Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral - Ee-cafe.org

Sudaryatno SudirhamStudi MandiriFungsi dan GrafikDiferensial dan IntegraliiDarpublic

BAB 9Turunan Fungsi-Fungsi (1)(Fungsi Mononom, Fungsi Polinom)9.1. Pengertian DasarKita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik yang terletak padasuatu garis lurus diketahui, misalnya [x 1, y 1 ] dan [x 2 ,y 2 ], maka kemiringangaris tersebut dinyatakan oleh persamaan∆y( y2− y1)m = =(9.1)∆x( x2− x1)Untuk garis lurus, m bernilai konstan dimanapun titik [x 1, y 1 ] dan [x 2 ,y 2 ]berada. Bagaimanakah jika yang kita hadapi bukan garis lurus melainkangaris lengkung? Perhatikan Gb.9.1.yy = f(x)P 2∆yP 1∆x(a)yy = f(x)xP 1P′ 2∆y′x(b)Gb.9.1. Tentang kemiringan garis.Pada Gb.9.1.a. ∆y/∆x merupakan kemiringan garis lurus P 1 P 2 dan bukankemiringan garis lengkung y = f(x). Jika ∆x kita perkecil, seperti terlihatpada Gb.9.1.b., ∆y/∆x menjadi ∆y′/∆x′ yang merupakan kemiringangaris lurus P 1 P′ 2 . Jika ∆x terus kita perkecil maka kita dapatkan∆x′9-1

kemiringan garis lurus yang sangat dekat dengan titik P 1 , dan jika ∆xmendekati nol maka kita mendapatkan kemiringan garis singgung kurvay di titik P 1 . Jadi jika kita mempunyai persamaan garis y = f (x)danmelihat pada suatu titik tertentu [x,y], maka pada kondisi dimana ∆xmendekati nol, persamaan (9.1) dapat kita tuliskan∆yf ( x + ∆x)− f ( x)lim = lim= f ′(x)∆x→0∆x∆x→0∆x(9.2)f ′(x)merupakan fungsi dari x karena untuk setiap posisi titik yang kitatinjau f ′(x)memiliki nilai berbeda; f ′(x)disebut fungsi turunan darif (x) , dan kita tahu bahwa dalam hal garis lurus, f ′(x)bernilai konstandan merupakan kemiringan garis lurus tersebut. Jadi formulasi (9.1) tidakhanya berlaku untuk garis lurus. Jika ∆x mendekati nol, maka ia dapatdiaplikasikan juga untuk garis lengkung, dengan pengertian bahwakemiringan m adalah kemiringan garis lurus yang menyinggung kurvalengkung di titik [x,y]. Perhatikan Gb. 9.2.y(x 2 ,y 2 )(x 1 ,y 1 )Gb.9.2. Garis singgung pada garis lengkung.Jika fungsi garis lengkung adalah y = f (x)maka f ′(x)pada titik [x 1 ,y 1 ]adalah kemiringan garis singgung di titik [x 1 ,y 1 ], dan f ′(x) di titik (x 2 ,y 2 )adalah kemiringan garis singgung di [x 2 ,y 2 ]. Bagaimana mencari f ′(x)akan kita pelajari lebih lanjut.∆yJika pada suatu titik x 1 di mana lim seperti yang dinyatakan oleh∆x→0∆x(9.2) benar ada, fungsi f(x) memiliki turunan di titik tersebut dandikatakan sebagai “dapat didiferensiasi di titik tersebut” dan nilaix9-2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

∆ylim merupakan nilai turunan di titik tersebut (ekivalen dengan∆x→0∆xkemiringan garis singgung di titik tersebut).Persamaan (9.2) biasanya ditulisdy d∆y= ( y)= limdx dx ∆ x→0∆x(9.3)f ( x + ∆x)− f ( x)= lim= f ′(x)∆x→0∆xdy kita baca “turunan terhadap x dari fungsi y”, atau “turunan fungsi ydxterhadap x”. Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakanfungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.Misalnya y merupakan fungsi t , y = f (t); maka penurunan y hanya bisadilakukan terhadap t, tidak terhadap x.9.2. Fungsi MononomKita lihat uraian-uraian berikut ini.dy df ( t)y ′ = = = f ′(t)dt dt1). y 0 = f ( x)= k , bernilai konstan. Di sini2). y1 = f1 ( x)= 2xf ( x + ∆x)− f ( x)0y0 ′ = lim= = 0∆x→0∆x∆x⇒2( x + ∆x)− 2x2∆xf1 ′(x)= lim= = 2∆x→0∆x∆x9-3

y108642f ( x)2x1=f 1 ′(x)= 2Gb.9.3. Fungsi mononom y = 2x dan turunannya.Kurva f 1′ ( x ) membentuk garis lurus sejajar sumbu-x; ia bernilaikonstan 2 untuk semua x.3). 2y 2 = f2( x)= 2x02 222 22( x + ∆x)− 2x2( x + 2x∆x+ ∆x) − 2xf2′( x)= lim= lim∆ x→0∆x∆x→0∆x= lim (2 × 2x+ 2∆x)= 4x∆x→0Turunan fungsi ini membentuk kurva garis lurus dengan kemiringan4.4). 3y 3 = f3( x)= 2x0 1 2 3 4 5x3 32( x + ∆x)− 2xf3′( x)= lim∆x→0∆x3 23 3 32( x + 3x∆x+ 3x∆x+ ∆x) − 2x= lim∆x→0∆x= lim22 2 22 × 3x+ 2 × 3x∆x+ 2∆x= 6x∆x→0Turunan fungsi ini membentuk kurva parabola.9-4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

′′′5). Secara umum, turunan mononomadalahny = f ( x)= mx(9.4)′ ( n−1)y = ( m × n)x(9.5)Jika n pada (9.4) bernilai 1 maka kurva fungsi y = f (x)akanberbentuk garis lurus dan turunannya akan berupa nilai konstan,y ′ = f ′(x)= kJika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,y ′ = f ′(x). Dengan demikian maka fungsi turunan ini dapatditurunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnyay ′′ = f ′(x)yang mungkin masih juga merupakan fungsi x dan masih dapatditurunkan lagi untuk memperoleh fungsi turunan berikutnya lagidan demikian seterusnya.Contoh:y ′′ ′ = f ′′′(x)dyy ′ = f ′( x)= kita sebut turunan pertama,dx2d yy = f ′′ ( x)=2dx′′ turunan kedua,3d yy = f ′′′ ( x)=3dx′′′ turunan ke-tiga, dst.3y 4 = f4( x)= 2x′ (3−1)2(2 1)4 2(3)6 ; 4′′−y = x = x y = 6(2) x = 12x;y4= 126) Dari (9.4) dan (9.5) kita dapat mencari titik-potong antara kurva suatufungsi dengan kurva fungsi turunannya.Fungsi mononom ny = f ( x)= mx memiliki turunan′ ( n−1)y = ( m × n)x . Koordinat titik potong P antara kurva mononomf(x) dengan turunan pertamanya diperoleh dengan9-5

′ n( n−1)y = y → mx = ( m × n)x⇒ x P = n dan nyP = mxPKoordinat titik potong kurva mononom dengan kurva-kurva turunanselanjutnya dapat pula dicari.Gb.9.4. memperlihatkan kurva mononom4y = x dan turunanturunannya3y ′ 2= 4x , y ′′ =12x , y ′′ ′ = 24x, y ′′′′ = 24 .2y ′′ = 12x4y = x2001000y ′′ = 12x3y ′ = 4xy ′′′ = 24x2y ′′′ ′ = 243y ′ = 4x-3 -2 -1 0 1 2 3 4-1009.3. Fungsi PolinomGb.9.4. Mononom dan fungsi turunan-nya.Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Kita lihat contohcontohberikut.1). y 1 = f1 ( x)= 4x+ 2{ 4( x + ∆x)+ 2} − { 4x+ 2}f1 ′(x)= lim= 4∆x→x∆xKurva fungsi ini dan turunannya terlihat pada Gb.9.5.9-6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

y108642f 1 (x) = 4x + 2f 1 ′(x) = 40-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 x 2-2Gb.9.5. f 1 (x) = 4x + 2 dan turunannya.Suku yang bernilai konstan pada f 1 (x), berapapun besarnya, positifmaupun negatif, tidak memberikan kontribusi dalam fungsi turunannya.2). y 2 = f2 ( x)= 4( x − 2)⇒ f 2(x)= 4x− 810-10-153). 2y 3 = f3(x)= 4x+ 2x− 5y⇒ f 2 ′(x)= 4Gb.9.6. f 2 (x) = 4(x – 2) dan turunannya.22{ 4( x + ∆x)+ 2( x + ∆x)− 5} − { 4x+ 2x− 5}y3′= lim∆x→0= 4 × 2x+ 2 = 8x+ 24). 3 2y 4 = f4(x)= 5x+ 4x+ 2x− 55f 2 ′(x)= 40-1 0 1 2 3x4-5f 2 ( x)= 4( x − 2)∆x323 2{ 5( x + ∆x)+ 4( x + ∆x)+ 2( x + ∆x)− 5} − { 5x+ 4x+ 2x− 5}y4′= lim∆x→0∆x22= 5 × 3x+ 4 × 2x+ 2 = 15x+ 8x+ 2-49-7

5) Secara Umum: Turunan suatu polinom, yang merupakan jumlahbeberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masingmononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinomitu memang memiliki turunan.9.4. ilai PuncakKita telah melihat bahwa turunan fungsi di suatu nilai x merupakankemiringan garis singgung terhadap kurva fungsi di titik [x,y]. Jika titik[x p ,y p ] adalah titik puncak suatu kurva, maka garis singgung di titik[x p ,y p ] tersebut akan berupa garis mendatar yang kemiringannya nol.Dengan kata lain posisi titik puncak suatu kurva adalah posisi titik dimana turunan pertama fungsi bernilai nol.Polinom Orde Dua. Kita ambil contoh fungsi polinom orde dua (fungsikuadrat):Turunan pertama fungsi ini adalahy = 2x2 + 15x+ 13y ′ = 4 x +15Jika kita beri y ′ = 0 maka kita dapatkan nilai x p dari titik puncak yaitux p = −(15/4) = −3,75Jika nilai x p ini kita masukkan ke fungsi asalnya, maka akan kitadapatkan nilai puncak y p .2y p = 2xp + 15xp+ 132= 2(-3,75) + 15×( −3,75)+ 13 = −15,125Secara umum, x p dari fungsi kuadratdengan membuat2y = ax + bx + cdapat diberolehy ′ = 2 ax + b = 0(9.6)sehingga diperolehbx p = −(9.7)2a9-8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Nilai puncak, y p dari fungsi kuadratdengan memasukkan x p2y = ax + bx + cdapat diperoleh2 22 b b − 4acy p = axp+ bxp+ c = − + c = −(9.8)4a4aMaksimum dan Minimum. Bagaimanakah secara umum menentukanapakah suatu nilai puncak merupakan nilai minimum atau maksimum?Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak. LihatGb.9.7.Pyy′y′xQGb.9.7. Garis singgung di sekitar titik puncak.Turunan pertama di suatu titik pada kurva adalah garis singgung padakurva di titik tersebut. Di sekitar titik maksimum, mulai dari kiri kekanan, kemiringan garis singgung terus menurun sampai menjadi nol dititik puncak kemudian menjadi negatif. Ini berarti turunan pertama y′ disekitar titik maksimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua dititik maksimum bernilai negatif.Sebaliknya, di sekitar titik minimum, mulai dari kiri ke kanan,kemiringan garis singgung terus meningkat sampai menjadi nol di titikpuncak kemudian menjadi positif. Ini berarti turunan pertama y′ di sekitartitik minimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di titikminimum bernilai positif.Jadi apabila turunan kedua di titik puncak bernilai negatif, titik puncaktersebut adalah titik maksimum. Apabila turunan kedua di titik puncakbernilai positif, titik puncak tersebut adalah titik minimum.9-9

2Dalam kasus fungsi kuadrat y = ax + bx + c , turunan pertama adalahy ′ = 2 ax + b dan turunan kedua adalah y′ = 2a. Jadi pada fungsikuadrat, apabila a bernilai positif maka ia memiliki nilai minimum; jika anegatif ia memiliki nilai maksimum.Contoh: Kita lihat kembali contoh fungsi kuadrat yang dibahas diatas.y = 2x2 + 15x+ 13Nilai puncak fungsi ini adalah y p = −15, 125 dan ini merupakannilai minimum, karena turunan keduanya y ′′ = 4 adalah positif.Lihat pula Gb.10.5.c.Contoh: Kita ubah contoh di atas menjadi:y = −2x2 + 15x+ 13Turunan pertama fungsi menjadiy = −4 x + 15 , yang jika y′= 0 memberi x = + 3,75′ pNilai puncak adalahy p= −2 (3,75)^2 + 15 × 3,75 + 13 = + 41,125Turunan kedua adalah y ′′ = −4bernilai negatif. Ini berartibahwa nilai puncak tersebut adalah nilai maksimum.Contoh: Dua buah bilangan positif berjumlah 20. Kita dimintamenentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupasehingga perkaliannya mencapai nilai maksimum,sementara jumlahnya tetap 20.Jika salah satu bilangan kita sebut x maka bilangan yanglain adalah (20−x). Perkalian antara keduanya menjadi2y = x( 20 − x)= 20x− xTurunan pertama yang disamakan dengan nol akanmemberikan nilai x yang memberikan y puncak .y ′ = 20 − 2x= 0 memberikan x = 109-10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

dan nilai puncaknya adalahy puncak= 200 −100= 100Turunan kedua adalah y ′′ = −2; ia bernilai negatif. Jadiy puncak yang kita peroleh adalah nilai maksimum; keduabilangan yang dicari adalah 10 dan (20−10) = 10. Kurvadari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.9.8.120y10080604020-5 -20 0 5 10 15 20 x 25-400Gb.9.8. Kurva y = x( 20 − x)Kurva tersebut memotong sumbu-x diy = x( 20 − x)= 0 ⇒ x = 0 dan x21 =Dalam contoh di atas kita memperoleh hanya satu nilai maksimum;semua nilai x yang lain akan memberikan nilai y dibawah nilaimaksimum y puncak yang kita peroleh. Nilai maksimum demikian ini kitasebut nilai maksimum absolut.Jika seandainya y puncak yang kita peroleh adalah nilai minimum, maka iaakan menjadi minimum absolut, seperti pada contoh berikut.Contoh: Dua buah bilangan positif berselisih 20. Kita dimintamenentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupasehingga perkaliannya mencapai nilai minimum, sementaraselisihnya tetap 20.Jika salah satu bilangan kita sebut x (positif) maka bilanganyang lain adalah (x + 20). Perkalian antara keduanyamenjadi209-11

2 +y = x(x + 20) = x 20xTurunan pertama yang disamakan dengan nol akanmemberikan nilai x yang memberikan y puncak .y ′ = 2 x + 20 = 0 sehingga x = −10dan nilai puncak adalahy puncak= 100 − 200 = −100Turunan kedua adalah y ′′ = + 2 ; ia bernilai positif. Jadiy puncak yang kita peroleh adalah nilai minimum; keduabilangan yang dicari adalah −10 dan (−10+20) = +10.Kurva fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.9.9.y 40-25 -20 -15 -10 -5 -20 0 x 5Gb.9.9. Kurva y = x( x + 20)Polinom Orde Tiga. Fungsi pangkat tiga diberikan secara umum oleh200-40-60-80-100-1203y = ax + bx + cx + d2(9.10)Turunan dari (10.29) adalahy ′ = 3ax2 + 2bx+ c(9.11)Dengan membuat y ′ = 0 kita akan mendapatkan x p .y′ = 0 = 3axp + 2bxp+ cAda dua posisi nilai puncak, yaitu9-12 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral2

xp1, xp2− 2b±=− b ±=b23a4b6a2− 3ac−12ac(9.12)Dengan memasukkan x p1 dan x p2 ke penyataan fungsi (10.11) kita perolehnilai puncak y p1 dan y p2 . Namun bila x p1 = x p2 berarti dua titik puncakberimpit atau kita sebut titik belok.Contoh: Kita akan mencari di mana letak titik puncak dari kurva3 2fungsi y = 2x− 3x+ 3 dan apakah nilai puncakmerupakan nilai minimum atau maksimum.Jika turunan pertama fungsi ini kita samakan dengan nol,akan kita peroleh nilai x di mana puncak-puncak kurvaterjadi.y′= 6x2 − 6x= 6x(x −1)= 0memberikan x = 0 dan x = 1Memasukkan nilai x yang diperoleh ke persamaan asalnyamemberikan nilai y, yaitu nilai puncaknya.x = 0x = 1memberikanmemberikanyypuncakpuncak= + 3= + 2Jadi posisi titik puncak adalah di P[0,3] dan Q[1,2]. Apakahnilai puncak y puncak minimum atau maksimum kita lihat dariturunan kedua dari fungsi yy ′′ = 12x− 6Untuk x = 0 ⇒ y ′′ = −6Untuk x = 1⇒y ′′ = + 6Jadi nilai puncak di P[0,3] adalah suatu nilai maksimum,sedangkan nilai puncak di Q[1,2] adalah minimum. Kurvadari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.9.10.9-13

15y105P[0,3] Q[1,2]R0-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5-5x-10-15y s9.5. Garis Singgung-203 2Gb.9.10. Kurva y = 2x− 3x+ 3 dan garis singgung di R.Persamaan garis singgung pada titik R yang terletak di kurva suatu fungsiy = f (x) secara umum adalah y s = mx dengan kemiringan m adalahturunan pertama fungsi di titik R.3 2Contoh: Lihat fungsi y = 2x− 3x+ 3 yang kurvanya diberikanpada Gb.9.10.Turunan pertama adalah y ′ = 6x2 − 6x= 6x(x −1). Titik R denganabsis x R = 2 , memiliki ordinat y R = 2 × 8 − 3 × 4 + 3 = 7 ; jadikoordinat R adalah R(2,7). Kemiringan garis singgung di titik Radalah m = 6 × 2 × 1=12 .Persamaan garis singgung y s =12 x + K . Garis ini harus melaluiR(2,7) dengan kata lain koordinat R harus memenuhi persamaangaris singgung. Jika koordinat R kita masukkan ke persamaangaris singgung akan kita dapatkan nilai K.y s =12 x + K ⇒ 7 = 12 × 2 + K ⇒ K = 7 − 24 = −17.Persamaan garis singgung di titk R adalah y s = 12x−179-14 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

9.6. Contoh Hubungan DiferensialBerikut ini adalah beberapa contoh relasi diferensial. (ref. [3] Bab-2)Arus Listrik. Arus litrik adalah jumlah muatan listrik yang mengalir perdetik, melalui suatu luas penampang tertentu. Ia merupakan laju aliranmuatan. Kalau arus diberi simbol i dan muatan diberi simbol q makadqi =dtSatuan arus adalah ampere (A), satuan muatan adalah coulomb (C). Jadi1 A = 1 C/detik.Tegangan Listrik. Tegangan listrik didefinisikan sebagai laju perubahanenergi per satuan muatan. Kalau tegangan diberi simbol v dan energidiberi simbol w, makadwv =dqSatuan daya adalah watt (W). Satuan energi adalah joule (J). Jadi 1 W =1 J/detik.Daya Listrik. Daya listrik didefinisikan sebagai laju perubahan energi.Jika daya diberi simbol p makadwp =dtDari definisi tegangan dan arus kita dapatkandw dw dqp = = = vidt dq dtKarakteristik Induktor. Karakteristik suatu piranti listrik dinyatakandengan relasi antara arus yang melewati piranti dengan tegangan yangada di terminal piranti tersebut. Jika L adalah induktansi induktor, v L dani L masing-masing adalah tegangan dan arus-nya, maka relasi antara arusdan tegangan induktor adalahdiv LLL =dtKarakteristik Kapasitor. Untuk kapasitaor, jika C adalah kapasitansikapasitor, v C dan i C adalah tegangan dan arus kapasitor, makaiC =dvCdtc9-15

Soal-Soal1. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut untuk kemudian menentukannilai puncak2y1= 5x− 10x− 7;2y2= 3x− 12x+ 2 ;2y3= −4x+ 2x+ 82. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut untuk kemudian menentukannilai puncak3 2y1= 2x− 5x+ 4x− 2 ;4 3 2y2= x − 7x+ 2x+ 6 ;7 3 2y3= 3x− 7x+ 21x9-16 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral