equazioni-goniometriche
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Equazioni Goniometriche<br />
e Esercizi Svolti<br />
Prof. Francesco Zumbo<br />
www.francescozumbo.it<br />
− Equazioni <strong>goniometriche</strong> elementari<br />
− Equazioni <strong>goniometriche</strong> riconducibili ad elementari<br />
− Equazioni <strong>goniometriche</strong> lineari<br />
− Equazioni <strong>goniometriche</strong> riconducibili a lineari<br />
− Soluzione grafica delle <strong>equazioni</strong> <strong>goniometriche</strong> lineari<br />
− Equazioni <strong>goniometriche</strong> omogenee<br />
− Equazioni <strong>goniometriche</strong> riconducibili a omogenee<br />
− Soluzione grafica delle <strong>equazioni</strong> <strong>goniometriche</strong> omogenee<br />
− Equazioni <strong>goniometriche</strong> simmetriche
Angolo orientato Funzioni <strong>goniometriche</strong><br />
gradi radianti seno coseno tangente<br />
0° 0 0 1 0<br />
9°<br />
15°<br />
18°<br />
22°30’<br />
30°<br />
36°<br />
45°<br />
54°<br />
60°<br />
72°<br />
75°<br />
90°<br />
π<br />
20<br />
π<br />
12<br />
π<br />
10<br />
π<br />
8<br />
π<br />
6<br />
π<br />
5<br />
π<br />
4<br />
3π<br />
10<br />
π<br />
3<br />
3π<br />
5<br />
5π<br />
12<br />
3 + 5 −<br />
4<br />
5 −<br />
6 −<br />
4<br />
2<br />
5 − 1<br />
4<br />
2 −<br />
2<br />
1<br />
2<br />
10 − 2<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
5 + 1<br />
4<br />
3<br />
2<br />
10 + 2<br />
4<br />
6 +<br />
4<br />
2<br />
5<br />
5<br />
5<br />
3 + 5 +<br />
4<br />
5 −<br />
6 +<br />
4<br />
10 + 2<br />
4<br />
2 +<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
5<br />
5<br />
4 −<br />
10 + 2<br />
5 −1<br />
2 −<br />
3<br />
25 −10<br />
5<br />
2 − 1<br />
3<br />
3<br />
5 + 1<br />
5 − 2 5<br />
4<br />
2<br />
1<br />
2<br />
10 − 2 5<br />
25 + 10<br />
4<br />
5<br />
1<br />
2<br />
3<br />
5 − 1<br />
5 + 2 5<br />
4<br />
6 −<br />
4<br />
π<br />
1 0 →<br />
±∞<br />
2<br />
2<br />
2 +<br />
3<br />
5<br />
5<br />
5
�������� �<br />
���������<br />
��� �����������<br />
����� ��������� ������������<br />
sin 2 x + cos 2 x = 1<br />
����� �������� � ����������� ����������<br />
���������� �� ���������� tan x =<br />
���������� �� ����������� �� cot x =<br />
sin x π<br />
cos x∀x �= 2 + kπ<br />
cos x<br />
sin x ∀x �= kπ<br />
���������� �� ����������� �� cot x = 1<br />
π<br />
tan x∀x �= k 2<br />
����� ������� � ���������� ����������<br />
���������� �� ��������� sec α = 1<br />
cos α<br />
sec : R \ { pi<br />
2 + kπ, k ∈ Z} → R<br />
���������� �� ����������� csc α = 1<br />
sin α<br />
csc : R \ {kπ, k ∈ Z} → R<br />
����� ������� �� ���������<br />
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β<br />
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β<br />
tan α±tan β<br />
tan(α ± β) =<br />
cot(α ± β) =<br />
1∓tan α tan β<br />
cot α cot β∓1<br />
cot α±cot β<br />
��
�� �������� �� ���������<br />
����� ������� �� ������������ � �� �������������<br />
sin(2α) = 2 sin α cos α<br />
cos(2α) = cos2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos2 α − 1<br />
2 tan α<br />
tan(2α) = 1−tan2 α<br />
sin(3α) = 3 sin α − 4 sin 3 α<br />
cos(3α) = 4 cos3 α − 3 cos α<br />
tan(3α) = 3 tan α−tan3 α<br />
1−3 tan2 α<br />
����� ������� �� ���������<br />
sin( α<br />
2<br />
cos( α<br />
2<br />
) = ±<br />
) = ±<br />
tan( α<br />
2 ) = ±<br />
�<br />
1−cos α<br />
2<br />
�<br />
1+cos α<br />
2<br />
�<br />
1−cos α<br />
1+cos α<br />
sin α 1−cos α<br />
= 1+cos α = sin α<br />
����� ������� ������������<br />
t def<br />
= tan α<br />
2 −→<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
sin α = 2t<br />
1+t 2<br />
cos α = 1−t2<br />
1+t 2<br />
tan α = 2t<br />
1−t 2<br />
����� ������� �� ������������<br />
sin p + sin q = 2 sin p+q<br />
2<br />
cos p−q<br />
2<br />
sin p − sin q = 2 cos p+q<br />
2 sin p−q<br />
2<br />
cos p + cos q = 2 cos p+q<br />
2<br />
cos p−q<br />
2<br />
cos p − cos q = −2 sin p+q<br />
2 sin p−q<br />
2<br />
����� ������� �� ������<br />
cos p · sin q = 1<br />
2 [sin(p + q) − sin(q − p)]<br />
sin p · sin q = 1<br />
2 [sin(p − q) − cos(p + q)]<br />
cos p · cos q = 1<br />
2 [cos(p + q) + cos(p − q)]<br />
������ ������� �� �����������<br />
☛ ������� ��� � ������<br />
������ ����� ����<br />
☛ ������� ��� � ������
���� ����������� ��<br />
↙ ��� ��� ���<br />
sin α sin α ± √ 1 − cos2 tan α<br />
α ± √<br />
1+tan2 α<br />
cos α ± √ 1 − sin2 1<br />
α cos α ± √<br />
1+tan2 α<br />
sin α<br />
tan α ± √ ±<br />
1−sin2 α<br />
√ 1−cos2 α<br />
cos α tan α<br />
√<br />
1−sin2 α<br />
cos α<br />
cot α ± sin α ± √ 1<br />
1−cos2 α<br />
tan α<br />
1<br />
sec α ± √ 1<br />
1−sin2 α<br />
cos α<br />
1<br />
1<br />
csc α sin α ± √ ±<br />
1−cos2 α<br />
√ 1+tan2 α<br />
tan α<br />
������� ���� ������� �� �����������<br />
± √ 1 + tan 2 α<br />
��� ��� ��� ��� ��� ���<br />
� �◦ � � � ����<br />
π<br />
12<br />
π<br />
8<br />
π<br />
15◦ √ √<br />
6− 2<br />
4<br />
22◦30 ′<br />
√ √<br />
2− 2<br />
2<br />
◦ 1<br />
2<br />
45◦ √<br />
2<br />
2<br />
60◦ √<br />
3<br />
√ 2<br />
√<br />
2+ 2<br />
√ 2 √<br />
6+ 2<br />
4<br />
√ 6+ √ 2<br />
4 2 − √ 3 2 + √ √<br />
3<br />
√<br />
2+ 2 √ √<br />
2 2 − 1 2 + 1<br />
√ √ √<br />
3<br />
3<br />
6 30 2<br />
3 3<br />
√<br />
π<br />
2<br />
4<br />
2 1 1<br />
√ √<br />
π<br />
1<br />
3<br />
3<br />
2 3 3<br />
3<br />
8π 67◦30 ′<br />
√ √<br />
2− 2 √ √<br />
2 2 + 1 2 − 1<br />
√ √<br />
5<br />
6− 2<br />
12π 75◦<br />
4 2 + √ 3 2 − √ 3<br />
π<br />
2 90◦ 1 0 ���� 0<br />
������� ���� ����� ����<br />
��� ��� ��� ��� ���<br />
� sin x cos x tan x cot x<br />
π − x sin x − cos x − tan x − cot x<br />
π + x − sin x − cos x tan x cot x<br />
−x − sin x cos x − tan x − cot x<br />
2π − x − sin x cos x − tan x − cot x<br />
π<br />
2 − x<br />
π<br />
2 + x<br />
3<br />
2π − x<br />
π + x<br />
cos x<br />
cos x<br />
− cos x<br />
− cos x<br />
sin x<br />
− sin x<br />
− sin x<br />
sin x<br />
cot x<br />
− cot x<br />
cot x<br />
− cot x<br />
tan x<br />
− tan x<br />
tan x<br />
− tan x<br />
3<br />
2<br />
������� ���� ����� ���������
�� �������� �� ���������<br />
������ ����� ���������<br />
☛ ������� ��� � ������<br />
��� �������������<br />
����� ��������� ���������<br />
����� S = 1<br />
2<br />
S = 1 sin β sin γ<br />
2a2 sin(β+γ)<br />
ab sin γ = 1<br />
2<br />
1 bc sin α = 2ac sin β<br />
1 sin α sin γ<br />
= 2b2 sin(α+γ)<br />
1 sin α sin β<br />
= 2c2 sin(α+β)<br />
������� � �������� �� ������ S = � p(p − a)(p − b)(p − c)<br />
������� � �������� �� ����������� � �� ������ ���� �� �������<br />
������ ������� ����� ������������ �� ��� �������������� �� ���� a, b, c, d � ���<br />
����������� p = a+b+c+d<br />
2 � ������ ���� S = � (p − a)(p − b)(p − c)(p − d)�<br />
��� d = 0� �� ������������ �� ������� �� ������� �� ����� ��� �� ����������<br />
������� � ������ ������ � ¯<br />
AB = 2r sin α<br />
a a a<br />
abc<br />
������� � ���� ����� � sin α = sin α = sin α = 2R = 4S<br />
����������� a = b cos γ + c cos β�<br />
b = a cos γ + c cos α�<br />
c = a cos β + b cos α�<br />
������� � ��� ������ � ��� ������� �<br />
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α�<br />
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β�<br />
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ�<br />
����� ��������� ����������<br />
�� ��� � � ���� �� ������ ��������������� �������������� � ��� ������ �� ��<br />
��������� ���������� � α � β � γ ���� �� ������ ����� ������ �������� ������<br />
����� �� �������� ����������<br />
b = a sin β = a cos γ<br />
c = a sin γ = a cos β<br />
b = c tan β = c cot γ<br />
c = b tan γ = b cot β
Tavola di relazioni trigonometriche<br />
Funzioni trigonometriche dell'angolo<br />
sin �= y<br />
cos �=<br />
r<br />
x<br />
tan �=<br />
r<br />
y<br />
cot �=<br />
x<br />
x<br />
cosec�=<br />
y<br />
1<br />
sin �<br />
la funzione seno è dispari, la funzione coseno è pari, la funzione tangente è dispari.<br />
Relazioni fondamentali<br />
sin 2 ��cos 2 �=1 tan �= sin�<br />
cos�<br />
cot �= cos�<br />
sin�<br />
Espressione delle funzioni <strong>goniometriche</strong> mediante una di esse<br />
sec �= 1<br />
cos�<br />
sin � cos � tan � cot �<br />
sin �= sin� ±�1−cos 2 � ± tan�<br />
�1�tan 2 �<br />
cos�= ±�1−sin 2 1<br />
� cos� ±<br />
�1�tan 2 �<br />
sin �<br />
tan �= ±<br />
�1−sin 2 �<br />
cot �= ± �1−sin 2 �<br />
sin �<br />
± �1−cos2 �<br />
cos �<br />
± cos �<br />
�1−cos 2 �<br />
Angoli associati, complementari e che differiscono di �/2<br />
tan�<br />
1<br />
tan �<br />
1<br />
±<br />
�1�cot 2 �<br />
± cot �<br />
�1�cot 2 �<br />
1<br />
cot�<br />
sin��−��=sin � cos��−��=−cos� tan��−��=−tan� cot��−��=−cot �<br />
sin�����=−sin � cos�����=−cos� tan�����=tan � cot�����=cot �<br />
sin�2�−��=−sin � tan�2�−��=−tan� sin�−��=−sin � tan�−��=−tan �<br />
cos�2�−��=cos� cot�2�−��=−cot � cos�−��=cos � cot�−��=−cot�<br />
sin��/2−��=cos� cos��/2−��=sin � tan��/2−��=cot� cot��/2−��=tan�<br />
sin��/2���=cos� cos��/2���=−sin� tan��/2���=−cot � cot��/2���=−tan �<br />
Formule di addizione e sottrazione<br />
sin��±��=sin �cos�±cos�sin � cos��±��=cos���cos���∓sin���sin ���<br />
tan �±tan �<br />
tan ��±��=<br />
1∓tan �tan �<br />
cot �cot �∓1<br />
cot��±��=<br />
cot �±cot �<br />
Formule di duplicazione, triplicazione e bisezione<br />
sin 2 �=2sin � cos � cos 2 �=cos 2 �−sin 2 �=1−2 sin 2 �=2cos 2 �−1 tan 2�=<br />
sin 3�=3 sin �−4 sin 3 � cos3�=4cos 3 �−3cos� tan3�= 3tan�−tan3 �<br />
1−3tan 2 �<br />
sin �<br />
2<br />
=±� 1−cos�<br />
2<br />
Formule parametriche<br />
2 tan<br />
sin�=<br />
�<br />
2<br />
2 �<br />
1�tan<br />
2<br />
Formule di prostaferesi<br />
cos �<br />
2<br />
sin�±sin �=2 sin �±� �∓�<br />
cos<br />
2 2<br />
=±� 1�cos�<br />
2<br />
2 �<br />
1−tan<br />
2<br />
cos�=<br />
2 �<br />
1�tan<br />
2<br />
tan �<br />
2<br />
1−cos � sin �<br />
=±�<br />
=<br />
1�cos � 1�cos� =1−cos�<br />
sin �<br />
2tan<br />
tan�=<br />
�<br />
2<br />
2 �<br />
1−tan<br />
2<br />
cos��cos �=2cos ��� �−�<br />
cos<br />
2 2<br />
cot�<br />
2 tan �<br />
1−tan 2 �<br />
cos�−cos �=−2sin ���<br />
sin<br />
2<br />
�−�<br />
2<br />
o<br />
x<br />
r<br />
�<br />
y
Formule di Werner<br />
sin �sin �= 1<br />
2<br />
Teoremi sui triangoli<br />
[cos��−��−cos�����] cos� cos �= 1<br />
2<br />
Triangoli rettangoli<br />
b=a sin � c=a sin � b=c tan � c=b tan �<br />
b=a cos � c=a cos � b=c cot � c=b cot �<br />
Teorema di Pitagora<br />
a 2 =b 2 �c 2<br />
Triangoli qualsiasi<br />
Teorema dei seni<br />
a b c<br />
= =<br />
sin � sin � sin � =2R<br />
Teorema delle proiezioni<br />
[cos������cos��−��] sin �cos �=1 [sin ������sin ��−��]<br />
2<br />
a=b cos��c cos � b=c cos��a cos � c=a cos ��bcos�<br />
Teorema del coseno o di Carnot<br />
Altro<br />
a 2 =b 2 �c 2 −2b c cos� b 2 =c 2 �a 2 −2c a cos � c 2 =a 2 �b 2 −2a b cos�<br />
Sviluppo di Taylor delle funzioni trigonometriche<br />
sin �=�− �3<br />
3!<br />
� �5<br />
5!<br />
�2 �4<br />
�� cos�=1− �<br />
2! 4! ��<br />
Formule di Eulero (esponenziale complesso)<br />
e ±i� =cos�±i sin � sin �= ei� −i �<br />
−e<br />
2i<br />
Funzioni iperboliche<br />
sinh x= e x −e −x<br />
2<br />
= sin �i ��<br />
i<br />
cosh x= ex �e −x<br />
2<br />
cos�= ei� �e −i�<br />
2<br />
�<br />
a<br />
=cos�i �� tanh x= sinh x<br />
cosh x = ex −e −x<br />
e x �e −x<br />
il seno iperbolico è dispari, il coseno iperbolico è pari, la tangente iperbolica è dispari.<br />
Valori delle funzioni trigonometriche di angoli particolari<br />
gradi radianti seno coseno tangente cotangente<br />
0° 0 0 1 0 non definita<br />
30°<br />
45°<br />
60°<br />
90°<br />
�<br />
6<br />
�<br />
4<br />
�<br />
3<br />
�<br />
2<br />
1<br />
2<br />
�2<br />
2<br />
�3<br />
2<br />
�3<br />
2<br />
�2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
�3<br />
3<br />
b<br />
�3<br />
1 1<br />
1 0 non definita 0<br />
180° � 0 -1 0 non definita<br />
270°<br />
3<br />
2 � -1 0 non definita 0<br />
360° 2� 0 1 0 non definita<br />
© gerlos - http://gerlos.altervista.org – Licenza CC Attribution-ShareAlike 2.5 Italy, vedi http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/it/.<br />
�3<br />
�<br />
a<br />
b<br />
�3<br />
3<br />
�<br />
�<br />
c<br />
�<br />
�<br />
c