TURUNAN / DIFERENSIAL

TURUNAN /DIFERENSIALTURUNAN DAN DIFERENSIAL

4.1 Devinisi Turunan (Derivatif)Turunan fungsi f adalah f ’ yang nilainya padabilangan x dan didefinisikan oleh :f'(x)lim0 hf( xh)hf( x)untuk semua x dengan limit tersebut ada.TURUNAN DAN DIFERENSIAL

• ContohAndaikan f ( x) 13xcari f ‘ (4) ?Penyelesaian :6f'(4)f (4 h)hf (4)lim h0h0lim[13(4 h) 6] [13(4) 6]h13hhlim limh0h013 13TURUNAN DAN DIFERENSIAL

• Keterdiferensial MenunjukkanKekontinuanTeorema AJika f ‘(c) ada, maka f kontinu di cTURUNAN DAN DIFERENSIAL

Bukti• Kita perlu menunjukkan f ( x) f ( c)lim0 hff ( x) f ( c)( x) f ( c)( x c),x cx cTURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIALKarenanya)()()()()( limlimcxcxcfxfcfxfchcx)()()()( limlimlimcxcxcfxfcfcxcxcx)().0'()(cfcfcf

Persamaan f’(x) didefinisikan oleh aturan'(x)=lim fx 0f(x+x)-f(x)xy= lim x 0xKarena y = f(x) maka persamaan itu dapatpula dinyatakan dalam bentuk:TURUNAN DAN DIFERENSIAL

'(x)=lim fx 0fxBentuk-bentukflimx 0 xsertaylimx 0xLazim dinotosikan dengandfdxyangdisebut dengan notasi leibniz

Jadi untuk menyatakan turunan suatu fungsi f(x) =y dapat digunakan notasi-notasi berikut:dff'(x)ataudxNotasidfdxdapat juga ditafsirkan sebagai:dfdxd dy= (f) dan =dx dxddx(y)

dimanaddxterhadap x. Jadimenyatakan operasi turunandydxdibaca turunan dari yterhadap x danxdfdxdibaca turunan f terhadapJadi apabila ada persamaan2x+1, makadydxadalah 2X

4.2 Aturan Pencarian TurunanProses pencarian turunan suatu fungsilangsung dari definisi turunan, yakni denganmenyusun hasil bagi selisih dan menghitunglimitnya.f ( x h) f ( x)hTURUNAN DAN DIFERENSIAL

Teorema A• (Aturan Fungsi Konstanta)Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta maka untuksembarang x, f’(x)=0D(k)0TURUNAN DAN DIFERENSIAL

• Buktif'(x)f( x h)hf( x)lim lim limh0h0h h0kk00TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Teorema B• (Aturan Fungsi Identitas)Jika f(x)=x maka untuk sembarang x, f’(x)=1D(k)1TURUNAN DAN DIFERENSIAL

• Buktif'(x)f ( x h)hf ( x)lim lim limh0h0hh0xhxhh 1TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Teorema C• (Aturan Pangkat)Jika.f ( x)makaxnf '( x) nx, dengan n bilangan bulat positif,n1D(xn)nxn1TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL• Buktihxhxhxfhxfxfnnhh)()()()('limlim 00hxhnxhhxnnhnxxnnnnnnh12210...21)(limhhnxhhxnnhnxhnnnnh12210...21)(lim

Di dalam kurung siku , semua suku kecuali yangpertama mempunyai h sebagai faktor,sehinggamasing-masing suku ini mempunyai limit nol bilah mendekati nol, jadif'( x) nxn 1Ilustrasi Teorema C3D( x ) 3x2TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Teorema D• (Aturan Kelipatan Konstanta)Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsiyang terdefinisikan, maka ( kf )'( x) k.f '( x)D[ k.f ( x)] k.Df ( x)TURUNAN DAN DIFERENSIAL

• BuktiAndaikanF ( x) k.f ( x),makaF(x h) F(x)F( x)hlimlimh0h0k.f'( xh)hk.f( x)f ( x h) f ( x)limk k.h0hh0limf( xh)hf( x) k.f '( x)TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Teorema E• (Aturan Jumlah)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan,maka ( f g)'(x) f ( x) g(x)D[ f ( x) g(x)] Df ( x) Dg(x)TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL• BuktiAndaikanmakaxgxfxF ),() /()( hxgxfhxghxfxFh)]()([)()([)( lim 0 hxghxghxfhxfh)()()()(lim 0hxghxghxfhxfhh)()()()(limlim 00)'()('xgxf

Teorema F• (Aturan Selisih)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan,maka ( f g)'(x) f ( x) g(x)D[ f ( x) g(x)] Df(x) Dg(x)TURUNAN DAN DIFERENSIAL

• BuktiD[ f ( x) g(x)] D[f ( x) ( 1)g(x)]DfDf( x) D[(1)g(x)]( x) ( 1)Dg(x) Df ( x) Dg(x)TURUNAN DAN DIFERENSIAL

• ContohD(5x27x6)2D(5x 7x) D(6)2D(5x) D(7x) D(6) 5D(x2) 7D(x) D(6) 5.2x 7.10 10x 7TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Teorema G• (Aturan Perkalian)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan,maka ( f * g)'(x) f ( x)g(x) g(x)f '( x)D[ f ( x)g(x)] f ( x)Dg(x)g(x)Df(x)TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL• Contohcari turunan dari )5)(2(342xxx5)(3)(2)(25)(3)]5)(2[(3244242xDxxxxDxxxxD))(6(21)5)(8(3432xxxxx25325612540324 xxxxx594036235xxx

Teorema H• (Aturan Hasilbagi)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkandengang ( x) 0,makaYaitu,fg'g(x)f '(x) f ( x)g'( x)( x)2g ( x)Df ( x)g(x)g(x)Df( x) f ( x)Dg(x)g 2 ( x)TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL• Contoh 1Cari turunan dari2227)()5)(2(37)(3)(xxxx7)(5)(32 xx222227)(7)(5)(35)(37)(7)(5)(3xxDxxDxxxD2227)(21103xxx

• Contoh 2Buktikan aturan Pangkat berlaku untukpngkat integral negatif; yaituD(xPenyelesaiann) nxn1D(xn)D1xnxn.01.nxx2nn1nxx2nn1 nxn1TURUNAN DAN DIFERENSIAL

4.3 Turunan Sinus dan Kosinus• Fungsi f(x)=sin(x)dan g(x)=cos(x) keduanyadapat didiferensialkan.D(sinx)cosxD(cosx)sinxTURUNAN DAN DIFERENSIAL

• ContohCari D( 3sinx2cosx)PenyelesaianD( 3sinx2cosx) 3D(sinx)2D(cosx) 3cosx 2sin xTURUNAN DAN DIFERENSIAL

• Pembuktian Dua Pernyataan Limitlimt0sin tt1limt01costt0TURUNAN DAN DIFERENSIAL

• Contohlim0 t1costsin t.....?1costsin tlim limt0t01costtsin tt010TURUNAN DAN DIFERENSIAL

4.4 Aturan Rantai• (Aturan Rantai).Andaikan y=f(u) dan u=g(x)menentukan fungsi komposityf( g(x)) ( f g)(x). Jika g terdiferensialkandi x dan f terdiferensialkan di u=g(x),maka terdiferensialkan di x danf g( f g)'(x) f '( g(x))g'(x)yakni,DxyDuyD uxTURUNAN DAN DIFERENSIAL

• Contoh260Jika y (2x 4x1), cari D xyPenyelesaian : kita pikirkan ini sebagai60y u dan u 2x2 4x1Jadi,Dx y Duy.Dxu59 (60u)(4x 60(2x2 4x4)1)59(4x 4)TURUNAN DAN DIFERENSIAL

4.5 Turunan Tingkat Tinggi• Operasi pendiferensialan mengambil sebuahfungsi f dan menghasilkan sebuah fungsibaru f ‘. Jika f ‘ kita diferensialkanmenghasilkan fungsi lain dinyatakan oleh f ‘’dan disebut turunan kedua dari f, danseterusnya.TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL• Contoh0)""(12)''('812)'('786)(':8742)(223xfxfxxfxxxfmakaxxxxf

4.6 Diferensial Terdefinisi• Andaikan y=f(x) terdiferensialkan di x danandaikan bahwa dx, diferensilkan dari peubahbebas x, menyatakan pertambahansembarang dari x. Diferensil yangbersesuaian dengan dy dari peubah takbebas y didefinisikan oleh :dy f '( x)dxTURUNAN DAN DIFERENSIAL

• Aturan PangkatAndaikan r bilangan rasional sembarang,makaDx( xr)rxr1TURUNAN DAN DIFERENSIAL

• Contoh3Cari dy jika y x 3x1dy (3x2 3)dxTURUNAN DAN DIFERENSIAL

Rumus turunanTURUNAN DAN DIFERENSIAL

RUMUS-RUMUS TURUNANTURUNAN DAN DIFERENSIAL

TRIGONOMETRITURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke-1Jika f(x) = 3x 2 + 4 maka nilai f 1 (x) yangmungkin adalah ….A. 3x C. 9x 2 E. 12x 2B. 6x D. 10x 2TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf(x) = 3x 2 + 4f 1 (x) = 6xTURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban soal ke-1Jika f(x) = 3x 2 + 4 maka nilai f 1 (x) yangmungkin adalah ….A. 3x C. 9x 2 E. 12x 2B. 6x D. 10x 2TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke-2Nilai turunan pertama dari:f(x) = 2(x) 2 + 12x 2 – 8x + 4 adalah …A. x 2 – 8x + 5 D. 6x 2 + 24x + 8B. 2x 2 – 24x – 2 E. 6x 2 + 24x – 8C. 2x 2 + 24x – 1TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf(x) = 2x 3 + 12x 3 – 8x + 4f 1 (x) = 6x 2 + 24x – 8TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban soal ke-2Nilai turunan pertama dari:f(x) = 2(x) 2 + 12x 2 – 8x + 4 adalah …A. x 2 – 8x + 5 D. 6x 2 + 24x + 8B. 2x 2 – 24x – 2 E. 6x 2 + 24x – 8C. 2x 2 + 24x – 1TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke-3Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1)Adalah …A. 24x + 5 D. 12x – 5B. 24x – 5 E. 12x – 10C. 12x + 5TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf(x)= (3x-2)(4x+1)f 1 (x) = 12x 2 + 3x – 8x – 2f(x) = 12x 2 – 5x – 2f 1 (x) = 24x – 5TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban soal ke-3Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1)Adalah …A. 24x + 5 D. 12x – 5B. 24x – 5 E. 12x – 10C. 12x + 5TURUNAN DAN DIFERENSIAL

NilaifA.2xB.2xC.4x5155(x) darif(x)2x2x2x-1-1Soal ke- 423x6D.4xE. 4x552x-12x2xadalah...-1- 2TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf(x) 2x362x-1f1(x)26.3x6-12 (-1).x-1-1f1(x)4x5-2x-2TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 4Nilaif1(x) darif(x)23x62x-1adalah...A.2x52xD.4x52x-1B.2x52x-1E.4x52x- 2C.4x52x-1TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 5Turunan ke -1 dariyx63 adalah ...A.3xC.3x2E.3x1B.3x2D.3x23TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanyx63yx623yx33y13x2TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 5Turunanke-1 dariyx63 adalah...A.3xC.3x2E.3x1B. 3x2D.3x23TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 6Jika f(x) = (2x – 1) 3 maka nilai f 1 (x) adalah …A. 12x 2 – 3x + 12 D. 24x 2 – 12x + 6B. 12x 2 – 6x – 3 E. 24x 2 – 24x + 6C. 12x 2 – 6x + 3TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf(x) = (2x – 1) 3f 1 (x) = 3(2x – 1) 2 (2)f 1 (x) = 6(2x – 1) 2f 1 (x) = 6(2x – 1)(2x – 1)f 1 (x) = 6(4x 2 – 4x+1)f 1 (x) = 24x 2 – 24x + 6TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 6Jika f(x) = (2x – 1) 3 maka nilai f 1 (x) adalah …A. 12x 2 – 3x + 12 D. 24x 2 – 12x + 6B. 12x 2 – 6x – 3 E. 24x 2 – 24x + 6C. 12x 2 – 6x + 3TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 7Turunan pertama dari f(x) = (5x 2 – 1) 2adalah …A. 20x 3 – 20x D. 5x 4 – 10x 2 + 1B. 100x 3 – 10x E. 25x 4 – 10x 2 + 1C. 100x 3 – 20xTURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf(x) = (5x 2 – 1) 3f 1 (x) = 2(5x 2 – 1) (10x)f 1 (x) = 20x (5x 2 – 1)f 1 (x) = 100x 3 – 20xTURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 7Turunan pertama dari f(x) = (5x 2 – 1) 2adalah …A. 20x 3 – 20x D. 5x 4 – 10x 2 + 1B. 100x 3 – 10x E. 25x 4 – 10x 2 + 1C. 100x 3 – 20xTURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 8TurunanpertamadariA.( 2 x-4)(2x 8)3B.( 2 -4x)(2x 3)3C.(4x -3)(4x2- 3x)23E.(4x 2f(x) 4x 3xD.(4x -3) (4x223)(4x22adalah...23x)- 3x)-12TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIALPembahasan213x))(4x 223(4x(x)f3)(8x213x)(4x 221(x)f213x)(4xf(x)3x4xf(x)1122

Jawaban Soal ke- 8Turunanpertamadarif(x)A.2( x-4)(2x 8)3D.4x2(4x-3xadalah...3) (4x2223x)B.C.2( -4x)(2x 3)33 2(4x-) (4x - 3x)23E.(4x 3) (4x22-- 3x)12TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 9Turunan pertama darif(x) = (3x 2 – 6x) (x + 2)adalah …A. 3x 2 – 12 D. 9x 2 – 12B. 6x 2 – 12 E. 9x 2 + 12C. 6x 2 + 12TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf(x) = (3x 2 – 6x) (x + 2)Cara 1:Misal : U = 3x 2 – 6xU 1 = 6x – 6V = x + 2V 1 = 1TURUNAN DAN DIFERENSIAL

PembahasanSehingga:f 1 (x) = (6x – 6)(x+2)+(3x 2 +6x).1f 1 (x) = 6x 2 +12x – 6x – 12+3x 2 – 6xf 1 (x) = 9x 2 – 12TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf(x) = (3x 2 – 6x) (x + 2)Cara 2:f 1 (x) = 3x -3 +6x 2 – 6x 3 – 12xf 1 (x) = 9x 2 +12x –12x – 12f 1 (x) = 9x 2 – 12TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 9Turunan pertama darif(x) = (3x 2 – 6x) (x + 2)adalah …A. 3x 2 – 12 D. 9x 2 – 12B. 6x 2 – 12 E. 9x 2 + 12C. 6x 2 + 12TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 10(3x 2)Turunanpertamadarif(x) adalah...4x-1A.16xB.16xC.24x222- 8x 1 8x 1- 8x -1D.24xE.16x22- 8x-1-11- 8x 1TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf(x)MisalUUVV11:3x 24x -13x 234x - 14TURUNAN DAN DIFERENSIAL

PembahasanMaka:f1(x)U1V -V2UV1f1(x)3(4x1)(4x(3x1)22)4TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf1(x)12x312x816x28x1f1(x)1116x28x1TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 10Turunan pertama dariA.16xB.16xC.24x222- 8x 1 8x 1- 8x -1(3x 2)f(x) adalah ...4x -1D.24xE.16x22- 8x -1-11- 8x 1TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Diketahuif(x) Jika f1(x)5A.34B.34.NilaiC.12D.3Soal ke- 1123x-4xyangmungkinadalah ...1E.36TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf(x) = 3x 2 – 4x + 6f 1 (x) = 6x – 4 Jika f 1 (x) = 4TURUNAN DAN DIFERENSIAL

PembahasanMaka :4 4 4 8 6x xx6x6x6x886434TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 11Diketahui f(x)Jikaf1(x)5A.34B.34.Nilaiyangmungkinadalah...C.12D.323x-4x1E.36TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 12Diketahui f(x) = 5x 2 +3x+7. Nilai f 1 (-2)Adalah ….A. -29 D. -7B. -27 E. 7C. -17TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf(x) = 5x 2 – 3x + 7f 1 (x) = 10x – 3Maka untuk f 1 (-2) adalah…f 1 (-2) = 10(-2)+3f 1 (-2) = -20+3f 1 (-2) = -17TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 12Diketahui f(x) = 5x 2 +3x+7. Nilai f 1 (-2)Adalah ….A. -29 D. -7B. -27 E. 7C. -17TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 13Diketahuif(x) 1NilaifA.B.--6312adalah ...C.D.32x03-24xE. 5x616TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf(x) 2x3-6x25x-16f"(x)6x2-12x5f"(x)12x-12Makauntuk f"12adalah...TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf"121212- 12f"126 -12f"12- 6TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 14Turunanpertamadari f(x) A.B.C.D.E.1f (x)1f (x)1f (x)1f (x)1f (x)2(18x -12) (3x2(18x - 2) (3x2(18x -12) (3x2(18x -12) (3x2(18x -12) (2x5-1)52)3- 4x)3- 4x)3- 4x)123x2 4x6adalah...TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIALPembahasan5252162624x)12)(3x(18x(x)1f4)(6x4x)3(3x(x)1f4)(6x4x)(3x216.(x)1f4x)(3x21f(x)

Jawaban Soal ke- 14Turunan pertama dariA.1f (x)2(18x -12)(3xf(x) 5-1)123x24x6adalah...B.1f (x)2(18x - 2)(3x52)C.1f (x)2(18x -12)(3x-54x)D.1f (x)2(18x -12)(3x-54x)E.1f (x)2(18x -12)(2x-54x)TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 1521 1Diketahui f(x) 6x3x1untukf( )2makanilaix yangmungkinadalah...A.B.1323C.D.143E.53TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf(x) f1(x) 12x -3untuk f26x1(x)maka:112x -32 3xx2112TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasan224x62624x824x24x8xx82413TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Diketahuif(x)makanilaiA.B.1323Jawaban Soal ke- 15 6xC.D.14323x1 untuk fx yangmungkinadalah...E.5311( )2TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 16Turunanpertamadari:f(x) 42x-18adalah...A.4x1C.8x-2E.8x4B.8x2D.8x- 4TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf(x) 4(2x-1)8f(x)f(x)(2x-1)(2x-1)842TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanf1(x) 2(2x1)(2)f1(x)4(2x1)f1(x)8x4TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 16Turunanpertamadari:f(x) 42x-18adalah...A.4x1C.8x-2E.8x4B.8x2D.8x- 4TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 17TurunanuntukA.B.-- 13125y1adalah...pertama2.Maka nilaiC.D.01dariE.y31252x -1x yang mungkin3 6TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasanyyyyy13 6(5x(5x - 6)(5x - 6)6)6322(5x - 6)10(5x - 6)(5)TURUNAN DAN DIFERENSIAL

PembahasanUntuk y12250xxx50x - 6060625031256250x2,maka:TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 17TurunanuntukA.B.-- 13125y1adalah...pertama2.Maka nilaiC.D.01dariE.y31252x -1x yang mungkin3 6TURUNAN DAN DIFERENSIAL

SELAMAT BELAJARTURUNAN DAN DIFERENSIAL

LATIHAN TUGAS 3TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TRIGONIMETRITURUNAN DAN DIFERENSIAL