SOAL DAN JAWABAN QUIS 1 ALGORITMA

QUIS 1 ALGORITMA
Hari/Tgl : Senin/8 Oktober 2012
Sifat : Tutup Buku
1. Misalkan n adalah suatu bilangan bulat positif. Tunjukkan bahwa setiap 2 n x 2 n
papan catur dengan satu persegi digeser dapat diubin menggunakan sepotong
gambar L, di mana potongan ini menutup tiga persegi pada suatu saat, seperti
ditunjukkan dalam Gambar bawah ini.
Gambar Sepotong kertas berbentuk-L
2. Akan dihitung hasil kali dua buah bilangan bulat positip, atau nilai nol c dan d,
dengan tanpa melalui operasi perkalian langsung. Berikut ini potongan
algoritma pemrograman untuk menghitung hasil kali dua bilangan bulat
tersebut, dengan cara menjumlahkan d sebanyak c kali yang hasilnya c.d sbb :
i ← 0
J ← 0
while i ≠ c do
J ← J + d
i ← i+ 1
endwhile
( i = c, J = c.d )
Buktikan bahwa setiap kali eksekusi mencapai awal loop while-do , ditemukan
J = i.d.
3. Buktikan bahwa n 3 – n dapat dibagi dengan 3 apabila n adalah suatu bilangan
bulat positif.
4. Terdapat tiga buah cakram seperti pada gambar, dimana cakram yang lebih kecil
berada lebih diatas. Buatlah algoritma untuk memindahkan cakram dari tempat A
ke B dimana satu kali perpindahan hanya boleh satu cakram. Cakram yang lebih
kecil harus selalu berada diatas cakram yang lebih besar.

Jawaban :
1. Solusi: Misalkan P(n) adalah proposisi bahwa setiap 2 n x 2 n papan catur
dengan satu persegi digeser dapat diubin menggunakan sepotong gambar L.
Kita dapat menggunakan induksi matematis untuk membuktikan bahwa P(n)
benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Langkah Dasar: P(1) benar, karena setiap dari empat papan catur 2 x 2
dengan satu persegi digeser dapat diubin satu dari potongan gambar L, seperti
ditunjukkan dalam Gambar 1 dibawah ini:
Gambar 1: Ubin papancatur 2 x 2 digeser dengan satu persegi
Langkah Induktif: Asumsikan bahwa P(n) benar; yaitu, asumsikan bahwa setiap
2 n x 2 n papan catur dengan satu persegi digeser dapat diubin menggunakan
potongan gambar L. Ini harus ditunjukkan bahwa di bawah asumsi ini P(n + 1)
juga harus benar; yaitu, setiap 2 n + 1 x 2 n + 1 papan catur dengan satu persegi
digeser dapat di ubin menggunakan potongan gambar L. Untuk melihat ini,
perhatikan suatu papan catur 2 n + 1 x 2 n + 1 dengan satu persegi yang digeser.
Membagi papan catur ini ke dalam empat papan catur berukuran 2 n x 2 n , dengan
membaginya dalam separuh dalam kedua arah. Ini diilustrasikan dalam Gambar 2.
Gambar 2: Membagi papancatur 2 n+1 x 2 n+1 ke dalam Empat papancatur 2 n x 2 n
Bukan persegi digeser tiga dari empat papan catur ini. Papan catur 2 n x 2 n keempat
yang memiliki pusat asli, papan catur terbesar sebagai salah satu pojoknya, seperti
ditunjukkan dalam Gambar 3.
Gambar 3: Ubin papancatur 2 n+1 x 2 n+1 dengan menggeser satu persegi

Dengan hipotesis induktif, masing-masing dari tiga papan catur 2 n x 2 n ini dengan
satu persegi digeser dapat diubin dengan potongan Gambar L. Selanjutnya, tiga
persegi yang untuk sementara waktu dapat digeser menutup dengan potongan
gambar L. Karena, papan catur 2 n + 1 x 2 n + 1 seluruhnya dapat diubin dengan
potongan gambar L. Ini melengkapi bukti.
2. Bukti :
Algoritma untuk enumerasi nilai i dan j untuk setiap kali eksekusi mencapai
awal loop while - do tersebut dapat diilustrasikan sbb:
Tabel eksekusi while – do
dari tabel tersebut tampak bahwa setiap kali eksekusi algoritma mencapai
awal loop while-do, nilai j = 1.d. Untuk mengetahui kebenaranya dapat
digunakan induksi matematik. Misal p(n) merupakan pernyataan bahwa setiap
kali yaitu n eksekusi algoritma mencapai awal loop while – do, nilai i dan j
pada eksekusi ke n dinyatakan in dan jn.
a) Langkah 1
untuk n = 1, pernyataan p(1) benar karena pada saat n = 1 eksekusi mencapai
awal loop while – do i = 0 dan j = 0, serta nilai jn= in .d = 0 adalah benar.
b) Langkah induksi :
misal pernyataan p(n) benar, dengan asumsi bahwa jn = in .d saat eksekusi
mencapai awal loop while – do. Akan ditunjukkan bahwa p(n+1) benar yaitu
saat eksekusi mencapai awal loop while – do yang ke (n+1) yang berarti jn+1
= in+1 .d juga benar. Dari tabel dapat dilihat bahwa nilai i yang baru
bertambah sebesar 1 dari nilai i yang lama dan j yang baru bertambah sebesar
d dari nilai j yang lama sehingga in+1 = in + 1
dan jn+1 = jn + d, dari hipotesa induksi jn= in .d maka
jn+1 = (in.d) + d
= (in + 1 ).d
maka terbukti bahwa setiap kali eksekusi algoritma mencapai awal loop while
– do nilai j= i.d.

3. Solusi: Untuk mengonstruksi bukti, misalkan P(n) menyatakan proposisi: “n 3
– n dapat dibagi dengan oleh 3.”
Langkah Dasar: P(1) benar, karena 1 3 – 1 = 0 dapat dibagi dengan 3.
Langkah Induktif: Asumsikan bahwa P(n) benar; yaitu, n 3 – n dapat dibagi
dengan 3. Kita harus menunjukkan bahwa (n + 1) 3 – (n + 1) dapat dibagi
dengan 3. Ingat bahwa :
(n + 1) 3 – (n + 1) = (n 3 + 3n 2 + 3n + 1) – (n + 1)
= (n 3 – n) + 3(n 2 + n).
Karena kedua suku dalam jumlah ini dapat dibagi dengan 3 (pertama dengan
asumsi dari langkah induktif, dan kedua karena jumlah itu merupakan 3 kali
suatu bilangan bulat), selanjutnya (n + 1) 3 – (n + 1) juga dapat dibagi dengan
3. Ini melengkapi langkah induktif. Sehingga, dengan prinsip induksi
matematis, n 3 – n dapat dibagi oleh 3 apabila n adalah suatu bilangan bulat
positif.
4. Algoritma pemindahan cakram
1. Pindahkan cakram A ke B
2. Pindahkan cakram A ke C
3. Pindahkan cakram B ke C
4. Pindahkan cakram A ke B
5. Pindahkan cakram C ke A
6. Pindahkan cakram C ke B
7. Pindahkan cakram A ke B