11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

More documents

Recommendations

Info

76 Hendra Gunawan Bukti. Misalkan f konveks pada I. Untuk tiap c ∈ I, kita mempunyai f ′′ (c) = lim h→0 f(c + h) − 2f(c) + f(c − h) h2 . Kita pilih h cukup kecil sedemikian sehingga c − h dan c + h ada di I. Maka, c = 1 2 [(c + h) + (c − h)], sehingga f(c) = f 1 2 1 (c + h) + (c − h) 2 ≤ 1 2 1 f(c + h) + f(c − h). 2 Akibatnya, f(c + h) − 2f(c) + f(c − h) ≥ 0. Karena h 2 > 0 untuk tiap h = 0, kita simpulkan bahwa f ′′ (c) ≥ 0. Sebaliknya, misalkan f ′′ (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I. Untuk membuktikan bahwa f konveks pada I, ambil x1, x2 ∈ I dan 0 < t < 1, dan misalkan x0 = (1 − t)x1 + tx2. Berdasarkan Teorema Taylor, terdapat ξ1 di antara x0 dan x1 sedemikian sehingga f(x1) = f(x0) + (x1 − x0)f ′ (x0) + (x1 − x0) 2 dan juga terdapat ξ2 di antara x0 dan x2 sedemikian sehingga f(x2) = f(x0) + (x2 − x0)f ′ (x0) + (x2 − x0) 2 2 2 f ′′ (ξ1) f ′′ (ξ2). Perhatikan bahwa (1 − t)(x1 − x0) + t(x2 − x0) = (1 − t)x1 + tx2 − x0 = 0 dan E := (1 − t) (x1−x0)2 2 f ′′ (ξ1) + t (x2−x0)2 2 f ′′ (ξ2) ≥ 0. Akibatnya, (1 − t)f(x1) + tf(x2) = f(x0) + E ≥ f(x0) = f((1 − t)x1 + tx2), sebagaimana yang kita harapkan. Soal Latihan 1. Buktikan f konveks pada interval I jika dan hanya jika untuk setiap x1, x2, x3 ∈ I dengan x1 < x2 < x3 berlaku f(x2) − f(x1) x2 − x1 ≤ f(x3) − f(x2) . x3 − x2 Berikan interpretasi geometrisnya beserta ilustrasinya.
Pengantar Analisis Real 77 2. Buktikan f konveks pada interval I jika dan hanya jika untuk setiap x1, x2, x3 ∈ I dengan x1 < x2 < x3 berlaku f(x2) − f(x1) x2 − x1 ≤ f(x3) − f(x1) . x3 − x1 Berikan interpretasi geometrisnya beserta ilustrasinya. 3. Buktikan jika f konveks pada interval terbuka I, maka lim h→0− f(c + h) − f(c) h dan lim h→0 + f(c + h) − f(c) h ada untuk setiap c ∈ I, dan sebagai akibatnya f kontinu pada I. 4. Misalkan f mempunyai turunan pada interval terbuka I. Buktikan f konveks jika dan hanya jika f ′ naik pada I. 5. Misalkan I interval terbuka, f : I → R naik sejati, konveks, dan mempunyai turunan pada I. Misalkan c ∈ I sedemikian sehingga f(c) = 0. Konstruksi barisan 〈xn〉 dengan x1 > c dan xn+1 = xn − f(xn) f ′ , n = 1, 2, 3, . . . . (xn) Buktikan bahwa xn → c untuk n → ∞. (Metode penghampiran ‘akar’ f ini dikenal sebagai Metode Newton-Raphson. Untuk f(x) = x 2 − a, metode ini menghasilkan barisan 〈xn〉 yang dibahas pada Bab 3, Contoh 13.)
Page 1 and 2: 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONV
Page 3 and 4: Maka, f(1−) = 1 = f(1), sedangkan
Page 5 and 6: Pengantar Analisis Real 73 Bukti. (
Page 7: 11.4 Fungsi Konveks* Pengantar Anal

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?