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equazioni-goniometriche

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Equazioni Goniometriche<br />

e Esercizi Svolti<br />

Prof. Francesco Zumbo<br />

www.francescozumbo.it<br />

− Equazioni <strong>goniometriche</strong> elementari<br />

− Equazioni <strong>goniometriche</strong> riconducibili ad elementari<br />

− Equazioni <strong>goniometriche</strong> lineari<br />

− Equazioni <strong>goniometriche</strong> riconducibili a lineari<br />

− Soluzione grafica delle <strong>equazioni</strong> <strong>goniometriche</strong> lineari<br />

− Equazioni <strong>goniometriche</strong> omogenee<br />

− Equazioni <strong>goniometriche</strong> riconducibili a omogenee<br />

− Soluzione grafica delle <strong>equazioni</strong> <strong>goniometriche</strong> omogenee<br />

− Equazioni <strong>goniometriche</strong> simmetriche


Angolo orientato Funzioni <strong>goniometriche</strong><br />

gradi radianti seno coseno tangente<br />

0° 0 0 1 0<br />

9°<br />

15°<br />

18°<br />

22°30’<br />

30°<br />

36°<br />

45°<br />

54°<br />

60°<br />

72°<br />

75°<br />

90°<br />

π<br />

20<br />

π<br />

12<br />

π<br />

10<br />

π<br />

8<br />

π<br />

6<br />

π<br />

5<br />

π<br />

4<br />

3π<br />

10<br />

π<br />

3<br />

3π<br />

5<br />

5π<br />

12<br />

3 + 5 −<br />

4<br />

5 −<br />

6 −<br />

4<br />

2<br />

5 − 1<br />

4<br />

2 −<br />

2<br />

1<br />

2<br />

10 − 2<br />

4<br />

2<br />

2<br />

2<br />

5 + 1<br />

4<br />

3<br />

2<br />

10 + 2<br />

4<br />

6 +<br />

4<br />

2<br />

5<br />

5<br />

5<br />

3 + 5 +<br />

4<br />

5 −<br />

6 +<br />

4<br />

10 + 2<br />

4<br />

2 +<br />

2<br />

3<br />

2<br />

2<br />

2<br />

5<br />

5<br />

4 −<br />

10 + 2<br />

5 −1<br />

2 −<br />

3<br />

25 −10<br />

5<br />

2 − 1<br />

3<br />

3<br />

5 + 1<br />

5 − 2 5<br />

4<br />

2<br />

1<br />

2<br />

10 − 2 5<br />

25 + 10<br />

4<br />

5<br />

1<br />

2<br />

3<br />

5 − 1<br />

5 + 2 5<br />

4<br />

6 −<br />

4<br />

π<br />

1 0 →<br />

±∞<br />

2<br />

2<br />

2 +<br />

3<br />

5<br />

5<br />

5


�������� �<br />

���������<br />

��� �����������<br />

����� ��������� ������������<br />

sin 2 x + cos 2 x = 1<br />

����� �������� � ����������� ����������<br />

���������� �� ���������� tan x =<br />

���������� �� ����������� �� cot x =<br />

sin x π<br />

cos x∀x �= 2 + kπ<br />

cos x<br />

sin x ∀x �= kπ<br />

���������� �� ����������� �� cot x = 1<br />

π<br />

tan x∀x �= k 2<br />

����� ������� � ���������� ����������<br />

���������� �� ��������� sec α = 1<br />

cos α<br />

sec : R \ { pi<br />

2 + kπ, k ∈ Z} → R<br />

���������� �� ����������� csc α = 1<br />

sin α<br />

csc : R \ {kπ, k ∈ Z} → R<br />

����� ������� �� ���������<br />

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β<br />

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β<br />

tan α±tan β<br />

tan(α ± β) =<br />

cot(α ± β) =<br />

1∓tan α tan β<br />

cot α cot β∓1<br />

cot α±cot β<br />

��


�� �������� �� ���������<br />

����� ������� �� ������������ � �� �������������<br />

sin(2α) = 2 sin α cos α<br />

cos(2α) = cos2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos2 α − 1<br />

2 tan α<br />

tan(2α) = 1−tan2 α<br />

sin(3α) = 3 sin α − 4 sin 3 α<br />

cos(3α) = 4 cos3 α − 3 cos α<br />

tan(3α) = 3 tan α−tan3 α<br />

1−3 tan2 α<br />

����� ������� �� ���������<br />

sin( α<br />

2<br />

cos( α<br />

2<br />

) = ±<br />

) = ±<br />

tan( α<br />

2 ) = ±<br />

�<br />

1−cos α<br />

2<br />

�<br />

1+cos α<br />

2<br />

�<br />

1−cos α<br />

1+cos α<br />

sin α 1−cos α<br />

= 1+cos α = sin α<br />

����� ������� ������������<br />

t def<br />

= tan α<br />

2 −→<br />

⎧<br />

⎨<br />

⎩<br />

sin α = 2t<br />

1+t 2<br />

cos α = 1−t2<br />

1+t 2<br />

tan α = 2t<br />

1−t 2<br />

����� ������� �� ������������<br />

sin p + sin q = 2 sin p+q<br />

2<br />

cos p−q<br />

2<br />

sin p − sin q = 2 cos p+q<br />

2 sin p−q<br />

2<br />

cos p + cos q = 2 cos p+q<br />

2<br />

cos p−q<br />

2<br />

cos p − cos q = −2 sin p+q<br />

2 sin p−q<br />

2<br />

����� ������� �� ������<br />

cos p · sin q = 1<br />

2 [sin(p + q) − sin(q − p)]<br />

sin p · sin q = 1<br />

2 [sin(p − q) − cos(p + q)]<br />

cos p · cos q = 1<br />

2 [cos(p + q) + cos(p − q)]<br />

������ ������� �� �����������<br />

☛ ������� ��� � ������<br />

������ ����� ����<br />

☛ ������� ��� � ������


���� ����������� ��<br />

↙ ��� ��� ���<br />

sin α sin α ± √ 1 − cos2 tan α<br />

α ± √<br />

1+tan2 α<br />

cos α ± √ 1 − sin2 1<br />

α cos α ± √<br />

1+tan2 α<br />

sin α<br />

tan α ± √ ±<br />

1−sin2 α<br />

√ 1−cos2 α<br />

cos α tan α<br />

√<br />

1−sin2 α<br />

cos α<br />

cot α ± sin α ± √ 1<br />

1−cos2 α<br />

tan α<br />

1<br />

sec α ± √ 1<br />

1−sin2 α<br />

cos α<br />

1<br />

1<br />

csc α sin α ± √ ±<br />

1−cos2 α<br />

√ 1+tan2 α<br />

tan α<br />

������� ���� ������� �� �����������<br />

± √ 1 + tan 2 α<br />

��� ��� ��� ��� ��� ���<br />

� �◦ � � � ����<br />

π<br />

12<br />

π<br />

8<br />

π<br />

15◦ √ √<br />

6− 2<br />

4<br />

22◦30 ′<br />

√ √<br />

2− 2<br />

2<br />

◦ 1<br />

2<br />

45◦ √<br />

2<br />

2<br />

60◦ √<br />

3<br />

√ 2<br />

√<br />

2+ 2<br />

√ 2 √<br />

6+ 2<br />

4<br />

√ 6+ √ 2<br />

4 2 − √ 3 2 + √ √<br />

3<br />

√<br />

2+ 2 √ √<br />

2 2 − 1 2 + 1<br />

√ √ √<br />

3<br />

3<br />

6 30 2<br />

3 3<br />

√<br />

π<br />

2<br />

4<br />

2 1 1<br />

√ √<br />

π<br />

1<br />

3<br />

3<br />

2 3 3<br />

3<br />

8π 67◦30 ′<br />

√ √<br />

2− 2 √ √<br />

2 2 + 1 2 − 1<br />

√ √<br />

5<br />

6− 2<br />

12π 75◦<br />

4 2 + √ 3 2 − √ 3<br />

π<br />

2 90◦ 1 0 ���� 0<br />

������� ���� ����� ����<br />

��� ��� ��� ��� ���<br />

� sin x cos x tan x cot x<br />

π − x sin x − cos x − tan x − cot x<br />

π + x − sin x − cos x tan x cot x<br />

−x − sin x cos x − tan x − cot x<br />

2π − x − sin x cos x − tan x − cot x<br />

π<br />

2 − x<br />

π<br />

2 + x<br />

3<br />

2π − x<br />

π + x<br />

cos x<br />

cos x<br />

− cos x<br />

− cos x<br />

sin x<br />

− sin x<br />

− sin x<br />

sin x<br />

cot x<br />

− cot x<br />

cot x<br />

− cot x<br />

tan x<br />

− tan x<br />

tan x<br />

− tan x<br />

3<br />

2<br />

������� ���� ����� ���������


�� �������� �� ���������<br />

������ ����� ���������<br />

☛ ������� ��� � ������<br />

��� �������������<br />

����� ��������� ���������<br />

����� S = 1<br />

2<br />

S = 1 sin β sin γ<br />

2a2 sin(β+γ)<br />

ab sin γ = 1<br />

2<br />

1 bc sin α = 2ac sin β<br />

1 sin α sin γ<br />

= 2b2 sin(α+γ)<br />

1 sin α sin β<br />

= 2c2 sin(α+β)<br />

������� � �������� �� ������ S = � p(p − a)(p − b)(p − c)<br />

������� � �������� �� ����������� � �� ������ ���� �� �������<br />

������ ������� ����� ������������ �� ��� �������������� �� ���� a, b, c, d � ���<br />

����������� p = a+b+c+d<br />

2 � ������ ���� S = � (p − a)(p − b)(p − c)(p − d)�<br />

��� d = 0� �� ������������ �� ������� �� ������� �� ����� ��� �� ����������<br />

������� � ������ ������ � ¯<br />

AB = 2r sin α<br />

a a a<br />

abc<br />

������� � ���� ����� � sin α = sin α = sin α = 2R = 4S<br />

����������� a = b cos γ + c cos β�<br />

b = a cos γ + c cos α�<br />

c = a cos β + b cos α�<br />

������� � ��� ������ � ��� ������� �<br />

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α�<br />

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β�<br />

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ�<br />

����� ��������� ����������<br />

�� ��� � � ���� �� ������ ��������������� �������������� � ��� ������ �� ��<br />

��������� ���������� � α � β � γ ���� �� ������ ����� ������ �������� ������<br />

����� �� �������� ����������<br />

b = a sin β = a cos γ<br />

c = a sin γ = a cos β<br />

b = c tan β = c cot γ<br />

c = b tan γ = b cot β


Tavola di relazioni trigonometriche<br />

Funzioni trigonometriche dell'angolo<br />

sin �= y<br />

cos �=<br />

r<br />

x<br />

tan �=<br />

r<br />

y<br />

cot �=<br />

x<br />

x<br />

cosec�=<br />

y<br />

1<br />

sin �<br />

la funzione seno è dispari, la funzione coseno è pari, la funzione tangente è dispari.<br />

Relazioni fondamentali<br />

sin 2 ��cos 2 �=1 tan �= sin�<br />

cos�<br />

cot �= cos�<br />

sin�<br />

Espressione delle funzioni <strong>goniometriche</strong> mediante una di esse<br />

sec �= 1<br />

cos�<br />

sin � cos � tan � cot �<br />

sin �= sin� ±�1−cos 2 � ± tan�<br />

�1�tan 2 �<br />

cos�= ±�1−sin 2 1<br />

� cos� ±<br />

�1�tan 2 �<br />

sin �<br />

tan �= ±<br />

�1−sin 2 �<br />

cot �= ± �1−sin 2 �<br />

sin �<br />

± �1−cos2 �<br />

cos �<br />

± cos �<br />

�1−cos 2 �<br />

Angoli associati, complementari e che differiscono di �/2<br />

tan�<br />

1<br />

tan �<br />

1<br />

±<br />

�1�cot 2 �<br />

± cot �<br />

�1�cot 2 �<br />

1<br />

cot�<br />

sin��−��=sin � cos��−��=−cos� tan��−��=−tan� cot��−��=−cot �<br />

sin�����=−sin � cos�����=−cos� tan�����=tan � cot�����=cot �<br />

sin�2�−��=−sin � tan�2�−��=−tan� sin�−��=−sin � tan�−��=−tan �<br />

cos�2�−��=cos� cot�2�−��=−cot � cos�−��=cos � cot�−��=−cot�<br />

sin��/2−��=cos� cos��/2−��=sin � tan��/2−��=cot� cot��/2−��=tan�<br />

sin��/2���=cos� cos��/2���=−sin� tan��/2���=−cot � cot��/2���=−tan �<br />

Formule di addizione e sottrazione<br />

sin��±��=sin �cos�±cos�sin � cos��±��=cos���cos���∓sin���sin ���<br />

tan �±tan �<br />

tan ��±��=<br />

1∓tan �tan �<br />

cot �cot �∓1<br />

cot��±��=<br />

cot �±cot �<br />

Formule di duplicazione, triplicazione e bisezione<br />

sin 2 �=2sin � cos � cos 2 �=cos 2 �−sin 2 �=1−2 sin 2 �=2cos 2 �−1 tan 2�=<br />

sin 3�=3 sin �−4 sin 3 � cos3�=4cos 3 �−3cos� tan3�= 3tan�−tan3 �<br />

1−3tan 2 �<br />

sin �<br />

2<br />

=±� 1−cos�<br />

2<br />

Formule parametriche<br />

2 tan<br />

sin�=<br />

�<br />

2<br />

2 �<br />

1�tan<br />

2<br />

Formule di prostaferesi<br />

cos �<br />

2<br />

sin�±sin �=2 sin �±� �∓�<br />

cos<br />

2 2<br />

=±� 1�cos�<br />

2<br />

2 �<br />

1−tan<br />

2<br />

cos�=<br />

2 �<br />

1�tan<br />

2<br />

tan �<br />

2<br />

1−cos � sin �<br />

=±�<br />

=<br />

1�cos � 1�cos� =1−cos�<br />

sin �<br />

2tan<br />

tan�=<br />

�<br />

2<br />

2 �<br />

1−tan<br />

2<br />

cos��cos �=2cos ��� �−�<br />

cos<br />

2 2<br />

cot�<br />

2 tan �<br />

1−tan 2 �<br />

cos�−cos �=−2sin ���<br />

sin<br />

2<br />

�−�<br />

2<br />

o<br />

x<br />

r<br />

�<br />

y


Formule di Werner<br />

sin �sin �= 1<br />

2<br />

Teoremi sui triangoli<br />

[cos��−��−cos�����] cos� cos �= 1<br />

2<br />

Triangoli rettangoli<br />

b=a sin � c=a sin � b=c tan � c=b tan �<br />

b=a cos � c=a cos � b=c cot � c=b cot �<br />

Teorema di Pitagora<br />

a 2 =b 2 �c 2<br />

Triangoli qualsiasi<br />

Teorema dei seni<br />

a b c<br />

= =<br />

sin � sin � sin � =2R<br />

Teorema delle proiezioni<br />

[cos������cos��−��] sin �cos �=1 [sin ������sin ��−��]<br />

2<br />

a=b cos��c cos � b=c cos��a cos � c=a cos ��bcos�<br />

Teorema del coseno o di Carnot<br />

Altro<br />

a 2 =b 2 �c 2 −2b c cos� b 2 =c 2 �a 2 −2c a cos � c 2 =a 2 �b 2 −2a b cos�<br />

Sviluppo di Taylor delle funzioni trigonometriche<br />

sin �=�− �3<br />

3!<br />

� �5<br />

5!<br />

�2 �4<br />

�� cos�=1− �<br />

2! 4! ��<br />

Formule di Eulero (esponenziale complesso)<br />

e ±i� =cos�±i sin � sin �= ei� −i �<br />

−e<br />

2i<br />

Funzioni iperboliche<br />

sinh x= e x −e −x<br />

2<br />

= sin �i ��<br />

i<br />

cosh x= ex �e −x<br />

2<br />

cos�= ei� �e −i�<br />

2<br />

�<br />

a<br />

=cos�i �� tanh x= sinh x<br />

cosh x = ex −e −x<br />

e x �e −x<br />

il seno iperbolico è dispari, il coseno iperbolico è pari, la tangente iperbolica è dispari.<br />

Valori delle funzioni trigonometriche di angoli particolari<br />

gradi radianti seno coseno tangente cotangente<br />

0° 0 0 1 0 non definita<br />

30°<br />

45°<br />

60°<br />

90°<br />

�<br />

6<br />

�<br />

4<br />

�<br />

3<br />

�<br />

2<br />

1<br />

2<br />

�2<br />

2<br />

�3<br />

2<br />

�3<br />

2<br />

�2<br />

2<br />

1<br />

2<br />

�3<br />

3<br />

b<br />

�3<br />

1 1<br />

1 0 non definita 0<br />

180° � 0 -1 0 non definita<br />

270°<br />

3<br />

2 � -1 0 non definita 0<br />

360° 2� 0 1 0 non definita<br />

© gerlos - http://gerlos.altervista.org – Licenza CC Attribution-ShareAlike 2.5 Italy, vedi http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/it/.<br />

�3<br />

�<br />

a<br />

b<br />

�3<br />

3<br />

�<br />

�<br />

c<br />

�<br />

�<br />

c

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