 1 Miω ⎣
k Φ
⎦
, (3.21)
⎣ i ⎦
ahol AiX jelöli a (3.16) szerinti modális amplitúdót. Az igénybevételek, feszültségek modális
maximumainak összegzését a mozgásokhoz hasonlóan a (3.18) szabályok valamelyike, majd
az irányonkénti összegzést a (3.19) formula szerint végezzük el.
3.4. Hatásos tömeg
A rendszerre ható külső (tehetetlenségi) erők eloszlása a (3.1) mozgásegyenlet szerint,
ha a csillapító erőket figyelmen kívül hagyjuk:
( ) ( g )
P t = Μ U&& −U&& ≈KU.
Egyelőre csak az X irányú támaszmozgás hatását vizsgálva, az erők vektora a (3.14)
elmozdulásokkal, mivel a (3.4) szerint K Φi =M Φi ωi 2 , a következő alakba írható:
L L
P (t) K U (t) K Φ V (t) M Φ ω V (t) ∑ PiX(t)
.
n n
n
iX iX
X = X = ∑ i iX = ∑ i i iX =
i= 1 Miωi i= 1 Mi
i= 1
Az X irányú támaszmozgás következtében kialakuló PiX(t) modális erő eloszlás maximuma, a
szabadságfokonkénti amplitúdók vektora (3.13) szerint
⎡ L ⎤ L
⎢ ⎥
⎣ ⎦
iX iX
P = max ⎡P (t) ⎤ = max M Φ ω V (t) = M Φ S ( , )
⎣ ⎦
iX iX i i iX i aX i i
Mi Mi
ami a (3.16) modális amplitúdókkal kifejezve
alakban is felírható.
T
iX i AiX i
2
= ω
ω ξ , (3.22a)
P Φ M (3.22b)

21
Az X irányú támaszmozgás következtében kialakuló PiX modális erőeloszlás X irányú
PiX eredője, a (3.2) egyenletnél is felhasznált merevtestmozgást leíró Rx hatásvektort és a
modális gerjesztési faktorok (3.10) definícióját felhasználva:
ahol
2
L L
P = = S ω ξ = S ω ξ = m S ω , ξ , (3.18)
T T iX iX
R P R M Φ ( , ) ( , ) ( )
iX X iX X i aX i i aX i i iX aX i i
Mi Mi
L
m = (3.23)
2
iX
iX
M i
a hatásos, más szóval az effektív modális tömeg.
Tételezzük fel, hogy a vizsgált rendszer támaszpontjai X irányban állandó gyorsulással
mozognak, azaz a gyorsulás spektrum SaX = aX = állandó. Ilyenkor a tehetetlenségi erők
eredője - ha M a szerkezet összes tömege - MaX. Ennek a pontos értéke n = N esetén:
amiből
N N N 2 ⎛ L ⎞ iX
Ma X = PiX = miXa X =⎜ ⎟ a
i= 1 i= 1 ⎝ i= 1M i ⎠
µ
∑ ∑ ∑ X
1 ⎛
⎜
M ⎝
N
X = ∑
i=
1
m
iX
⎞
⎟ = 1
⎠
(3.24)
következik. Ha a számításokhoz felhasznált sajátfrekvenciák és sajátvektorok száma n < N,
akkor µX < 1. A µX, és a hasonló módon értelmezett µY, és µZ felhasználható az elhagyott
frekvenciák hiánya következtében fellépő hiba becslésére.
3.5. Hiányzó tömeg korrekció
Gyakran előfordul, hogy a szeizmikus számításoknál felhasznált lengésképek, frekvenciák n
száma jóval kisebb, mint a (3.2) számítási modell N szabadságfokainak száma. Végeselem
számításoknál az N szabadságfokok, és ezzel a (3.4) szerinti frekvenciák és lengésképek
száma több ezer is lehet. Ha ebből csak az első n számú lengésképet használjuk, akkor a
hiányzó tagok számítási hibát okoznak. A hiba eredete az, hogy egy modális mozgás során a
rendszer teljes tömegének csak egy része aktív. A további számításból kihagyott modális
komponensekkel aktivizálható, mozgatható tömeg részek hatása hiányzik az eredményekből.
A hiányzó tömeg számítása alapján becsülhető a hiba, illetve a szükséges korrekció mértéke.

22
Az X irányú támaszmozgáshoz tartozó PiX modális erő eloszlás (3.22a) szerint
Írjuk fel ezt az erőt a következő alakban:
L
P = M Φ S ω ξ .
( , )
iX i
iX
Mi
aX i i
( )
P = M R S ω , ξ ,
iX i X aX i i
ahol RXSaX a rendszer X irányú, egyenes vonalú, állandó gyorsulású mozgásához tartozó
gyorsulás eloszlás mátrix és Mi a modális tömeg mátrix. A PiX fenti két alakjának azonossága
alapján, felhasználva a modális gerjesztési faktorok (3.10) definícióját, egyszerűen belátható,
hogy a szimmetrikus modális tömeg mátrix a következő módon írható fel:
( )( ) T
1
M = ⎡ MΦ MΦ ⎤ . (3.25)
⎣ ⎦
i i i
Mi A hiányzó tömegek mátrixa a számítások során figyelembe vett, aktív tömegek összege és a
modell teljes tömegének a különbsége:
n
∑
Mm = M− M i . (3.26)
A (3.10) alapján könnyen igazolható, hogy a (3.23) effektív modális tömeg és a (3.25)
modális tömegmátrix kapcsolata
i= 1
m = R Μ R .
iX
T
X i X
Külön kérdés, hogy a hiányzó tömegekhez milyen gyorsulás érték tartozik. Ha a 4. ábra
szerinti gyorsulás spektrumot használjuk, és a részletes számítást a 0-33 Hz tartományba lévő
frekvenciákkal és lengésképekkel végeztük el, akkor hiányzó ωi ≥ 33 Hz frekvenciák
mindegyikhez a spektrum állandósult, amax határértéke tartozik. Ebben az esetben a hiányzó
tömegekből származó tehetetlenségi erők eloszlása a
PmX = MmR Xa X max
(3.27)
szerint számolható. Hasonló összefüggés írható fel az itt nem részletezett Y és Z irányú
támaszmozgásokra is.

4. Kidolgozott mintafeladatok
4.1. Két szabadságfokú keret
L
Z
L
X
m
q2
q1
23
Adatok:
L = 1000 mm
E = 10 5 MPa
Iy = 10 4 mm 4
ρ = 0
m = 10 kg = 10 -2 Nsec 2 /mm
ζ = 0.05
aXmax = 2 m/sec 2
aZmax = 1 m/sec 2
Az ábra szerinti keretszerkezet azonos L hosszúságú rúdjainak tömege zérus, hajlító
merevsége IyE/L 3 = 1 N/mm. A síkbeli szerkezetet olyan vízszintes és függőleges irányú
szeizmikus mozgás terheli, melynek gyorsulás spektrumai legyenek a 4a és 4b ábra szerintiek.
A két szabadságfokú rendszernek a mozgás, a merevségi és a tömegmátrixai a következők:
⎡q⎤ 6 ⎡8 3⎤ ⎡1 0⎤
1 −2
2
U = ⎢ (mm) , (N/mm) , 10 (Nsec mm)
q
⎥ K = =
/
2
7
⎢
3 2
⎥ M ⎢
0 1
⎥
.
⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡1⎤ ⎡0⎤
A vízszintes és a függőleges hatásmátrixok (3.2): RX = ⎢ , Z =
0
⎥ R ⎢
1
⎥ .
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A (3.4) sajátérték feladat megoldásával a frekvenciák és a lengésképek (sajátértékek és
sajátvektorok) a következők lesznek:
ω1 = 8,057 rad/s = 1,28 Hz , ω2 = 28,14 rad/s = 4,48 Hz ,
⎡−0, 414⎤ ⎡ 1 ⎤
Φ1 = ⎢ ,
2 =
1
⎥ Φ ⎢
⎣ ⎦ ⎣0,
414
⎥
⎦
A vízszintes (X) és függőleges (Z) gyorsulás spektrumok értéke a 4.a és 4b ábrák
táblázataiban a ζ = 0.05 relatív csillapítás számoszlopaiból lineárisan interpolálva:
SaX(ω1,ζ) = 3,157 aXmax = 6317 mm/sec 2 , SaX(ω2,ζ) = 5,678 aXmax = 11296 mm/sec 2 ,
SaZ(ω1,ζ) = 2,759 aZmax = 2759 mm/sec 2 , SaZ(ω2,ζ) = 5,678 aZmax = 5453 mm/sec 2 .

A modális tömegek (3.5a) értékei:
24
2
M = Φ MΦ = 0, 01171 Nsec / mm , M = Φ MΦ = 0, 01171 Nsec / mm
T 2 T
1 1 1 2 2 2
Az X és Z irányú (3.10) modális gerjesztési faktorok:
2
L = Φ MR = -0,00414 Nsec /mm , L = Φ MR = 0,001 Nsec /mm ,
T 2 T
1X 1 X 2X 2 X
2
L = Φ MR = 0,001 Nsec /mm , L = Φ MR = 0,00414 Nsec /mm .
T 2 T
1Z 1 Z 2Z 2 Z
A (3.16) modális amplitúdók:
L
A = S (ω ,ξ )= -34,393 mm , A = 12, 182 mm,
1X
1X
2
M1ω1 aX 1 1 2X
L
A = S (ω ,ξ )= 36,295 mm , A = 2, 434 mm,
1Z
1Z
2
M1ω1 aZ 1 1 2Z
A terhelés teljes időtartama alatt a modális mozgáskomponensek maximumai (3.15):
⎡ 14, 25 ⎤ ⎡12, 17⎤
U1X = A 1X Φ1 = ⎢ (mm) , 2X A 2X 2 (mm) ,
34, 39
⎥ U = Φ = ⎢
5, 04
⎥
⎣−⎦ ⎣ ⎦
⎡−15, 03⎤ ⎡2, 43⎤
U1Z = A 1Z Φ1 = ⎢ (mm) , 2Z = A 2Z 2 = (mm) .
36, 28
⎥ U Φ ⎢
1, 01
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A modális komponensekből az irányonkénti összegek a (3.18b) négyzetes összegzés szerint:
⎡ 2 2
14, 25 + 12, 17 ⎤ ⎡18,74⎤ ⎡15, 22⎤
UX = ⎢ ⎥ = ⎢ (mm) , Z (mm) ,
2 2
34, 39 5, 04 34,76
⎥ U = ⎢
36, 29
⎥
⎢
⎣ + ⎥
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
majd a kétirányú támaszmozgás eredője (3.19) összegzési szabály szerint:
U
⎡ ⎤
=
⎣ 34, 76 + 36, 29
= ⎢
⎦
⎥
2 2
18, 74 + 15, 22 ⎡24, 14 ⎤
⎢ ⎥ (mm) .
⎢ 2 2 ⎥ ⎣50, 25⎦
Az U koordinátái nem azonos időpillanathoz tartozó értékek, hanem a q1, q2 mozgások
abszolút értékének a szeizmikus terhelés teljes időtartama alatti maximumai.
A (3.23) hatásos (effektív) modális tömegek és ezek irányonkénti (3.24) összege:
L L
2 2
m1X 1X 2X
= = 0, 00146 , m2X =
M1 M2
= 0, 00854 , m1X + m2X 2
= 0, 01 Nsec mm
L L
/ ,
2 2
m1Z 1Z 2Z
= = 0, 00854 , m 2Z =
M1 M2
= 0, 00146 , m1X + m2X 2
= 0, 01 Nsec mm
/ .

25
A modális tömegek összege azonos az eredeti tömeggel, mert most az összes lengésképet és
frekvenciát felhasználtuk a szeizmikus számításnál, azaz N = n = 2, és nincs hiányzó tömeg.
A vízszintes (X) támaszmozgás során a szerkezetre ható modális erő eloszlás (3.22b) – ami
most az m tömegpontra ható erőket jelenti – és az ábra szerint a befogásnál a reakció
nyomatékok:
T 2 ⎡ 925 , ⎤
P1X = Φ1 M A 1Xω 1 = ⎢ (N) , M 1X ( 9, 25 22, 33) L 31580 Nmm ,
22, 33
⎥
= + =
⎣−⎦ T 2 ⎡96, 42⎤
P2X = Φ2 M A 2Xω 2 = ⎢ (N) , M2X = ( 96, 42 − 39, 94) L = 56480 Nmm .
39, 94
⎥
⎣ ⎦
Ezekkel az X irányú gerjesztéshez tartozó komponensek (3.18b) négyzetes összege:
P
⎡ ⎤
2 2
9, 25 + 96, 42 ⎡96,86⎤ 2 2
X = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥(N)
, MX = 31580 + 56480 = 64710 (Nmm) .
2 2
⎢ 22, 33 39, 94 ⎥ ⎣45,75 ⎣ + ⎦ ⎦
Fontos itt is megemlíteni, hogy míg az egyes modális komponensekre vonatkozó eredmények
önmagukban egyensúlyi rendszert alkotnak, az összegzett eredményekre ez már nem igaz. Az
összegzett erőrendszer azért nem egyensúlyi, mert az erő/nyomaték komponensek nem
egyidejű mennyiségek, hanem a mozgás teljes időtartama alatti maximumok abszolút értékei.
M1X
P1X
9,25 N
22,33 N
M2X
P2X
96,42 N
39,94 N
PX
± 64710 Nmm
± 96,86 N
± 39,94 N
Hasonló módon, a függőleges (Z) támaszmozgáshoz tartozó erők és a reakció nyomatékok:
T 2 ⎡−976 , ⎤
P1Z = Φ1 M A 1Zω 1 = ⎢ (N) , M1Z 33300 Nmm ,
23, 55
⎥
=
⎣ ⎦
T 2 ⎡19, 28⎤
P2Z = Φ2 M A 2Zω 2 = ⎢ (N) , M2Z = 11290 Nmm ,
798 ,
⎥
⎣ ⎦
valamint a komponensek négyzetes összege:

P
26
⎡21,61⎤ = ⎢ (N) , M = 35170 (Nmm) .
24,87
⎥
⎣ ⎦
Z Z
Végül az X és Z irányú támaszmozgásokból számítható (3.19) eredő erő és reakció nyomaték
P
⎡ ⎤
2 2
96,86 + 21, 61 ⎡99,24⎤ 2 2
= ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥(N)
, M Z = 64710 + 35170 = 73650 (Nmm) .
2 2
⎢ 45,75 24, 87 ⎥ ⎣52,08 ⎣ + ⎦ ⎦
4.2. Oszlop, hiányzó tömeg korrekcióval
A 2L magasságú, állandó A keresztmetszetű oszlop terhelése csak vízszintes, X irányú
szeizmikus mozgás, melynek gyorsulás spektruma az ábrán adott.
Adatok:
L
L
u2, φ2
u1, φ1
Z
X
2
1
SaX/amax
1 5 6 Hz
L = 1000 mm, A = 1200 mm 2 , Iy = 10 4 mm 4 ,
E = 10 5 MPa , ρ = 8000 kg/m 3 = 8. 10 -9 Nsec 2 /mm 4 ,
aXmax = 1 m/sec 2
Az oszlop végeselem modellje két rúdelemből áll. A síkbeli hajlított rúdelem ismert
merevségi és tömegmátrixaival a négy szabadságfokú számítási modell szimmetrikus
merevségi és a tömegmátrixai a következők lesznek:
3
u1 ⎡ 48 0 24 12 . 10 ⎤
96 , 0 0 0
⎡ ⎤ − ⎡ ⎤
⎢ ⎢ 6 3 6 ⎥
ϕ
⎥ ⎢
1 0 16.10 -12. 10 4. 10
3 0 0 0 0
⎥
−
U = ⎢ ⎥ , K = ⎢ ⎥ , M = 10 ⎢ ⎥.
3 3
⎢u⎥ ⎢ 2
-24 −12
. 10 24 -12. 10 ⎥
⎢ 0 0 4, 8 0⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
ϕ ⎢12 . 10 4. 10 −12
. 10 4. 10 ⎥ ⎣ 0 0 0 0⎦
3 6 3 6
⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦
⎡1⎤ ⎢
0
⎥
A vízszintes hatásmátrix (3.2): R X = ⎢ ⎥ .
⎢1⎥ ⎢ ⎥
⎣0⎦

27
A további számításokhoz a négy szabadságfokú rendszernek csak az első lengésképét és
frekvenciáját használjuk fel, azaz N = 4, n = 1:
Φ 1 = 4, 288 0, 00745 13, 098 0, 00949 .
ω1 = 11,389 rad/s = 1,81 Hz , [ ] T
Ez a sajátvektor a tömegmátrixra normált, ezért most a (3.5a) szerinti modális tömeg:
M = Φ MΦ = 1.
1
T
1 1
A vízszintes (X) gyorsulás spektrumok értéke az ábra szerint:
SaX(ω1) = 2 aXmax = 2000 mm/sec2 .
Az X irányú (3.10) modális gerjesztési faktor, a (3.16) modális amplitúdó és a modális
mozgáskomponensek (3.15) maximumai rendre a következők:
2
L = Φ MR = 104,035 10 Nsec / mm
1X 1X 1
T -3
1X 1 X
L
A = S (ω )= 1,604 mm ,
1X
1X
2
M1ω1 aX 1
[ ] T
, , , ,
U = A Φ = 6 878 0 01195 21 011 0 01522 .
Az oszlop felső pontjának a talajhoz viszonyított legnagyobb, relatív elmozdulása 21,011 mm.
A vízszintes (X) támaszmozgás során a szerkezetre ható (3.22b) terhelés eloszlás és a
befogásnál a reakció erő és nyomaték értéke:
T 2
1X 1 1X 1
1X 1X
A (3.23) hatásos modális tömeg:
[ ] T
, ,
P = Φ M A ω = 8 57 0 13 08 0 ,
F =21,65 N , M =2 L 13,08 + L 8,57 = 34730 Nmm .
L
= = ,
m1X 2
1X
M1
2
0, 0108 Nsec / mm
ami kisebb, mint a szerkezet összes M = 0,0192 Nsec 2 /mm tömege, azaz µX = m1X/M = 0,56.
A hiányzó tömeg hatását a 3.5. fejezetben leírtak szerint korrigáljuk. A (3.25) szimmetrikus
modális tömegmátrix:
.

és a hiányzó tömegek (3.26) mátrixa:
28
( )( ) T ⎡1, 695 0 2, 588 0⎤
⎢
1
3 0 0 0 0
⎥
−
M1= ⎡ MΦ1 MΦ ⎤
1 = 10 ⎢ ⎥ ,
M ⎣ ⎦ ⎢ 1
2, 588 0 3, 593 0⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 0⎦
⎡ 7, 905 0 −2,
588 0⎤
⎢
0 0 0 0
⎥
⎢ ⎥
⎢−2, 588 0 1, 207 0⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 0⎦
−3
Mm = M− M 1 = 10
.
A hiányzó tömeggel arányos (3.27) tehetetlenségi erő eloszlás és a befogásnál a reakció erő és
nyomaték értéke, mivel aXmax = 1000 mm/sec 2 :
mX mX
[ ] T
PmX = MmRXaXmax = 5, 32 0 −1,
38 0
F = 3, 94 N , M = 2 L (-1,38)+ L 5,32 = 2560 Nmm
Végül a P1X és PmX komponensek (3.18b) összege:
P1X
13,08 N
8,57 N
21,65 N
34730 Nmm
X
[ ] T
10, 08 0 13, 15 0
P =
,
F = 22, 00 N , M = 34820 Nmm .
X X
PmX
1,38 N
5,32 N
3,94 N
2560 Nmm
.
PX=P
± 13,15 N
± 10,08 N
± 22,00 N
± 34820 Nmm
Itt most nem részletezzük, de az eddigiek alapján könnyen elvégezhető a rendszer 2.
lengésképével és frekvenciájával is a modális erő komponens számítása. A számítás
eredménye:
Φ
2 = 9,262 0, 00137 −6, 064 −0,
0237 .
ω2 = 58,666 rad/s = 9,34 Hz , [ ] T

T 2
2X 2 2X 2
2X 1X
29
[ ] T
, ,
P = Φ M A ω = −174
0 5 32 0 ,
F =3,58 N , M =2 L (-1,74) + L 5,32 = 1840 Nmm .
Ezzel a P1X és P2X komponensek (3.18b) összege:
X
[ ] T
10, 08 0 13, 20 0
P =
,
F = 21, 94 N , M = 34780 Nmm .
X X
A kétféle módon meghatározott eredmény között csak kis eltérés van.
.

5. Ajánlott irodalom
1. Bisztricsányi Ede, ”Mérnökszeizmológia” Akadémiai Kiadó, 1974.
2. Csák B., Hunyadi F., Vértes Gy.: Földrengések hatása az építményekre,
Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981.
3. Ludvig Gy.: Gépek dinamikája, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973.
30
4. Wiegel, R.L.: Earthquake Engineering, Prentice Hall, 1970.
5. Clough, R. W., Penzien, J.: Dynamics of Structures, McGrawHill, Inc.1975.
6. Farzad Naeim: The Seismic Design Handbook, Van Nostrand Reinhold, 1989.