vektorok, tenzorok - Műszaki Mechanikai Tanszék - Budapesti ...

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM
Műszaki Mechanikai Tanszék
_____________________________________________________________________
VEKTOROK ÉS TENZOROK
OKTATÁSI SEGÉDLET

2
___________________________________________________________________________
Összeállította:
dr. Vörös Gábor, egyetemi docens, 2003. szeptember
módosítva: 2005. január

3
___________________________________________________________________________
TARTALOM
1. Az összegzési konvenció........................................................................................................ 4
1.1. Vektorok szorzása ........................................................................................................... 5
2. Másodrendű tenzor, a lineáris vektor-vektor függvény ......................................................... 7
2.1. Tenzorok szorzása......................................................................................................... 10
3. Transzformációk................................................................................................................... 11
4. Tenzor sajátértékei, a skalár invariánsok ............................................................................. 13
5. Görbevonalú koordináta rendszerek..................................................................................... 14
5.1. A kovariáns derivált ...................................................................................................... 16
5.2. Differenciálási szabályok .............................................................................................. 17
5.3. Hengerkoordináta rendszer ........................................................................................... 19
6. Ajánlott irodalom ................................................................................................................. 22

4
___________________________________________________________________________
1. Az összegzési konvenció
1
e1
3
e3
e2
R
2
1. ábra
Az 1. ábra szerinti derékszögű – Descartes féle – koordináta rendszer három tengelyének
irányát az e1, e2 és e3 egységvektorok, más szóval a bázisvektorok jelölik ki. Ha a koordináta
tengelyeken mért ívhosszak x1, x2, és x3, akkor a P pont R helyvektora
P
F
3
∑
k=
1
R = x e + x e + x e = x e ,
1
és egy, a P ponthoz kötött F vektor pedig a következő módon irható fel:
1
2
2
3
3
3
∑
k=
1
F = F e + F e + F e = F e ,
1
1
2
2
ahol az Fi skalár mennyiségek az F vektor koordinátái. A továbbiakban az ilyen
kifejezésekben az összegzés Σ jelét elhagyjuk, és megállapodunk abban, hogy a két azonos
latin betű index – a néma indexpár – egy szorzat kifejezésen belül összegzési utasítást jelent.
Az összegző indexek értékének felső határa térbeli feladatoknál 3. Természetesen, mivel nem
az indexként felhasznált betű konkrét formája, hanem az indexpár megjelenése utal az
összegzésre, bármely kis vagy nagy latin betű felhasználható. Ezek szerint, az összegzési
konvenció alkalmazásával az F vektor röviden az
alakban is felírható.
k
3
k
3
p
p
k
k
k
k
F = F e = F e
(1)
Ha egy szorzat kifejezésben több néma indexpár is szerepel, akkor az többszörös összegzést
jelent. Például három néma indexpárral egy huszonhét tagú összeg irható le röviden a
következő formában:
3
∑∑∑
a b c d = a b c d .
ijk
i
j
k
3
3
i=
1 j=
1 k=
1
ijk
i
j
k

5
___________________________________________________________________________
Ilyen esetekben ügyelni kell arra, hogy a néma indexekhez már felhasznált betűjelet ne
használjuk még egyszer, mert akkor az összegzési konvenció elveszíti az egyértelműségét.
Ha azt akarjuk, hogy egy kifejezésben a néma indexpár ne jelentsen összegzést, akkor egyik
indexet egy megkülönböztető jellel, aláhúzással, „kizárjuk”. Ezek szerint az a ke k nem az (1)
szerinti a vektor, hanem annak csak a k-adik vektorkomponense. A bázisvektor k indexe
ilyenkor szabad index, a koordináta k indexe pedig zárt.
A most bevezetett indexes jelölés nagy előnye a tömörebb leírás mellett az, hogy formálisan
szétválasztottuk a vektort két részre, a skalár koordináták és a bázis egységvektorok
szorzatára. Ez a vektor és tenzor algebra és analízis körében elvégzendő számításokat
jelentősen leegyszerűsíti, lerövidíti.
A kontinuumechanika körében gyakran használják együtt az alsó és felső (kovariáns és
kontravariáns) indexet. Erre akkor van szükség, ha a koordináta rendszerünk nem mindig
derékszögű. A továbbiakban kizárólag a mérnöki gyakorlatban fontos ortogonális
rendszereket használunk.
1.1. Vektorok szorzása
A következőkben röviden összefoglaljuk a vektorok körében ismert szorzási szabályokat. Ha
felhasználjuk az (1) összegzési konvenciót, akkor a vektorok különböző szorzatait csak az
ortogonális bázis egységvektorok között kell értelmezni, mivel a skalár koordináták szorzata
egyértelmű.
A. Skalár szorzat: Két bázis egységvektor szorzata a kétindexes Kronecker szimbólum:
δ
ij
= 1
ha
e
i
⋅ e
j
i = j
= δ
és
ij
,
δ
ij
= 0
ha i ≠
Ezzel két tetszőleges a és b vektor skalár szorzata a következő módon irható fel:
a ⋅ b = (a e ) ⋅ (b e ) = a b ( e ⋅e
) = a b δ = a b = a b + a b + a b .
i
i
j
j
i
j
i
j
A kilenctagú összegnek csak a három nem feltétlenül zérus tagja van. A továbbiakban
gyakran felhasználjuk a Kronecker szimbólumnak a definíciójából következő indexcserélő
szerepét:
j
i
ij
j
ij
i
i
i
1
1
j.
2
2
3
3
(2)
b δ = b . (3)
Ha kikötjük, hogy a Kronecker szimbólum két indexe legyen mindig azonos, akkor az
összegzési konvenció alkalmazásával belátható, hogy
δii 11 22 33
= δ + δ + δ = 3 . (4)

6
___________________________________________________________________________
B. Vektor szorzat: Két bázis egységvektor vektor szorzatát a permutációs szimbólum
segítségével írjuk fel:
e × = . (5a)
p eq
e pqr e r
A vektor szorzat tulajdonságaiból következik, hogy az epqr ferdén szimmetrikus, azaz két
szomszédos index felcserélése előjelváltást jelent és értéke zérus, ha bármely két, vagy mind a
három index azonos. A zérustól különböző hat érték:
Az a és b vektorok vektorszorzata:
e123 312 231
213 321 132
= e = e = + 1 , e = e = e = −1
.
(5b)
c = a× b = (a e ) × (b e ) = ab( e × e ) = abe e =
i i j j i j i j i j ijk k
= (a b − a b ) e + (a b − a b ) e + (a b − a b ) e = c ek
.
2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3 k
A huszonhét tagú összeg többi huszonegy tagja a permutációs szimbólum (5b) definíciójából
következően zérus.
Az eddigiek felhasználásával számítsuk ki a bázis egységvektorok kettős vektor szorzatát:
Másrészről, a vektoralgebrából ismert
kifejtési tétel alapján:
n
n
( e j × e k ) = e n × ( e jkt e t ) e jkte
ntp e p
e × = .
( b × c)
= b(
a ⋅ c)
− c(
a b)
a ×
⋅
( e j × e k ) = e j(
e n ⋅e
k ) − e k ( e n ⋅e
j ) = e jδ
nk e kδ
nj
e × − .
Mivel a kétféle módon kiszámolt eredmény azonos,
e e e = e δ − e δ .
jkt
ntp
p
Fontos, hogy az egyenlőség mindkét oldalán ugyanazok a j, k, n szabad indexek szerepelnek.
Mivel ezek lehetséges értéke 1, 2 és 3, ez az egy sorban felirt egyenlőség elvileg huszonhét
egyenlőséget fejez ki, továbbá a bal oldalon - a t és p néma indexpárok lehetséges értékeit
számba véve – kilenc, illetve az index érték azonosságát kizárva, hat tagú összegek
szerepelnek.
Szorozzuk meg a fenti egyenlőség mindkét oldalát skalárisan az es bázis egységvektorral:
jkt
ntp
ps
j
js
nk
e e δ = δ δ − δ δ .
Az (3) és a permutációs szimbólum indexsorrendjére vonatkozó (5b) szabály alapján az
egyenlőség bal oldala átalakítható:
jkt
snt
nk
js
nk
k
ks
nj
nj
e e = δ δ − δ δ . (6a)
ks
nj

7
___________________________________________________________________________
Ha kikötjük, hogy ebben az egyenlőségben a k és n szabad indexek legyenek azonosak, akkor
a (3) és (4) felhasználásával:
továbbá, a j és s indexek azonosságából
következik.
Három vektor vegyes szorzata:
e e = δ δ − δ δ = 3δ
− δ = 2δ
, (6b)
jkt
skt
js
kk
ks
kj
js
js
e jkt e jkt = 2δ
jj = 6
(6c)
( b × ) = a ib
jc
ke
ijk
a ⋅ c
. (7)
Ha ez a vegyes szorzat nem zérus, akkor a három vektor nincs egy síkban, más szóval
lineárisan függetlenek. A vegyes szorzat eredménye geometriailag úgy is értelmezhető, mint a
három vektor által meghatározott párhuzamos oldalélű test (paralel epipedon) térfogata. Az
ortogonális bázisvektorok – egységvektorok - vegyes szorzata az (5) permutációs szimbólum
( p × eq
) ⋅e
r = e pqr
e .
C. Diadikus szorzat: Két vektor (a b) diadikus – vagy általános – szorzata definíció szerint
legyen a következő tulajdonságú:
( ab) ∗ c = a(
b ∗ c)
, c ∗ ( ab)
= ( c ∗ a)b
js
, (8)
ahol a * jel helyére bármelyik szorzás – a skalár vagy a vektor szorzás - jelét írhatjuk. Például
( a b)
⋅ c = a ( b ⋅ c)
, c ⋅ ( ab)
= ( c ⋅ a)
b vagy ( ab)
× c = a(
b × c)
általában (a b)≠ (b a).
2. Másodrendű tenzor, a lineáris vektor-vektor függvény
. Ez alapján nyilvánvaló, hogy
A (8) definíció alapján számítsuk ki az a1 és b1 vektorok diádjának és az r helyvektornak a
jobb oldali skaláris szorzatát:
( a1b
1 ) ⋅ r = a1(
b1
⋅ r)
a1b1kx
k
R = = .
Látszik, hogy itt az R vektor, az r irányától függetlenül, mindig párhuzamos az a1 vektorral.
Ez tehát egy olyan lineáris homogén függvénykapcsolat az R és r vektorok között, ami a b1
vektorra merőleges sík pontjaihoz – ahol a b1 és az r skalár szorzata azonos - az a1 irányú
egyenesen ugyanazt a pontot rendeli. Az ilyen függvény elfajuló (nem invertálható), abban az
értelemben, hogy a háromméretű teret egyméretű altérre – egy egyenesre – képezi le.

8
___________________________________________________________________________
Bővítsük fenti szorzatot még egy diáddal úgy, hogy az a1 és a2, valamint a b1 és b2 vektorok
ne legyenek párhuzamosak, azaz a1×a2 ≠ 0, b1×b2 ≠ 0:
[ ( a b ) + ( a b ) ] ⋅ r = a ( b ⋅ r)
+ a ( b r)
R ⋅
= 1 1 2 2
1 1 2 2
Most az R vektor az a1 és a2 vektorok által meghatározott síkban van. Ez a kibővített lineáris
függvény a b1 és b2 vektorokra merőleges síkok metszésvonalán lévő pontokhoz az a1, a2
vektorok síkjában egy pontot rendel, vagyis a háromméretű teret egy kétméretű altérre, síkra
képezi le.
Ezek után már könnyen belátható, hogy a legáltalánosabb lineáris homogén vektor-vektor
függvény három diád összegeként adható meg:
[ ( a b ) + ( a b ) + ( a b ) ] ⋅r
= a ( b ⋅r
) + a ( b ⋅r
) + a ( b r)
R ⋅
= 1 1 2 2 3 3
1 1 2 2
3 3 ,
feltéve, hogy az ak és bk vektorok lineárisan függetlenek, más szóval az (7) vegyes szorzatuk
nem zérus: a1.(a2×a3) ≠0 és b1.(b2×b3) ≠0.
A továbbiakban, ha a bk vektorok helyett az ek bázis egységvektorokat alkalmazzuk, az (1)
összegzési konvenció és az ak = apkep azonosság felhasználásával:
ahol
[ ( a e ) + ( a e ) + ( a e ) ] ⋅r
= ( a e ) ⋅r
= ( e e ) ⋅r
= A r
R = 1 1 2 2 3 3
k k a pk p k ⋅ , (9a)
A = a e e
(9b)
egy másodrendű tenzor és apk az A tenzor 3×3 méretű mátrixa, p a sor és k az oszlop
sorszáma. Az ak vektorok az A tenzor mátrixának oszlopvektorai:
[ ]
⎣ pk⎦ 1 2 3 ⎢ 21 22 23⎥
⎢⎣ a31 a32 a ⎥ 33 ⎦
pk
p
k
⎡a11 a12 a13
⎤
⎡a ⎤ = a a a =
⎢
a a a
⎥
. (9c)
Egy tenzor által leirt leképzés, a lineáris vektor – vektor függvény – tehát akkor nem elfajuló,
ha az ap oszlopvektorok lineárisan függetlenek, más szóval az (7) vegyes szorzatuk nem
zérus. Az oszlopvektorok vegyes szorzata a tenzor determinánsa:
det
( A)
= a ⋅ ( a × a ) = a a a e ⋅ ( e × e ) = a a a e ⋅ ( e e )
1
= a
k1
a
2
p2
a
q3
3
e
pqs
δ
k1
ks
p2
= a
k1
q3
a
k
p2
a
q3
p
e
pqk
q
= a
k1
a
k1
p2
a
p2
q3
e
q3
.
kpq
k
.
pqs
s
=
(10a)
A tenzor oszlopvektor sorrendjének cseréjével a determináns értéke nem változik, csak
esetleg az előjele. Például
( ) 1 ( 2 3) 1 ( 3 2)
det A = a ⋅ a × a = −a ⋅ a × a .

9
___________________________________________________________________________
A hat lehetséges oszlopvektor sorrend eredményét egyben, az (5b) felhasználásával felírva
( )
e det A = a a a e . (10b)
rst kr ps qt kpq
Ha ennek az egyenletnek mindkét oldalát megszorozzuk az erst szimbólummal, akkor a (6c)
eredmény helyettesítése után az A tenzor determinánsának kiszámítására alkalmas
összefüggést kapunk:
Elfajuló leképzésnél det(A) = 0.
1
det ( A ) = akrapsaqtekpqerst . (10c)
6
Ha apk az A tenzor mátrixa, akkor akp az A T transzponált mátrixa. Az A szimmetrikus, ha
és ferdén szimmetrikus (aszimmetrikus), ha
pk
kp
T
a = a , A = A , (11a)
pk
kp
T
a = −a
, A = −A
. (11b)
Minden másodrendű tenzor felbontható egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus részre:
T T
( ) ( )
1 1
A = A+ A + A− A = E+ Ω
2 2
( ) ( )
1 T T 1
T T
E = A+ A = E , Ω = A− A = −Ω,
2 2
1 1
E pq = (a pq + a qp) , Ω pq = (a pq −a qp) = −Ωqp,
2 2
ahol az E szimmetrikus az Ω pedig aszimmetrikus tenzorok. Mivel az aszimmetrikus tenzor
főátlójában lévő elemek értéke mindig zérus, annak csak három zérustól különböző eleme
lehet. Ha ezt a három elemet egy ω vektor három koordinátájának tekintjük, akkor a
permutációs szimbólum (5b) és az aszimmetrikus tenzor (11b) tulajdonságainak hasonlósága
alapján belátható, hogy minden aszimmetrikus tenzor felírható a következő alakban is:
⎡ 0 −ω3 ω2
⎤
Ωpq = ωe i iqp = −ωie ipq , ⎡Ω ⎤ pq =
⎢
3 0
⎥
⎣ ⎦ ⎢
ω −ω1⎥
⎢−ω ω 0 ⎥
⎣ 2 1 ⎦
Ebből az egyenlőségből kifejezhetjük az ωi vektort, ha mindkét oldalt megszorozzuk az ejpq
permutációs szimbólummal. A (6b) felhasználásával
amiből
Ω e = −ω
e e = −ω
2δ ,
pq
jpq
i
ipq
jpq
i
ij
,
.
(12)

10
___________________________________________________________________________
1
ω Ω e
2
j =− pq jpq
, (13)
következik. Az ω vektor az Ω tenzor – illetve a (12) kapcsolat alapján az A tenzor – vektor
invariánsa:
1
ω j =− Apqe jpq ,
2
1 1 1
ω 1 = ( A32 −A 23) , ω 2 = ( A31 −A 13) , ω 3 = ( A21 −A
12)
.
2 2 2
A szimmetrikus E tenzor vektor invariánsa zérus, mivel egyszerűen belátható, hogy
E pq e jpq
=
0 .
Az I egységtenzor mátrixa a (2) Kronecker delta:
( δ e e ) ⋅ ( e ) = δ a δ e = a e a
I a = a = . (14)
⋅ kt k t s s kt s ts k k k
A (9b) definícióban az A másodrendű tenzor, ahol a másodrendű szó a bázisvektorok számára
utal. Ebből kiindulva kézenfekvő az általánosítás, például egy negyedrendű tenzor
C = C e e e e
alakban irható fel. Ennek a negyedrendű tenzornak 81 skalár koordinátája van.
2.1. Tenzorok szorzása
pqrs
A vektoroknál használatos szorzási műveleteket a (8) definíció és az összegzési konvenció
alapján most már a tenzorokra is kiterjeszthetjük. Ezek közül nézzünk néhány, a továbbiakban
is gyakran előforduló esetet.
Egy tenzor és egy vektor jobb oldali skalár szorzatának eredménye egy vektor:
( a e e ) ⋅ ( b e ) = a b e ( e ⋅ e )
c = A ⋅ b =
= a b δ e = a b e
pk
p
k
s
s
c
p
pk
s
= a
ahol felhasználtuk a Kronecker szimbólum (2)-(3) tulajdonságait. A bal oldali skalár szorzat
d = b ⋅ A = a b e , d = a b .
Ha az A szimmetrikus, azaz asp = aps , akkor c = d.
Egy tenzor és egy vektor jobb oldali vektor szorzatának eredménye egy tenzor:
sp
( a e e ) × ( b e ) = a b e ( e × e )
C = A × b =
= a b e e e
c
s
= a
p
p
ps
p
b
q
s
k
b e
ahol megjelent az (5) szerinti permutációs szimbólum.
pk
p
k
s
pt
s
pk
pk
s
s
,
r
kst
p
p
,
s
s
k
sp
pk
s
s
s
ks
pk
p
s
kst
ps
p
s
t
,
p
,
,

11
___________________________________________________________________________
Két tenzor skalár szorzata egy ugyanolyan méretű tenzor:
( a e e ) ⋅ ( b e e ) = a b e ( e ⋅e
)
C = A ⋅ B =
e = a b δ e e = a b e e
pk
p
k
tm
t
m
pk
c
pm
tm
p
= a
Két tenzor kettős skalár szorzata egy skalár szám:
( a e e ) ⋅⋅(
b e e ) = a b ( e ⋅e
)( e ⋅ )
c = A ⋅⋅B
=
e
pk
p
k
tm
t
m
pk
tm
c = a
Két tenzor vektor szorzata egy harmadrendű tenzor:
( a e e ) × ( b e e ) = a b e ( e × e )
c
= a
pk
pk
b
k
b
b
k
km
kp
e
t
.
.
t
.
m
p
m
pk
tm
= a
pk
kt
b
p
tm
δ
m
kt
δ
pm
pk
= a
C = A × B =
e = a b e e e e
pk
p
A harmadrendű tenzornak 27 skalár koordinátája van.
k
tm
Egy tenzor és két vektor jobb és baloldali skalár szorzata egy skalár szám:
t
m
psm
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
pk
pk
c = ⋅ ⋅ = b ⋅ a ⋅ d = b a d ⋅ ⋅ = b a d δ δ ,
b A d rer pkepek ses r pk s er ep ek es r pk s rp ks
3. Transzformációk
E1
E3
E2
tm
tm
p
kts
c = b a d .
a
r rs s
2. ábra
Gyakran szükség van arra, hogy egy vektor vagy egy tenzor koordinátáit különböző
ortogonális koordináta rendszerekben kell megadni. A koordináták átszámítása, vagy
transzformációja a bázis egységvektorok kapcsolatából következik.
A 2. ábra szerint jelölje EQ a kiinduló, vagy eredeti, és ep az új rendszer bázis egységvektorait.
Az egyszerűbb megkülönböztetés miatt az eredeti rendszerre vonatkozó koordinátáknál és
indexeknél használjuk a nagy betűs, míg az új rendszerben a kisbetűs jelöléseket.
Természetesen, ez eddig használt összegzési konvenció mindkét rendszerben változatlan
formában érvényes. Induljunk ki abból, hogy ismerjük az új bázis egységvektorokat, mint az
eredeti bázis egységvektorok lineáris kombinációit:
e1
k
e2
e3
t
m
e = . (15)
p t pQ EQ
pk
tm
kts
p
s
km
pk
m
b
,
p
kp
,
m
,

12
___________________________________________________________________________
Ha ennek az egyenletnek mindkét oldalát skalárisan megszorozzuk az EK vektorral,
figyelembe véve, hogy E Q ⋅ E K = δQK
a (12) szerinti Kronecker szimbólum, a transzformáció
mátrixának kiszámítására alkalmas összefüggést kapunk:
t
pK
⎡e1
⋅ E1
e1
⋅ E 2 e1
⋅ E3
⎤
= e ⋅ [ ] =
⎢
⎥
p E K , t pK ⎢
e 2 ⋅ E1
e 2 ⋅ E 2 e 2 ⋅ E3
⎥
. (16)
⎢⎣
e ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⎥
3 E e3
E e3
E ⎦
Hasonló módon, felírhatjuk a bázis egységvektorok inverz kapcsolatát is az
−1
( ) q
E K = t e
formában, amit most skalárisan szorozva az ep bázis vektorral, a
eredményt kapjuk. Mivel
Kq
−1
( t ) Kp = EK ⋅e
p
−1
T
T
( t ) = K ⋅e
p = ( e p ⋅ E K ) = ( t pK ) = t Kp
Kp
E ,
megállapíthatjuk, hogy a transzformáció inverze megegyezik a transzponáltjával. Ezért, ha a
transzformációs mátrixot megszorozzuk a transzponáltjával, az eredmény az egységmátrix, a
Kronecker delta lesz:
-1
-1
( t ) t t = δ , ( t ) t = t t = δ .
t qK Kp qK Kp qp
Kp pQ Kp pQ KQ
Ezzel a bázis egységvektorok inverz kapcsolata
= (17)
E = . (18)
K t Kq eq
A (16) alapján belátható, hogy a [tKq] mátrix oszlopvektorai az eq bázis egységvektorok, ezért
det(tKq) = 1.
A vektor és tenzor mennyiségeket a koordináta rendszer megválasztása nem befolyásolhatja,
más szóval, azok a koordináta transzformációval szemben invariánsak. A transzformáció
során csak a vektorok vagy tenzorok koordinátái változhatnak:
u = U E = u e , A = A E E = a e e .
P
P
m
m
Az u vektor koordinátáinak kapcsolata a (16) vagy a (18) behelyettesítésével:
u = U E = U t e = u e , u = U t ,
P P P Pm m m m
m P Pm
u = u e = u t E = U E , U = u t ,
m m m mP P P P
P m mP
és hasonló módon az A tenzor koordinátáinak kapcsolata:
( )
PK
a = A t t = t A t
mn PK Pm Kn mP PK Kn
( )
A = a t t = t a t
PK mn mP nK Pm mn nK
T
T
P
K
mn
m
n
(19a)
. (19b)

13
___________________________________________________________________________
4. Tenzor sajátértékei, a skalár invariánsok
A másodrendű tenzor a (9a) definíciója szerint R = A ⋅r
, ahol r a lineáris függvényben a
független változó. Vizsgáljuk meg, hogy mi a feltétele annak, hogy az R és r vektorok
párhuzamosak legyenek, azaz r = n és R = λr = λI n
( ) ( )
A⋅r− R = A−λ I ⋅ n = 0 ,
(20)
ahol λ egy skalár szám, 0 a zérus vektor és n egyenlőre ismeretlen egységvektor. A (15)
szerint – tekintettel a másodrendű tenzor (9a) alakjára – az n vektor az (A – λI) tenzor
oszlopvektoraira merőleges, vagyis mind a három oszlopvektor az n irányára merőleges
síkban van, pontosabban, egyiknek sincs n irányú vetülete. Tehát az (A – λI) tenzor biztosan
elfajuló és ezért a (10) szerinti determinánsa, ami a három oszlopvektor vegyes szorzata,
zérus:
( A I)
( ) ( ) ( )
det − λ = 0= a −λδ a −λδ a −λδ
e
( ) (
k1 k1 p2 p2 q3 q3 kpq
=− λ e δ δ δ + λ e δ δ a + δ a δ + a δ δ −
3 2
kpq k1 p2 q3 kpq k1 p2 q3 k1 p2 q3 k1 p2 q3
( )
−λ e a a δ + a δ a + δ a a + e a a a .
kpq k1 p2 q3 k1 p2 q3 k1 p2 q3 kpq k1 p2 q3
A (2), (5b) és (10) definíciókból következő egyszerűsítések után az A tenzor karakterisztikus
egyenlete
2
− A λ + A λ − A = 0
(21)
3
λ I II III
ahol a polinom együtthatói az A tenzor skalár invariánsai. Az első invariáns a főátlóban lévő
elemek összege, a második a főátlóhoz tartozó aldeterminánsok összege, a harmadik pedig az
A determinánsa:
A
A
A
1
II
III
= a
= e
=
kk
(a
= e
1pq
= a
22
kpq
a
a
a
p2
33
k1
11
a
- a
a
+ a
q3
p2
+ e
32
a
22
a
q3
+ a
k2q
23
a
33
k1
a
,
) + (a
q3
11
a
= det(
A).
+ e
33
3kp
- a
a
31
k1
a
a
13
p2
=
) + (a
11
a
22
- a
21
a
12
) ,
)
=
(22a)

14
___________________________________________________________________________
Az invariáns megnevezés arra utal, hogy egy tenzornak ezek a skalár adatai az (19)
transzformáció során nem változnak. Például az első skalár invariáns:
( ) T
A = a = A t t = A t t = A δ = A K ,
I mm PK Pm Km PK mP Km PK PK K
mivel a transzformációs mátrix transzponáltja megegyezik az inverzével. Hasonló módon
igazolható az AII és AIII és a (13) szerinti ω vektor invariáns tulajdonsága.
A (21) polinom λ1, λ2, és λ3 gyökei az A tenzor sajátértékei. (Tételezzük fel, hogy az A olyan
tulajdonságú, hogy ezek valós számok.) Ha a sajátértékeket rendre visszahelyettesítjük az (20)
egyenletbe, akkor az
( A − λ I)
⋅n
= 0 , i 1, 2, 3,
i =
homogén lineáris egyenletek megoldásával meghatározhatjuk a három n1, n2, n3 sajátvektort.
Igazolható, hogy szimmetrikus tenzorok sajátvektorai egymásra merőlegesek. Az ortogonális
sajátvektorok (egységvektorok) lehetnek egy koordináta rendszer bázis vektorai. Ha a
szimmetrikus A tenzort a (19) formulák szerint ebbe a rendszerbe transzformáljuk, akkor ott a
mátrixa
A = a n n
pq
p
q
,
[ a ]
pq
⎡λ1
=
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
diagonál alakú lesz. A szimmetrikus tenzor (22a) skalár invariánsai a sajátértékekkel kifejezve
a következők:
5. Görbevonalú koordináta rendszerek
A
A
A
1
II
III
= a
kk
1
= λ
2
1
3
+ λ
2
0
λ
0
= λ 2λ
3 + λ 2λ1
+ λ1λ
= λ λ λ = det(
A).
2
+ λ
3
0 ⎤
0
⎥
⎥
λ ⎥ 3 ⎦
,
2
,
(22b)
A tér egy pontjának helyét az xp koordináták mellett még más, célszerűen megválasztott
számhármassal is megadhatjuk. Például, ha hengerkoordináták használunk: q1 a sugár, q2 a
szög és q3 az alkotó mentén mért hosszúság. Tételezzük fel, hogy ismerjük az xp Descartes
féle és a qk általános koordináták kapcsolatát leíró xp(qk) függvényeket és ezek qk(xp)
inverzeit is. Egy tetszőleges, de rögzített q1 = a, q2 = b, q3 = c koordinátájú P ponton áthaladó
koordináta görbék egy paraméteres vektoregyenletei a következők:

15
___________________________________________________________________________
E1
r(q
, q
r(q
r(q
1
1
1
=
=
E2
2
=
a, q
a, q
E3 r
b, q
2
2
, q
=
3
3
= c) = r
= c) = r
b, q
P
3
q1
1
2
( q )
,
( q )
,
) = r ( q ).
e1
3
e3
1
2
e2
3
q3
q2
3. ábra Görbevonalú koordináták
A P pontbeli lokális görbe vonalú koordináta rendszer bázisvektorai legyenek a P ponton
átmenő koordináta vonalak érintő egységvektorai. A továbbiakban csak olyan görbe vonalú
rendszereket használunk, amelyeknek az ily módon megszerkesztett bázisvektorai
ortogonálisak. A p-edik (p = 1, 2, 3) koordináta görbe érintő vektora
g
∂r
∂x
= = e , (23)
p ∂q
p
k
∂q
p
aminek a hossza, az abszolút értéke a Hp Lamé tényező:
p
p
p
k
g = + g ⋅ g = H . (24)
Az index aláhúzása itt arra utal, hogy a gyökjel alatt nem egy összeg szerepel, a két p index
nem egy néma indexpár, mert az egyiket ”kizártuk”. Ezzel az ortogonális görbe vonalú
rendszer bázis egységvektorai a következő módon határozhatók meg.
p
1
e p = g , p = 1, 2, 3.
(25)
p H
p
A bázis egységvektorok iránya pontról pontra változhat. Ha valamelyik qp általános
koordináta a koordináta görbe mentén mért ívhossz, akkor a megfelelő érintő vektor
egységvektor, azaz gp = ep és Hp = 1.

16
___________________________________________________________________________
5.1. A kovariáns derivált
Tenzor és vektormennyiségek használata során gyakran meg kell határozni ezeknek a
helykoordináták szerinti megváltozását, differenciálját. Lényeges, hogy görbe vonalú
koordináta rendszerek használata esetén a vektor vagy tenzor differenciálja nem csak a
koordináták, hanem a bázis egységvektor irányok változását is tartalmazza.
A bázis egységvektoroknak a qk koordináták szerinti deriváltjait, amik szintén vektorok
lesznek, a következő alakban írjuk fel:
∂e
∂q
p
k
⎛ s ⎞
= ⎜ ⎟ e
⎝p
k⎠
s
,
⎛ s ⎞ ⎛ ∂e
⎜ ⎟ =
p k ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ∂q
p
k
⎞
⎟ ⋅ e
⎠
s
, (26)
ahol az alsó két index jelöli, hogy honnan származik a derivált egységvektor egy felső index
irányú koordinátája.
Az r(qk) helyvektor dr megváltozása vagy differenciálja
∂r
r g e , (27)
d dqs dq s s Hs
s s
qs
q d
= = =
∂
ahol felhasználtuk a (23) és a (25) összefüggéseket is.
Ezek alapján számítsuk ki egy F(r) = F(qk) skalár függvény megváltozását, amit formális
átalakítások után két vektor skalár szorzataként írhatunk fel:
ahol
d F ∂F
∂F
H s ⎛ ⎞
d d r d
d ⎜ 1 ∂F
F = ⋅ = q =
= e ⎟
k δ ks q s
k ⋅ s s s F ⋅
d r ∂q
∂q
H ⎜ ⎟
k
k k ⎝
H k ∂q
k ⎠
d F
=
d r
( ∇F)
= grad(F)
( H e d q ) = ( ∇ ) d r
az F függvény gradiens vektora és ennek megfelelően a Hamilton féle, vektor értékű
differenciál operátor definíciója a következő:
d
∇ = = e
d r
k
1
H
k
∂
∂q
k
. (28)
A ∇ szimbólum neve nabla. A következőkben határozzuk meg egy u(r) = u(qk) vektor mező
differenciálját. Az eddigiek alapján:
d u ∂u
d u = ⋅ d r = d q
d r ∂q
k
k
∂u
= δ
∂q
=
H
H
d q
( u∇)
⋅ d r = D ⋅ d r
⎛
= ⎜
⎜
⎝
1
H
∂u
∂q
e
⎞
⎟ ⋅
⎟
⎠
( H e dq
)
ahol D az u vektor derivált tenzora, vagy gradiense, amit tovább részletezve:
k
ks
s
k
s
k
k
k
s
s
s
=
,
, (29)

17
___________________________________________________________________________
D = u∇
=
=
1
H
k
1
H
k
∂
⎛ ∂u
⎜
⎝ ∂q
( u e )
s
k
∂q
δ
s
st
k
s
e
t
e
k
=
1
H
⎛ ∂u
⎜
⎝ ∂q
⎛ t ⎞ ⎞
+ u s ⎜ ⎟e
⎟ t e
s k ⎟
⎝ ⎠ ⎠
k
s
k
k
e
s
=
+ u
1
H
k
s
∂e
∂q
s
k
⎛ ∂u
⎜
⎝ ∂q
⎞
⎟ e
⎠
t
k
k
=
1
H
⎛ ∂u
⎜
⎝ ∂q
⎛ t ⎞⎞
+ u s ⎜ ⎟⎟e
t e
s k ⎟
⎝ ⎠⎠
k
s
k
k
e
s
⎛ t ⎞ ⎞
+ u s ⎜ ⎟e
⎟ t e
s k ⎟
⎝ ⎠ ⎠
A parciális deriváltra és a derivált tenzor koordinátáira gyakran használjuk a következő
egyszerű jelöléseket:
∂u
∂q
t =
k
u
t , k
,
= D
ahol ut,k a parciális derivált (a koordináta és a deriválási index között vessző van),
tk
e
t
e
k
.
k
=
(30)
1
t
D tk u t ; k u t , k u s ,
H k s k ⎟ ⎛ ⎛ ⎞⎞
= = ⎜
+ ⎜ ⎟
(31)
⎝ ⎝ ⎠⎠
az ut;k pedig a kovariáns derivált (a koordináta és a deriválási index között pontosvessző van).
Látszik, hogy a parciális derivált és a kovariáns derivált közötti különbség a bázis
egységvektorok hely szerinti megváltozásából származik. Egyenes vonalú derékszögű
koordináta rendszerben nyilvánvalóan ut,k = ut;k .
Két Hamilton operátor skaláris szorzata a Laplace operátor:
∆ = ∇ ⋅ ∇
5.2. Differenciálási szabályok
⎡ 1 ∂ ⎛ ⎞⎤
⎢ ⎜ 1 ∂
= e ⎟
k ⋅ e t ⎥ . (32)
⎢H
∂ ⎜ ⎟
⎣ k q k ⎝
H t ∂q
t ⎠⎥⎦
A Hamilton és a Laplace féle differenciál operátorok (28), (32) alakjainál ismét
megmutatkozik az indexes jelölés használatának előnye, mivel formálisan szétválik a
koordináta – a műveleti utasítás – és a bázisvektor. A vektorok és tenzorok körében
használatos szorzási műveleteket az összegzési konvenció alapján most már a deriválási
műveletekre is kiterjeszthetjük. Ezek közül nézzünk meg részletesebben néhány, a
továbbiakban gyakran előforduló esetet.
Az F(qk) skalár függvény gradiens vektora
1 ∂F
1 1 1
G = grad + e . (33)
F = ∇F
= e k = e1
F,
1 + e 2 F,
2 3 F,
3
H k ∂q
k H 1 H 2 H 3
Az u(qk) jobb oldali gradiense – a vektor és a differenciál operátor (8) diadikus szorzata - a
derivált vagy gradiens tenzor, ami a (30) alapján:

18
___________________________________________________________________________
D = u∇
=
1
H
k
∂
( u e )
∂q
D
s
tk
k
s
=
e
k
1
H
k
=
⎛
⎜
u
⎝
1
H
k
t , k
⎛ ∂u
⎜
⎝ ∂q
s
k
e
s
+ u
∂q
⎛ t ⎞⎞
+ u s ⎜ ⎟⎟
= u t
s k ⎟
⎝ ⎠⎠
s
∂e
s
k
; k
⎞
⎟ e
⎠
.
k
= D
A vektor bal oldali gradiense a derivált tenzor transzponáltja: ∇u = D T .
Az u vektor divergenciája a vektor és a differenciál operátor skalár szorzata:
F = divu
= ∇ ⋅ u =
=
1
H
k
1
H
k
∂
⎛ ∂u
⎜
⎝ ∂q
s
k
( u e )
s
∂q
δ
sk
k
s
⋅ e
k
=
1
H
⎛ ∂u
⎜
⎝ ∂q
⎛ t ⎞ ⎞
+ u s ⎜ ⎟δ
⎟ tk ,
s k ⎟
⎝ ⎠ ⎠
k
s
k
e
s
tk
e
t
e
⎛ t ⎞ ⎞
+ u s ⎜ ⎟e
⎟ t ⋅
s k ⎟
e
⎝ ⎠ ⎠
k
,
k
=
(34)
1 ⎛ ⎛ k ⎞⎞
= ⎜u
u ⎟
k , k s = u k ; .
H ⎜
+ ⎜ ⎟
k s k ⎟
(35)
⎝ ⎝ ⎠⎠
F k
Az u vektor rotációja a vektor és a differenciál operátor vektor szorzata:
=
c = rot u = u × ∇ =
1
H
k
⎛ ∂u
⎜
⎝ ∂q
s
k
e
skp
e
p
1
H
k
∂
( u e )
∂q
k
⎛ t ⎞
+ u s ⎜ ⎟e
⎝s
k⎠
s
s
tkp
× e
e
p
k
⎞
⎟
=
⎠
=
1
H
1
H
k
k
⎛ ∂u
⎜
⎝ ∂q
⎛ ∂u
⎜
⎝ ∂q
t
c p
u s e tkp
H ⎜
=
k ∂q
k s k ⎟
t
k
s
k
e
s
⎛ t ⎞ ⎞
+ u s ⎜ ⎟e
⎟ t × e
s k ⎟
⎝ ⎠ ⎠
⎛ t ⎞⎞
+ u ⎟
s ⎜ ⎟ e
s k ⎟
⎝ ⎠⎠
tkp
e
p
k
= c e
1 ⎛ ∂u
⎛ t ⎞⎞
= ⎜ + ⎜ ⎟⎟
u t ; ke
tkp . (36)
⎝ ⎝ ⎠⎠
Az A tenzor jobb oldali divergenciája az operátor és a tenzor skalár szorzata:
c = A ⋅ ∇ =
1
H
=
k
∂
1
H
( a e e )
k
sq
∂q
s
k
⎛ ∂a
⎜
⎝ ∂q
sq
k
q
e δ
s
⋅e
qk
k
=
+ a
1
H
sq
k
⎛ ∂a
⎜
⎝ ∂q
sq
k
e
⎛ t ⎞
⎜ ⎟e
tδ
⎝s
k⎠
s
qk
e
q
+ a
+ a
sq
sq
⎛ t ⎞
⎜ ⎟e
t e
⎝s
k⎠
⎛ t ⎞
⎜ ⎟esδ
⎝q
k⎠
tk
q
+ a
sq
⎞
⎟
= c t e
⎠
t
,
p
=
⎛ t ⎞ ⎞
⎜ ⎟es
e ⎟ t ⋅e
q k ⎟
⎝ ⎠ ⎠
1 ⎛ ⎛ t ⎞ ⎛ k ⎞⎞
c t = ⎜a
tk , k a sk a ⎟
tq = a tk ; k
H ⎜
+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
k
s k q k ⎟
. (37)
⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠
p
,
k
=

19
___________________________________________________________________________
Az F(qk) skalár függvény (32) szerinti második deriváltja:
∆F
= ∇ ⋅ ∇F
= div
=
1
H
s
∂
∂q
5.3. Hengerkoordináta rendszer
s
⎛
⎜
⎜
⎝
( grad F)
1
H
s
=
∂F
⎞
⎟ +
∂q
⎟
s ⎠
1
H
1
H
k
s
∂
∂q
1
H
s
s
⎛
⎜
⎜
⎝
1
H
k
∂F
e
∂q
k
∂F
⎛ s ⎞
⎜ ⎟
∂q
s ⎝k
s⎠
k
⎞
⎟ ⋅ e
⎟
⎠
s
=
. (38)
Az előző két fejezetben tárgyalt összefüggéseket írjuk fel a gyakorlatban legtöbbször használt
hengerkoordináta rendszerben. Az általános koordináták legyenek a 4. ábra szerinti r sugár, a
φ szög és a z alkotó menti magasság.
A Descartes féle és a görbe vonalú koordináták xp(qk) kapcsolata:
∂x
=
∂q
= q cos q = r cos ϕ , x = q sin q = r sin ϕ , x = q = z .
x1 1 2
2 1 2
3 3
A (23) érintő vektorok:
∂x
g =
1 ∂q
g
2
k
2
E
k
∂x
k
= E
∂ϕ
k
k
1
E
k
E3
E1
r
E2
φ
e3
z
P
e2
e1
4. ábra Henger koordináták
∂x
=
∂r
k
= −r
sinϕ
E
E
1
k
= cosϕ
E
+ r cosϕ
E
és a gk vektorok abszolút értékei, a (24) Lamé tényezők:
H
1
2
1
+ sinϕ
E
,
g
3
2
,
∂x
=
∂q
= g
= 1,
H = g = r , H = g
1
2
2
3
3
k
3
E
k
= 1 .
∂x
k
= E
∂z
k
= E
3
,

20
___________________________________________________________________________
A (25) bázis egységvektorok:
1
1
1
e 1 = g = cos ϕ E1
+ sin ϕ E2
, e 2 = g = − sin ϕ E1
+ cos ϕ E 2 , e
1
2
3 = g = E
3
H
H
H
1
2
A bázis egységvektorok (26) deriváltjai, figyelembe véve, hogy azok most csak a q2 = φ
koordináta függvényei:
∂e
∂q
∂e
∂q
1
2
2
2
⎛ k ⎞
= ⎜ ⎟ e
⎝12⎠
k
⎛ k ⎞
= ⎜ ⎟ e
⎝2
2⎠
k
= − sin ϕ E
1
= − cos ϕ E
+ cos ϕ E
1
2
− sin ϕ E
2
= e
2
= −e
Tehát a derivált bázisvektor koordináták zérustól különböző elemei:
⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ = 1 , ⎜ ⎟ = −1
.
⎝12⎠
⎝2
2⎠
A koordináta rendszer jellemzőinek ismeretében fel lehet írni a különböző mennyiségek
deriváltjait.
Az F(r, φ, z) skalár függvény (33) gradiens vektora
1 ∂F
1 ∂F
∂F
1
∇F = e k F,
k = e1
+ e 2 + e3
= e1F,
r + e 2 F,
ϕ + e3F,
z .
H ∂r
r ∂ϕ
∂z
r
A (34) szerinti D = u∇
derivált tenzornak a
k
1 ⎛ ⎛ t ⎞⎞
D tk = ⎜u
t k u ⎟
, s = u t ; k
H ⎜
+ ⎜ ⎟
k s k ⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠
mátrixából részletezzük például az első sor második elem számítását:
1 ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞
1 ⎛ ∂u1
⎞
D ⎜
⎟
12 =
⎜
u1
, 2 + u s ⎜ ⎟
⎟
= ⎜ − u 2 ⎟
H 2 ⎝ ⎝s
2⎠⎠
r ⎝ ∂ϕ
⎠
.
Hasonló módon meghatározható a gradiens tenzor mátrixának többi eleme is:
[ D ]
tk
⎡ ∂u
⎢
⎢
∂r
⎢∂u
= ⎢
⎢
∂r
⎢∂u
⎢
⎣
∂r
1
2
3
1 ⎛ ∂u1
⎞
⎜ − u 2 ⎟
r ⎝ ∂ϕ
⎠
1 ⎛ ∂u
2 ⎞
⎜ + u1
⎟
r ⎝ ∂ϕ
⎠
1 ∂u
3
r ∂ϕ
∂u
⎤ 1
⎥
∂z
⎥
∂u
2 ⎥
∂z
⎥
⎥
∂u
3 ⎥
∂z
⎥
⎦
,
1
.
3
3
,

21
___________________________________________________________________________
Az u vektor (35) divergenciája:
1 ⎛ ⎛ k ⎞⎞
∇ ⋅ u = ⎜u
k k u ⎟
s = u k
H ⎜ , + ⎜ ⎟
k s k ⎟ ;
⎝ ⎝ ⎠⎠
k
∂u
=
∂r
1
1 ∂u
2 ∂u
3 1
+ + + u1
r ∂ϕ
∂z
r
a gradiens tenzor mátrixából a főátlóban lévő elemek összege. Ez a tenzornak a (22a) szerint
az első skalár invariánsa.
Az A tenzor c = A ⋅∇
jobb oldali divergenciájának (37) koordinátái:
c
=
1
=
1
H
k
1
H
k
⎛
⎜
a
⎝
⎛
⎜
a
⎝
1k , k
1k , k
+ a
+ a
1k
1 ⎛ ⎛ t ⎞ ⎛ k ⎞⎞
c t = ⎜a
tk , k a sk a ⎟
tq = a tk ; k
H ⎜
+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
k
s k q k ⎟
,
⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠
sk
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ + a
⎝s
k ⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ + a
⎝1
k ⎠
c
c
2
3
2k
1q
∂a
=
∂r
∂a
=
∂r
⎛ k ⎞⎞
⎜ ⎟⎟
=
q k ⎟
⎝ ⎠⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ + a
⎝2
k ⎠
11
21
∂a
=
∂r
31
3k
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ + a
⎝3
k ⎠
1 ∂a12
∂a
+ +
r ∂ϕ
∂z
1 ∂a32
∂a
+ +
r ∂ϕ
∂z
13
1 ∂a22
∂a
+ +
r ∂ϕ
∂z
23
33
11
1
− a
r
1
+ a
r
1
+ a
r
Az F(r, φ, z) skalár függvény (38) szerinti második deriváltja:
⎛ k ⎞
⎜ ⎟ + a
⎝1
k ⎠
22
12
31
1
+ a
r
1
+ a
r
.
11
21
12
,
,
⎛ k ⎞
⎜ ⎟ + a
⎝2
k ⎠
13
⎛ k ⎞⎞
⎜ ⎟⎟
=
3 k ⎟
⎝ ⎠⎠
2
2 2
1 ∂ ⎛ 1 F ⎞ 1 1 F s F 1 F F 1 F
F ⎜ ∂
∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂
∆ =
⎟ +
⎜ ⎟ = + + + .
2 2 2 2
H s ∂q
⎜
s H s q ⎟
⎝
∂ s ⎠
H k H s ∂q
s ⎝k
s⎠
∂r
r ∂ϕ
∂z
r ∂r

22
___________________________________________________________________________
6. Ajánlott irodalom
Béda Gyula: Kontinuum mechanika I. Tankönyvkiadó, 1980.
Uj József: Kontinuum mechanika példatár I. Tankönyvkiadó 1987.
Elter Pálné - Vörös Gábor: Alkalmazott mechanika I. Tankönyvkiadó 1980.
Lánczos Kornél: A geometriai térfogalom fejlődése. Gondolat Könyvkiadó 1976.
Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai. Műszaki Könyvkiadó 1976.
Simmonds, J.G: Tenzoranalízis dióhéjban. Műszaki Könyvkiadó 1985.