Analisi della varianza - Marco Vicentini

Facoltà di Psicologia
Università di Padova
Anno Accademico 2010-­‐2011
Corso di Psicometria - Modulo B
Dott. Marco Vicentini
marco.vicentini@unipd.it
Rev. 19/01/2011

¡� Confronto tra medie di due campioni
indipendenti
¡� Analisi della Varianza
§� Il calcolo della devianza
§� Le fonti di variabilità e/o errore
§� La distribuzione F e la sua significatività
§� Confronti a coppie
¡� Analisi della varianza con più livelli e fattori

Un esempio numerico
3

¡� Poniamo di aver raccolto dei
dati da un campione A e un
campione B indipendenti.
¡� Vogliamo verificare se i due
campioni appartengono ad
una popolazione con la
medesima media.
A
1
5
4
3
2
B
6
5
4
7
8
4

¡� Prepariamo le informazioni necessarie al
calcolo della varianza di A e B:
A
1
5
4
3
2
A 2
1
25
16
9
4
B
6
5
4
7
8
B 2
36
25
16
49
81
Σ 15 55 30 190
n = 5
A = 3
B = 6
5

¡� Come primo passo è sempre necessario
verificare l’omogeneità delle varianze,
tramite il test F, con d a =4 e d b =4.
2
! ˆ1
=
( ) 2
X 2
! " ! X
n "1
2 190 " 30
! ˆ 2 =
2
! 1
2
! 2
Fc = ˆ
ˆ
( ) 2
5"1
5
= 2.5
2.5 =1.00
n
= 2.5
= 55" 15
( ) 2
5"1
5
= 2.5
6

¡� Per individuare il valore critico di F per df a = 4
e df b = 4 si procede:
1
2
..
..
4
..
df - numeratore
2 3 4 5
6.39
15.98
Valore critico con
significatività 0.05
Valore critico con
significatività 0.01
7

¡� Il valore critico per α=.05 con d a =4 e d b =4 per
la statistica F è 6.39.
¡� Non possiamo rigettare l’ipotesi H 0 in quanto
il valore calcolato F cal = 1.00 è minore del
valore critico F c = 6.39.
¡� Possiamo concludere che le varianze dei due
campioni sono omogenee.
8

¡� Procediamo con il calcolo della statistica t per il
confronto tra medie, calcolando la stima della
deviazione standard della distribuzione
campionaria della differenza tra le medie:
ˆ
! x1!x 2 =
ˆ
! x1!x 2 =
2
! ˆ1
n1 !1
( ) + ˆ
n 1 + n 2 ! 2
2.5" 4 + 2.5" 4
5+ 5! 2
2
! 2
n2 !1
( )
1
5
+ 1
5
"
1
n 1
= 5
2
+ 1
n 2
=
2
5 =1
9

¡� La statistica t per il confronto tra medie con
gradi di libertà d= 5+5-­‐2 = 8 assume il valore:
t c = X 1 ! X 2
ˆ
! x1!x 2
= 3! 6
1.00
= !3
1.00
= !3.00
¡� Per α=0.05 e d=8 il valore t crit =2.31.
¡� Essendo t crit

¡� Vedremo di seguito come il test-­‐t applicato al
confronto tra medie non rappresenta che un
caso particolare dell’Analisi della Varianza.
11

Modello teorico
12

¡� L'analisi sta*s*ca più diffusa per i disegni sperimentali
un cui viene manipolata una variabile indipendente VI
somministrata a sogge7 diversi, assegna*
casualmente a diversi gruppi di tra9amento,
§� I gruppi possono essere chiama* anche livelli del fa2ore.
¡� Consente di definire un indice empirico dell'effe9o
della VI, e di paragonare questo indice alla
distribuzione di Fischer che si riscontrano quando
l'ipotesi nulla è vera
§� Ovvero vi è l’assenza di effe7 del tra9amento.
13

¡� Il calcolo dell'indice o rapporto F di Fisher si
effe9ua mediante l'Analisi della Varianza
(ANOVA) che consente di verificare le ipotesi
paragonando gli indici di variabilità e
precisamente le varianze.
14

¡� Ciascun soggetto contribuisce a determinare
tre devianze:
§� uno scarto dalla media generale
▪ Variabilità totale dei dati osservati (SS T )
§� uno scarto dalla media del suo gruppo
▪ Variabilità non spiegata dall’appartenenza al gruppo (SS err )
§� uno scarto fra la media del suo gruppo e la media
generale
▪ Variabilità spiegata dalla suddivisione in gruppi o dal
fattore a più livelli (SS F )
15

A! B = 4.5
A = 3 B = 6
1 2 3 4 5 6 7 8
Fattore F,
Livelli A e B
A
1
5
4
3
2
A! B
B
6
5
4
7
8
16

Variabilità tra i gruppi
A! B = 4.5
A = 3 B = 6
1 2 3 4 5 6 7 8
Variabilità entro i gruppi
Fattore F,
Livelli A e B
A
1
5
4
3
2
A! B
B
6
5
4
7
8
17

Variabilità tra i gruppi
A! B = 4.5
A = 3 B = 6
1 2 3 4 5 6 7 8
!
Variabilità entro i gruppi
d( a;AB)
= d( a;A)
+ d( A;AB)
Lo scarto di ogni dato dalla media
generale (Y i -­‐ Y T ) può essere
scomposto in due par*:
1. La deviazione rispe9o alla
media del suo gruppo (Y i -­‐ Y A )
2. la deviazione tra la media del
suo gruppo e la media generale
(Y A – Y T )
18

¡� Dato un insieme AUB, è
possibile individuare:
A
1
5
4
3
2
A = 3
B = 6
A! B = 4.5
A i -­‐A
-­‐2
2
1
0
-­‐1
B
6
5
4
7
8
B i -­‐B
0
-­‐1
-­‐2
1
2
AB
1
5
4
3
2
6
5
4
7
8
AB i -­‐AB
-­‐3.5
0.5
-­‐0.5
-­‐1.5
-­‐2.5
1.5
0.5
-­‐0.5
2-­‐5
3.5
19

¡� Da cui si calcolano le sommatorie dei quadrati degli
scarti rispetto alla media:
A
1
5
4
3
2
A i -­‐A Δ 2
-­‐2 4
2 4
1 1
0 0
-­‐1 1
B
6
5
4
7
8
B i -­‐B Δ 2
0 0
-­‐1 1
-­‐2 4
1 1
2 4
Σ 10 10
AB
1
5
4
3
2
6
5
4
7
8
AB i -­‐AB Δ 2
-­‐3.5 12.25
0.5 0.25
-­‐0.5 0.25
-­‐1.5 2.25
-­‐2.5 6.25
1.5 2.25
0.5 0.25
-­‐0.5 0.25
2-­‐5 6.25
3.5 12.25
42.5
20

¡� Dato un insieme AUB, è quindi possibile
individuare:
( Ai ! A)
2
" = A 2 " ! A
( Bi ! B)
2
" = B 2 " ! B
" n = 10
" n = 10
( ABi ! AB)
2
" = AB 2 " ! AB
" n = 42.5
¡� Si veda anche il metodo di calcolo riportato in:
anova-­‐ss.docx
21

¡� Chiameremo:
A
1
5
4
3
2
A i -­‐A Δ 2
-­‐2 4
2 4
1 1
0 0
-­‐1 1
SSerr = 10 + 10
SS tot = 42.5
B
6
5
4
7
8
B i -­‐B Δ 2
0 0
-­‐1 1
-­‐2 4
1 1
2 4
10 10
SSF = 42.5 - ( 10 + 10
=
22.5
)
AB
1
5
4
3
2
6
5
4
7
8
AB i -­‐AB Δ 2
-­‐3.5 12.25
0.5 0.25
-­‐0.5 0.25
-­‐1.5 2.25
-­‐2.5 6.25
1.5 2.25
0.5 0.25
-­‐0.5 0.25
2-­‐5 6.25
3.5 12.25
42.5
AB
3
3
3
3
3
6
6
6
6
6
AB i -­‐AB Δ 2
-­‐1.5 2.25
-­‐1.5 2.25
-­‐1.5 2.25
-­‐1.5 2.25
-­‐1.5 2.25
1.5 2.25
1.5 2.25
1.5 2.25
1.5 2.25
1.5 2.25
22.5
22

¡� SS err : la somma delle variabilità entro i gruppi
▪ chiamata anche variabilità non spiegata, o errore.
SSerr = ( Ai ! A)
2
" + ( Bi ! B)
2
"
¡� SS tot : la variabilità totale
SStot = ( ABi ! AB)
2
"
= 42.5
=10 +10 = 20
¡� SS F : la variabilità tra i gruppi
▪ variabilità dovuta al fattore, ottenuta anche come differenza
tra la variabilità totale e la variabilità non spiegata.
( ) 2
" + " Bi ! AB
SS F = A i ! AB
( ) 2
= SS tot ! SS err = 42.5! 20 = 22.5
= n a #A 2 + n b #B 2 =
23

¡� Medesimi risultati possono essere ottenuti
attraverso la formula semplificata: ( X i " X ) 2
A
1
5
4
3
2
A 2
1
25
16
9
4
B
6
5
4
7
8
B 2
36
25
16
49
81
AB
1
5
4
3
2
6
5
4
7
8
AB 2
1
25
16
9
4
36
25
16
49
15 55 30 190 45 245
81
!
Σ
# = X 2
# " # X
SS A = 55!15 2 5 =10
( ) 2
SS B =190 ! 30 2 5 =10
SS err = SS A + SS B = 20
SS T = 245! 45 2 10 = 42.5
SS F = SS T ! SS err = 22.5
24
n

Si definisce devianza la sommatoria dei quadra* degli scar* di un
elemento x i dalla media del gruppo di appartenenza.
La grandezze delle devianze dipende dal numero degli scar*
considera*.
2 medie (due gruppi) Devianze tra i gruppi
5 soggetti Devianze entro i gruppi
10 soggetti Devianze totale
Devianza media
Varianza
=
Media della sommatoria degli scarti quadratici (MS)
25

¡� La “varianza” è definita dal rapporto tra la
sommatoria dei quadrati degli scarti (SS) e i
gradi di libertà (d):
MS = SS
d
26

Il numero degli elemen* di un insieme che sono in grado
di variare liberamente senza essere sogge7 a restrizioni
d =
essendo n il numero delle osservazioni indipenden* in
un campione, e perdendosi un grado di libertà nella
s*ma della media della popolazione, nel calcolo della
varianza si avrà:
d = n !1
numero delle
osservazioni
nel campione
- numero delle
s*me dei
parametri
27

¡� SS F : basandosi sulla somma degli scar*
delle medie dei gruppi dalla media
generale, le osservazioni che possono
variare sono le medie dei gruppi.
¡� Quando si s*ma la media generale dalle
medie dei gruppi queste perdono un
grado di libertà.
df F = k !1
dove k è il numero dei gruppi sperimentali.
Nel nostro esempio k=2, df F =1
SS F = 22.5
28

¡� SS err : si basa sulla somma degli scar*
fra i singoli da* e la media del
proprio gruppo, entro ciascun
gruppo, definendo la media si perde
un grado di libertà.
¡� Poiché la devianza entro i gruppi si
calcola sommando le devianze entro
i gruppi, si sommano anche i rela*vi
gradi di libertà:
dferr = " ni !1 = ntot ! k
SSerr = 10 + 10
29

¡� Avremo così la possibilità di calcolare la
statistica F associata al rapporto tra la
variabilità tra gruppi e la variabilità non
spiegata:
F = SS F df F
SS err df err
= MS F
MS err
30

¡� Si avrà quindi:
F 1,8 =
SS F df F
SS err df err
MS F
MS err
= 22.5 1
= 22.5
2.5
20.0 8 =
Tramite un programma statistico è possibile
calcolare la probabilità associata:
p( F1,8 = 9.0)
= 0.017
= 9.0
O, per un’altra strada … 31

¡� Si individua il valore critico di F per df F = 1 e
df err = 8 :
1
2
..
..
8
..
df - numeratore
1 2 3 4 5
5.32
11.26
Valore critico con
significatività 0.05
Valore critico con
significatività 0.01
32

¡� Il valore cri*co di F CRIT dipende dai gradi di
libertà associa* al numeratore e al
denominatore, e dal livello di significa*vità
scelto (α).
¡� Se la F cal è uguale o superiore al valore cri*co
di F, l'ipotesi nulla H 0 sarà rifiutata.
33

¡� Il valore di F cal(1,8) =9.0 è superiore al valore
critico F crit =5.32
¡� Si può accettare l’ipotesi H 1 che i due gruppi
appartengano a popolazioni differenti,
¡� ovvero che il fattore sia significativo
§� nel porre una differenza tra le medie dei due livelli
o gruppi.
34

Fon$ di variabilità Devianza
(SS)
tra i gruppi (SS F )
anche nota come SS A
entro i gruppi
(SS err )
anche nota come SS S/A
Gradi di libertà
(df)
Varianza
(MS)
22.5 1 22.5
20 8 2.5
Totale (T) 42.5 9
F p
9 0.017 *
35

Fon$ di variabilità Devianza (SS) Gradi di libertà (df) Varianza (MS) F
tra i gruppi (SS F )
anche nota come SS A
entro i gruppi (SS err )
anche nota come SS S/A
SS F k-­‐1 SS F /df F
SS err n-­‐k SS err /df err
Totale (T) SS T n-­‐1
MS F
MS err
36

¡� Le devianze sono addi7ve
I df sono addi7vi
SS T = SS F + SS err 22.5 + 20 42.5
df T = df F + df err 1+8 9
Questa cara9eris*ca perme9e di controllare l'esa9ezza dei calcoli
37

¡� È possibile calcolare la percentuale di
varianza spiegata dal modello, altresì
chiamata potenza dell’effetto, tramite:
! 2 = SS F
SS T
= 22.5
42.5
= 0.53
¡� Il 53% della varianza dei dati è spiegata dal
fattore “gruppo di appartenenza”.
38

¡� Per analizzare i da* di un esperimento mono-­‐
fa9oriale randomizzato, si definiscono le due fon* di
variabilità:
§� l'effe=o del fa=ore sperimentale, ossia dalla somma degli
scar* quadra*ci delle medie dei gruppi rispe9o alla media
generale.
§� l'errore sperimentale, misurato dalla devianza entro i
gruppi, ossia dalla somma degli scar* dei punteggi dei
sogge7 di un gruppo rispe9o alla media di quel gruppo.
§� Le devianze non sono dire9amente rapportabili poiché si
basano su un numero di osservazioni diverse. Per tale
mo*vo viene usata la devianza media.
39

¡� Le varianze sono ottenute calcolando le
medie delle somme degli scarti quadratici
diviso i gradi di libertà.
¡� Il rapporto tra varianza tra gruppi e quella
entro i gruppi fornisce l'indice F, ossia una
stima della grandezza della manipolazione
rispetto all'errore sperimentale
40

Gli assun* su cui si fonda l'uso della distribuzione campionaria
delle F riguardano delle cara9eris*che che devono avere
delle popolazioni di un tra9amento:
1) I punteggi si devono distribuire normalmente (assunto della
normalità dei da*)
2) I punteggi delle popolazioni devono avere varianze
omogenee (assunto della omoschedas*cità)
3) I punteggi entro la stessa popolazione e fra popolazioni
diverse devono essere indipenden* l'uno dell'altro (assunto
dell'indipendenza dei punteggi)
42

¡� È interessante osservare
come il risultato di una
ANOVA con un fattore a
due livelli coincida con il
risultato del test t per
campioni indipendenti:
F 1,8 = 9, p(F) = 0.017
t 8 = !3, p(t) = 0.017
dab
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
A U B
1 2 3 4 5 6 7 8
xab
A U B
A
B
43

¡� Ponendo nelle coordinate x={0,1} i corrispettivi valori
di A e B, possiamo calcolare l’eq. di regressione:
X
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
Y
1
5
4
3
2
6
5
4
7
8
A
B
X 2
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
Y 2
1
25
16
9
4
36
25
16
49
64
XY
0
0
0
0
0
6
5
4
7
8
44
! X = 5
! Y = 45
X 2
! = 5
Y 2
! = 245
! XY = 30
b =
30 " 5# 45 10
5" 5 2 10
= 7.5
2.5
a = 45 10 " 3# 5 10 = 3
y $ = 3+ 3x
= 3

¡� Ponendo nelle coordinate x={0,1} i
corrispettivi valori di A e B,
possiamo calcolare la seguente
equazione di regressione:
X
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
Y
1
5
4
3
2
6
5
4
7
8
A
B
y
1 2 3 4 5 6 7 8
y ! = 3+ 3x
A B
Gruppi

¡� Se calcoliamo la significatività del parametro
b otteniamo:
ES b =
t n"2 = b
ES b
! 2
! ( n " 2)
( x " x)
2
!
= 3.0
1.0
=1.0
= 3.0, p(t) = 0.017
46

¡� Tutti i programmi statistici riportano i dati in maniera
equivalente a quanto calcolato:
> y=c(1,5,4,3,2,6,5,4,7,8)!
> x=c(0,0,0,0,0,1,1,1,1,1)!
> summary(lm(y~x))!
!
Coefficients:!
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) !
(Intercept) 3.0000 0.7071 4.243 0.00283 **!
x 3.0000 1.0000 3.000 0.01707 * !
!
R-squared: 0.5294!
F-statistic: 9 on 1 and 8 DF, p-value: 0.01707 !
47

¡� Tutti i programmi statistici riportano i dati in maniera
equivalente a quanto calcolato:
> y=c(1,5,4,3,2,6,5,4,7,8)!
> g=gl(2,5)!
> summary(aov(y~x))!
Analysis of Variance Table!
!
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) !
x 1 22.5 22.5 9 0.01707 *!
Residuals 8 20.0 2.5 !
48

Trattamento
Gruppo A X 1
Gruppo B X 2
Le differenze tra le medie sono dovute all’effe9o del
tra9amento o al caso?
Differenza tra medie delle diverse condizioni sperimentali
X A
X B
Effetto della manipolazione della VI
Effetto di fattori casuali
Errore sperimentale
Effetto del trattamento
Variabilità tra i gruppi Effe9o del tra9amento + errore
50

Gruppo A
Sog01
Sog02
Sog03
Sog04
Trattamento X 1
X 1
X 1
X 1
X 1
Gruppo B
Sog11
Sog12
Sog13
Sog14
Stesso trattamento Stesso trattamento
Trattamento X 2
Variabilità entro i gruppi differenze dei punteggi individuali
all'interno dello stesso gruppo
X 2
X 2
X 2
X 2
Fornisce una stima dell'errore sperimentale
51

Effetto del trattamento =
Effetto del trattamento =
variabilità tra i gruppi
variabilità entro i gruppi
trattamento + errore sperimentale
errore sperimentale
Un trattamento inefficace dovrebbe avere lo stesso effetto su entrambi i
gruppi quindi:
Effetto del trattamento =
trattamento + errore sperimentale
errore sperimentale
= 1
52

¡� Si è interessa* a sapere quali effe7 hanno alcuni
addi*vi chimici alimentari sui livelli di a7vità dei
bambini ipera7vi.
¡� Sono assegna* casualmente 9 bambini ipera7vi
alla cui dieta è stato aggiunto l'addi*vo chimico
al gruppo A 1 , altre9an* bambini ipera7vi sono
assegna* alla stessa dieta ma senza l’addi*vo
chimico (gruppo A 2 ).
¡� Ci si chiede se l’addi*vo chimico porta in essere
differen* livelli di a7vità nei bambini.
54

I da* riporta* forniscono in indice complessivo
di a7vità psicomotoria:
sogg
Senza additivi
(A1)
Con additivi
sogg
(A2)
Y1,1 31 Y2,1 30
Y1,2 33 Y2,2 28
Y1,3 25 Y2,3 36
Y1,4 28 Y2,4 41
Y1,5 24 Y2,5 29
Y1,6 30 Y2,6 32
Y1,7 31 Y2,7 27
Y1,8 26 Y2,8 35
Y1,9 30 Y2,9 36
55

¡� Come procedere?
1. Grafico delle distribuzioni
2. Calcolo delle sommatorie dei quadrati
3. Verifica della omogeneità della varianza
4. Calcolo della statistica F
5. Decisione e discussione
56

y
25 30 35 40
¡� Si può costruire un grafico a dispersione
ovvero un boxplot:
A_1 A_2
25 30 35 40
A_1 A_2
57

¡� Calcolo delle sommatorie dei quadrati
A1
A2
31 30
33 28
25 36
28 41
24 29
30 32
31 27
26 35
30 36
A1 2 A2 2
961 900
1089 784
625 1296
784 1681
576 841
900 1024
961 729
676 1225
900 1296
n a = n b = 9
! A1 = 258
! A2 = 294
!
2
A1 = 7472
!
2
A2 = 9776
58

¡� Si verifica l’omogeneità delle varianze, tramite il test
F, con d a =8 e d b =8 (F crit =3.44).
2
s1 =
( ) 2
X 2
! " ! X
n "1
2 9776 " 294
s2 =
9 "1
Fc = s 2
max
2
smin ( ) 2
21.5
=
9.5
9
n
= 2.26
= 7472 " 258
= 21.5
( ) 2
9 "1
¡� Si tratta di due campioni con varianza omogenea.
9
= 9.5
59

¡� Si calcolano le sommatorie dei quadrati tra ed
entro i gruppi:
!
!
( ) "
2 2
SST = A1 + A2
SS F = n 1
#
%
%
$
! n1
A 1
SS err = SS T " SS F
#
" %
$
!
A 1 +
! A1 + ! A2 ( ) 2
!
n 1 + n 2
n 1 + n 2
A 2
&&
( (
( (
''
2
#
+ n %
2 %
$
! n2
A 2
#
" %
$
!
A 1 +
!
n 1 + n 2
A 2
&&
( (
( (
''
2
60

¡� Si calcolano le sommatorie dei quadrati tra ed
entro i gruppi:
2 2 ( ! A1 + ! A2 ) SST = ( ! A1 + ! A2 ) "
2
=
SS F
SS err
= 7472 + 9776 "
#
= n %
1%
$
! n1
A 1
#
" %
$
!
n 1 + n 2
( 258+ 294)
2
18
A 1 +
!
n 1 + n 2
= 9 258 # # 258+ 294 &&
% " % ( (
$ 9 $ 18 ''
A 2
2
&&
( (
( (
''
= SS T " SS F = 320 " 72 = 248
2
= 320
#
+ n %
2 %
$
! n2
A 2
#
" %
$
!
A 1 +
+ 9 294 # # 258+ 294 &&
% " % ( (
$ 9 $ 18 ''
!
n 1 + n 2
2
A 2
= 72
&&
( (
( (
''
2
=
61

¡� Calcolo della statistica F:
F1,18 = SSF SSerr ( k !1)
n ! k
( )
= 72.0 1
248.0 16
¡� Il valore critico F 1,16 =4.49.
= 4.65
¡� Poiché F cal >F crit possiamo accettare H1, ovvero
l’ipotesi che l’additivo chimico ha prodotto un
cambiamento nei livelli di attività dei bambini.
62

Regola per distribuzioni di F
H 0 viene mantenuta
F=4.49 (valore cri*co di F)
H 0 viene rifiutata
1 2 3 4 5
6
Se la F calcolata è uguale o superiore al valore cri*co di F= 4.49 l'ipotesi nulla sarà
rifiutata.
5%
63

¡� Nel riportare i risulta* in una tesi è molto u*le
riportare la tabella riassun*va dell'analisi della
varianza.
¡� Nei resocon* di ricerca queste sono
generalmente omesse, a meno che il disegno
sperimentale non sia par*colarmente
complesso.
¡� Non dimen*care di riportare le medie dei
gruppi o delle condizioni, poiché senza le medie
i risulta* sono incomple* o poco informa*vi.
64

¡� Assumiamo di avere i seguenti dati,
provenienti da un disegno monofattoriale a 3
livelli:
A1 A2 A3
31 30 36
33 28 35
25 26 33
28 41 28
24 29 29
30 32 40
31 27 45
26 35 39
30 36 35 1 2 3
25 30 35 40 45
67

A1 A2 A3
31 30 36
33 28 35
25 36 33
28 41 28
24 29 29
30 32 40
31 27 45
26 35 39
30 36 35
A 2 1 A 2 2 A 2 3
961 900 1296
1089 784 1225
625 676 1089
784 1681 784
576 841 841
900 1024 1600
961 729 2025
676 1225 1521
900 1296 1225
! A1 = 258
!
2
A1 = 7472
! A2 = 284
!
2
A2 = 9156
! A3 = 320
!
2
A3 =11606
SS A1 = 76
SS A2 =194.22
SS A3 = 228.22
SS err = 498.44
SS tot = 713.85
SS F = 215.41
68

¡� Il risultato dell’ANOVA ci dirà se in generale i
gruppi sono differenti dalla media generale;
SS df MS F p
tra i gruppi 215.41 2 107.70
entro i
gruppi
498.44 24 20.77
5.19 0.013 *
¡� Ma non ci darà alcuna informazione relativa
alle differente dei gruppi tra di loro.
69

¡� Se l’effetto principale è significativo, è possibile
valutare la significatività dei confronti a coppie
§� Un metodo per verificare la significatività delle
differenze è noto come pairwise comparison.
§� Si paragonano due sole condizioni sperimentali,
considerando il rapporto tra:
▪ La varianza calcolata sulla base della differenza tra le medie.
▪ La varianza entro i gruppi o varianza d’errore complessiva.
¡� Se l’effetto principale non è significativo, non è
lecito effettuare alcun tipo di test.
70

¡� È possibile calcolare il rapporto tra la varianza
tra gruppi considerati e la varianza d’errore:
F cfr = SS F cfr
¡� Dove:
SS err
( kcfr !1)
n ! k
( )
SS = n ( Fcfr A X " X ) A1 A2
2
2
71

¡� Consideriamo ad esempio il confronto tra le
medie di A 1 (X=28.67) e A 3 (X=35.55):
SS cfrA1 "A 3
F cfrA1"A3
= n ( A X " X ) A1 A2
2
= SScfr ( 2 "1)
A1"A3
( n " k)
SS err
2 = 9 ( "6.89)
2
= 213.62
20.77 =10.28
2 = 213.62
¡� Si identifica il valore critico F crit (1;24)=4.26.
¡� Si conclude che la differenza tra A 1 e A 3 è
statisticamente significativa.
72

¡� Se l’effetto principale è significativo, è anche
possibile effettuare una serie di test-­‐t per
ciascuna coppia, avendo attenzione a
correggere il valore critico di α per il numero
di confronti a coppie (metodo di Bonferroni).
¡� Se l’effetto principale non è significativo, non
è lecito effettuare alcun tipo di test post-­‐hoc.
73

¡� È una statistica molto più potente del t-­‐test e si applica a
disegni molto più complessi (confronto tra medie di più
gruppi e più condizioni).
¡� Si può testare l'effetto di un fattore tenendo sotto
controllo gli altri e si accede alla verifica delle interazioni
tra fattori.
¡� Se si stanno confrontando solo due medie tuttavia ANOVA
fornirà gli stessi (identici) risultati del test t.
§� Per quanto concerne gli aspetti tecnici e di implementazione si
approfondisca l'argomento con la dispensa allegata preparata
dalla dr.ssa Silvia Poli, Uso del programma STATISTICA 6.1, pag.
25-­‐36.
§� Oppure http://www.statsoft.com/textbook/stathome.html

¡� Il termine “analisi della varianza” deriva dal fatto che, pur
basandosi su una analisi delle medie, la tecnica statistica utilizzata
si basa sulla “scomposizione” della variabilità totale dei dati
osservati in due parti:
§� variabilità sperimentale (varianza sperimentale o spiegata o tra
gruppi (between groups) detta anche Mean Square Effect, Media del
Quadrato degli Effetti, o MSeffetto) che e dovuta alle variabili
introdotte e studiate dal disegno di ricerca e cioè alla manipolazione
della variabile indipendente.
§� variabilità residua o accidentale (varianza non spiegata, o di errore, o
entro i gruppi (within groups) detta anche Mean Square Error, Media
del Quadrato dell'Errore o MSerrore) che e dovuta a tutte le condizioni
o variabili non controllabili o non controllate dal disegno stesso.

¡� Ipotesi sperimentali
¡� H 0 : non vi sono differenza tra le medie dei gruppi nella
popolazione
§� ci si può aspettare che la varianza stimata sulla base della variabilità
tra i gruppi (dovuta alla manipolazione della VI) è all'incirca pari a
quella dovuta alla variabilità entro gruppi (variabilità accidentale).
¡� Queste due dimensioni di varianza possono essere confrontate
tramite il test F.
§� F = varianza tra i gruppi / varianza entro i gruppi
¡� Il valore di F è tanto più grande quanto più è grande la varianza tra
i gruppi e piccola quella entro i gruppi.
¡� Per valutare se esso è abbastanza grande per rigettare l'ipotesi
nulla si confronta la probabilità associata (p-­‐value) con il livello di
significatività fissato (solitamente 0.05).

¡� H 0
§� Se non possiamo rigettare l'ipotesi nulla
§� possiamo concludere che i campioni provengano dalla stessa
popolazione e quindi la varianza tra-­‐i-­‐gruppi e la varianza entro-­‐
i-­‐gruppi sono due stime indipendenti della stessa varianza della
popolazione.
¡� H 1
§� se la varianza tra-­‐i-­‐gruppi è significativamente più grande di
quella entro-­‐i-­‐gruppi,
§� possiamo concludere che la variabilità osservata nella variabile
dipendente è riconducibile alla manipolazione della variabile
indipendente.
§� Esiste una differenza tra le medie dei gruppi riconducibile alla
variabile indipendente.

¡� Riassumendo
§� Se il risultato del test F non è significativo è inutile procedere
all'esame delle differenze tra medie particolari, perche vi è il rischio
reale che un certo numero di confronti sia dato come significativo
mentre la maggior parte di essi è dovuto solo alla variabilità casuale.
§� Se invece il risultato del test F è statisticamente significativo vuol dire
che almeno una media risulta essere diversa dalle altre.
¡� Per individuare quale gruppo o quali gruppi differiscono si può
procedere invece in due modi:
§� confronti a priori o contrasti pianificati prima della raccolta dati, in
quanto aventi “a priori” un particolare interesse.
§� confronti a posteriori o post-­‐hoc (definiti dopo aver raccolto i dati ed
esaminato le medie, tipicamente tutti i confronti a coppie possibili)

Nota bene:
¡� L'attendibilita del test F nell'analisi della varianza
si basa sulla soddisfazione dei seguenti assunti:
§� normalita della distribuzione della variabile
dipendente.
▪ Questa si verifica con i test di normalità di Kolmogorov-­‐
Smirnof o di Shapiro-­‐Wilk;
§� estrazione casuale dei campioni della popolazione;
§� omogeneita delle varianze dei gruppi.
▪ Si verifica con il test di Levene.

¡� A seconda del numero di Variabili Indipendenti avremo:
§� analisi della varianza univariata a una via se si ha una sola VI
§� analisi della varianza fattoriale se si hanno più variabili
indipendenti
¡� A seconda del numero delle Variabili Dipendenti oggetto
di analisi potremmo avere:
§� analisi della varianza univariata (ANOVA) se è indagata una sola
VD
§� disegni a misure ripetute se la VD è misurata più volte
§� analisi della varianza multivariata (MANOVA) se sono indagate
diverse VD