39 A Bohr-féle atommodell Az előbbiek szerint az atomok ...

Atomfizika 41 A hidrogénatom Bohr-féle elmélete
összes egy elektront tartalmazó hidrogénszerű ionra, a Z=2 rendszámú
He + ionra, a Z=3 rendszámú Li – ionra,…stb is alkalmazhatók.
A klasszikus mechanika szerint az r sugarú körpálya mechanikai stabilitásának
feltétele, hogy az elektronra a mag által kifejtett Coulomb erő
éppen egyenlő legyen a centripetális erővel:
2
m v
r
Ze e
k k
r
Ze ⋅
= = 2
2
r
Ez a feltétel tetszőleges r sugár esetén fennáll. Az első Bohr-féle posztulátum
szerint azonban az elektron nem keringhet tetszőleges sugarú
körpályán, hanem csak stacionárius pályákon. Ezek kiválasztásához
használjuk most fel a Bohr-féle kvantumfeltételt:
mvr n h
= , ahol n = 1, 2, 3,
...
2π
Ebben a két egyenletben ismeretlenek az n kvantumszámhoz tartozó
elektronpálya rn sugara, és ezen a pályán az elektron vn sebessége. A
fenti két egyenletből álló egyenletrendszer könnyen megoldható erre a
két ismeretlenre, a megoldás:
r
2
h 2 2πe kZ 1
= ⋅ n ; v = ⋅
2 2
4π
me kZ h n
n n
Speciálisan Z = 1 és n = 1 esetén megkapjuk a hidrogénatom legbelső,
alapállapotbeli elektronpályájának sugarát:
r
1
2
h
= = 0, 53 ⋅10
2 2
4π
me k
valamint ezen a pályán az elektron sebességét:
v
1
2
2
−8
2
cm
2πe
k
8 cm c
= = 2, 2⋅ 10 =
h
s 137
ahol c a vákuumbeli fénysebesség. Az n kvantumszámú pályán az elektronpálya
sugarát és azon az elektron sebességét a fenti általános formulák
alapján nagyon egyszerűen kapjuk: