vektorok, tenzorok - Műszaki Mechanikai Tanszék - Budapesti ...

8
___________________________________________________________________________
Bővítsük fenti szorzatot még egy diáddal úgy, hogy az a1 és a2, valamint a b1 és b2 vektorok
ne legyenek párhuzamosak, azaz a1×a2 ≠ 0, b1×b2 ≠ 0:
[ ( a b ) + ( a b ) ] ⋅ r = a ( b ⋅ r)
+ a ( b r)
R ⋅
= 1 1 2 2
1 1 2 2
Most az R vektor az a1 és a2 vektorok által meghatározott síkban van. Ez a kibővített lineáris
függvény a b1 és b2 vektorokra merőleges síkok metszésvonalán lévő pontokhoz az a1, a2
vektorok síkjában egy pontot rendel, vagyis a háromméretű teret egy kétméretű altérre, síkra
képezi le.
Ezek után már könnyen belátható, hogy a legáltalánosabb lineáris homogén vektor-vektor
függvény három diád összegeként adható meg:
[ ( a b ) + ( a b ) + ( a b ) ] ⋅r
= a ( b ⋅r
) + a ( b ⋅r
) + a ( b r)
R ⋅
= 1 1 2 2 3 3
1 1 2 2
3 3 ,
feltéve, hogy az ak és bk vektorok lineárisan függetlenek, más szóval az (7) vegyes szorzatuk
nem zérus: a1.(a2×a3) ≠0 és b1.(b2×b3) ≠0.
A továbbiakban, ha a bk vektorok helyett az ek bázis egységvektorokat alkalmazzuk, az (1)
összegzési konvenció és az ak = apkep azonosság felhasználásával:
ahol
[ ( a e ) + ( a e ) + ( a e ) ] ⋅r
= ( a e ) ⋅r
= ( e e ) ⋅r
= A r
R = 1 1 2 2 3 3
k k a pk p k ⋅ , (9a)
A = a e e
(9b)
egy másodrendű tenzor és apk az A tenzor 3×3 méretű mátrixa, p a sor és k az oszlop
sorszáma. Az ak vektorok az A tenzor mátrixának oszlopvektorai:
[ ]
⎣ pk⎦ 1 2 3 ⎢ 21 22 23⎥
⎢⎣ a31 a32 a ⎥ 33 ⎦
pk
p
k
⎡a11 a12 a13
⎤
⎡a ⎤ = a a a =
⎢
a a a
⎥
. (9c)
Egy tenzor által leirt leképzés, a lineáris vektor – vektor függvény – tehát akkor nem elfajuló,
ha az ap oszlopvektorok lineárisan függetlenek, más szóval az (7) vegyes szorzatuk nem
zérus. Az oszlopvektorok vegyes szorzata a tenzor determinánsa:
det
( A)
= a ⋅ ( a × a ) = a a a e ⋅ ( e × e ) = a a a e ⋅ ( e e )
1
= a
k1
a
2
p2
a
q3
3
e
pqs
δ
k1
ks
p2
= a
k1
q3
a
k
p2
a
q3
p
e
pqk
q
= a
k1
a
k1
p2
a
p2
q3
e
q3
.
kpq
k
.
pqs
s
=
(10a)
A tenzor oszlopvektor sorrendjének cseréjével a determináns értéke nem változik, csak
esetleg az előjele. Például
( ) 1 ( 2 3) 1 ( 3 2)
det A = a ⋅ a × a = −a ⋅ a × a .