FREKUENSI KOMPLEKS

FREKUENSI KOMPLEKS

SEBUAH FUNGSI SINUSOIDA TEREDAM EKSPONENSIAL (TEGANGAN)
σt
v(
t)
= V e cos( ωt
+ θ )
m
σ (sigma) = kwantitas riil (biasanya negatif)
Jika σ=0 dan ω =0 maka fungsi tegangan akan menjadi tegangan DC
v( t)
= Vm
cosθ
= V
Jika σ = 0 maka menjadi tegangan sinusoida umum
v(t) = Vm cos (ωt +θ)
JIka ω=0 maka kita peroleh tegangan eksponensial
m
σt
v(
t)
=
V e cos = V
0
θ 0
e
σt

Representasi komplex sebuah fungsi sinusoida dengan sudut fasa=0
v(
t)
= V
0
e
jωt
σ adalah bagian riil dan ω adalah bagian imajiner dari suatiu frekwensi
komplex
Jika tegangan DC,
v(t)=V 0 yang dapat ditulis sebagai v(t)=V 0 e (0)t
Maka frekwensi komplex (s) sebuah tengan DC adalah nol (s=0)
Jika v(t) = V 0 e σt artinya fungsi ini mempunyai frekwensi komplex s =σ+j0
Bagaimana frekwensi komnplex kalau kita mempunyai suatu
fungsi v(t)=V m cos(ωt+θ)?

Maka:
cos( ωt
+ θ ) =
v(
t)
= V 1
m 2
v(
t)
= ( 1 V
2
atau
v(
t)
=
K
1
e
s
1
t
1
2
m
( e
e
+
( e
jθ
j(
ωt+
θ ) − j(
ωt+
θ )
+ e
j(
ωt+
θ )
K
) e
2
e
jωt
s
2
t
+ e
+
− j(
ωt+
θ )
( 1
2
V
m
e
)
)
− jθ
) e
− jωt
Dapat dilihat kalau fungsi tersebut mempunyai 2 frekwensi komplex:
s = s 1 = jω dan s 2 = -jω.
Dimana s 2 adalah konjugat dari s 1 (s 2 =s 1 * )
Dan konstanta K juga konjugat
K 1 =1/2V m e jθ dan K 2 =K 1 * =1/2Vm e -jθ

Sebagai contoh:
v(t)=100 s = 0
v(t) = 5e -2t s = -2 +j0
v(t) = 2 sin 500t s 1 = j500
s 2 = s 1 * = -j500
v(t) = 4e -3t sin(6t+10 0 ) s 1 = -3 +j6
s 2 = s 1 * = -3 –j6

Fungsi Pemaksa Sinusoida teredam
Jika pada rangkaian dibawah ini memakai fungsi pemaksa
v(t) = 60e -2t cos (4t+10 0 )
dan kita inginkan respon paksaan i(t) = I m e -2t cos(4t+ϕ)
Solusi:
v(t) = 60e -2t cos (4t+10 0 )
= 60e -2t e j(4t+10) = 60 e j10 e (-2+j4)t
atau
v(t) = V e st
dimana V = 60∟10 0 dan s = -2+j4 maka fungsi pemaksa komplexnya
adalah 60∟10 0 e st
Untuk respon dengan cara yang sama menjadi Ie st

Selanjutnya:
di 1
di
v(
t)
= Ri + L + ∫ idt
= 2i
+ 3 + 10∫
idt
dt C
dt
0 st st st 10 st
60∠10
e = 2Ie
+ 3sIe
+ Ie
s
0
10
60∠10
= 2I
+ 3sI
+ I
s
I
I
I
=
=
0
60∠10
2 + 3s
+ 10 / s
60∠10
2 + 3(
−2
+ j4)
+ 10
( −2
+ j4)
= 5.
37∠
−106.
6
Jadi I m = 5.37 A, dan ϕ= -106.6 0 ,
jadi respon paksaan yang diinginkan adalah:
0
0
v(t) = 5.37 e -2t cos (4t -106.6 0 )

Y s dan Z s
Gambar diatas menghasilkan persamaan:
v(t) = L di(t)/dt
Ve st = sLIe st
V = s LI
Impedansi tergantung pada frekwensi komplex yang dapat ditulis sebagai:
dan admitansi:
Z(s) = V/I =sL
Y(s) = 1/sL

Impedansi komponen pasif pada frekwensi komplex adalah:
R L C
Z(s) R sL 1/sC
Y(s) 1/R 1/sL sC
Untuk Rangkaian sebelumnya akan lebih mudah dikerjakan:
I = V/Z(s) = (60∟10 0 )/(R+sL+1/sC)
= 60∟10 0 /((2+(-2+j4)3)+(1/(-2+j4)0.1)
= 60∟10 0 /(2+(-6+j12)+(-1-j2)
= 60∟10 0 /(-5+j10)
= 5.37∟-106.6 0 A