Sistem persamaan Aljabar Linear

Modul 2: 

Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) 

dengan Metode Eliminasi Gauss dan variannya 

Seri Matematika Terapan untuk S2 

Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) atau dikenal juga sebagai 

‘Persamaan Aljabar Linier Serempak’ banyak sekali dijumpai 

dalam perhitungan-perhitungan teknik kimia yang melibatkan 

solusi numeris. Beberapa metode solusi yang melibatkan solusi 

SPAL, di antaranya dalah: solusi Sisten Persamaan Aljabar Non- 

Linier (SPANL), solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB), solusi 

persamaan Diferensial Parsial (PDP), Regresi Linier dan Non- 

Linier, dll. 

Dalam modul ini, para mahasiswa S2 akan diajak terlebih dahulu 

untuk membaca ulang (review) secara ringkas dan cepat tentang 

beberapa pengertian dasar skalar, vektor, matriks, dan sistem 

persamaan linier. Pengulangan ini sangat diperlukan mengingat 

banyak di antara peserta ajar S2 yang sudah terlupa dengan materimateri 

kuliah matematik yang pernah diikutinya. Di samping itu 

juga, para pembaca diajak untuk memahami secara praktis tentang 

konsep-konsep pemahaman dalam aljabar linier yang 

diimplementasikan dalam metode numerik. 

Setelah pengulangan tentang aljabar numeris, para pembaca diajak 

secara ringkas untuk memahami konsep-konsep perhitungan 

numeris yang berhubungan dengan metode-metode Eliminasi 

Gauss dan Pivot Gauss. Kemudian, lebih jauh lagi diajak untuk 

melakukan analisis numerik dalam solusi-solusi Dekomposisi LU 

dan Matriks Tri-Diagonal. 

A. Skalar, Vektor, Matriks dan SPAL 

(a). Skalar atau konstanta didefinisikan sebagai suatu obyek 

tunggal (berdimensi nol), baik bilangan nyata (R, real) ataupun 

Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 2 – Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) (1/1)


bilangan kompleks (C, complex) yang daripadanya dapat dilakukan 

sembarang operasi aritmatika/aljabar secara linier, seperti: 

penambahan (adisi), pengurangan (substraksi), perkalian 

(multiplikasi), pembagian (divisi), perpangkatan (eksponen), dsb. 

Dalam prakteknya, besaran skalar dapat dibagi atas 2 bagian besar 

dalam domain bilangan, yaitu: 

k = R, suatu skalar dalam bidang bilangan nyata, 

z = C, suatu skalar dalam bidang bilangan kompleks. 

(b). Vektor atau ‘ruang vektor V’ adalah suatu set (sekumpulan) 

obyek berupa skalar (berdimensi satu) yang kepadanya dapat 

dilakukan operasi-operasi skalar spesifik berupa ‘penambahan 

vektor’ (vector addition) dan ‘perkalian skalar’ (scalar 

multiplication). Operasi-operasi tersebut harus memenuhi aturanaturan 

baku, berupa: asosiatif, komutatif, dan distributif. 

V = R n , suatu set skalar dalam bidang bilangan nyata dengan 

jumlah anggota sebanyak n buah, atau 

V = 

⎡v1 

⎤ 

⎢v 

⎥ 

2 

⎢ ⎥ , merupakan ‘vektor horizontal’, sedangkan 

⎢ M ⎥ 

⎢⎣ 

vn 

⎥⎦ 

H = [ h h L h ] 

1 

2 

n 

, merupakan ‘vektor horisontal’, 

Ζ = C n , suatu set skalar dalam bidang bilangan kompleks 

dengan jumlah anggota sebanyak n buah. 

(c). Matriks didefinisikan sebagai suatu set vektor yang tersususn 

sedemikian rupa sehingga tebentuk kumpulan bilangan dengan 

pola persegi-empat, atau berorder m (baris) x n (kolom) 

(berdimensi dua). 


A = 

⎡a1 

⎢a2 

⎢ 

⎢ M 

⎢ 

⎣an 

, 1 

, 1 

, 1 

a1 

a2 

M 

a 


Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 2 – Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) (3/3) 

, 2 

, 2 

n, 

2 

Dalam sistem linier, pada umumnya hanya digunakan matriksmatrik 

bujur-sangkar sehingga secara sederhana: order matriks 

identik dengan jumlah persamaan. Lambang matriks selalu 

dituliskan dalam huruf besar (capital), sedangkan elemenelemennya 

dituliskan dalam huruf kecil seperti dalam penulisan 

matriks A di atas. 

(d). Sistem persamaan linier, dalam modul ini digunakan istilah 

SPAL (Sistem Persamaan Aljabar Linier) yang didefinisikan 

sebagai suatu set persamaan-persamaan aljabar yang variabelvariabelnya 

berpangkat tunggal (linier) dengan notasi berikut: 

a 

a2 

a 

a 

1, 

1 

, 1 

3, 

1 

n, 

1 

x1 

+ a1 

x1 

+ a2 

x + a 

x 

1 

1 

+ a 

, 2 

, 2 

3, 

2 

n, 

2 

x 

x 

x 

x 

2 

2 

2 

2 

+ . 

+ a 

+ . 

+ a 

+ . 

+ a 

+ . 

+ a 

L 

L 

L 

1, 

n 

2, 

n 

3, 

n 

n, 

n 

a 

a 

M 

a 

1, 

n 

2, 

n 

n, 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

xn 

= b 

xn 

= b 

xn 

= b 

. 

= . 

x = b 

sedemikian rupa sehingga persamaan di atas dapat dituliskan dalam 

notasi berikut: 

atau 

⎡a1 

⎢a2 

⎢ 

⎢ . 

⎢ 

⎣an, 

, 1 

, 1 

1 

a1 

a2 

. 

a 

, 2 

, 2 

n, 

2 

[ A ] ⋅ [ x] 

= [ b] 

. 

. 

. 

. 

a 

a2 

. 

a 

1, 

n 

, 1 

n, 

n 

n 

⎤ ⎡ x1 

⎤ 

⎥ ⎢x 

⎥ 

2 

⎥ ⋅ ⎢ ⎥ 

⎥ ⎢ . 

⎥ 

⎥ 

⎦ ⎢⎣ 

xn 

⎥⎦ 

= 

1 

2 

3 

M 

⎫ 

⎪ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎪ 

⎭ 

⎡b1 

⎤ 

⎢b 

⎥ 

2 

⎢ ⎥ 

⎢ . 

⎥ 

⎢⎣ 

bn 

⎥⎦ 

SPAL di atas memiliki n buah variabel atau bilangan anu (x j , j = 

1, 2,…, n) yang identik dengan jumlah persamaannya. Koefisien-


koefisien x i,j , (x 1,1 . . . x n,n ) merupakan konstanta (diketahui), 

demikian juga b i (b 1 . . . b n ) yang dikenal sebagai vektor ruas 

kanan (VRK). 

Menurut konvensi : indeks pertama dari elemen a i,j menyatakan 

baris (= i) sedangkan indeks kedua menyatakan kolom (= j). 

Agar solusi SPAL di atas dapat diperoleh, maka persayaratan 

(teorema) berikut harus dipenuhi: 

1. A x = b mempunyai jawab unik x ∈ V untuk setiap b ∈ V, 

2. A x = b hanya mempunyai satu solusi x ∈ V untuk setiap b 

∈ V, 

3. Jika A x = 0, berarti x = 0, 

4. A -1 atau inversi dari matriks A ada, 

5. Determinan(A) ≠ 0, 

6. Rank(A) = n, atau matriks A berorder n. 

Seperti telah dijelaskan di atas, matriks A merupakan matriks bujur 

sangkar. Bila teorema di atas tak terpenuhi, maka akan terjadi 

kombinasi linier (akan mengakibatkan persamaan aljabar di atas 

bersifat SINGULAR). 

Kombinasi Linier : 

per baris, cukup hanya 2 baris yang menyebabkannya, 

per kolom, bila semua baris yang menyebabkanya. 

B. Solusi SPAL secara numeris 

Solusi SPAL secara numeris umumnya selalu (harus) lebih efisien 

dan cepat dibandingkan dengan metode-metode analitis, seperti 

metode Cramer. Namun demikian, solusi numerik ini secara teknis 

adakalanya juga berkendala, karena: 



ada beberapa persamaan yang mendekati kombinasi linier, 

akibat adanya “round off error” dari mesin penghitung pada 

suatu tahap perhitungan 

adanya akumulasi “round off error” pada proses komputasi akan 

berakibat domain bilangan nyata (fixed point) dalam perhitungan 

akan terlampaui (overflow), biasanya akibat dari jumlah 

persamaan yang terlalu besar 

Metode-metode solusi numerik yang banyak dipakai, dapat 

diklasifikasikan sebagai: 

a. Metode Langsung 

Eliminasi Gauss (EGAUSS), prinsipnya: merupakan operasi 

eliminasi dan substitusi variabel-variabelnya sedemikian 

rupa sehingga dapat terbentuk matriks segitiga atas, dan 

akhirnya solusinya diselesaikan menggunakan teknik 

substitusi balik (backsubstitution). Metode Eliminasi Gauss 

ini secara ringkas dibahas pada Paragraf C. 

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ), prinsipnya: mirip sekali 

dengan metode EG, namun dalam metode ini jumlah operasi 

numerik yang dilakukan jauh lebih besar, karena matriks A 

mengalami inversi terlebih dahulu untuk mendapatkan 

matriks identitas (I). Karena kendala tersebut, maka metode 

ini sangat jarang dipakai, namun sangat bermanfaat untuk 

menginversikan matriks. Metode ini tidak dibahas lebih 

lanjut dalam pelajaran ini. 

Dekomposisi LU (DECOLU), prinsipnya: melakukan 

dekomposisi matriks A terlebih dahulu sehingga dapat 

terbentuk matriks-matrik segitiga atas dan bawah, kemudian 

secara mudah dapat melakukan substitusi balik 

(backsubstitution) untuk berbagai vektor VRK (vektor ruas 

kanan). Metode ini secara lebih jelas akan dibahas pada 

Paragraf F, khusus tentang metode-metode dekomposisi LU 

dan teknik komputasinya. 



Solusi sistem TRIDIAGONAL (S3DIAG), prinsipnya 

merupakan solusi SPAL dengan bentuk matrik pita (satu 

diagonal bawah, satu diagonal utama, dan satu diagonal atas) 

pada matriks A. Metode ini akan dibahas lebih lanjut pada 

Paragraf K. 

b. Metode Tak-Langsung (Metode Iteratif) 

Metode Jacobi, prinsipnya: merupakan metode iteratif yang 

melakuakn perbaharuan nilai x yang diperoleh tiap iterasi 

(mirip metode substitusi berurutan, successive substitution), 

Metode Gauss-Seidel, prinsipnya: mirip metode Jacobi, 

namun melibatkan perhitungan implisit, 

Metode Successive Over Relaxation (SOR), prinsipnya: 

merupakan perbaikan secara langsung dari Metode Gauss- 

Seidel dengan cara menggunakan faktor relaksasi (faktor 

pembobot) pada setiap tahap/proses iterasi. 

Metode-metode tak-langsung seperti di atas pada umunya 

sangat tidak efisien dan ‘time consuming’ (memerlukan CPUtime) 

yang jauh lebih besar dari metode langsung. Metode ini 

dapat dilihat dan dipelajari pada buku-buku numerik yang ada 

di perpustakaan atau toko buku. 

C. Algoritma Solusi SPAL dengan Metode Eliminasi Gauss 

Langkah #1: Pilih harga 

) 1 ( 

1, 

1 

a sedemikian rupa yang tidak 

berharga nol. Tentukan ‘pengali baris’ sebagai berikut: 

( 1) 

m , 1 ai, 

1 

( 1) 

1, 

1 

i = a ; i = 2,3,…,n 

Kemudian, konstanta-konstanta pengali baris (m) di atas 

digunakan untuk melakukan ‘eliminasi’ term-term x 1 pada 

persamaan-persamaan 2 sampai ke-n, seperti berikut: 


( 2) 

( 1) 

( 1) 

i, 

j ai, 

j − mi, 

1 a1, 

j 

a = ⋅ ; i,j = 2, …, n 

( 2) 

( 1) 

bi bi 

− mi, 

1 

( 1) 

1 

= ⋅ b ; i = 2, …, n 


Dalam hal ini, baris pertama dari matriks A dan vektor b tidak 

boleh diganggu, sedangkan kolom pertama dari matriks A (1) di 

bawah diagonal harus dibuat nol. Sistem A (2) ·x = b (2) akan 

tampak seperti berikut: 

⎡ ( 

a1, 

⎢ 

⎢ 0 

⎢ 

⎢ M 

⎢ 

⎣ 

0 

1) 

1 

a 

a 

a 

( 1) 

1, 

2 

( 2) 

2, 

2 

M 

( 2) 

n, 

2 

L 

L 

L 

⎤ ⎡ ( 1) 

⎡ x1 

⎤ b ⎤ 

⎥ ⎢ 1 

⎢ ⎥ ⎥ 

⎥ ⎢ 

x ( 2) 

2 ⎥ ⎢b 

⎥ 

⎥ ⋅ = 2 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎥ 

M 

⎢ ⎥ ⎢ 

M 

⎥ 

⎥ ⎣x 

⎦ ⎢ ( 2) 

n ⎣ 

⎥ 

⎦ 

bn 

⎦ 


a 

a 

a 

( 1) 

1, 

n 

( 2) 

2, 

2 

M 

( 2) 

n, 

n 

Proses eliminasi dilanjutkan untuk kolom-kolom 2, 3 sampai ken, 

dan diungkapkan dalam langkah berikut. 

Langkah k: menggunakan k untuk indeks iterasi, untuk rentang 

harga: 1 ≤ k ≤ n-1. 

Bila A (k) ·x = b (k) telah terbentuk, dan dengan anggapan termterm 

x1 , x2, 

K , xk 

−1 

telah tereliminasi pada tahap sebelumnya, 

sehingga matriks A (k) sekarang memiliki bentuk sebagai berikut: 

A (k) = 

⎡ ( 1) 

( 1) 

a1, 

1 a1, 

1 ⋅ ⋅ ⋅ 

⎢ 

⎢ ( 2) 

0 a 

⎢ 2, 

2 

⎢ M 

O 

⎢ 

⎢ 

( k) 

0 L 0 a 

⎢ 

k, 

k L 

⎢ M M M 

⎢ 

⎢ 

( k) 

⎣ 

0 L 0 an, 

k L 

a 

a 

a 

a 

( 1) 

1, 

n 

( 2) 

2, 

n 

M 

( k) 

k, 

n 

M 

( k) n, 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦

Pilih harga 

) 1 ( 

1, 

1 


a sedemikian rupa yang tidak berharga nol. 

Tentukan ‘pengali baris’ sebagai berikut: 

i, 

k 

( k) 

i, 

k 

( k) 

k, 

k 

m = a a ; i = k+1,…,n 

Kemudian, gunakan konstanta-konstanta di atas untuk 

mengeliminasi term-term x k pada persamaan-persamaan k+1 

sampai ke-n, seperti berikut: 

( k + 1) 

i, 

j 

( k) i, 

j 

a = a − m ⋅ a 

i, 

k 


( k) 

k, 

j 

( k + 1) 

( k) 

( k) 

i = bi 

− mi, 

k bk 

b ⋅ 

; i,j = 2, …, n 

Baris-baris terdahulu, dari 1 sampai k, tidak boleh diganggu, 

dan harga-harga nol dimasukkan pada kolom k di bawah 

diagonal. 

Dengan mengikuti langkah-langkah seperti di atas, setelah 

langkah ke n-1 akan diperoleh suatu matriks dengan susunan 

seperti berikut: 

⎡ ( 

a1, 

⎢ 

⎢ 0 

⎢ 

M 

⎢ 

⎢⎣ 

0 

1) 

1 

L 

O 

L 

L 

O 

L 

a 

a 

( 1) 

1, 

n 

M 

M 

( n) n, 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⋅ 

⎥ 

⎥⎦ 

⎡ x 

⎢ 

⎢ 

M 

⎢ M 

⎢ 

⎣x 

1 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎡ ( 1) 

b ⎤ 

1 ⎢ ⎥ 

⎢ M 

= 

⎥ 

⎢ 

M 

⎥ 

⎢ ⎥ 

( n) 

⎢⎣ 

bn 

⎥⎦ 

Perhatikan, bahwa matriks A di atas sekarang telah berubah 

menjadi matriks segitiga atas (= matriks U), sehingga: 

U·x = b (n) 

Hal ini berarti bahwa solusi harga-harga x harus dilakukan 

dimulai dari indeks terbesar (=n) menuju indeks terkecil (=1),


yang disebut sebagai substitusi balik (back substitution), yang 

dimulai dengan: 

x = 

n 

b 

( n) 

( n) n an, 

n 

kemudian, diikuti dengan: 

x 

k 

= 

a 

1 

( k) 

k, 

k 

⎛ 

⎜ 

b 

⎝ 

( k) 

k 

− 

n 

∑ 

j= 

k + 1 

a 

⎞ 

⎟ 

; k = n-1,n-2,…,1 

⎠ 


( k) 

k, 

j 

D. Teknik Pivoting dalam Metode Eliminasi Gauss 

Dalam beberapa kasus, terutama bila dijumpai matriks-matrik yang 

bersifat ‘singular’ karena adanya ‘kombinasi linier’, solusi secara 

langsung menggunakan algoritma metode eliminasi Gauss tidak 

memberikan hasil dan ketelitian yang baik, bahkan seringkali 

memberikan hasil yang meleset jauh dari yang diharapkan. 

Untuk menghindari fenomena tersebut, diperlukan modifikasi dari 

algoritma eliminasi Gauss. Pada prinsipnya, modifikasi tersebut 

dilakukan dengan memperhatikan hal-hal berikut: 

Harga pivot diambil yang terbesar dari setiap baris dan kolom 

yang sesuai, yaitu komponen a ii , 

Pemilihan pivot dilakukan berdasarkan ‘pembandingan harga 

terbesar (maksimum)’ dari setiap elemen a ∀ j ≥ i, 

Untuk hasil terbaik, sebaiknya gunakan variabel ‘presisi ganda’ 

(DOUBLE PRECISION atau REAL*8). 

⋅ x 

j 

ji

E. Contoh Solusi SPAL dengan Eliminasi Gauss 

Diberikan SPAL berikut: 

4 x 

2 x 

2 x 

1 

1 

1 

+ 

x 

+ 3x 

2 

+ 4 x 

2 

2 

+ 3x 

+ 10 x 

+ 17 x 

Maka, solusinya adalah sebagai berikut: 


Tahap I : Triangularisasi 

Eliminasi x 1 dari persamaan kedua dan ketiga (dalam hal ini : 

persamaan pertama disebut “persamaan pivotal”, sedangkan 

koefisien pertama dari persamaan kedua disebut “pivot”) 

Persamaan pertama dikalikan dengan 2 untuk mengeliminasi 

x pada persamaan kedua ; Persamaan pertama dikalikan 

1 

dengan 2 untuk mengeliminasi x 1 pada persamaan ketiga : 

2 x 

1 

+ 

3x 

x 

x 

2 

2 

2 


3 

3 

3 

+ 3x 

+ 14 x 

3 

+ 4 x 

Eliminasi x 2 dari persamaan ketiga (dalam hal ini : 

persamaan kedua menjadi “persamaan pivotal”, 

sedangkan koefisien x 2 dari persamaan ketiga disebut 

“pivot”) 

Persamaan kedua dikalikan dengan 3 untuk 

mengeliminasi x 2 pada persamaan kedua : 

2 x 

1 

2 

2 

3 

3 

+ 3x 

2 x 

3 

+ 4 x 

Tahap II : Substitusi Balik (Back Substitution) 

+ 

x 

x 

3 

3 

= 

= 

= 

= 

= 

= 

= 

= 

= 

11 

28 

31 

11 

6 

20 

11 

6 

2


Dimulai dari baris ketiga (baris terakhir, baris ke n), 

langsung dapat dihitung bahwa : x n = b n a n , n 

Baris lainnya, dimulai dari beris ke n-1 sampai baris 

pertama dihitung menggunakan algoritma : 

x 

i 

⎛ 

⎜ 

bi 

= 

⎝ 

− 

n 

∑ a ⋅ 

j = i+ 

1 

a 

i, 

i 

i, 

j x j ⎟ Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 2 – Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) (11/11) 

⎞ 

⎠ 

; i = n −1, 

n − 2, 

K, 

1 

Perolehan : vektor jawab yang dihasilkan adalah 

[ x ] 

= 

⎡ x 

⎢ 

⎢ 

x 

⎢⎣ 

x 

1 

2 

3 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 

= 

⎡3⎤ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

2 

⎥ 

⎢⎣ 

1⎥⎦ 

(a). Listing Program Eliminasi Gauss (tanpa Pivoting) 

C PROGRAM Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) atau 

C atau Persamaan Aljabar Linier Simultan 

C Deklarasi Jenis dan Variabel: 

C ----------------------------- 

IMPLICIT NONE 

INTEGER iarg 

PARAMETER (iarg = 7) 

INTEGER i,j,k,neq 

REAL*8 A(iarg,iarg) 

REAL*8 b(iarg),x(iarg) 

CALL system('clear') 

C Proses Pemasukan Harga Variabel: 

C -------------------------------- 

WRITE(*,10) 'Jumlah Persamaan : ' 

READ(*,*) neq 

DO i = 1,neq 

DO j = 1,neq 

WRITE(*,20) 'A(',i,',',j,') : ' 

READ(*,*) A(i,j) 

ENDDO 

WRITE(*,30) 'b(',i,') : ' 

READ(*,*) b(i) 

ENDDO 

C Proses Pemanggilan Subprogram Eliminasi Gauss-Jordan: 

C ----------------------------------------------------- 

CALL EGAUSS(neq,A,x,b) 

C Pemaparan/penyajian Hasil Perhitungan: 

C --------------------------------------

DO i = 1,neq 

WRITE(*,40) 'x(',i,') = ',x(i) 

ENDDO 

10 FORMAT (3X,A,$) 

20 FORMAT (3X,A,I1,A1,I1,A,$) 

30 FORMAT (5X,A,I1,A,$) 

40 FORMAT (5X,A,I1,A,G12.7) 

STOP 

END 


SUBROUTINE EGAUSS(n,A,x,b) 

C --------------------------------------------------------------------------- 

C SUBPROGRAM ELIMINASI GAUSS: | 

C Merupakan solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) dengan | 

C format persamaan matriks: [A].[x] = [b], dengan rincian sbb | 

C n = jumlah persamaan aljabar linier (dimensi SPAL) | 

C A = matriks bujur sangkar n x n yang berisi koefisien persamaan, | 

C x = vektor variabel persamaan yang akan dicari harga-harganya | 

C b = vektor ruas kanan yang berisi harga-harga persamaan tunggal | 

C --------------------------------------------------------------------------- 

C Deklarasi Variabel: 

C ------------------- 

INTEGER n 

REAL*8 A(7,7),b(n),x(n) 

INTEGER i,j,k 

REAL*8 PIVOT,MULT,TOP 

C Proses solusi: (a) Substitusi dan Eliminasi 

C ------------------------------------------- 

DO j = 1,n-1 

PIVOT = A(j,j) 

DO i = j+1,n 

MULT = A(i,j)/PIVOT 

DO k = j+1,n 

A(i,k) = A(i,k) - MULT*A(j,k) 

ENDDO 

b(i) = b(i) - MULT*b(j) 

ENDDO 

ENDDO 

C Proses solusi: (b) Substitusi Balik 

C ----------------------------------- 

x(n) = b(n)/A(n,n) 

DO i = n-1,1,-1 

TOP = b(i) 

DO k = i+1,n 

TOP = TOP - A(i,k)*x(k) 

ENDDO 

x(i) = TOP/A(i,i) 

ENDDO 

RETURN 

END 

Listing program (source code) di atas masih menggunakan 

subroutine eliminasi Gauss yang belum dilakukan ‘pivoting’ pada 

setiap penggunaan elemen a ii . Di bawah ini diberikan subroutine 

yang telah menggunakan ‘teknik pivoting’. 


(b). Listing Program Eliminasi Gauss (dengan Pivoting) 


SUBROUTINE PGAUSS(n,A,x,b) 

C --------------------------------------------------------------------------- 

C SUBPROGRAM ELIMINASI GAUSS dengan TEKNIK PIVOTING | 

C --------------------------------------------------------------------------- 


C ------------------- 

INTEGER n 

REAL*8 A(7,7),b(n),x(n) 

INTEGER i,j,k 

REAL*8 PIVOT,PIVMAX,MULT,TOP 

INTEGER KPOS,ipos(7),itemp 


C -------------------------------------------- 

DO i = 1,n 

ipos(i) = i 

ENDDO 

DO j = 1,n-1 

C Mencari PIVOT terbesar: 

C ----------------------- 

PIVMAX = ABS(A(j,j)) 

KPOS = j 

DO i = j+1,n 

IF (ABS(A(i,j)) .GT. PIVMAX) THEN 

PIVMAX = ABS(A(i,j)) 

KPOS = i 

ENDIF 

ENDDO 

IF (KPOS .NE. j) THEN 

itemp = ipos(j) 

ipos(j) = ipos(KPOS) 

ipos(KPOS) = itemp 

ENDIF 

C Akhir pencarian PIVOT terbesar: 

C ------------------------------- 

C write(*,*) 'i-pos = ',ipos(j) 

PIVOT = A(ipos(j),j) 

DO i = j+1,n 

itemp = ipos(i) 

MULT = A(itemp,j)/PIVOT 

DO k = j+1,n 

A(itemp,k) = A(itemp,k) - MULT*A(ipos(j),k) 

ENDDO 

b(itemp) = b(itemp) - MULT*b(ipos(j)) 

ENDDO 

ENDDO 


C ----------------------------------- 

x(n) = b(ipos(n))/A(ipos(n),n) 

DO i = n-1,1,-1 

itemp = ipos(i) 

TOP = b(itemp) 

DO k = i+1,n 

TOP = TOP - A(itemp,k)*x(k) 

ENDDO 

x(i) = TOP/A(itemp,i) 

ENDDO 

RETURN 

END 


F. Prinsip Dekomposisi LU dan Matriks Identitas 


Matriks [A] dari SPAL didekomposisi (difaktorisasis) menjadi 

matriks-matrik segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U) sedemikian 

rupa sehingga identitasnya adalah: 

[A] = [L]·[U] atau A = L·U 

F1. Notasi Matriks LU berdasarkan Metode Doolittle 

Notasi matriks L seperti di atas dituliskan sbb: 

L = 

⎡ 1 

⎢ 

⎢ 

l 2 

⎢ M 

⎢ 

⎢ l i , 

⎢l 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

, 1 

1 

i+ 

1, 

1 

l 

M 

n, 

1 

l 

l 

0 

1 

i, 

2 

i+ 

1, 

2 

l 

M 

M 

n, 

2 

L 

L 

O 

L 

L 

L 

l 

i+ 

1, 

i 


l 

Perhatikan, bahwa semua elemen diagonal dari matriks L di atas 

berharga 1 (satu) ! Sedangkan semua elemen di atas diagonal 

semuanya berharga 0 (nol) ! 

Notasi matriks U dituliskan sbb: 

U = 

u 

⎡ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

1 

, 1 

0 

M 

0 

0 

M 

0 

u 

u 

1, 

2 

2, 

2 

M 

0 

0 

M 

0 

L 

L 

O 

L 

u 

1, 

i 

L 

O 

L 

0 

0 

M 

1 

M 

n, 

i 

u 

u 

u 

u 

L 

L 

L 

L 

O 

L 

1, 

n−1 

2, 

n−1 

M 

i, 

n−1 

i+ 

1, 

n−1 

M 

0 

0⎤ 

0 

⎥ 

⎥ 

M⎥ 

⎥ 

0⎥ 

0⎥ 

⎥ 

M⎥ 

⎥ 

1⎦ 

u 

u 

u 

u 

1, 

n 

2, 

n 

i, 

n 

i+ 

1, 

n 

u 

M 

M 

n, 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦


Perhatikan, bahwa semua elemen yang terletak di bawah 

diagonal dari matriks U di atas (= u1,1 … un,n) berharga 0 (nol) ! 

F2. Notasi Matriks LU berdasarkan Metode Crout 

Notasi matriks L seperti di atas dituliskan sbb: 

L = 

⎡ l1, 

1 

⎢ l 2, 

1 

⎢ 

M 

⎢ 

⎢ l i, 

1 

⎢l 

i+ 

1 

⎢ M 

⎢ 

⎣ l n, 

1 

, 1 

0 

l 

M 

l 

l 

M 

l 

2, 

2 

i, 

2 

i+ 

1, 

2 

n, 

2 

L 

L 

L 

L 

L 

0 

0 

M 

l 

l 

M 

l 

Perhatikan, bahwa semua elemen diagonal dari matriks L di atas 

tidak harus berharga 1 (satu), sedangkan, elemen-elemen di atas 

diagonal semuanya berharga 0 (nol) ! 

Notasi matriks U dituliskan sbb: 

U = 

⎡1 

⎢0 

⎢ 

M 

⎢ 

⎢0 

⎢0 

⎢M 

⎢ 

⎣0 

u1 

1 

M 

0 

0 

M 

0 

, 2 

L u1, 

i 

L L 

O 

O 

L 

L 


i, 

i 

i+ 

1, 

i 

n, 

i 

u 

u 

M 

u 

u 

M 

0 

1, 

n−1 

2, 

n−1 

i, 

n−1 

i+ 

1, 

n−1 

L 

L 

O 

L 

L 

L 

u1, 

u2, 

M 

ui, 

u 

M 

1 

n 

n 

n 

i + 1, 

n 

Perhatikan, bahwa semua elemen diagonal (= u1,1 … un,n) berharga 

1 (satu), sedangkan yang terletak di bawahnya berharga 0 (nol) ! 

0 

0 

M 

0 

0 

M 

l 

n, 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦

F3. Notasi Matriks A dan LU dalam SPAL 


Notasi Matriks LU sebagai dekomposan matriks A dapat dituliskan 

dalam SPAL sbb: 

[A] · [x] = [L]·[U]·[x] = [b] 

Sehingga, dalam notasi Metode Doolittle dapat dituliskan: 

⎡a1 

⎢a2 

⎢ 

M 

⎢ 

⎣an 

, 1 

, 1 

, 1 

a 

a 

1, 

2 

2, 

2 

L 

L 

L 

L 

a 

a 

M 

a 

1, 

n 

2, 

n 

n, 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

= 

⎡ 1 

⎢l 

2 

⎢ M 

⎢ 

⎣l 

n, 

, 1 

1 

0 

L 

l 


n, 

2 

L 0⎤ 

⎡u1 

L 0⎥ 

⎢ 0 

M⎥ 

· ⎢ 

M 

L 1 

⎥ ⎢ 

⎦ ⎢⎣ 

0 

, 1 

u1, 

2 

L 

Sedangkan, dalam notasi Metode Crout dapat dituliskan: 

⎡a1 

⎢a2 

⎢ 

M 

⎢ 

⎣an 

, 1 

, 1 

, 1 

a 

a 

1, 

2 

2, 

2 

L 

L 

L 

L 

a 

a 

M 

a 

1, 

n 

2, 

n 

n, 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

= 

⎡l 

1 

⎢l 

2 

⎢ 

M 

⎢ 

⎣l 

, 1 

, 1 

0 

O 

l 

L 

L 

O 

L 

0 

0 

M 

l 

n , 1 n, 

2 n, 

n 

G. Deskripsi Tahapan dan Strategi Dekomposisi 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

· 

⎡1 

⎢0 

⎢ 

M 

⎢ 

⎣0 

0 

u1 

1 

, 2 

0 

L 

L 

L 

L 

L 

O 

L 

Notasi A = LU dalam Metode Doolittle seperti di atas dapat 

diuraikan dalam operasi perkalian matriks (sebagai contoh: matriks 

n x n) sbb: 

Baris 1 (i = 1): 

a1 

a1 

M 

a 

, 1 

, 2 

1, 

n 

= 

u1 

= u1 

M 

= u 

, 1 

, 2 

1, 

n 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

u 

1, 

i 

= a 

1, 

i 

; 

i = 1, 

K, 

n 

u 

a 

M 

u 

1, 

n 

2, 

n 

n, 

n 

u1, 

a2, 

M 

1 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 

n 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦

Baris 2 (i = 2): 

a2,1 = l2,1·u1,1 

a2,2 = l2,1·u1,2 + u2,2 

a2,3 = l2,1·u1,3 + u2,3 

M M 

a2,n = l2,1·u1,n + u2,n 

Baris 3 (i = 3): 

a3,1 = l3,1·u1,1 

a3,2 = l3,1·u1,2 + l32·u2,2 

a3,3 = l3,1·u1,3 + l32·u2,3 + u3,3 

M M 

a3,n = l3,1·u1,n + l32·u2,n + u3,n 

Baris n (i = n): 

an,1 = ln,1·u1,1 

an,2 = ln,1·u1,2 + ln,2·u2,2 

an,3 = ln,1·u1,3 + ln,2·u2,3 + ln,3·u3,3 

M M 


an,n-1 = ln,1·u1,n-1 + ln,2·u2,n-1 + ln,3·u3,n-1 + … + ln,n-1·un-1,n-1 

an,n = ln,1·u1,n + ln,2·u2,n + ln,3·u3,n + … + … + un,n 

# Dari operasi-operasi perkalian matriks LU seperti di atas, dapat 

disimpulkan beberapa hal berikut: 

(1). Mekanisme ‘proses dekomposisi’ dilakukan dengan cara 

mengisi terlebih dahulu baris pertama matriks U. 

Selanjutnya, mengisi matriks L pada baris terendah terlebih 

dulu (mulai baris ke-2), dan kemudian diikuti pengisian 

matriks U pada baris yang sama, demikian seterusnya 

sampai baris terakhir (ke-n). 

(2). Harga-harga dari semua elemen matriks U pada baris 1 

identik dengan elemen-elemen matriks A (matriks asal), 



(3). Harga-harga elemen pada kolom 1 untuk matriks L, dapat 

dihitung menggunakan persamaan berikut: 

li,1 = ai,1 / u1,1 ; i = 2,…,n 

(4). Jumlah maksimum operasi penjumlahan per elemen matriks 

A sesuai dengan jumlah/posisi baris, 

(5). Pada baris rendah, langkah/iterasi pengisian matriks U lebih 

banyak dibandingkan dengan matriks L, dan sebaliknya. 

Tugas/Latihan: 

Lakukan hal yang sama seperti di atas untuk konfigurasi matriks 

LU yang disusun dengan Metode Crout ! 

H. Algoritma Dekomposisi dan Komputasi Praktis 

(a). Algoritma solusi numerik dengan Metode Doolittle: 

Baris 1: 

u1, i = a1, 

i ; 

Baris 2: 

i = 1, 

L, 

n 

Pengisian matriks L: 

a2, 

1 

l 2, 

1 = 

u1, 

1 

Pengisian matriks U: 

u2, 2 = a2, 

2 − l 2, 

1 ⋅u1, 

2 

u2, 3 = a2, 

3 − l 2, 

1 ⋅u1, 

3 

u = a − l ⋅u 

2, 

4 

M 

2, 

4 

2, 

1 

1, 

4 

u 2, 

n = a2, 

n − l 

2, 

n ⋅u1, 

n 


Baris 3: 


a3, 

1 

l 3, 

1 = 

u1, 

1 

( a3, 2 − l3, 

1 ⋅u1, 

2 ) 

l 3, 

2 = 

u2, 

2 


u3, 3 = a3, 

3 − l 3, 

1 ⋅u1, 

3 − l 3, 

2 ⋅u 

u = a − l ⋅u 

− l ⋅u 

3, 

4 

M 

Baris n: 

3, 

4 

3, 

1 

1, 

4 



3, 

2 

2, 

3 

2, 

4 

u 3, 

n = a3, 

n − l 3, 

1 ⋅u1, 

n − l3, 

2 ⋅u2, 

n 


l 

l 

l 

M 

l 

n , 1 = 

n, 

2 

n, 

3 

= 

= 

n, 

n−1 

an, 1 

u 

1, 

1 

an, 2 − l n, 

1 

( ⋅u 

) 

u 

− l 

2, 

2 

1, 

2 

( ⋅u 

− l ⋅u 

) 

= 

an, 3 n, 

1 1, 

3 n, 

2 

u 

3, 

3 

2, 

3 

( a − l ⋅u 

− l ⋅u 

−L 

− l ⋅u 

) 

n, 

n−1 

n, 

1 

1, 

n−1 

n, 

2 

u 

2, 

n−1 

n−1, 

n−1 


= a − l ⋅u 

− l ⋅u 

−L 

− l 

n, 

n−1 

u n, 

n n, 

n n, 

1 1, 

n n, 

2 2, 

n n, 

n−1 

⋅un 

−1, 

n 

(b). Algoritma solusi numerik dengan Metode Crout: 

Sebagai latihan, coba saudara lakukan sendiri dengan cara 

mengikuti langah-langkah untuk Metode Doolittle seperti di 

atas dengan cermat dan seksama! 

n−1, 

n−1

(c). Komputasi dengan Fortran-77 untuk Metode Doolittle: 

C PROGRAM Pengujian Dekomposisi LU 


C ----------------------------- 

IMPLICIT NONE 

INTEGER iarg 


INTEGER i,j,neq 

REAL*8 A(iarg,iarg),LU(iarg,iarg) 

C LU(iarg,iarg) 



C -------------------------------- 

WRITE(*,10) 'Jumlah Persamaan : ' 

READ(*,*) neq 

DO i = 1,neq 

DO j = 1,neq 

WRITE(*,20) 'A(',i,',',j,') : ' 

READ(*,*) A(i,j) 

ENDDO 

ENDDO 

C Proses Pemanggilan Subprogram Eliminasi Gauss: 

C ---------------------------------------------- 

CALL DECOLU(neq,A,LU) 


C -------------------------------------- 

WRITE(*,30) 'Matriks LU yang diperoleh:' 

DO i = 1,neq 

DO j = 1,neq 

WRITE(*,40) LU(i,j) 

ENDDO 

WRITE(*,*) 

ENDDO 



30 FORMAT (/,1X,A) 

40 FORMAT (3X,F10.4,$) 

C 40 FORMAT (3X,F10.4,3X,F10.4,3X,F10.4,3X,F10.4,3X,F10.4) 

STOP 

END 


SUBROUTINE DECOLU(n,A,LU) 

C --------------------------------------------------------------------------- 

C SUBPROGRAM DEKOMPOSI LU: | 

C Merupakan solusi DEKOMPOSISI Matriks A menjadi matriks-matriks L | 

C dan U dengan format [A] = [L].[U] yang hasilnya disimpan dalam LU | 

C n = dimensi matriks A (identik dengan jumlah PAL), | 

C A = matriks bujur sangkar n x n yang berisi koefisien persamaan, | 

C LU = matriks bujur sangkar tempat penyimpanan hasil dekomposisi | 

C matrik A menjadi L dan U (yang disimpan sekaligus dalam LU). | 

C --------------------------------------------------------------------------- 


C ------------------- 

INTEGER n,i,j,k 

REAL*8 A(7,7),LU(7,7),sum 


C Proses pengisian matriks L dan U (dalam matriks LU): 

C ---------------------------------------------------- 

DO j = 1,n 

C Proses pengisian matriks U pada baris pertama: 

C ---------------------------------------------- 

LU(1,j) = A(1,j) 

ENDDO 

DO i = 2,n 

C Proses pengisian matriks L: 

C --------------------------- 

LU(i,1) = A(i,1)/LU(1,1) 

sum = 0.0D0 

DO j = 2,i-1 

DO k = 1,i-2 

sum = sum + LU(i,k)*LU(k,j) 

ENDDO 

LU(i,j) = (A(i,j) - sum)/LU(j,j) 

ENDDO 

C Proses pengisian matriks U: 

C --------------------------- 

DO j = i,n 

sum = 0.0D0 

DO k = 1,i-1 

sum = sum + LU(i,k)*LU(k,j) 

ENDDO 

LU(i,j) = A(i,j) - sum 

ENDDO 

ENDDO 

RETURN 

END 


(d). Untuk Pemahaman yang lebih mendalam, cobalah buat 

program dalam bahasa Fortran-77 untuk Metode Crout! 

I. Manfaat Dekomposisi LU untuk Solusi SPAL 

Solusi SPAL [A] · [x] = [b], melalui teknik dekomposisi matriks 

[A], sangat bermanfaat untuk menyelesaikan problem-problem 

ataupun model matematis yang membentuk SPAL dengan matriks 

[A] yang sama untuk berbagai vektor jawab, [b]. 

Dengan teknik dekomposisi LU ini, penyelesaian akan menjadi 

sangat efisien dan banyak menghemat waktu pada saat telah 

diperoleh dekomposisi matriks [A], karena hasil dekomposisi LU 

tersebut dapat dipakai untuk semua SPAL dengan matriks [A] yang 

identik. 



Bentuk umum SPAL yang menggunakan matriks [A] yang identik, 

seperti disebutkan di atas, dapat dituliskan sbb: 

[A] · 

⎡ x1 

⎢x1 

⎢ 

⎢ 

M 

⎢⎣ 

x1, 

, 1 

, 2 

n 

x2 

x2 

M 

x 

, 1 

, 2 

2, 

n 

L 

L 

L 

x 

x 

M 

x 

n, 

1 

n, 

2 

n, 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 


= 

⎡b1 

⎢b1 

⎢ 

⎢ 

M 

⎢⎣ 

b1, 

Perhatikan, bahwa bentuk di atas sesungguhnya merupakan 

perkalian 2 bentuk matriks, antara matriks bujur sangkar [A] yang 

berdimensi n x n dengan matrik segi 4 yang berdimensi n x m, 

dengan hasil matriks lain yang juga berdimensi n x m! 

, 1 

, 2 

n 

b2 

b2 

M 

b 

, 1 

, 2 

2, 

n 

J. Solusi Numerik SPAL melalui Dekomposisi LU 

Subprogram (SUBROUTINE) di bawah ini dapat digunakan untuk 

solusi SPAL dengan bentuk normal: [A] · [x] = [b], menggunakan 

matriks LU sebagai hasil dekomposisi matriks [A] dengan Metode 

Doolittle. 

C PROGRAM Solusi SPAL dengan Dekomposisi LU 


C ----------------------------- 

IMPLICIT NONE 

INTEGER iarg 


INTEGER i,j,neq 

REAL*8 LU(iarg,iarg),b(iarg),x(iarg) 


OPEN (11,FILE='inputLU.dta') 

C Proses Pemasukan Harga Variabel dari FILE: 

C ------------------------------------------ 

READ(11,*) neq 

DO i = 1,neq 

READ(11,*) (LU(i,j), j=1,neq),b(i) 

ENDDO 

C Proses Pemanggilan Subprogram Eliminasi Gauss: 

C ---------------------------------------------- 

CALL DECOLU(neq,LU) 

CALL SOLVLU(neq,LU,x,b) 


C -------------------------------------- 

L 

L 

b 

b 

M 

b 

n, 

1 

n, 

2 

n, 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦

WRITE(*,30) 'Matriks LU dan vektor x yang diperoleh:' 

DO i = 1,neq 

DO j = 1,neq 

WRITE(*,40) LU(i,j) 

ENDDO 

WRITE(*,50) 'x(',i,') = ',x(i) 

ENDDO 

CLOSE(11) 



30 FORMAT (/,1X,A) 

40 FORMAT (3X,F10.4,$) 

50 FORMAT (5X,1H|,5X,A,I1,A,G10.4) 

STOP 

END 

INCLUDE 'decoLU.sub' 


SUBROUTINE SOLVLU(n,LU,x,b) 

C --------------------------------------------------------------------------- 

C SUBPROGRAM ELIMINASI GAUSS: | 


C teknik dekomposisi LU untuk format persamaan: [A].[x] = [b], | 

C dengan rincian sbb | 


C LU = matriks bujur sangkar n x n yang berisi koefisien persamaan, | 



C --------------------------------------------------------------------------- 


C ------------------- 

INTEGER n 

REAL*8 LU(7,7),b(n),x(n) 

INTEGER i,j 


C ------------------------------------------- 

DO i = 2,n 

DO j = 1,i-1 

b(i) = b(i) - LU(i,j)*b(j) 

ENDDO 

ENDDO 


C ----------------------------------- 

x(n) = b(n)/LU(n,n) 

DO i = n-1,1,-1 

DO j = i+1,n 

b(i) = b(i) - LU(i,j)*x(j) 

ENDDO 

x(i) = b(i)/LU(i,i) 

ENDDO 

RETURN 

END 


Tugas ! 

Ujilah program di atas untuk SPAL berikut: 

⎡2 

⎢4 

⎢ 

⎣2 

1 

3 

4 

3⎤ 

⎡ x1 

⎤ ⎡11⎤ 

10⎥ 

⋅ ⎢x 

⎥ = ⎢ ⎥ 

2 28 

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

17⎦ 

⎣x3 

⎦ ⎣31⎦ 


Perhatikan dengan seksama hasil dekomposisinya (matriks LU) dan 

solusi vektor x-nya ! 

K. Solusi Numerik SPAL dengan Matriks Tri-Diagonal 

Solusi SPAL yang berbentuk matriks tri-diagonal seringkali 

dijumpai pada problem-problem yang berbentuk PDP (persamaan 

diferensial parsial) yang dominan secara diagonal (definit positif). 

K1. Bentuk umum Matrik Tri-Diagonal 

Secara spesifik, bentuk SPAL yang memiliki matriks tri-diagonal 

dapat disajikan sebagai berikut: 

atau 

⎡d 

⎢ 

⎢ 

a 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢⎣ 

1 

2 

c 

d 

a 

1 

2 

3 

c 

d 

2 

3 

O 

a 

c 

3 

O 

n−1 

d 

O 

n−1 

a 

n 

⎤ ⎡ x 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢ 

x 

⎥ ⎢ x 

⎥ ⋅ ⎢ 

⎥ ⎢ M 

⎥ ⎢xn 

⎥ ⎢ 

⎥⎦ 

⎢⎣ 

x 

⎡ b 

⎢ 

⎢ 

b 

⎢ b 

⎢ 

⎢ M 

⎢bn 

⎢ 

⎢⎣ 

b 


c 

n−1 

d 

n 

1 

2 

3 

−1 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 

[A] [x] = [b] 

= 

1 

2 

3 

−1 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦

K2. Teorema Solusi matriks Tri-Diagonal 


Jika matriks bujur-sangkar [A] di atas merupakan matriks yang 

dominan secara diagonal (atau definit :positif) dan membentuk 

matriks tri-diagonal, maka [A] memiliki suatu mentuk faktorisasi 

LU yang unik, dalam hal ini baik L maupun U hanya memiliki duadiagonal: 

L adalah matriks bawah dengan struktur diagonal utama 

(dituliskan dalam lambang [dl]) dan diagonal bawah (dituliskan 

dalam lambang [al]); sedangkan matriks U adalah matriks atas yang 

berisi diagonal utama [du] dan diagonal atas [cu]. 

Langkah solusi yang digunakan adalah analogi dengan metode 

ELIMINASI GAUSS. Dalam hal ini jika penulisan SPAL di atas 

disusunulang menjadi: 

⎡d 

⎢ 

⎢ 

a 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢⎣ 

1 

2 

x 

x 

1 

1 

c 

d 

a 

1 

2 

3 

x 

x 

x 

2 

2 

1 

c 

d 

2 

3 

x 

x 

O 

3 

2 

a 

c 

3 

x 

O 

n−1 

3 

x 

1 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

x ⎥ 

3 

⎥ 

x2 

⎥⎦ 

⎡ b 

⎢ 

⎢ 

b 

⎢ b 

⎢ 

⎢ M 

⎢bn 

⎢ 

⎢⎣ 

b 

Dapat dilihat dengan jelas, selain ketiga diagonal di atas matriks 

[A] hanya diisi oleh elemen 0 (nol), yang berarti bahwa matriks [A] 

di atas, tidak perlu disimpan dalam suatu variabel berbentuk 

matriks, melainkan cukup hanya dalam 3 buah ventor dengan 

panjang masing-masing (maksimum) sebesar n elemen. 

Jumlah memori untuk penyimpanan menjadi semakin sangat berarti 

pada saat harga n menjadi sangat besar. Hal lain yang perlu dicatat 

adalah, bahwa pada setiap kolom, hanya diperlukan 1 buah elemen 

tak-nol (bukan 0) yang dieliminasi, yang berarti juga sebagai 


d 

n−1 

a 

O 

n 

x 

x 

1 

2 

c 

n−1 

d 

n 

= 

1 

2 

3 

−1 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦


“penghematan usaha dan daya komputasi numerik” yang relatif 

sangat besar, bila dibandingkan dengan penghitungan melalui 

matriks penuh. 

Selanjutnya, langkah algoritma penyelesaiannya adalah sebagai 

berikut: 

(a). Jika d1 ≠ 0, maka x1 dapat dieliminasi dari persamaan kedua 

dengan menghitung “faktor pengali” berikut: 

m = 

1 

a 

d 

2 

1 

dan dihasilkan persamaan baru sebagai berikut: 

dengan, 

' 

2 

d x + c x = 

' 

2 

2 

2 

2 

d = d − m 

' 

2 

b = b − m 

2 

1 

3 

1 


c 

b 

1 

' 

1 

(b). Dengan cara yang sama, jika d 2 ≠ 0, 

x2 dapat dieliminasi 

dari persamaan ketiga sehingga dihasilkan persamaan 

ketiga yang baru, sebagai berikut: 

dengan, 

dan 

' 

3 

d x + c x = 

3 

m = 

2 

' 

3 

a 

d 

3 

' 

2 

3 

4 

d = 

d − m 

3 

2 

c 

2 

b 

b 

' 

2 

' 

3 

'

' 

3 

b = b − m 

3 

2 



b 

' 

2 

(c). Teruskan cara perhitungan di atas, sehingga dapat 

disimpulkan pada tahap-i, xi dapat dieliminasi dari 

' 

persamaan i+1 (dengan asumsi d i ≠ 0) 

dan memberikan 

persamaan baru berikut: 

dengan, 

dan 

d 

m 

' ' 

i+ 

1 xi+ 

1 + ci+ 

1 xi+ 

2 = bi 

+ 1 

i 

= 

a 

i+ 

1 

' 

i 

d 

' 

i+ 

1 = di+ 

1 

d − m 

i 

c 

' ' 

i+ 

1 = bi 

+ 1 mi 

bi 

b − 

(d). Sekuens-sekuens dalam butir (c) di atas sebenarnya 

merupakan sesuatu yang beraturan, yaitu keberulangan dari 

i = 1, 2, … , n-1, sehingga sistem awalnya tertransformasi 

menjadi “matriks segitiga atas” 

(e). Sebagai solusi akhirnya, yaitu “substitusi balik” yang juga 

mirip dengan “metode eliminasi Gauss”, yaitu dengan 

' 

menganggap bahwa d ≠ 0, 

akan diperoleh: 

x = 

n 

b 

d 

' 

n 

' 

n 

n 

dan kemudian, untuk i = n-1, n-2,…, 1, dapat digunakan: 

i

x 

i 

= 

b 

' 

n 

− 

d 

c 

i 

' 

i 



x 

i+ 

1 

Listing Program Matriks Tri-Diagonal: 

C PROGRAM Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) atau 

C atau Persamaan Aljabar Linier Simultan dengan TEKNIK TRIDIAGONAL 


C ----------------------------- 

IMPLICIT NONE 

INTEGER iarg 


INTEGER i,neq 

REAL*8 a(iarg),b(iarg),c(iarg),d(iarg),x(iarg) 


OPEN (10,FILE='s3diag.dta') 


C -------------------------------- 

READ(10,*) neq 

WRITE(*,*) 'Jumlah Persamaan : ',neq 

READ(10,*) d(1),c(1),b(1) 

DO i = 2,neq-1 

READ(10,*) a(i),d(i),c(i),b(i) 

ENDDO 

READ(10,*) a(neq),d(neq),b(neq) 

C Proses Pemanggilan Subprogram Eliminasi Gauss-Jordan: 

C ----------------------------------------------------- 

CALL S3DIAG(neq,a,d,c,x,b) 


C -------------------------------------- 

WRITE(*,*) '--------HASIL---------' 

DO i = 1,neq 

WRITE(*,40) 'x(',i,') = ',x(i) 

ENDDO 

CLOSE(10) 

20 FORMAT (3X,A,I1,A1,I1,A,G15.7) 

30 FORMAT (5X,A,I1,A,G15.7) 

40 FORMAT (5X,A,I1,A,G15.7) 

STOP 

END 

SUBROUTINE S3DIAG(n,a,d,c,x,b) 

C --------------------------------------------------------------------------- 

C SUBPROGRAM SOLUSI MATRIKS TRI-DIAGONAL dengan ELIMINASI GAUSS | 


C format persamaan matriks: [A].[x] = [b], dengan rincian sbb | 


C a = vektor koefisien pada diagonal bawah dengan dimensi n-1, | 

C d = vektor koefisien pada diagonal utama dengan dimensi n, | 

C c = vektor koefisien pada diagonal atas dengan dimensi n-1, | 



C ---------------------------------------------------------------------------


C ------------------- 

INTEGER n 

REAL*8 a(n),d(n),c(n),b(n),x(n) 

INTEGER i 

REAL*8 PIVOT,MULT 


C ------------------------------------------- 

DO i = 1,n-1 

PIVOT = d(i) 

MULT = a(i+1)/PIVOT 

a(i+1) = MULT 

d(i+1) = d(i+1) - MULT*c(i) 

b(i+1) = b(i+1) - MULT*b(i) 

ENDDO 


C ----------------------------------- 

x(n) = b(n)/d(n) 

DO i = n-1,1,-1 

x(i) = (b(i) - c(i)*x(i+1))/d(i) 

ENDDO 

RETURN 

END 

L. Daftar Pustaka 


Atkinson, Kendal E., “An Introduction to Numerical Analysis”, 

John Wiley & Sons, Toronto, 1978. 

Atkinson, L.V., Harley, P.J., “An Introduction to Numerical 

Methods with Pascal”, Addison-Wesley Publishing Co., 

Tokyo, 1983. 

Bismo, Setijo, “Kumpulan Bahan Kuliah Metode Numerik”, 

Jurusan TGP-FTUI, 1999. 

Hanna, O.T., Sandall, O.C., “Computational Methods in 

Chemical Engineering”, Prentice-Hall International Inc., 

Englewood Cliffs, New Jersey, 1995. 

Press, W.H., Flannery, B.P., Teukolsky, S.A., dan Vetterling, 

W.T., “Numerical Recipes”, Cambridge Univ. Press, 1986.

Sistem persamaan Aljabar Linear

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?