5. Test per proporzioni: confronto tra campioni e ... - statistica.it

6. TEST PER PROPORZIONI 

BIOSTATISTICA 

5. Test per proporzioni: 

confronto tra campioni e 

associazione 

Marta Blangiardo, Imperial College, London 

Department of Epidemiology and Public Health 

m.blangiardo@imperial.ac.uk 

MARTA BLANGIARDO – TEST PER PROPORZION - 6.1


1. Un solo campione: metodo esatto e 

approssimazione alla Normale 

2. Confronto tra due o più proporzioni 

la variabile casuale chi quadro 

3. Test per la bontà di adattamento di una 

distribuzione di probabilità ad una 

distribuzione empirica: il caso di 

probabilità stimata 




probabilità teorica 



1. Un solo campione: metodo 

esatto e approssimazione alla 

Normale 

• Dalla teoria mendeliana 

dell’ereditarietà ci si aspetta che 

certi incroci di varietà di baccelli 

producano baccelli gialli o verdi in 

rapporto di 3:1. 

• In un particolare esperimento si 

ottengono 17 baccelli gialli e 5 

verdi. 

• Possiamo concludere che 

l’esperimento supporta la teoria? 



L’esperimento produce solo due 

possibili risultati: giallo o verde 

Estraiamo un campione di n=22 

incroci. Siamo interessati a valutare 

se la proporzione di baccelli verdi e 

gialli riscontrata nel campione 

riflette la teoria mendeliana 

H 0 : p verde = ¼ = 0.25 



Dati campionari: 

x (numero baccelli verdi) = 5 

n = 22 

Che valori può assumere X? 

La variabile di interesse (numero di 

baccelli verdi) è quantitativa discreta 

X = 0,1,2,3,…,n 

i = baccello verde SUCCESSO 

i =baccello giallo INSUCCESSO 

Il nostro interesse è sulla proporzione 

di SUCCESSI 



Variabile casuale binomiale 

• X: numero di successi in un dato 

numero di prove n indipendenti 

• Il risultato di ogni prova è S o I 

• La probabilità di S (p) è la stessa in 

tutte le prove 

• Contiamo il numero di successi in n 

prove 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

X ~ Binom(n,p) 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

successi 



X ~ Binom(n,p) 

P(X=x) = n 

μ x = np 

σ x 2 = np(1-p) 

x px (1-p) n-x 

x = 0,1,2,….,n 

Media e Varianza 

n=12, p=0.3 n=12, p=0.8 


Numerosità 

campionaria 


P(X=x) = n 

Coefficiente 

binomiale 

x px (1-p) n-x 

Probabilità di 

successo 

n! 

x! (n-x)! = 

n*n-1*n-2*…2*1 

(x*x-1*…*2*1) [(n-x)*(n-x-1)*…*2*1] 

5 

Fattoriale 

2 = 

5! 

2! (5-2)! = 

Proprietà del fattoriale 

n 

0 

= 1 

5*4*3*2*1 

(2*1) ((5-2)(5-3)(5-4)) 

MARTA BLANGIARDO – TEST PER PROPORZION - 6.8 

n 

n 

= 1


L’ipotesi è che p verde=0.25 

P(X=x) = 22 

x 

Successo 

0.25x (1-0.25) 22-x 


P(X=5) = 22 


Distribuzione esatta: 

dal campione ho n=22 e x=5 

5 0.255 (1-0.25) 22-5 = 0.193 

Quanto è estremo il valore osservato nella 

distribuzione 

Pvalue=2*0.4956=0.9912 

X ~ Binom(22,0.25) 

P(X≤5) = 

P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) 

+P(X=5)= 0.4956 

H 0 : p verde = ¼ = 0.25 

Evidenza a 

supporto 

dell’ipotesi nulla 



Se nel campione avessi osservato 

P(X=20)= 

22 

x=20 

20 0.2520 (1-0.25) 22-20 =1.18e -10 

Quanto è estremo il valore osservato nella 

distribuzione 

X ~ Binom(22,0.25) 

P(X≥20) = P(X=21)+P(X=22) = 

1.21986e-10 

Pvalue=2* 1.21986e-10 

=2.43972e-10 

RIFIUTO H 0 : p verde = ¼ = 0.25 

Non sufficiente 

evidenza a supporto 

dell’ipotesi nulla 



Quando n è abbastanza grande (>40) 

possiamo approssimare la distribuzione 

binomiale a quella normale 

X ~ Binom(200,0.2) 

In questo caso si possono utilizzare I 

valori tabulati per 

1) intervalli di confidenza 

2) test d’ipotesi 



Dal campione ottengo 

p = 

n.successi 

n.prove 

Posso calcolare lo standard error 

campionario 

se( p) = 

p(1-p) 

n 

Non conosco p ma posso stimarla 

usando p 

se( p) = 

p(1-p) 

n 

E ottenere l’intervallo di confidenza 

95% 

Pr { p - 1.96 se(p) ≤ p ≤ p + 1.96 se( p) } = 

0.95 

99% 

Pr { p – 2.57 se(p) ≤ p ≤ p + 2.57se( p) } = 

0.99 



• Un gruppo di medici ha studiato l’effetto 

dell’utilizzo di cravatte strette sul flusso di 

sangue che arriva alla testa. Il loro interesse è 

valutare come questo fatto influenzi la capacità 

del cervello di rispondere a stimoli visivi. Su 

un campione di 250 uomini d’affari si è 

ottenuto che in 167 casi la cravatta troppo 

stretta influenza l’abilità del cervello. 

Dal campione: 

n=250 

x=167 

p=? 

p=167/250 = 0.668 

se( p) = 

Per calcolare 

l’intervallo di 

confidenza mi 

serve l’errore 

standard che 

stimo: 

p(1-p) 

n 

n>40 approssimo alla Normale 

Pr { 0.668 - 1.96 * 0.03 ≤ p ≤ 0.668 + 1.96 * 0.03 } = 

0.95 

IC = {0.6092-0.7268 } 

=0.03 



Dal campione: 

n=250 

x=167 

p=? 

p=167/250 = 0.668 

IC = {0.6092-0.7268 } 

Possiamo concludere che ripetendo 

l’esperimento 100 volte in 95 casi il p 

della popolazione è compreso 

nell’intervallo {0.6092-0.7268 }. 

p 

In 5 casi su 100 sbaglio stimando p con 

p. 



Dal campione ottengo 

p = 

se( p) = 

z p = 

P-value (1 coda) = 

Pr ( z >z p sotto H 0 ) 

P-value (2 code)= 

n.successi 

n.prove 

p(1-p) 

n 

Ipotesi nulla: 

p – p 0 

se(p) 

2*Pr ( z >z p sotto H 0 ) 

H 0 : p=p 0 

~ N(0,1) 


Dal campione: 

n=250 

x=167 

p=167/250 = 0.668 

H 0 : p = 0.5 


Dalla stessa popolazione di uomini d’affari 

voglio valutare se l’ipotesi che la proporzione 

di uomini con cravatta troppo stretta è 0.5 

p – p0 zp = = 5.6 

se(p) 

Per standardizzare 

p devo stimare 

l’errore standard 

p(1-p) 

se( p) = 

n =0.03 

Pr ( z >z p sotto H 0 ) = Pr(z>5.6 sotto H 0 ) 

Il test è a due code quindi 

P-value (2 code)= 2*Pr ( z >5.6 sotto H 0 ) 


0.0 

0.1 

0.2 

0.3 

0.4 

0.5 

0.6 

0.7 

0.8 

Distribuzione 

normale 

standardizzata 

0 

0.5000 

0.5398 

0.5793 

0.6179 

0.6554 

0.6915 

0.7257 

0.7580 

0.7881 

…….. 

5.0 







1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1 

0.5040 

0.5438 

0.5832 

0.6217 

0.6591 

0.6950 

0.7291 

0.7611 

0.7910 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 


2 

0.5080 

0.5478 

0.5871 

0.6255 

0.6628 

0.6985 

0.7324 

0.7642 

0.7939 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

Tavole 

3 

0.5120 

0.5517 

0.5910 

0.6293 

0.6664 

0.7019 

0.7357 

0.7673 

0.7967 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

4 

0.5160 

0.5557 

0.5948 

0.6331 

0.6700 

0.7054 

0.7389 

0.7704 

0.7995 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

Pr(z >zp ) = 1-Pr(z


2. Confronto tra due o più 

proporzioni: la variabile casuale 

chi quadro 

In una sperimentazione clinica tesa a valutare 

l’effetto di un nuovo farmaco nel trattamento 

dell’infarto miocardico acuto, 80 pazienti sono 

stati assegnati casualmente al gruppo trattato 

con il farmaco in studio o al placebo 

Dopo 28 giorni dall’episodio di infarto (e 

dall’inizio dello specifico trattamento) 10 dei 40 

pazienti trattati con il farmaco sono deceduti, 

contro 15 decessi verificatisi nei 40 pazienti 

trattati con placebo 

Questa sperimentazione offre sufficienti 

evidenze che il nuovo farmaco sia 

efficace nel trattamento dell’infarto 

acuto? 


6. CONFRONTO TRA 6. TEST PROPORZIONI PER PROPORZIONI DI DUE O PIÙ CAMPIONI 

INDIPENDENTI 

E1. In una sperimentazione clinica tesa a 

valutare l’effetto di un nuovo farmaco nel 

trattamento dell’infarto miocardico acuto, 80 

pazienti sono stati assegnati casualmente al 

gruppo trattato con il farmaco in studio o al 

placebo 



pazienti trattati con il farmaco sono deceduti, 

contro 15 decessi verificatisi nei 40 pazienti 

trattati con placebo 

deceduti 

vivi 

totale 

Tabella di contingenza 2 X 2 

Pazienti trattati 

con il farmaco 

p 1 = 10 / 40 = 

= 0.250 

Pazienti di 

controllo 

10 15 

30 25 

40 40 

p 2 = 15 / 40 = 

= 0.375 

totale 

25 

55 

80 

Questa sperimentazione offre sufficienti evidenze 

che il nuovo farmaco sia efficace nel trattamento 

dell’infarto acuto? 



INDIPENDENTI 


deceduti 

vivi 

totale 

p 1 = 10 / 40 = 

= 0.250 



Pazienti di 

controllo 

10 15 

30 25 

40 40 

p 2 = 15 / 40 = 

= 0.375 

totale 

25 

55 

80 

p = 25 / 80 = 

= 0.3125 

Ci si aspetta che la mortalità nei 

due gruppi differisca per effetto del 

caso (errore di campionamento) in 

assenza del quale: 

p 1 = p 2 = p = 0.3125 



INDIPENDENTI 


deceduti 

vivi 

totale 

p 1 = 10 / 40 = 

= 0.250 



sotto: 

Pazienti di 

controllo 

10 15 

30 25 

40 40 

p 2 = 15 / 40 = 

= 0.375 

H 0 

totale 

25 

55 

80 

p = 25 / 80 = 

= 0.3125 

π1 = π = 

2 π 



INDIPENDENTI 


deceduti 

vivi 

totale 

p 1 = 10 / 40 = 

= 0.250 



Pazienti di 

controllo 

10 15 

30 25 

40 40 

p 2 = 15 / 40 = 

= 0.375 

totale 

25 

55 

80 

p = 25 / 80 = 

= 0.3125 

Quanti pazienti trattati con il farmaco sarebbero 

morti se fossero sottoposti alla stessa mortalità 

dell’intero gruppo sperimentale? 

40 . 0.3125 = 

deceduti 

vivi 

totale 



12.5 

Pazienti di 

controllo 

40 40 

totale 

25 

55 

80 



INDIPENDENTI 


deceduti 

vivi 

totale 

p 1 = 10 / 40 = 

= 0.250 



Pazienti di 

controllo 

10 15 

30 25 

40 40 

p 2 = 15 / 40 = 

= 0.375 

totale 

25 

55 

80 

p = 25 / 80 = 

= 0.3125 

Quanti pazienti trattati con placebo sarebbero 

morti se fossero sottoposti alla stessa mortalità 

dell’intero gruppo sperimentale? 

deceduti 

vivi 

totale 



40 . 0.3125 = 

Pazienti di 

controllo 

12.5 

40 40 

totale 

25 

55 

80 



INDIPENDENTI 


deceduti 

vivi 

totale 



Pazienti di 

controllo 

10 15 

30 25 

40 40 


deceduti 

vivi 

totale 

Test del 



12.5 

27.5 

chi-quadrato 

Pazienti di 

controllo 

12.5 

40 40 

χ 2 

27.5 

Σ = 

g i 

Dati 

osservati 

totale 

25 

55 

80 

Dati 

attesi 

totale 

25 

55 

80 

(O i - E i) 2 

E i 



INDIPENDENTI 

+ 

Dati 

osservati 

deceduti 

Dati 

attesi 

χ 2 

vivi 

totale 

deceduti 

vivi 

totale 

Σ = 

g i 

(15-12.5) 2 

12.5 



Pazienti di 

controllo 

10 15 

30 25 

40 40 



12.5 

27.5 

Pazienti di 

controllo 

12.5 

27.5 

40 40 

(O i - E i) 2 

E i 

(30-27.5) 2 

(10-12.5) 2 

(25-27.5) 2 

totale 

25 

55 

80 

totale 

25 

55 

80 

= + 

12.5 

+ + = 1.45 

27.5 27.5 


Chi 

quadro 

gdl 

1 

2 

3 

4 

5 

6 


Distribuzione chi-quadrato 

… 

… 

… 

0.3 

1.07 

2.41 

3.66 

4.88 

6.06 

7.23 

0.25 

1.32 

2.77 

4.10 


6.62 

7.84 

… 

… 

… 

0.05 

3.84 


7.81 

9.49 

11.07 

12.59 

0.025 


7.38 

9.34 

11.14 

12.83 

14.44 

0.01 

6.63 

9.21 

11.34 

13.28 

15.09 

16.81 



INDIPENDENTI 

Perché 1 grado di libertà? 

Valore empirico: χ 2 

P-value = 

= 

1 1.45 

0.2 < Pr(χ 2 2>1.45 sotto H0) < 0.25 

> 0.05 

Dovremmo accettare l’ipotesi nulla 

(p > 0.05): le due proporzioni non 

differiscono significativamente 

Questa sperimentazione non offre sufficienti 

evidenze che il nuovo farmaco sia efficace nel 

trattamento dell’infarto acuto 


Dati 

osservati 

deceduti 

vivi 

totale 




Pazienti di 

controllo 

10 15 

30 25 

40 40 

Se si fissano i totali di riga e di colonna 

(marginali) mi basta inserire il valore di 

una cella e le altre le trovo per 

differenza 

deceduti 

vivi 

totale 



10 

Pazienti di 

controllo 

25-10=15 

40-10=30 40-15=25 

40 40 

Quindi ho solo 1 grado di libertà 

totale 

25 

55 

80 

totale 

25 

55 

80 



INDIPENDENTI 

In una sperimentazione clinica tesa a valutare 

l’effetto di due nuovi farmaci (A e B) nel 

trattamento dell’infarto miocardico acuto, 90 

pazienti furono assegnati casualmente al gruppo 

trattato con il farmaco A, al gruppo trattato con il 

farmaco B o al placebo 



pazienti trattati con il farmaco A, 5 dei 30 

pazienti trattati con il farmaco B e 15 dei 30 

pazienti trattati con placebo sono deceduti 

deceduti 

vivi 

totale 

p A = 10 / 30 = 

= 0.333 


Farmaco 

A 

Farmaco 

30 30 30 

totale 

30 

60 

90 


che i diversi trattamenti determinino diversi 

effetti sulla sopravvivenza? 

B 

Placebo 

10 5 15 

20 25 15 

p B = 5 / 30 = 

= 0.167 

p P = 15 / 30 = 

= 0.5 



INDIPENDENTI 

deceduti 

vivi 

totale 

p A = 10 / 30 = 

= 0.333 

π A 


sotto: 

= 

Farmaco 

A 

Farmaco 

B 

Placebo 

10 5 15 

20 25 15 

30 30 30 

π B 

p B = 5 / 30 = 

= 0.167 

H 0 

= π p 

totale 

30 

60 

90 

p P = 15 / 30 = 

= 0.500 


= 

π 

30/90=0.333


INDIPENDENTI 

Dati 

osservati 

deceduti 

vivi 

totale 

p A = 10 / 30 

= 0.333 

0.333 . 30 = 

deceduti 

vivi 

totale 

Farmaco 

A 

Farmaco 

B 

Placebo 

10 5 15 

20 25 15 

30 30 30 

p B = 5 / 30 

= 0.167 

p P = 15 / 30 

= 0.500 

Dati attesi sotto H 0 

0.333 . 30 = 

Farmaco 

A 

10 

20 

Farmaco 

B 

10 

20 

10 

30 30 30 

totale 

30 

60 

90 

p = 30 / 90 

= 0.333 

0.333 . 30 = 

Placebo 

20 

totale 

30 

60 

90 



INDIPENDENTI 

Dati 

osservati 

deceduti 

vivi 

totale 

Dati 

attesi 

deceduti 

vivi 

totale 

χ g 

2 

Σ = 

i 

Farmaco 

A 

Farmaco 

B 

Placebo 

10 5 15 

20 25 15 

30 30 30 

Farmaco 

2 

A 

10 10 10 

20 

30 30 30 

(O i - E i) 2 

E i 

Farmaco 

B 

20 

Placebo 

= 6.11 

20 

totale 

30 

60 

90 

totale 

30 

60 

90 



INDIPENDENTI 

Perché 2 gradi di libertà? 

Valore empirico: χ 2 

P-value = 

= 

2 6.11 

0.025< Pr(χ 2 2>6.11 sotto H 0) < 0.05 

< 0.05 

Dovremmo rigettare l’ipotesi nulla 

(p < 0.05): le tre proporzioni 

differiscono significativamente 


che il diverso trattamento determina diverse 

mortalità nei pazienti con infarto acuto 


Dati 

osservati 

deceduti 

vivi 

totale 


Farmaco 

A 

Farmaco 

B 

Placebo 

10 5 15 

20 25 15 

30 30 30 

totale 

In questo caso una cella non è sufficiente per 

ottenere tutte le altre per differenza. Ne 

servono 2 

Dati 

osservati 

deceduti 

vivi 

totale 

Farmaco 

A 

Farmaco 

B 

Placebo 

10 5 30-10-5=15 

30-10=20 30-5=25 30-15=15 

30 30 30 

Quindi ho 2 gradi di libertà 

In generale i gdl si ottengono come 

(n.righe-1)*(n.colonne-1) 

30 

60 

90 

totale 

30 

60 

90 



ESERCIZIO di RIEPILOGO 1 

In una popolazione di bambini in età 

prescolare si vuole verificare se la 

percentuale di bambini affetti da dislessia 

è pari al 10%. Per questo motivo si estrae 

un campione di 200 bambini e si ottiene 

che quelli dislessici sono 40. Saggiare 

l’ipotesi nulla 


Si vuole verificare se l’effetto di tre diete è 

equivalente nel ridurre il peso in una 

popolazione di bambini. A tal fine si 

estraggono 3 campioni di 20, 30 e 40 

bambini e si assegna loro rispettivamente 

la dieta A, B e C. Definiamo che la dieta 

ha effetto se riduce il peso di almeno 5 

Kg. Il numero di riduzioni di peso nei tre 

campioni è rispettivamente 10, 12 e 18 






Si vuole verificare se l’effetto di tre diete è 

equivalente nel ridurre il peso in una 

popolazione di bambini. A tal fine si 

estraggono 3 campioni di 20, 30 e 40 

bambini e si assegna loro rispettivamente 

la dieta A, B e C. Definiamo che la dieta 

ha effetto se riduce il peso di almeno 5 

Kg. Il numero di riduzioni di peso nei tre 

campioni è rispettivamente 10, 12 e 18 






probabilità teorica 

Dalla teoria mendeliana: 

Baccelli verdi e lisci 

Rugosi e 

verdi (RV) 

1/16 

Baccelli gialli 

e rugosi 

Lisci e 

verdi (LV) 

3/16 

Rugosi e 

gialli (RG) 

3/16 

Lisci e 

gialli (LG) 

9/16 


Rugosi e 

verdi (RV) 

1/16 


Distribuzione teorica 

Lisci e 

verdi (LV) 

3/16 

Rugosi e 

gialli (RG) 

3/16 

Lisci e 

gialli (LG) 

9/16 

Da un campione di 160 incroci si ottengono 

i seguenti risultati: 

Rugosi e 

verdi (RV) 

8 

Lisci e 

verdi (LV) 

32 

N=160 

Rugosi e 

gialli (RG) 

27 

Lisci e 

gialli (LG) 

I dati supportano la teoria mendeliana? 

93 



Vogliamo testare la seguente ipotesi 

H 0 : p 1 =1/16, p 2 =3/16, p 3 =3/16, p 4 =9/16 

RV 

Se H 0 è vera: 

10 

LV 

30 

160 . 1 

16 =10 3 

160 . 

16 

=30 

RG 

30 

3 

160 . 

16 

=30 

Utilizziamo nuovamentre la statistica chi 

quadrato 

Test del 

chi-quadrato 

χ 2 

Σ = 

g i 

LG 

90 

(O i - E i) 2 

9 

160 . 

16 =90 

E i 


+ 

Rugosi e 

verdi (RV) 

(32-30) 2 

30 

8 

RV 

10 


Valori osservati 

Lisci e 

verdi (LV) 

32 

(27-30) 2 

Rugosi e 

gialli (RG) 

27 

Valori attesi sotto H0 

LV 

30 

χ 3 2 

RG 

30 

(8-10) 2 

= + 

10 

(93-90) 2 

Lisci e 

gialli (LG) 

93 

LG 

90 

+ + = 0.93 

30 

90 

I gradi di libertà sono ncat-1 

(nel nostro caso 4-1=3) 


gdl 

1 

2 

3 

4 

5 

6 


Distribuzione chi-quadrato 

0.9 

0.0158 

0.2107 

0.5844 

1.0636 

1.6103 

2.2041 

0.8 

0.0642 

0.4463 

1.0052 

1.6488 

2.3425 

3.0701 

0.7 

0.1485 

0.7133 

1.4237 

2.1947 

2.9999 

3.8276 

0.6 

0.2750 

1.0217 

1.8692 

2.7528 

3.6555 

4.5702 

Il Pvalue è compreso tra questi due 

valori 

P-value = Pr(χ 2 3>0.93 sotto H 0) ≈ 0.85 

> 0.05 

Non abbiamo abbastanza evidenza per 

rifiutare H0 MARTA BLANGIARDO – TEST PER PROPORZION - 6.43





probabilità stimata 

Stima dei parametri della popolazione 

partendo dai dati campionari 

Assunzioni sulla forma della 

distribuzione dei parametri 

E’ utile verificare tali assunzioni valutando 

quanto i valori osservati si discostano dalla 

distribuzione teorica 

Confronto tramite chi quadrato delle 

frequenze osservate e attese sotto la 

distribuzione teorica 



Strategia: 

1) Scelta della distribuzione di probabilità 

adatta a descrivere il fenomeno in studio 

2) Calcolo delle probabilità associate ai 

valori che la variabile in studio assume nel 

campione 

3) Calcolo delle frequenze attese π i . O 

4) Valutazione tramite chi quadrato delle 

discrepanze tra frequenze osservate (O i ) 

ed attese π i .O 

χ 2 

= Σ (O i – π i O) 2 

g 

π i O 



Verifica dell’adattamento ad una 

distribuzione Binomiale 

Sono stati raccolti i dati relativi al numero 

di figlie femmine in 103 famiglie di 4 figli. Il 

rapporto tra maschi e femmine è atteso di 

½:½. 



Variabile casuale 

dicotomica 

Successo: 

figlia femmina 

Variabile casuale teorica: 

Binomiale 

X~Binom(n,p) X~Binom(4,0.5) 


50 

45 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

Osservati 


2) Sappiamo che π i =0.5 sotto H 0 

Valori osservati nel campione 

X 

0 

1 

2 

3 

4 

Oi 5 

24 

44 

19 

11 

1 2 3 4 5 




valori che la variabile in studio assume 

nel campione 

P(X=x) = 

X 

0 

1 

2 

3 

4 

O i 

5 

24 

44 

19 

11 

4 

x 

0.5x (1-0.5) 4-x 

π i 

(1/2) 4 =0.0625 

4 . (1/2) 1. (1/2) 3 = 0.25 

6 . (1/2) 2. (1/2) 2 = 0.375 

4 . (1/2) 3. (1/2) 1 = 0.25 

(1/2) 4. (1/2) 0 = 0.0625 


50 

45 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

X 

0 

1 

2 

3 

4 

Osservati 

Attesi 



O i 

5 

24 

44 

19 

11 

π i 

(1/2) 4 =0.0625 

4 . (1/2) 1. (1/2) 3 = 0.25 

6 . (1/2) 2. (1/2) 2 = 0.375 

4 . (1/2) 3. (1/2) 1 = 0.25 

(1/2) 4. (1/2) 0 = 0.0625 

π i .O 

0.0625 . 103=6.44 

0. 25 . 103=25.75 

0.375 . 103=38.62 

0.25 . 103=25.75 

0.0625 . 103=6.44 

1 2 3 4 5 


+ 

= 




ed attese π i .O 

(5-6.44) 2 

6.44 

χ 2 

(19-25.75) 2 


= Σ (O i – π i O) 2 

+ 

g 

(24-25.75) 2 


(11-6.44) 2 

π i O 


+ 

(44-38.62) 2 

38.62 

+ = 6.191 

6.44 


> 0.05 

Il numero di gdl è ncat-1 = 5 - 1 = 4 

Da excel: 

=DISTRIB.CHI(6.191,4)


Possiamo concludere che la 

differenza tra la distribuzione 

osservata e quella teorica 

(Binomiale di parametro 0.5 in 4 

prove) non è significativa 




distribuzione Poisson 

Si desidera conoscere la distribuzione di 

una variante rara di una certa pianta in una 

determinata regione. Per fare cio’ la 

regione viene suddivisa in aree di uguale 

grandezza e si conta il numero di elementi 

della variante in studio. 




discreta, ma 

NON 

dicotomica 

Evento 

RARO 


Poisson 

X~Poisson(λ) 



Distribuzione Poisson 

Caratterizzata da 

un parametro 

X~Poisson(5) 

E(X)=5 

Var(X)=5 

X~Poisson(λ) 

E(X) = λ 

Var(X) = λ 

Distribuzone usata 

per gli eventi rari 

X~Poisson(3) 

E(X)=3 

Var(X)=3 


45 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 


2) Non conosciamo i valori di π i nella 

popolazione: dobbiamo stimarli 

5 

0 

Valori osservati nel campione 

X 

0 

1 

2 

3 

>3 

Oi 39 

34 

13 

0 1 2 3 

Osservati 


1 

0


2) Non conosciamo i valori di π i nella 

popolazione: dobbiamo stimarli 

Una stima di λ è 

x (media campionaria): 

x = 

Σx iO i 

ΣO i 

x = 39 . 0 + 34 . 1 + 13 . 2 + 1 . 3 = 0.7241 

87 

X~Poisson(0.7241) 


X 

0 

1 

2 

3 

>3 

O i 

39 

34 

13 

1 

0 



valori che la variabile in studio assume 

nel campione 

X~Poisson(0.7241) 

P(X=x) = λx e -λ 

π i 

e -0.7241 =0.4847 

x! 

e -0.7241. (0.7241) 1 = 0.3510 

e -0.7241. (0.7241) 2 /2=0.1271 

e -0.7241. (0.7241) 3 /6=0.0306 

1-0.4847- 0.3510-0.1271- 

0.0306 = 0.0065 

0.7241 0 e -0.7241 

0! 

=1 


X 

0 

1 

2 

3 

>3 

45 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 



O i 

39 

34 

13 

1 

0 

Osservati 

Attesi 

π i 

e -0.7241 =0.4847 

e -0.7241. (0.7241) 1 = 

0.3510 

e -0.7241. 

(0.7241) 2 /2=0.1271 

e -0.7241. 

(0.7241) 3 /6=0.0306 

1-0.4847- 0.3510-0.1271- 

0.0306 = 0.0065 

π i .O 

0.4847 . 87=42.17 

0.3510 . 87=30.54 

0.1271 . 87=11.06 

0.0306 . 87=2.66 

0.0625 . 87=0.54 

0 1 2 3 >3 


+ 

= 




ed attese π i .n (o p i .n se i parametri sono 

ignoti nella popolazione) 

(39-42.17) 2 

42.17 

(1-2.66) 2 

2.66 

χ 2 

= Σ (O i – π i O) 2 

+ 

g 

(34-30.54) 2 

30.54 

(0-0.54) 2 

π i O 


+ 

(13-11.06) 2 

11.06 

+ = 2.5095 

0.54 


> 0.05 

Il numero di gdl è n.cat-2 = 5 - 2 = 3 

Da excel: 

=DISTRIB.CHI(2.5094,3)





(Poisson di parametro 0.7241) 

non è significativa 

PROBLEMA: come mai abiamo usato 

un chi quadro con 3 gradi di libertà? 


??? 



Abbiamo visto precedentemente che i 

gradi di libertà erano calcolati come 

•N.obs-1 (nel caso della T di Student) 

•N.cat-1 

•(n.righe-1)(n.col-1) 

Nel caso del chi 

quadro 

In questo caso abbiamo un ulteriore vincolo 

dato dal fatto che DOBBIAMO stimare λ 

tramite i dati campionari (y). Quindi: 

1. ΣO i=O 

2. Σx iO i= y 

ΣO i 

gdl = n.cat - 2 

Una regola universale: il numero di gradi di libertà è 

sempre uguale al numero di osservazioni MENO il 

numero di relazioni tra le osservazioni che abbiamo la 

necessità di ottenere 




distribuzione Normale 

In un campione di piante da fiore viene 

misurata la lunghezza della corolla (in mm); 

si desidera conoscere la sua distribuzione. 




continua 

X~N(μ,σ 2 ) 

Ci si aspetta 

simmetria 

nella 

distribuzione 


Normale 

f 

( x) 

= 

2πσ 

( x−μ 

) 

− 

2 

2σ 


1 

2 

⋅e 

2

X~N(μ,σ 2 ) 

Z~N(0,1) 


f ( x) 

= 

Standardizzazione 

f 

( z) 

2πσ 

( x−μ) 

− 

2 

2σ 


1 

1 

2 

2π 

⋅e 

⋅e 

Per standardizzare devo stimare μ e σ 2 dal 

campione: 

μ 

σ 2 

x = 

s 2 = 

Σx iO i 

ΣO i 

Σ(x i-x) 2 O i 

(ΣO i)-1 

= 

= 67.45 

= 8.6136 

z 

− 

2 

2 

2



Distribuzione normale standardizzata 

distribuzione Normale 

1 

0 

1. Suddividere l’intero campo di variazione 

in intervalli. E’ conveniente che il valore 

centrale sia un numero intero. 

2. Calcolare la frequenza osservata in ogni 

classe 

xa -| xb 59.5-|62.5 

62.5-|65.5 

65.5-|68.5 

68.5-|71.5 

71.5-|74.5 

(x a +x b )/2 

61 

64 

67 

70 

73 

Oi 5 

18 

42 

27 


8 

z


3. Standardizzare usando l’estremo 

superiore di ogni classe 

xa -| xb 59.5-|62.5 



68.5-|71.5 

71.5-|74.5 

f 

( z) 

(x a +x b )/2 

61 

64 

67 

70 

73 

= 

62.5-67.45 

2.93 

O i 

5 

18 

42 

27 

8 

1 

2π 

⋅e 

z 

− 

2 

-1.69 

-0.66 

0.36 

1.38 

oo 


2 

z


4. Determinare la funzione cumulata I 

corrispondenza dei limiti superiori di ogni 

classe (per l’ultima classe porre=1) 

xa -| xb 59.5-|62.5 



68.5-|71.5 

71.5-|74.5 

(x a +x b )/2 

61 

64 

67 

70 

73 

Oi 5 

18 

42 

27 

8 

z 

-1.69 

-0.66 

0.36 

1.38 

oo 

Fi 0.0455 

0.2546 

0.6406 

0.9126 

1.0000 

Usando le tavole 



5. Per differenze determinare le frequenze 

attese relative π i 

x a -| x b 

59.5-|62.5 



68.5-|71.5 

71.5-|74.5 

(x a +x b )/2 

61 

64 

67 

70 

73 

F i – F i-1 

O i 

5 

18 

42 

27 

8 

z 

-1.69 

-0.66 

0.36 

1.38 

oo 

0.0455 

0.2546 

0.6406 

0.9126 

1.0000 


F i 

π i 

0.0455 

0.2091 

0.3860 

0.2756 

0.0838


6. Calcolare le frequenze attese π i O 

x a -| x b20 

59.5-|62.5 



68.5-|71.5 

71.5-|74.5 

(x a +x b )/2 

61 

64 

67 

70 

73 

O i 

5 

18 

42 

27 

8 

z 

-1.69 

-0.66 

0.36 

1.38 

oo 

0.0455 

0.2546 

0.6406 

0.9126 

1.0000 

0.0455 

0.2091 

0.3860 

0.2756 

0.0838 


F i 

π i 

π i O 

4.55 

20.91 

38.60 

27.56 

8.38


6. Confrontare le frequenze osservate e 

attese tramite il chi quadro 

+ 

= 

(5-4.55) 2 

4.55 

χ 2 

(27-27.56) 2 

27.56 

= Σ (O i – π i O) 2 

+ 

g 

(18-20.91) 2 

20.91 

(8-8.38) 2 

π i O 


+ 

(42-38.60) 2 

38.60 

+ = 0.777 

8.38 


Da excel: 

=DISTRIB.CHI(2.5094,2) 


> 0.05





(Normale di parametri μ=67.45 e 

σ=2.93) non è significativa

5. Test per proporzioni: confronto tra campioni e ... - statistica.it

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