Besaran Karakteristik Penampang - Universitas Brawijaya

Fakultas TeknikJurusan Teknik SipilUniversitas Brawijaya

Luas Penampanga. Bidang berbentuk tak beraturanLuas penampang didefinisikan sebagai integral dari luas elemendiferensial dAdenganA : Luas penampang secara keseluruhan (mm2)dA : Luas elemen diferensial = dx . Dydx : Lebar elemendy : Tinggi elemen

Example:1. Tentukan luas daerah B dibawah kurva : y = x 4 – 2x 3 + 2 diantarax = -1 dan x = 2

Answer :LuasAB2x4- 2x2 dx-1x5524x42x2-132516-241-5-12- 251105,1

3.Tentukan luas bidang yang berbentuk semisegmenparabola yang2xmempunyai persamaan y f x h 1- dan dibatasi oleh2bsumbu x yang mempunyai nilai antara

hhbbhbhbbhxhxh dxbxh dxAdxbxhydxdAdAAbbbb3233331.230230022022

. Penampang bidang mempunyai tepi tak beraturan dan tidakterdefinisi secara sistematis sederhanaLuas penampang dapat ditentukan dengan membagi bidangmenjadi elemen-elemen terhingga yang kecil-kecil, kemudianmenjumlahkannya.ADengan :n = Jumlah elemen yang terbentuk“A i = Luas elemen ke –i (in 2 atau mm 2 )in1A i

c. Penampang Bidang Secara Umum

Momen StatisMomen statis dari suatu luasan terhadap sumbu x dan ydidefinisikan sebagai integral dari hasil kali luas setiapelemendiferensial dA dengan jarak titik berat luasan elemen tersebutterhadap suatu sumbu yang ditinjauTerhadap sumbu x :Msxy.dA (in3atau mm3)Terhadap sumbu y :Msyx.dA (in3atau mm3)

Titik Pusat Berat BendaTitik pusat berat suatu penampang dapat dinyatakan sebagai titiktangkap resultante gaya dalam arah horizontal dan vertikal atausuatu titik dimana semua berat terpusat pada titik tersebut. Koordinatx dan y dari pusat berat sama dengan momen statis dibagi denganluas penampangDimana:m1, m2, m3 = massa piasx1, x2, x3 = jarak massa terhadaptitik pusat O pada sumbu xy1, y2, y3 = jarak massa terhadaptitik pusat O pada sumbu yx dan y = jarak titik berat bendaterhadap sumbu x dan yM = ΣmM1M2M3

Titik Berat Bidang / Penampangxa.xAya.yADimana:a1, a2, a3 = luas penampang piasx1, x2, x3 = Jarak penampang terhadap sumbu yy1, y2, y3 = Jarak penampang terhadap sumbu xA = Σa = a1 + a2 + a3 + …

Contoh:Tentukan titik berat penampang berikut:Yy1y2XPenampang ABCH:a1 = 10 x 3 = 30 cm 2x1 = 5 cmy1 = 15 – 3/2 = 13,5 cmPenampang DEFG:a2 = (15 – 3) x 3 = 36 cm 2x2 = 5 cmy2 = ½ (15 – 3) = 6 cma. x 30x536x5a. y 30x13,536x6x 5 y9, 41A 30 36A 30 36

3. Tampang LMomen Statis terhadapBagianLuasxyI (15x20)=300 300x10=300 300x7,5=2250II -(10x15)=-150 -150x12,5=-1875 -150x10=-1500Jumlah 150 1125 750yxooMAMAsxsya.yAa.xA112515075015057,5

Soal:Tentukan titik berat penampang berikut:

MOMEN INERSIA BIDANG (I)r1r2a1r3a2a3Maka momen inersiaterhadap sumbu x:IxxdAy2IIaa.r1. r212a2. r22a3. r23Jika luas bidang yang diarsir:a1 = dA1a2 = dA2a3 = dA3Jarak terhadap sumbu y:r1 = x1r2 = x2r3 = x3Maka momen inersiaterhadap sumbu y:IyydAx2

dxdyy33333333212132b12b122.121242242481381.3213213..31.Id.dxdAI21bddbdbdbbdbdbdbddxdxxddAxbbyxxyMomen inersia segiempat terhadap sumbu y melalui titik berat

Momen Inersia Penampang LingkarandA = 2π . r . dr2π . r = keliling sebuah cincinr = jari-jari cincindr = lebar cincinr 2 = x 2 +y 2

444040403020202220024121.21212121422)(2RRIIIRrrdrrdrrrIIIdAydAxdAyxdArIpyxRRRRpyxRRRRp

Momen Inersia Pada Sistem Koordinat TranslasiIx'y'2dAay2dAy2dA2aydAa2dAIx'Ix22aMsx a . AIy'x2. dAbx2dAx2. dA2bx.dAb2dAa & b = koordinat pusat berat Oterhadap sumbu x’y’sumbu x // sumbu x’sumbu y // sumbu y’Bila:x’ = b + xy’ = a + yIy'2Iy 2bMsy b . Akoordinat X, Y bertitiktangkap pada titik beratpenampang, maka Ms x danMs y = 0Ix' IxIy' Iyab22.A.A

Momen inersia segitiga terhadap sumbu xdAyx2I30302022.121(thd dasar penampang)I.121''.''.'.'..''''atatdyttttaIttdyttajarakLuasdyttadyadALuasattattaaxtx32320.36132.121I(thd titik berat)IattatatjarakLuasxx

Tentukan besarnya momen inersia untuk perhitungan teganganlentur dari penampang pada gambar di bawah.

Berhubung momen inersia yang diinginkan akan dipergunakandalam perhitungan lenturan, maka momen inersia ini haruslahdiperhitungkan terhadap sumbu yang melalui titik berat penampangMenentukan titik berat penampangKeteranganLuas (A)(mm 2 )Jarak titik berat thd.alas (y (mm))A x y (mm 3 )Luas Total 40 x 60 = 2400 30 2400 x 30 = 72000Luas Ronggadalam-(20 x 30) = -600 35 -600 x 35 = -21000∑A = 1800 ∑A..y = 51000

yA.yA51.0001.80028,3 mmdari dasarMomen inersia terhadap sumbu x‣ untuk luas penampang luarIo12. b.h340 . 6012372.104mm4A.y22400 3028,320,69.104mm4IxI0A.y272,69.1044,50.10mm440,69.104mm4

‣ untuk rongga dalamIoA.yIx21203600 35I. b.hA.y7,19.102428,3mm20 . 3012424,50.1032,69.1044,50.504mm2,69.10444mmmm44Iuntuk penampang berlubang72,69.1065,50.1044mm7,19.1044

MOMEN INERSIA POLAR :Dari gambar terlihat bahwa r 2 = x 2 + y 2Sehingga rumus momen inersia polar dapat juga ditulis sbb :Ipr2dAx2y2dAx2dAy2dAIp = Ix + Iy

Hubungan Momen Inersia Polar dan Momen Inersia terhadap sumbux dan yIxIyIxcIycA aA b22Berhubung:IpIxIymaka:IpIxcIycA a2A b2IxcIycA a2b2Momen inersia polar nilainya makin besar apabila titik yangditinjau terletak makin jauh dari pusat berat bidang.

Momen Inersia Terhadap Dua Sumbu (Silang) IxyIxy adalah produk inersia terhadap pusat berat bidang yangditinjau. Produk inersia dapat bertanda positif, negatif, ataubernilai 0 tergantung pada letak sumbu x’y’ terhadappenampang tersebut.xydAxyASehingga, untuk koordinat translasi:Ix'y'IIxyab . . AProduk inersia bernilai o, apabilasalah satu sumbunya merupakansumbu simetris penampang

Jari-jari Inersia (Radius Girasi)Jari-jari inersia terhadap sumbu x :rxIxA(cm)Jari-jari inersia terhadap sumbu y:ryIyA(cm)I x dan I y berturut-turut sama dengan momen inersiaterhadap sumbu x dan sumbu y, dan A sama dengan luas bidang.

Suatu penampang pada gambar. Tentukan :1. Momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu y dari penampang2. Ixy (produk inersia)

Berhubung sumbu y adalah sumbu simetris, makaIxy=0. Sumbu x dan sumbu y adalah sumbu utama.Penampang dibagi atas 8 bagian.

Titik Berat PenampangBagian Luas A (cm 2 )Jarak terhadapsumbu xMomen statis:A.YLetak sumbuI 150 x 150 = 2250 7,5 16875II 150 x 30 = 4500 75+15 = 90 405000III 15 x 25 = 375 165–12,5 = 152,5 57187,5IV 375 152,5 57187,5V ½ (15) (15) = 112,5 165-25-1/3.15=135 57187,5VI 112,5 135 57187,5VII ½ (20) (20) = 200 15+1/3(20)=21,67 4334VIII 200 21,67 4334Total 8125 Total 575293yyyAyA575293812570,81

IxIyIxy26.10399096 . ,5.239.536,860

sumbu x dan sumbu y membagipenampang sama besar,sehingga sumbu x dan sumbu ydisebut sumbu simetri. Jika suatupenampang mempunyai sumbusimetri, maka sumbu tersebut dansumbu lainnya yang tegak lurussumbu tersebut disebut sumbuutama.Produk inersia suatu penampang sama dengan nol jikasedikitnya satu sumbu merupakan sumbu simetri. Sehinggadapat disimpulkan bahwa produk inersia sama dengan nol dansumbu utama (Ix’y’=0)

Perhatikan gambar !!!sumbu X dan Y bukan sumbu utama sehingga Ixy ≠ 0. Untukmenentukan sumbu utama, X dan sumbu Y dirotasikan sebesarø sehingga menjadi sumbu X’ dan Y’ tidak semua sumbuutama menjadi sumbu simetri.

Menentukan momen inersia utama Ix’ dan Iy’ serta sudut putar øOrdinat titik berat elemen A terhadap sumbu X’ dan Y’ adalah (x’;y’)

ACy';AFx'ACADCDADABsinøACy cosøxsinøy’ = y cos ø – x sin øAFOCOEECOEOBcosøxcosøECBDABsin øysinøAFxcos øysinøx’ = x cos ø – y sin ø

Syarat sumbu utama :Ix'y'ooIxycos2ø12IxIysin 2øtg2ø2IxyIy Ixsin 2ø1tg2øtg22øcos2ø11tg22ø

Iy'12IxIy12IyIx2I2xyIx'12IxIy12IyIx2I2xyIx' y'Sumbu x’ dan y’ adalah sumbu yang saling tegak lurus dimanamomen inersia dari sumbu tersebut mempunyai harga maximumdan minimum.IImaxmin1212IxIxIyIy1212IxIxIyIyo22II22xyxy

Suatu penampang seperti pada gambarTentukan :1. Letak titik berat penampang tersebut2. I max & I min3. Letak sumbu utama

Menentukan titik berat penampang

004min42222max12,112,1486,933187,7367,2221221173,332164337,332501,332164337,33267,22187,73486,9332187,73486,93322øøarctgIxIyIxyarctgøcmIcmIxyIyIxIyIxI