TAYLOR SERIES & GALAT ANALYSIS - Kuliah FKIP UMM

Polinom FunctionNUMERICALMETHODSTAYLOR SERIES &GALAT ANALYSISNumerical MethodsPurwanto,S.Si Sebagian penyelesaian metode numerikditurunkan berdasarkan pendekatan fungsi padabentuk polinom. Bentuk Umum :f (x) aa0 1 2 3n0x a1x a2x a3x... anx2 3n0a1xa2xa3x... anxDengan n = derajat polinom = 0, 1, 2, 3, …a i = koefisien konstantax = peubah (variabel)1Purwanto,S.Si2TAYLOR SERIESNUMERICALMETHODSContohNUMERICALMETHODSDeret TaylorTeorema utama untuk menurunkan suatu metode numerikBentuk UmumAndaikan fungsi f dan semua turunannya, f’, f’’, f’’’, …padaselang [a,b]. Misalkan x o [a,b], maka nilai x disekitar x oadalahHampirilah fungsi f(x) = sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitarx 0 = 1 (catatan : sudut dalam radian)Solve :f(x) = sin(x)f’(x) = cos(x)Deret Taylorf’’(x) = -sin(x)f’’’(x) = -cos(x)f (4) (x) = sin(x)dst…Deret MaclaurinBentuk deret yang direoleh saat x 0 = 0 pada Deret Taylormisalkan h = (x-1), makaSuku-suku deret Taylor tak berhingga jumlahnyaPurwanto,S.Si3Purwanto,S.Si4

Deret Tayor TerpotongNUMERICALMETHODSContohNUMERICALMETHODS Suku-suku deret Taylor tak berhingga jumlahnya, makauntuk praktisnya deret Taylor tersebut dapat dipotonghingga orde tertentu.Deret Taylor yang dipotong hingga orde ke-n disebut deretTaylor terpotong.denganHampirilah fungsi f(x) = sin(0.2) ke dalam deret Taylorterpotong hingga orde ke-4 di sekitar x 0 = 1, dengan ketelitianhingga 4 desimal di belakang koma. (Catatan : sudut dalam radian)Solve :f(x) = sin(x)f’(x) = cos(x)Deret Taylorf’’(x) = -sin(x)f’’’(x) = -cos(x)f (4) (x) = sin(x)disebut dengan galat atau sisa (residu)sin(0,2)Purwanto,S.Si5Sedangkansin(x) = 0,1987Purwanto,S.Si6Analisis GalatNUMERICALMETHODSGalat MultakNUMERICALMETHODS GalatMenyatakan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusieksaknya. HubunganSemakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yangdidapatkan dan sebaliknya.Rumus GalatMisalkan adalah nilai hampiran terhadap nilai eksak c,maka galat didefinisikan sebagai : = c - Galat MutlakMisalkan adalah nilai hampiran terhadap nilai eksak c,maka galat mutlak (absolut) didefinisikan sebagai :| | = | c – | ContohTentukanlah nilai galat dan galat mutlak, jika diketahui nilaihampiran = 10,5 dari 10,45.Solve : = c – = 10,45 – 10,5 = -0,05| | = | c – | = | 10,45 – 10,5 | = | -0,05 | = 0,05Purwanto,S.Si7Purwanto,S.Si8

Galat RelatifNUMERICALMETHODSGalat RelatifNUMERICALMETHODS Galat RelatifMisalkan nilai eksak c mempunyai galat , maka galat relatifdidefinisikan sebagai :r atau r x100 %ccDalam kenyataannya nilai eksak sulit sekali untukditemukan maka galat relatif dinormalkan terhadap nilaihampirannya.r atau~r x100 %c~cContohPurwanto,S.SiMisalkan terdapat proses iterasi sebagai berikut :x n+1= (-x n3+ 3)/6, n = 0, 1, 2, 3, ….Kapankah proses iterasi dapat dihentikan? Jika diketahui nilaiawal x 0 = 0,5 dan XTOL = 0,00001.Solve :x 0= 0,5x 1= 0,4791667 r=|x 1-x 0|/|x 1| = 0,043478x 2= 0,48166387 r=|x 2-x 1|/|x 2| = 0,0051843x 3= 0,4813757 r=|x 3-x 2|/|x 3| = 0,0005984x 4 = 0,4814091 r =|x 4 -x 3 |/|x 4 | = 0,0000693x 5= 0,4814052 r=|x 5-x 4|/|x 5| = 0,0000081Proses iterasi dikentikan pada iterasi ke-5.9NUMERICALMETHODSDefinisi galat realtif hampiran masih mempunyai kelamahankarena kita harus mengetahui tentang nilai sejatinyasehingga digunakan pendekatan iterasi.rcn ccnn 1ataun 1dengan c n merupakan nilai pendekatan iterasi sekarang danc n-1 merupakan nilai pendekatan iterasi sebelumnya.Proses iterasi akan berhenti salah satunya jikasyarat| r | < s terpenuhi, dimana s toleransi galat yang telahditetapkan ( biasanya s dituliskan sebagai XTOL)rcn c1 cSumber Utama Galat NumeriknPurwanto,S.Si10NUMERICALMETHODS Galat Pemotongan (Truncation Error)Galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran sebagaipengganti formula eksak. Galat Pembulatan (Round-Off Error)Galat yang ditimbulkan akibat keterbatasan alat bantu untukmenyajikan bilangan real. Galat EksperimentalGalat yang ditimbulkan akibat data yang diberikan, misalkankesalahan pengukuran, ketelitian alat hitung. Galat PemrogramanGalat yang terdapat di dalam program itu sendiri (bisanyadinamakan bug).Purwanto,S.Si11Purwanto,S.Si12

Pembulatan BilanganNUMERICALMETHODSPembulatan BilanganNUMERICALMETHODS Pembulatan Pangkas (Chopping)Contoh :Misalkan bilangan = 0,31459265358…maka :Pembulatan 5 digit, menjadi = 0,31459Pembulatan 6 digit, menjadi = 0,314592Pembulatan 7 digit, menjadi = 0,3145926Pembulatan 8 digit, menjadi = 0,31459265 Pembulatan ke digit terdekat (in-rounding)Misalkan bilangan a dalam basis 10, didefinisikan dengana = 0, d 1d 2d 3d 4…d nd n+1…x 10 pMisalkan n adalah jumlah digit mantis komputer, karena jumlahdigit mantis a > jumlah digit mantis komputer, maka bilangan aakan dibulatkan.fl round(a) = 0, d 1d 2d 3d 4…d’ nx 10 pDimana : dn, jika dn15d 1 , jika d 5'nn1dn dn, jika dn1 5 dan n genapdn1, jika dn1 5 dan n gasalContohPurwanto,S.Si 13NUMERICALMETHODSPurwanto,S.Si14NUMERICALMETHODSMisalkan bilangan a = 0,5682785715287 x 10 -4maka :Pembulatan 7 digit, menjadi a = 0,5682786 x 10 -4Pembulatan 8 digit, menjadi a = 0,56827857 x 10 -4Pembulatan 6 digit, menjadi a = 0,568278 x 10 -4Pembulatan 9 digit, menjadi a = 0,568278572 x 10 -4Thank Youd'n dn, jika dn15dn1, jika dn1 5 dn, jika dn1 5 dan n genapdn1, jika dn1 5 dan n gasalPurwanto,S.Si15Purwanto,S.Si16