p 05 k07_ probabilitas diskrit v2 2011

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.11/10/2011Suatu eksperimen Binomial akan memenuhi 4 syaratsebagai berikut :}Jumlah percobaan harus tetap, n kali}Setiap percobaan harus menghasilkan dua alternatifyaitu sukses atau tidak sukses merupakan percobaanBinomial.}Semua percobaan mempunyai nilai probabilitas yangsama untuk sukses.}Percobaan – percobaan tersebut harus bebas satu samalain.5053a. Distribusi BINOMIALCiri-ciri Percobaan Bernouli:• Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian:(a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan;(b) transaksi saham: jual- beli,(c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.• Probabilitas suatu kejadian untuk suskes atau gagal adalah tetapuntuk setiap kejadian. P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal,dan P(p) + P(q)= 1.• Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas.• Data yang dihasilkan adalah data perhitungan.Latihan Soal1. Bila sekeping uang logam yang seimbang dilempar sebanyak 6 kali,berapa:a. probabilitas memperoleh 5 sisi gambarb. probabilitas memperoleh paling sedikit 5 sisi gambarJawab : a. n = 6 ; p = ½ ; q = 1 – p = 1 – ½ = ½b ( x / n , p ) = b ( 5/6 , ½ ) = ( ½ ) 5 . ( ½ ) 6-5= 6! (½) 5 . (½) 1 = 3/325!.1!b. n = 6 ; x = 6 ; p = 1/2b ( x/n , p ) = b ( 6/6 , ½ ) = ( ½ ) 6 . ( ½ ) 6-6= 6 ! ( ½ ) 6 . ( ½ ) 0 = 1/646!0!Probabilitas memperoleh ≥ 5 sisi gambar adalah :b ( 5/6 , ½ ) + b ( 6/6 , ½ ) = 3/32 + 1/64 = 6/64 + 1/64 = 7/645154Distribusi bernoulli yang diulang n kali merupakan distribusiBINOMIALRumus Distribusi Binomial :b (x / n , p) = P (X = x)= n C x p x . q n-x ;x = 0,1,…n, q = 1 – pDimana : - b ( x / n , p ) ≥ 0- Σ b ( x/n , p ) = ( q + p ) n = 1Rata – rata ( Mean ) = µ x = n . pVarians ( x ) = σ x2 = n . p . qDistribusi yang dipakai sebagai pendekatan bagi distribusibinomial adalah Distribusi Poisson dan Distribusi Normal.522. Jika x berdistribusi Binomial dengan n = 4 dan p = 1/6 , berapa :a. Rata – rata dari xb. Varians (x)Jawab : a. n = 4 ; p = 1/6 ; q = 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6E ( x ) = n.p = 4.1/6 = 2/3b. Var ( x ) = σ x2 = n.p.q = 4.1/6.5/6 = 20/36= 5/93. Ada 4000 paku pada sayap . Probabilitas kerusakan sebuah pakukhusus pada permukaan sayap pesawat terbang adalah 0,001. Berapa E( x ) nya ?Jawab : E (x) = n . p = 4000 . (0,001) = 4551

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.11/10/2011B. Distribusi PoissonCiri-ciri Distribusi PoissonDigunakan untuk menghitung probabilitas terjadinyakejadian menurut satuan waktu atau ruang.DistribusiPoisson digunakan sebagai pendekatan dari distribusibinomial.Rumus Distribusi Poissonf ( x ) = µ x . e -µ = p ( x/n , p )x!Dimana : x = 0 , 1, 2 … n dan e = 2,71828…Rata – rata = µ x = n . pVarians (x) = σ x2 = n . pDalam distribusi Poisson Rata – rata dengan Variansnyaadalah sama2. Jika x berdistribusi Poisson dengan n = 7 dan p = 1/4berapa :a. Rata – rata xb. Varians (x)jawab : a. E (x) = n . p = 7.1/4 = 7/4b. Var (x) = n . p = 7 . 1/4 = 7/43. Mata uang dilempar 6 kali . Jika x = banyaknya gambar,berapa E (x) ?Jawab : n = 6 ; p = ½E (x) = n.p = 6.1/2 = 35659Latihan soal:Latihan soal !1. Bila 5 keping uang logam dilempar sebanyak 64 kali , berapaprobabilitas timbulnya 5 sisi angka sebanyak 0,1, 2 , 3 ,4 , 5kali ?Jawab:probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 kepinguang logam sebanyak satu kali adalah :p = 1.( ½ ) 5 = 1/32Bila p = 1/32 , n = 64 ; probabilitas memperoleh 5 sisi angkadari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak 64 kalimenjadi :f( x ) = 64 1/32 x 31 / 32 64-xxX 8 12 16 20 24P(X) ¼ 1/12 1/6 1/8 3/81. Dari tabel diatas tentukan:a. mean X;b. standar deviasi X;c. E(2X – 3 ) 22. Misalkan X adalah suatu variabel acak denganE{(X-1) 2 } =10 dan E{(X-2) 2 } = 6 , tentukan mean X dansimpangan baku X.5760Rumus ini sulit dikerjakan dengan Distribusi Binomial, makadiambil µ=n.p = 64 . 1/32 = 2 diperoleh :f ( x ) = µ x . e -µ = 2 x . e -2 ; x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5x ! x ! e -2 = 0 ,1353x 0 1 2 3 4 5f ( x ) 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090 0,0363. Bila sekeping uang logam dilemparkan 6 kali, hitunglahprobabilitas memperoleh:a. 5 muka b. paling sedikit 5 muka4. Bila 20 dadu dilemparkan sekaligus, tentukanlah:a. rata-rata dari banyaknya muncul muka 3;b. simpangan baku dari banyaknya muncul muka 3!5. Bila variabel acak X berdistribusi binomial dengan n = 100,p = 0,005, hitunglah P(X=15)!6. Bila 5 uang logam dilemparkan sebanyak 128 kali,hitunglah probabilitas munculnya 5 muka sebanyak0,1,2,3,4 dan 5 dari seluruh pelemparan!58612

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.11/10/2011C. Distribusi HipergeometrikPerbedaan distribusi binomial dengan distribusi multinomialterletak pada cara pengambilan sampelnya. Penggunaan distribusi inihampir sama dengan distribusi binomial. Misalnya distribusi binomialditerapkan pada sampling dari sejumlah barang (sekotak kartu,sejumlah hasil produksi) sampling harus dikerjakan denganpengembalian setiap barang setelah diamati. Sebaliknya distribusihipergeometrik tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan padasampling tanpa pengembalian.Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat:1. Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian dari Nbenda.2. Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N-kdiberi nama gagal.6262Teorema(5.3)Distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) mempunyai rata-rata danvariansi sbb:µ = nk dan σ2= N−n (n)( k )( 1 − k )NN − 1 n nContoh (5.9)Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.8) kemudikangunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang µ ± 2σJawab:Dari contoh 5.8 diketahui n=15 dan p=0.4( 5)( 3)Diperoleh3 dan2µ = = = 0,375 σ = 40−5 40 8( )( 5) 3 339 ( 40)( 1− 40)= 0,3113Menggunakan teorema Chebyshev µ ± 2σadalahµ + 2σ = 1, 491 dan µ − 2σ= −0,741Jadi, selang yang ditanakan adalah dari -0,741 sampai 1,4916565Distribusi HipergeometrikDistribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yangmenyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak denganukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-kgagal dinyatakan sebagai:⎛k⎞⎛N−k⎞⎜x⎟⎜n−x⎟h(x;N,n,k) = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ; x = 0, 1, 2,......,n⎛N⎞⎜n⎟⎝ ⎠Contoh (5.8)Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan yangduduk dalam panitia.Jawab:6363Contoh_ hipergeometrik:Suatu pabrik ban mempunyai data bahwa dari pengiriman sebanyak5000 ban ke sebuah toko tertentu terdapat 1000 cacat. Jika adaseseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut, berapaprobabilitasnya memuat tepat 3 yang cacat.Jawab:Karena n=10 cukup kecil dibandingkan N=5000, maka probabilitasnyadihampiri dengan binomial dengan p= 10/5000= 0,2 adalah probailitasmendapat satu ban. Jadi probabilitas mendapat tepat 3 ban cacat:h( 3; 5000, 10, 1000) = b( 3; 10, 0. 2)3 2= ∑ b(x; 10, 0. 2) − ∑ b(x; 10, 0. 2)x= 0 x=0= 0, 8791 − 0,6778= 0,20136666Misalkan: X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia.X={0,1,2,3}Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus0 5x = 0 → h( 0; 8, 5, 3)= = 1561 4x = 1 → h( 1; 8, 5, 3)= = 1556Tabel 5.6Distribusi hipergeometrik;3 5( )( )8( 5)3 5( )( )8( 5)2 3x = 2 → h( 2; 8, 5, 3)= = 3056;3 2x = 3 → h( 3; 8, 5, 3)= = 1056x 0 1 2 3h(x;8,5,3) 1563 5( x)( 5−x)8( 5)3 5( )( )8( 5)3 5( )( )8( 5)h(x; 8, 5, 3) = ; x = 0, 1, 2,3155630561056Pendekatan Hipergeometrik dapat jugadilakukan untuk menyelesaikan persoalanbinomial :} Binomial → untuk pengambilan contohdengan pemulihan (dengan pengembalian)} Hipergeometrik → untuk pengambilan contohtanpa pemulihan (tanpa pengembalian)6464673

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.11/10/2011Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Birudan 1 buah Putih. Berapa peluanga. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukansecara acak dengan pemulihan?b. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukansecara acak tanpa pemulihan?Soal a diselesaikan dengan Distribusi Peluang binomial :p = 2/5 = 0.40 n = 4 x = 2b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel atau gunakan rumus Binomial)Soal b diselesaikan dengan Distribusi Peluang HipergeometrikN = 5 n = 4 k = 2 x = 2N-k = 3 n-x=2h(2; 5, 4,2) =2 3C2× C21 3 3= × = = 0.605C45 5684