vektorok, tenzorok - Műszaki Mechanikai Tanszék - Budapesti ...

16
___________________________________________________________________________
5.1. A kovariáns derivált
Tenzor és vektormennyiségek használata során gyakran meg kell határozni ezeknek a
helykoordináták szerinti megváltozását, differenciálját. Lényeges, hogy görbe vonalú
koordináta rendszerek használata esetén a vektor vagy tenzor differenciálja nem csak a
koordináták, hanem a bázis egységvektor irányok változását is tartalmazza.
A bázis egységvektoroknak a qk koordináták szerinti deriváltjait, amik szintén vektorok
lesznek, a következő alakban írjuk fel:
∂e
∂q
p
k
⎛ s ⎞
= ⎜ ⎟ e
⎝p
k⎠
s
,
⎛ s ⎞ ⎛ ∂e
⎜ ⎟ =
p k ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ∂q
p
k
⎞
⎟ ⋅ e
⎠
s
, (26)
ahol az alsó két index jelöli, hogy honnan származik a derivált egységvektor egy felső index
irányú koordinátája.
Az r(qk) helyvektor dr megváltozása vagy differenciálja
∂r
r g e , (27)
d dqs dq s s Hs
s s
qs
q d
= = =
∂
ahol felhasználtuk a (23) és a (25) összefüggéseket is.
Ezek alapján számítsuk ki egy F(r) = F(qk) skalár függvény megváltozását, amit formális
átalakítások után két vektor skalár szorzataként írhatunk fel:
ahol
d F ∂F
∂F
H s ⎛ ⎞
d d r d
d ⎜ 1 ∂F
F = ⋅ = q =
= e ⎟
k δ ks q s
k ⋅ s s s F ⋅
d r ∂q
∂q
H ⎜ ⎟
k
k k ⎝
H k ∂q
k ⎠
d F
=
d r
( ∇F)
= grad(F)
( H e d q ) = ( ∇ ) d r
az F függvény gradiens vektora és ennek megfelelően a Hamilton féle, vektor értékű
differenciál operátor definíciója a következő:
d
∇ = = e
d r
k
1
H
k
∂
∂q
k
. (28)
A ∇ szimbólum neve nabla. A következőkben határozzuk meg egy u(r) = u(qk) vektor mező
differenciálját. Az eddigiek alapján:
d u ∂u
d u = ⋅ d r = d q
d r ∂q
k
k
∂u
= δ
∂q
=
H
H
d q
( u∇)
⋅ d r = D ⋅ d r
⎛
= ⎜
⎜
⎝
1
H
∂u
∂q
e
⎞
⎟ ⋅
⎟
⎠
( H e dq
)
ahol D az u vektor derivált tenzora, vagy gradiense, amit tovább részletezve:
k
ks
s
k
s
k
k
k
s
s
s
=
,
, (29)