INF-104 Matematika Diskrit - Himpunan - cs.unsyiah.ac.id.

Pendahuluan 

Himpunan 

INF-104 Matematika Diskrit 


zahnur@informatika.unsyiah.ac.id 

Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah 

February 13, 2012 

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-104 Matematika Diskrit

Pendahuluan 


Apakah Matematika Diskrit Itu? 

Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji 

objek-objek diskrit. 

”Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)? 

Objek disebut diskrit jika: terdiri dari sejumlah berhingga 

elemen yang berbeda dan elemen-elemennya tidak 

bersambungan (unconnected). 

Contoh: himpunan bilangan bulat (integer) 

Lawan kata diskrit adalah kontinyu (continue). 

Contoh: himpunan bilangan riil (real) 


Pendahuluan 


Pengertian 

Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang 

terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik 

dimaksudkan bahwa untuk sebarang objek x yang 

diberikan dapat kita tentukan apakah objek x tersebut 

kepunyaan dari suatu himpunan atau bukan. 

Objek yang merupakan kepunyaan dari suatu himpunan 

disebut elemen atau anggota. 

Kita akan nyatakan himpunan dengan huruf besar, seperti 

A atau X dan elemen dengan huruf kecil, seperti a atau x. 

Jika a adalah elemen dari himpunan A, kita tulis a ∈ A 

dan jika a adalah bukan elemen dari himpunan A, kita 

tulis a /∈ A. 


Pendahuluan 


Pengertian 

Himpunan dapat dinyatakan dengan mendaftarkan semua 

elemennya di dalam sepasang tanda kurung atau dengan 

menyatakan sifat-sifat keanggotaannya sehingga dapat 

ditentukan apakah suatu objek adalah elemen dari suatu 

himpunan atau bukan. Kita dapat tuliskan 

X = {x1, x2, · · · , xn} 

untuk himpunan yang memuat elemen-elemen x1, x2, · · · , xn 

atau 

X = {x : x memenuhi ℘} 

jika setiap x di dalam X memenuhi suatu sifat tertentu dari ℘. 


Pendahuluan 


Pengertian 

jika E adalah himpunan bilangan bulat genap, kita dapat 

nyatakan E dengan menuliskan ke dalam salah satu notasi 

atau 

E = {2, 4, 6, · · · } 

E = {x : x adalah bilangan bulat genap dan x > 0}. 

Kita tuliskan 2 ∈ E bila kita ingin mengatakan bahwa 2 adalah 

elemen dari E, dan −3 ∈ E untuk mengatakan bahwa −3 

adalah bukan elemen dari E. 


Pendahuluan 


Pengertian 

Berikut ini adalah beberapa himpunan penting yang akan 

sering digunakan dalam pembahasan kita selanjutnya: 

N = {n : n adalah bilangan asli } = {1, 2, 3, · · · }; 

Z = {n : n adalah bilangan bulat } = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · }; 

Q = {r : r adalah bilangan rasional } = { p 

q : p, q ∈ 

Z dimana q = 0}; 

R = {x : x adalah bilangan real }; 

C = {z : z adalah bilangan kompleks }. 


Pendahuluan 


Pengertian 

Kita dapat menemukan berbagai relasi antara 

himpunan-himpunan dan juga dapat melakukan operasi-operasi 

pada himpunan. Himpunan A adalah subhimpunan (subset) 

dari B, ditulis A ⊂ B atau B ⊃ A, jika setiap elemen dari A 

juga elemen dari B. Sebagai contoh, 

dan 

{4, 5, 8} ⊂ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C 


Pendahuluan 


Pengertian 

Kita juga akan menemukan suatu himpunan tanpa unsur-unsur 

di dalamnya. Himpunan yang seperti ini disebut himpunan 

kosong (empty set) dan dinotasikan dengan {} atau ∅. Sebagai 

catatan bahwa himpunan kosong adalah subhimpunan dari 

setiap himpunan. 


Pendahuluan 


Pengertian 

Untuk memperoleh sebuah himpunan baru dari 

himpunan-himpunan yang telah ada, kita dapat melakukan 

operasi-operasi tertentu: 

gabungan (union) A ∪ B dari himpunan A dan B didefinisikan 

sebagai 

A ∪ B = {x : x ∈ A atau x ∈ B; 

irisan (intersection) A ∩ B dari himpunan A dan B 

didefinisikan sebagai 

A ∩ B = {x : x ∈ A dan x ∈ B. 

Jika A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 9}, maka 

dan 

A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 9} 

A ∩ B = {1, 3}. 


Pendahuluan 


Pengertian 

Untuk kasus dimana gabungan dan irisan melibatkan lebih dari 

dua himpunan yaitu A1, A2, · · · , An, maka untuk gabungan dan 

irisan secara berurutan kita tuliskan sebagai 

dan 

n 

Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · An 

i=1 

n 

Ai = A1 ∩ A2 ∩ · · · An 

i=1 


Pendahuluan 


Pengertian 

Jika dua buah himpunan tidak memiliki elemen yang sama 

maka kedua himpunan tersebut dikatakan saling lepas 

(disjoint). Sebagai contoh, jika E himpunan bilangan bulat 

genap dan O himpunan bilangan bulat ganjil, maka E dan O 

adalah saling lepas. Dua buah himpunan A dan B adalah saling 

lepas jika A ∩ B = ∅. 


Pendahuluan 


Pengertian 

Kadang-kadang kita akan bekerja dalam suatu himpunan 

tertentu U yang disebut dengan himpunan semesta 

(universal set). Untuk setiap himpunan A ⊂ U, kita definisikan 

komplemen (complement) dari A, dinotasikan dengan A ′ , 

adalah himpunan 

A ′ = {x : x ∈ U dan x ∈ A}. 


Pendahuluan 


Pengertian 

Selanjutnya kita definisikan selisih (difference) dari dua 

himpuan A dan B sebagai 

A − B = A ∩ B ′ = {x : x ∈ A dan x ∈ B}. 


Pendahuluan 


Pengertian 

Contoh 

Misalkan R adalah himpunan semesta dan anggap bahwa bahwa 

dan 

maka 

A = {x ∈ R : 0 < x ≤ 3} 

B = {x ∈ R : 2 ≤ x < 4} 

A ∩ B = {x ∈ R : 2 ≤ x ≤ 3} 

A ∪ B = {x ∈ R : 0 < x < 4} 

A − B = {x ∈ R : 0 < x < 2} 

A ′ = {x ∈ R : x ≤ 0 atau x > 3} 


Pendahuluan 


Pengertian 

Berikut ini adalah beberapa sifat penting operasi gabungan dan 

irisan: 

1 A ∪ A = A, A ∩ A = A, dan A − A = ∅; 

2 A ∪ ∅ = A dan A ∩ ∅ = ∅; 

3 A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C dan A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C; 

4 A ∪ B = B ∪ A dan A ∩ B = B ∩ A; 

5 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); 

6 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 


Pendahuluan 


Pengertian 

Disini akan dibuktikan hasil (1) dan (3), sisanya sebagai latihan. 

(1) Perhatikan bahwa 

dan 

A ∪ A = {x : x ∈ A atau x ∈ A} 

= {x : x ∈ A} 

= A 

A ∩ A = {x : x ∈ A dan x ∈ A} 

= {x : x ∈ A} 

= A 

Juga, A − A = A ∩ A ′ = ∅. 


Pendahuluan 


(3) Untuk himpunan A, B dan C, 

Pengertian 

A ∪ (B ∪ C) = A ∪ {x : x ∈ B atau x ∈ C} 

= {x : x ∈ A atau x ∈ B, atau x ∈ C} 

= {x : x ∈ A atau x ∈ B} ∪ C 

= (A ∪ B) ∪ C. 

Dengan langkah yang sama dapat ditunjukkan bahwa 

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. 


Pendahuluan 


Pengertian 

Teorema berikut ini dikenal sebagai Hukum De Morgan’s. 

Teorema 

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan maka 

1 (A ∪ B) ′ = A ′ ∩ B ′ ; 

2 (A ∩ B) ′ = A ′ ∪ B ′ . 


Pendahuluan 


Pengertian 

Kita harus tunjukkan bahwa (A ∪ B) ′ ⊂ A ′ ∩ B ′ dan 

(A ∪ B) ′ ⊃ A ′ ∩ B ′ . Misalkan x ∈ (A ∪ B) ′ maka x ∈ A ∪ B. 

Dari definisi gabungan himpunan, maka x bukan elemen dari A 

dan juga bukan elemen dari B. Dari definisi komplemen x ∈ A ′ 

dan x ∈ B ′ . Sehingga x ∈ A ′ ∩ B ′ dan kita peroleh 

(A ∪ B) ′ ⊂ A ′ ∩ B ′ . 

Untuk menunjukkan dalam arah sebaliknya, andaikan bahwa 

x ∈ A ′ ∩ B ′ . Maka x ∈ A ′ dan x ∈ B ′ , sehingga x ∈ A dan 

x ∈ B. Jadi x ∈ A ∪ B dan diperoleh x ∈ (A ∪ B) ′ . Dengan 

demikian (A ∪ B) ′ ⊃ A ′ ∩ B ′ sehingga (A ∪ B) ′ = A ′ ∩ B ′ . 


Contoh 

Buktikan bahwa 

Perhatikan bahwa 

Pendahuluan 


Pengertian 

(A − B) ∩ (B − A) = ∅ 

(A − B) ∩ (B − A) = (A ∩ B ′ ) ∩ (B ∩ A ′ ) 

= A ∩ A ′ ∩ B ∩ B ′ 

= ∅.

INF-104 Matematika Diskrit - Himpunan - cs.unsyiah.ac.id.

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?