vektorok, tenzorok - Műszaki Mechanikai Tanszék - Budapesti ...

20
___________________________________________________________________________
A (25) bázis egységvektorok:
1
1
1
e 1 = g = cos ϕ E1
+ sin ϕ E2
, e 2 = g = − sin ϕ E1
+ cos ϕ E 2 , e
1
2
3 = g = E
3
H
H
H
1
2
A bázis egységvektorok (26) deriváltjai, figyelembe véve, hogy azok most csak a q2 = φ
koordináta függvényei:
∂e
∂q
∂e
∂q
1
2
2
2
⎛ k ⎞
= ⎜ ⎟ e
⎝12⎠
k
⎛ k ⎞
= ⎜ ⎟ e
⎝2
2⎠
k
= − sin ϕ E
1
= − cos ϕ E
+ cos ϕ E
1
2
− sin ϕ E
2
= e
2
= −e
Tehát a derivált bázisvektor koordináták zérustól különböző elemei:
⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ = 1 , ⎜ ⎟ = −1
.
⎝12⎠
⎝2
2⎠
A koordináta rendszer jellemzőinek ismeretében fel lehet írni a különböző mennyiségek
deriváltjait.
Az F(r, φ, z) skalár függvény (33) gradiens vektora
1 ∂F
1 ∂F
∂F
1
∇F = e k F,
k = e1
+ e 2 + e3
= e1F,
r + e 2 F,
ϕ + e3F,
z .
H ∂r
r ∂ϕ
∂z
r
A (34) szerinti D = u∇
derivált tenzornak a
k
1 ⎛ ⎛ t ⎞⎞
D tk = ⎜u
t k u ⎟
, s = u t ; k
H ⎜
+ ⎜ ⎟
k s k ⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠
mátrixából részletezzük például az első sor második elem számítását:
1 ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞
1 ⎛ ∂u1
⎞
D ⎜
⎟
12 =
⎜
u1
, 2 + u s ⎜ ⎟
⎟
= ⎜ − u 2 ⎟
H 2 ⎝ ⎝s
2⎠⎠
r ⎝ ∂ϕ
⎠
.
Hasonló módon meghatározható a gradiens tenzor mátrixának többi eleme is:
[ D ]
tk
⎡ ∂u
⎢
⎢
∂r
⎢∂u
= ⎢
⎢
∂r
⎢∂u
⎢
⎣
∂r
1
2
3
1 ⎛ ∂u1
⎞
⎜ − u 2 ⎟
r ⎝ ∂ϕ
⎠
1 ⎛ ∂u
2 ⎞
⎜ + u1
⎟
r ⎝ ∂ϕ
⎠
1 ∂u
3
r ∂ϕ
∂u
⎤ 1
⎥
∂z
⎥
∂u
2 ⎥
∂z
⎥
⎥
∂u
3 ⎥
∂z
⎥
⎦
,
1
.
3
3
,