here - cs.unsyiah.ac.id.

Aplikasi Turunan
maksimum dan minimum
•Menemukan Menemukan dan Menentukan
Titik Maksimum dan Minimum
Titik Kritis
Titik stationer: f’(x) = 0
Titik Singular: f’(c) tidak ada
►Titik Titik ujung
►Titik Titik Stationer
►Titik Titik singular
Titik Kritis
Maksimum, minimum dan titik stationer
y
dy
dx
Maximum
B
Titik Stationer
dy
dx =0
Minimum
D
x
x
Istilah
B adl local maximum
D adl local minimum
Titik dimana dy/dx=0
disebut titik stationer
B & D juga dikenal sbg
titik balik
(gradient berubah dari
+ve ke -ve)
1

Menentukan Titik Stationer
Pada maximum Pada minimum
+
dy
dx =0
-
dy
> 0
dx
dy
< 0
dx
-
dy
dx =0
Contoh (continued)
f(x)= x 3 - 12x + 1
“… dan gambarkan grafiknya”
Tititk Stationer
x = -2
+ve -ve
Maximum
y = (-2) 3 -12(-2) +1
= -8 + 24 + 1
= 17
Maximum at (-2,17)
x = +2
-ve
f’(x)= 3x 2 - 12
+ve
Minimum
y = (2) 3 -12(2) +1
= 8 - 24 + 1
= -15
Minimum at (2,-15)
+
x=0
[y-axis]
y = 0 3 -12x0 +1
= 1
(0,1)
Contoh
f(x)= x3 - 12x + 1
“dapatkan titik stationer dan tentukan tipenya”
f’(x)= 3x 2 - 12
Titik stationer
terjadi ketika
gradient
[turunan] adl 0
3x 2 - 12 = 0
3x 2 = 12
x 2 = 4
x = 2 or x = -2
x = -2
Pilih titik dikiri
(x = -2.1)
f`(x) = 3x(-2.1) 2 -12
= 1.23 [+ve]
Pilih titik dikanan
(x = -1.9)
f`(x) = 3x(-1.9) 2 -12
= -1.17 [-ve]
+ve -ve
Maximum
x = +2
Contoh (continued)
f(x)= x 3 - 12x + 1
Fungsi kubik
Maximum pd (-2,17)
-2
20
-20
Y
Pilih titik dikiri
(x = 1.9)
f`(x) = 3x(1.9) 2 -12
= -1.17 [-ve]
Pilih titik dikanan
(x = 2.1)
f`(x) = 3x(2.1) 2 -12
= 1.23 [+ve]
-ve +ve
Minimum
memotong y-axis pd (0,1)
2
X
Minimum pd (2,-15)
2

Turunan Kedua
f(x)= x 3 - 12x + 1
Turunan Pertama
f’(x) = 3x 2 -12
[=0 pd maximum dan minimum]
Turunan Kedua
f’’(x) = 6x
memberikan
“tingkat perubahan gradient”
-ve pd maximum
+ve pd minimum
f(x)
f’(x)
-2 2
f’’(x)
Turunan Kedua - contoh
f(x) = 1 / 3 x 3 - 2x 2 + 3x +1
“Dapatkan titik stationer dan
tentukan tipenya”
x
Titik stationer ketika f’(x)=0
2 f’(x) = x
- 4x + 3 = 0
(x - 3)(x - 1) = 0
x = 3 dan x = 1 adl maxima atau minima
2 - 4x + 3
Lihat turunan keduanya dan tentukan tipenya
f’’(x) = 2x - 4
Pada x=3
f’’(x) = 2x3 - 4 = 2
yaitu positif
… maka minimum
Pada x=1
f’’(x) = 2x1 - 4 = -2
yaitu negatif
… maka maximum
x
x
x
Turunan Kedua
Poin Penting
Turunan kedua dinyatakan dgn
d 2 y
dx 2
.. Utk sebuah fungsi p(x) dituliskan sbg p’’(x)
Digunakan sebagai cara sederhana utk
menyatakan sbh titik stationer adl maximum
atau minimum
d2y dx2 Jika adl negatif maka titik stationer adl maximum
d2y dx2 Jika adl positif maka titik stationer adl minimum
Turunan Kedua
f(x) = 4x3 - 9x2 - 30x +1
12x Titik stationer ketika f’(x)=0
2 - 18x - 30 = 0
2x2 f’(x) = 12x
- 3x - 5 = 0
(2x - 5)(x + 1) = 0
x = 2.5 dan x = -1 adl maxima atau minima
2 “Dapatkan titik stationer dan
tentukan tipenya”
- 18x - 30
Lihat turunan keduanya dan tentukan tipenya
f’’(x) = 24x - 18
Pada x=2.5
f’’(x) = 24x2.5 - 18 = 42
yaitu positif
… maka minimum
Pada x=-1
f’’(x) = 24x-1 - 18 = -42
yaitu negatif
… maka maximum
3