BAB 2 : KALIMAT BERKUANTOR
BAB 2 : KALIMAT BERKUANTOR
BAB 2 : KALIMAT BERKUANTOR
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>BAB</strong> 2 : <strong>KALIMAT</strong> <strong>BERKUANTOR</strong><br />
2.1 PENGANTAR LOGIKA PREDIKAT<br />
2.1.1 PENDAHULUAN<br />
Seperti yang telah dibahas sebelumnya, dapat ditarik satu kesimpulan<br />
bahwa titik berat logika adalah pada pembuktian validitas suatu argumen<br />
logika proposisional dengan berbagai teknik yang relevan, yaitu<br />
menggunakan tabel kebenaran sebagai dasar pembuktian dan juga<br />
menggunakan hukum-hukum logika.<br />
Logika proposisional sudah cukup untuk menangani pernyataanpernyataan<br />
yang sederhana dan banyak dijumpai dalam peristiwa seharihari.<br />
Akan tetapi logika proposisional saja ternyata belum mampu<br />
menangani argumen-argumen yang berisi pernyataan-pernyataan yang<br />
rumit dan sering dijumpai dalam peristiwa sehari-hari. Sebagai contoh<br />
perhatikan argumen berikut ini :<br />
Contoh 2.1 :<br />
1. Semua gajah mempunyai belalai.<br />
2. Dumbo seekor gajah.<br />
3. Dengan demikian, Dumbo memiliki belalai.<br />
Tanpa perlu dibuktikan validitasnya, orang-orang pasti mengatakan<br />
argumen tersebut valid karena dengan jelas kesimpulan mengikuti<br />
premis-premisnya. Akan tetapi bagaimana cara membuktikannya?.<br />
Tentunya memakai logika proposisional.<br />
2.1.2 ARGUMEN PADA LOGIKA PREDIKAT<br />
Validitas sebuah argumen dapat dibuktikan dengan contoh yang mirip<br />
dengan contoh diatas. Perhatikan contoh argumen berikut :<br />
Contoh 2.2 :<br />
1. Semua mahasiswa pasti pandai.<br />
2. Badu seorang mahasiswa.<br />
3. Dengan demikian, Badu pandai.<br />
Secara nalar, kebanyakan orang akan menilai bahwa argumen di atas<br />
mempunyai validitas yang kuat. Akan tetapi, saat validitas tersebut ingin<br />
dibuktikan dengan logika proposisional, ternyata tidak bisa diselesaikan.<br />
Pembuktiannya dapat dilakukan dengan mengikuti prosedur logika<br />
proposisional dengan menentukan terlebih dahulu proposisi-proposisinya :<br />
A=Semua mahasiswa pasti pandai.<br />
B=Badu seorang mahasiswa.<br />
C=Badu pasti pandai.<br />
Selanjutnya akan menjadi seperti berikut :<br />
Dalam bentuk ekspresi logika : (A∧B) ⇒ C<br />
A<br />
B<br />
―――<br />
∴ C
Dalam bentuk ekspresi logika diatas, tidak ada hukum-hukum logika<br />
proposisional yang dapat digunakan untuk membuktikan validitas<br />
argumen tersebut karena tidak ada yang mampu menghubungkan antara<br />
ketiga proposisi yang digunakan di atas. Atau tidak mungkin suatu<br />
kesimpulan yang berbeda dapat dihasilkan dari premis-premis yang<br />
berbeda. Dengan kata lain, tidak mungkin suatu kesimpulan berupa C<br />
dapat dihasilkan dari premis A dan premis B.<br />
Kalau argumen diatas masih ingin dibuktikan dengan logika proposisional,<br />
maka klaimatnya harus diperbaiki. Misalnya seperti berikut :<br />
Contoh 2.3:<br />
1. Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai.<br />
2. Badu seorang mahasiswa.<br />
3. Dengan demikian, ia pasti pandai.<br />
Jika dirubah dalam bentuk ekspresi logika<br />
1. B ⇒ C premis 1<br />
2. B premis 2<br />
3. C kesimpulan<br />
Atau dapat juga ditulis [(B⇒C)∧B]⇒C<br />
Dalam logika proposisional, ekspresi logika di atas sudah benar karena<br />
kesimpulan diambil dari premis-premis.<br />
Persoalan yang terjadi adalah pernyataan tersebut tidak sepenuhnya<br />
mampu menangkap ide pada argumen yang pertama yaitu “Semua<br />
mahasiswa pandai”. Ide pada pernyataan tersebut tidak tertangkap pada<br />
argumen kedua karena hanya mampu menunjuk seorang mahasiswa yaitu<br />
Badu, bukan semua mahasiswa.<br />
Persoalan lain juga terjadi, yakni kesulitan menentukan objek, misalnya<br />
orang yang dimaksudkan jika diganti dengan kata ganti orang. Perhatikan<br />
pernyataan-pernyataan pada contoh argumen berikut ini :<br />
Contoh 2.4:<br />
1. Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai.<br />
2. Dewi seorang mahasiswa.<br />
3. Dengan demikian, ia pasti pandai.<br />
Siapakah “ia” yang berada pada kesimpulan? Apakah Badu atau Dewi?.<br />
Kalau premis 1 diubah menjadi, “ Jika Dewi seorang mahasiswa, maka<br />
pasti ia pandai”, maka pernyataan tersebut sudah pasti tepat. Akan tetapi<br />
argumen tersebut menunjuk kepada dua orang mahasiswa yaitu Badu dan<br />
Dewi sehingga kata “ia” sebagai kata ganti tunggal tidak bisa berperan<br />
dengan tepat karena bisa berarti “Badu”, bisa juga berarti “Dewi”.<br />
Jadi suatu argumen yang sangat kuat logikanya, memang ada yag tidak<br />
dapat ditangani oleh logika proposisional. Oleh karena itu logika
proposisional dikembangkan menjadi logika predikat (predicate logic) atau<br />
kalkulus predikat (predicate calculus).<br />
Untuk mrncari kesamaan antara pernyataan-pernyataan dalam argumen<br />
pada logika predikat, diperlukan sesuatu yang mampu<br />
menghubungkannya. Pada contoh yang terakhir, penghubung antara Badu<br />
dan Dewi adalah keduanya mahasiswa. Selain mengidentifikasikan<br />
individu-individunya, yaitu Badu dan Dewi, juga akan dicari predikatnya.<br />
Ini merupakan langkah awal logika predikat sebelum membuktikan<br />
validitasnya. Secara umum, predikat digunakan untuk menjelaskan<br />
properti, yakni hubungan antara individu-individu. Lihat contoh yang<br />
sederhana berikut<br />
Contoh 2.5 :<br />
Badu dan Dewi berpacaran<br />
Dalam logika proposisional akan dipecah menjadi dua pernyataan, yaitu<br />
“Badu berpacaran” dan “Dewi berpacaran”. Kedua pernyataan tersebut<br />
akan menjadi aneh karen maksud kalimatnya bukan seperti itu. Di sini<br />
tidak diketahui dengan siapa Badu atau Dewi berpacaran. Padahal pada<br />
pernyataan awal jelas bahwa Badu berpacaran dengan Dewi atau Dewi<br />
berpacaran dengan Badu.<br />
Dengan logika predikat, kata “berpacaran” pada contoh diatas merupakan<br />
predikat, sedangkan individu-individunya yang berupa entitas yang<br />
dihubungkan dengan predikat tersebut, yaitu Badu dan Dewi, disebut<br />
term. Term pada logika predikat berfungsi sama seperti kata benda<br />
(noun) pada bahasa inggris.<br />
Sebagai pelengkap term dan predikat, orang menggunakan kuantor<br />
(quantifier), sedangkan prosesnya disebut pengkuantoran<br />
(quantification).Kuantor mengindikasikan seberapa banyak perulangan<br />
pada pernyataan tertentu yang bernilai benar, khususnya kuantor<br />
universal (universal quantifier) yang menginikasikan suatu pernyataan<br />
selalu bernilai benar. Kuantor lainnya adalah kuantor eksistensial<br />
(Existensial quantifier) yang mengindikasikan bahwa suatu pernyataan<br />
kadang-kadang bernilai benar atau mungkin juga salah . pada pernyataan<br />
“Semua mahasiswa pasti pandai” maka kata “semua” secara universal<br />
semuanya selalu bernilai benar.<br />
Dari uraian di atas, maka hubungan antara logika predikat dengan logika<br />
proposisional menjadi jelas, bahwa logika predikat sebenarnya<br />
menjadikan logika proposisional menjadi bersifat universal atau umum.<br />
Dengan demikian, selain term, predikat dan kuantor, logika predikat juga<br />
memiliki proposisi-proposisi dan perangkai-perangkai sebagai bagian dari<br />
pembahasan dan proses manipulasinya.<br />
Satu bagian yang penting dari logika dari logika predikat adalah fungsi<br />
proposisional (propositional function) atau cukup disebut fungsi saja.<br />
Fungsi berperan penting sewaktu menggunakan persamaan-persamaan<br />
karena ia bertugas persis seperti variabel proposisional karena fungsi<br />
tersebutlah yang dirangkai dengan perangkai-perangkai logika, dan<br />
kemudian membentuk ekspresi logika, dari yang rumit sampai yang
sederhana dan digunakan sebagai bahan untuk dimanipulasi secara<br />
matematis.<br />
Bagi para ahli di bidang ilmu komputer, logika predikat berperan penting<br />
dengan beberapa alasan. Pertama, logika predikat memberi alasan logis<br />
yang mendasari bahasa pemrograman logika, misalnya PROLOG dan LISP.<br />
Kedua, logika predikat mampu mendorong pengembangan kebutuhan<br />
aplikasi komputer. Ketiga, logika predikat mampu berperan di bagian<br />
pembuktian tentang masalah “correctness” sehingga dapat secara tepat<br />
mengetahui kondisi program yang menghasilkan keluaran yang benar.<br />
Contoh-contoh argumen yang menggunakan logika predikat masih cukup<br />
banyak, misalnya dua contoh berikut ini :<br />
Contoh 2.6 :<br />
1. Setiap kucing mempunyai ekor.<br />
2. Tom adalah seekor kucing.<br />
3. Dengan demikian, Tom memiliki ekor<br />
Atau :<br />
1. Setiap lelaki hidup abadi.<br />
2. Socrates adalah seorang lelaki.<br />
3. Dengan demikian, Socrates hidup abadi.<br />
Argumen juga bisa lebih panjang karena memiliki lebih dari 2 premis,<br />
tetapi tetap dengan satu kesimpulan. Lihat contoh argumen berikut :<br />
Contoh 2.7:<br />
1. Badu menyukai Siti.<br />
2. Pria yang menyukai Siti pasti menyukai Dewi.<br />
3. Badu hanya menyukai wanita cantik.<br />
4. Dengan demikian, Dewi adalah wanita cantik.<br />
Jelas bahwa kesimpulan pada pernyataan ke-4 adalah logis karena jelas<br />
berasal dari premis-premisnya, tetapi jika dibuktikan melalui logika<br />
proposisional akan terjadi kesulitan karena kesimpulan bukan diambil<br />
utuh dari premisnya, tetapi merupakan gabungan dari beberapa premis.<br />
Di sinilah logika predikat akan berperan.<br />
Banyak argumen logis yang tidak bisa diselesaikan pembuktian<br />
validitasnya dengan logika proposisional. Untuk itu, kemudian<br />
dikembangkan logika predikat untuk mengatasi masalah tersebut.<br />
Logika predikat diperkenalkan oleh Sir William Hamilton (1788-1856)<br />
dengan doktrinnya yang dinamakan “Quantification Theory”. Oleh karena<br />
itu, logika predikat sebenarnya adalah logika proposisional yang ditambah<br />
dengan hal-hal baru, yaitu pengkuantoran.
2.2 <strong>KALIMAT</strong> <strong>BERKUANTOR</strong><br />
Perhatikan ketiga kalimat berikut :<br />
a) Semarang ibukota jawa tengah<br />
b) X adalah binatang berkaki empat, X={kuda, burung, ular, singa}<br />
Jika diperhatikan pada kedua kalimat diatas, kalimat (a) adalah sebuah<br />
kalimat pernyataan dengan nilai kebenaran T. Kalimat (b) belum dapat<br />
ditentukan nilai kebenarannya sebelum variabel x –nya<br />
diganti dengan salah satu himpunan dari x, karena itu kalimat (b) disebut<br />
kalimat terbuka. Jika x diganti dengan “Kuda” atau “Singa”, maka kalimat<br />
terbuka (b) menjadi benar. Tetapi jika diganti dengan “Burung” atau<br />
“Ular”, maka kalimatnya menjadi salah.<br />
Apa yang terjadi jika terhdap suatu kalimat terbuka ditambahkan katakata<br />
seperti : “untuk semua/ setiap x…..”, Beberapa/Terdapat/Ada x……..<br />
Untuk kalimat (b) maka kalimatnya menjadi :<br />
1) Untuk semua/setiap x, x adalah binatang berkaki empat.<br />
2) Terdapat binatang x, dimana x adalah binatang berkaki empat.<br />
Kata-kata semua…….., setiap………, beberapa…….., terdapat…….., ada……..<br />
seperti adi atas disebut dengan kalimat berkuantor (Quantifier).<br />
Kuantor tersebut menunjukkan atau berkait dengan banyaknya pengganti<br />
peubah x sehingga didapatkan suatu pernyataan berkuantor yang bernilai<br />
benar saja atau salah saja. Seperti yang telah diuaraikan pada argumen<br />
pada logika predikat, kuantor ada dua jenis yaitu kuantor universal dan<br />
kuantor eksistensial.<br />
KUANTOR UNIVERSAL (UNIVERSAL QUANTIFIER).<br />
Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya<br />
mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan<br />
kata-kata “Untuk semua/setiap x” di depan kalimat terbuka yang<br />
mengandung variabel x untuk menghasilkan kalimat yang mempunyai<br />
suatu nilai kebenaran. Nilai x ditentukan berdasarkan semesta<br />
pembicaraannya. Kuantor universal disimbolkan dengan “∀”. Kuantor<br />
universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk semua<br />
individual-individualnya. Perhatikan kalimat berikut ini :<br />
“Semua gajah mempunyai belalai”<br />
Maka jika predikat “mempunyai belalai” diganti dengan simbol B maka<br />
dapat ditulis :<br />
G(x) ⇒ B(x), dapat dibaca “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai<br />
belalai”<br />
Tetapi kalimat di atas belum berupa kalimat berkuantor karena kalimat<br />
diatas belum memuat kata “semua”. Untuk itu perlu ditambahkan simbul<br />
kuantor universal sehingga menjadi<br />
(∀x)(G(x) ⇒ B(x)), jadi sekarang dapat dibaca ” Untuk semua x, jika x<br />
adalah gajah, maka x mempunyai belalai”.
Pernyataan-pernyataan yang berisi kata ”semua”, ”setiap”, atau kata lain<br />
yang sama artinya, mengindikasikan adanya pengkuantifikasian secara<br />
universal, maka dipakai kuantor universal. Dalam bahasa inggris,<br />
misalnya untuk orang ada kata ”every people”, ”all people”, ”anybody”,<br />
“each people”, dan lain-lainnya.<br />
Misalnya jika diketahui pernyataan logika, ”Setiap mahasiswa harus<br />
belajar dari buku teks”, jika ingin ditulis dalam logika predikat, maka<br />
ditentukan misal B untuk “ harus belajar dari buku teks”, sehingga jika<br />
ditulis B(x), berarti “x harus belajar dari buku teks”. Kata “Setiap<br />
mahasiswa” mengindikasikan bernilai benar untuk setiap x, maka<br />
penulisan yang lengkap adalah :<br />
(∀x) Bx, dibaca “Untuk setiap x, x harus belajar dari buku teks”.<br />
Akan tetapi notasi diatas belum sempurna karena x belum menunjuk<br />
mahasiswa, maka harus lebih ditegaskan dan sebaiknya ditulis :<br />
(∀x)(M(x) ⇒ B(x)), dibaca “Untuk setiap x, jika x mahasiswa, maka x<br />
harus belajar dari buku teks”.<br />
Langkah untuk melakukan pengkuantoran universal :<br />
Perhatikan pernyataan berikut ini :<br />
“Semua mahasiswa harus rajin belajar”<br />
Untuk melakukan pengkuantoran universal pada pernyataan tersebut<br />
maka dilakukan langkah-langkah seperti berikut :<br />
1. Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya, yaitu<br />
“Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”.<br />
Selanjutnya akan ditulis :<br />
mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x)<br />
2. Berilah kuantor universal di depannya<br />
(∀x)(mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x))<br />
3. Ubahlah menjadi suatu fungsi<br />
(Ax)(M(x) ⇒ B(x))<br />
Contoh 2.8 :<br />
1. ”Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh ”.<br />
• Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan air untuk<br />
tumbuh<br />
Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x)<br />
• (∀x) (Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x))<br />
• (∀x)(T(x) ⇒ A(x))<br />
2. ”Semua artis adalah cantik”.
• Jika x adalah artis, maka x cantik, Artis(x) ⇒ cantik(x).<br />
• (∀x)( Artis(x) ⇒ cantik(x))<br />
• (∀x)(A(x) ⇒ C(x))<br />
3. Jika diketahui persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan<br />
bilangan bulat positif A > 5 . Tentukan nilai kebenaran (∀x∈A)<br />
x+3>10. Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka harus dicek<br />
satu persatu<br />
A={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang<br />
dimasukkan harus memenuhi persamaan yaitu x+3>10<br />
Untuk A=1, maka 1+3>10 ≡ 4>10 Memenuhi<br />
A=2, maka 2+3>10 ≡ 5>10 Memenuhi<br />
A=3, maka 3+3>10 ≡ 6>10 Memenuhi<br />
A=4, maka 4+3>10 ≡ 7>10 Memenuhi<br />
Karena semua himpunan A memenuhi, maka (∀x) x+3>10 bernilai<br />
benar. Tapi jika ada satu saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya<br />
dimasukkan A=8, sehingga 8+3>10 ≡ 11>10, dimana hasilnya salah<br />
maka (∀x) x+3>10 bernilai salah. Nilai x yang menyebabkan suatu<br />
kuantor bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau<br />
counter example.<br />
KUANTOR EKSISTENSIAL (EXISTENSIAL QUANTIFIER)<br />
Kuantor eksistensial menunjukkan bahwa diantara objek-objek (term –<br />
term) dalam semestanya, paling sedikit ada ada satu term/objek<br />
yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat<br />
meletakkan kata-kata : “Terdapat…..”, “Beberapa x bersifat…..”, “Ada……”,<br />
“Paling sedikit ada satu x………” di depan kalimat terbuka yang<br />
mengandung variabel x. Kuantor eksistensial disimbolkan dengan ”∃”.<br />
Kuantor eksistensial mengindikasikan bahwa sesuatu kadang-kadang<br />
bernilai benar untuk individu-individualnya.<br />
Dalam bahasa inggris, penggunaan kuantor eksistensial dapat ditunjukkan<br />
dengan penggunaan kata kata: ”some”,” there is”, ”at least one”, dan<br />
kata-kata lain yang sama artinya.<br />
Perhatikan kalimat berikut ini :<br />
” Ada pelajar yang memperoleh beasiswa berprestasi ”<br />
Untuk melakukan pengkuantoran eksistensial pada pernyataan tersebut,<br />
dilakukan langkkah-langkah sebagai berikut :<br />
1. Carilah scope dari kuantor-kuantor eksistensialnya, yaitu :<br />
“Ada x yang adalah pelajar, dan x memperoleh beasiswa berprestasi “.<br />
Selanjutnya akan ditulis :<br />
Pelajar(x) ∧ memperoleh beasiswa berprestasi(x)<br />
2. Berilah kuantor eksisitensial di depannya.<br />
(∃x) (Pelajar(x) ∧ memperoleh beasiswa berprestasi(x))<br />
3. Ubahlah menjadi suatu fungsi.<br />
(∃x)(P(x) ∧ B(x))
Contoh 2.9:<br />
1. “Beberapa orang rajin beribadah”.<br />
Jika ditulis dengan menggunakan logika predikat, maka:<br />
• ”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah”.<br />
• (∃x)(Orang(x) ∧ rajin beribadah(x))<br />
• (∃x)(O(x) ∧ I(x))<br />
2. “Ada binatang yang tidak mempunyai kaki”.<br />
• “Terdapat x yang adalah binatang, dan x tidak mempunyai kaki”.<br />
• (∃x)(binatang(x) ∧ tidak mempunyai kaki(x))<br />
• (∃x)(B(x) ∧ ¬K(x))<br />
3. Misalkan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran<br />
(∃x ∈ B)(x 2 =x).<br />
(∃x ∈ B)(x 2 =x) dapat dibaca “Terdapat x yang adalah bilangan bulat<br />
dan x memenuhi x 2 =x”. (∃x ∈ B)(x 2 =x) akan bernilai benar jika dapat<br />
ditunjukkan paling sedikit ada satu bilangan bulat yang memenuhi<br />
x 2 =x.<br />
Misal x= -1, maka (-1) 2 =1 Tidak memenuhi<br />
X= 1, maka (1) 2 =1 Memenuhi<br />
Karena ada satu nilai yang memenuhi, yaitu x=1, maka pernyataan di<br />
atas bernilai benar.<br />
MEMPREDIKATKAN SATU DAN N-ARITAS OBJEK<br />
Contoh berikut merupakan pernyataan untuk semakin memahami cara<br />
menulis simbol dengan logika predikat. Perhatikan dengan sekssms<br />
bsgsimsns huruf besar menggantikan predikat dan huruf kecil<br />
menggantikan variabel (objek).<br />
Contoh 2.10:<br />
1. Badu seorang mahasiswa. M(b)<br />
2. Jika Badu rajin belajar, maka ia akan lulus. B(b) ⇒ L(b)<br />
3. Semua rumput berwarna hijau. (∀y)(R(y) ⇒ H(y))<br />
Tidak selalu harus menggunakan huruf kecil x untuk variabel yang umum,<br />
tetapi yang penting adalah konsisten. Jadi untuk contoh no.3 tidak boleh<br />
ditulis (∀y)(R(y) ⇒ H(x))<br />
Contoh 2.11:<br />
1. Semua orang harus bekerja. (∀x)(O(x) ⇒ B(x))<br />
2. Beberapa mahasiswa lupus sarjana. (∃x)(M(x) ∧ L(x))<br />
3. Ada sesuatu yang hilang di desa Sidomakmur. (∃x)(S(x) ∧ H(x))<br />
Dari berbagai contoh di atas, dapat kita simpulkan bahwa :<br />
• Jika pernyataan memakai kuantor universal (∀), maka digunakan<br />
perangkai implikasi (⇒), yaitu “Jika semua......maka.....”<br />
• Jika pernyataan memakai kuantor eksistensial (∃), maka digunakan<br />
perangkai konjungsi (∧), yaitu “Ada...yang...dan....”.<br />
Conoth-contoh diatas berhubungan dengan predikat unary atau relasi satu<br />
tempat (objek hanya satu), dan tentu saja penulisan simbol harus ampu
menunjukkan predikat n-ary yaitu relasi dimana objeknya sebanyak n<br />
buah. Lihat contoh berikut :<br />
Contoh 2.12:<br />
1. Setiap orang mencintai Jogjakarta. (∀x) C(x,J)<br />
2. Setiap bilangan genap dapat dibagi 2. (∀x)(G(x) ⇒ B(x,2))<br />
3. Tak ada bilangan prima di antara 23 dan 29. (∃x)(P(x) ∧ A(x,23,29))<br />
4. Badu mengenal seua benda. (∀x) K(b,x)<br />
KUANTOR GANDA<br />
Domain atau semesta pembicaraan penafsiran kuantor sangat penting<br />
untuk menentukan jenis kuantor yang akan digunakan serta<br />
mempengaruhi penulisan simbolnya. Lihat contoh berikut :<br />
“Setiap orang mencintai Jogjakarta”<br />
Selanjutnya, dapat ditulis simbolnya dengan logika predikat<br />
(∀x) C(x,j)<br />
Simbol tersebut dapat dibaca “Untuk semua y, y mencintai Jogjakarta”.<br />
Persoalan yang terjadi adalah domain penafsirab seseorang untuk y bisa<br />
berbeda-beda. Ada orang yang menganggap y hádala manusia, tetapi<br />
mungkin orang lain menganggap y bisa mahluk hidup apa saja, misal<br />
ayam, bebek, bahkan mungkin y bisa menjadi benda apa saja. Tentu saj<br />
domain penafsiran semacam ini kacau karena yang dimaksudkan pasti<br />
hanya orang atau manusia. Oleh karena itu, untuk memastikan bahwa<br />
domain penafsiran hanya orang, penulisan simbol harus diperbaiki seperti<br />
berikut :<br />
(∀y)(O(y) ⇒ C(y,j))<br />
Sekarang simbol tersebut dapat dibaca ”Untuk semua y jika y adalah<br />
orang, maka y mencintai Jogjakarta”.<br />
Untuk menulis simbol yang tepat, memang harus menempatkan terlebih<br />
dahulu domain penafsiran karena domain penafsiran Sangay<br />
mempengaruhi penulisan dan sekaligus menghindari terjadinya<br />
ambiguitas. Contoh domain penafsiran yang bersifat umum antara lain<br />
manusia, binatang, tumbuh-tumbuhan, bilangan prima, bilangan asli, dan<br />
sebagainya, yang nantinya akan menggunakan kuantor universal. Akan<br />
tetapi jira tertentu saja atau tidak semuanya, misalnya beberapa<br />
manusia, atau satu manusia saja, akan memakai kuantor yang berbeda<br />
yaitu kuantor eksisitensial.<br />
Persoalan selanjutnya adalah bagaimana jira memakai dua kuntor yang<br />
berbeda pada satu penulisan simbol yang berasal dari satu pernyataan.<br />
Apakah domain penafsiran juga akan berbeda atau sama?. Perhatikan<br />
contoh berikut ini :<br />
“Setiap orang dicintai oleh seseorang”
Dengan notasi simbol logika predikat, akan ditullis seperti berikut<br />
(∀x)(∃y) C(y,x)<br />
Yang dapat dibaca ”Untuk semua x, terdapat y dimana y mencintai x”<br />
X dan Y sebenarnya menunjuk domain penafsiran yang sama yaitu orang,<br />
dan pada simbol tersebut ternyata dibedakan. Penulisan tersebut lebih<br />
baik lagi jika bisa memakai variable yang sama. Maka pernyataan diatas<br />
secara lengkap dapat ditulis :<br />
(∀x)(O(x) ⇒ (∃x)(O(y) ∧ C(y,x)))<br />
Sekarang perhatikan contoh penulisan pernyataan berikut jika<br />
menggunakan angka atau bilangan.<br />
(∀x∈real)(∀y∈real)S(x,y), misalkan S(x,y)=x+y=y+x dan dapat dibaca “<br />
Untuk semua bilangan real x dan semua bilangan real y, adalah benar<br />
x+y=y+x”<br />
Sekarang perhatikan jika pengkuantoran ternyata melibatkan lebih dari<br />
satu jenis kuantor dengan contoh pernyataan berikut :<br />
“Terdapat bilangan positif x sedemikian sehingga untuk semua bilangan<br />
positif y berlaku y
¬[(∀x)(∃y) P(x,y)] ≡ (∃x)(∀y) ¬P(x,y)<br />
Contoh 2.14:<br />
Tentukan negasi dari logika predikat berikut ini :<br />
1. (∀x)(∃y) x=2y dengan domainnya adalah bilangan bulat<br />
(∀x)(∃y) x=2y dibaca “Untuk semua bilangan bulat x, terdapat<br />
bilangan bulat y yang memenuhi x=2y. Maka negasinya :<br />
¬[(∀x)(∃y) x=2y] ≡ (∃x)(∀y) x≠2y<br />
2. Ada toko buah yang menjual segala jenis buah<br />
Dapat ditulis (∃x)(∀y) x menjual y. Maka negasinya<br />
¬[(∃x)(∀y) x menjual y] ≡ (∀x)(∃y) x tidak menjual y<br />
Dibaca “Semua toko buah tidak menjual paling sedikit satu jenis<br />
buah”.<br />
Mengubah pernyataan ke dalam logika predikat yang memiliki kuantor<br />
ganda<br />
Misal : “Ada seseorang yang mengenal setiap orang”<br />
Langkah-langkahnya :<br />
1. Jadikan potongan pernyataan ”x kenal y”, maka akan menjadi K(x,y).<br />
K(x,y) : x kenal y<br />
2. Jadikan potongan pernyataan ”x kenal semua y”, sehingga menjadi<br />
(∀y) K(x,y)<br />
3. Jadikan pernyataan “ada x, yang x kenal semua y”, sehingga menjadi<br />
(∃x)(∀y) K(x,y)<br />
Latihan :<br />
Ubahlah pernyataan berikut ke dalam logika predikat kemudian negasikan<br />
1. Setiap orang memiliki seseorang yang menjadi ibunya.<br />
2. Semua orang menghormati Presiden SBY.<br />
3. Ada mahasiswa TI yang tidak lulus logika informatika.<br />
4. Setiap orang dicintai oleh seseorang.<br />
5. Ada programmer yang menguasai semua bahasa pemrograman.