Mauro D'Onofrio ELEMENTI DI OTTICA PER ASTRONOMI

1 CAPITOLO 1
1.1 Il principio di Fermat
Si tratta di un metodo molto potente per trattare i problemi di ottica geometrica. Si supponga di
avere una superficie che trasmette e/o riflette i raggi luminosi. Il principio di Fermat afferma
che la traiettoria seguita dal raggio luminoso sarà quella per cui il tempo necessario, per andare
ad esempio dalla sorgente al piano focale, è minimo. Il principio di Fermat può essere esteso
ad un sistema ottico più generale, e nella sua forma moderna asserisce che: La traiettoria vera
seguita da un raggio luminoso è quella per cui il tempo, necessario per andare da un punto
fisso A ad un altro punto fisso B, è stazionario rispetto a piccole variazioni dal percorso vero.
In altre parole il tempo necessario per andare da un punto A ad un altro B non differisce più di
un infinitesimo del secondo ordine dal tempo necessario per andare da A a B lungo un altro
percorso molto prossimo al percorso vero. Quindi in prima approssimazione il tempo per il
percorso vero è uguale a quello per un raggio adiacente al percorso vero.
Il caso più semplice per illustrare il principio di Fermat è mostrato in Fig. 1.1. Una superficie Σ
separa due punti P0 e P1.
n
P0
(x,y)
Σ
Fig. 1.1 Un possibile cammino ottico tra due mezzi di indice di rifrazione diversi separati dalla superficie Σ.
Le linee piene rappresentano la traiettoria vera, quelle tratteggiate una ad essa adiacente.Il
tempo per andare da P0 a P1 ¡ ¢ £ ¤¦¥¨§ § © è sia verificata la condizione di stazionarietà per il
percorso vero, deve essere:
∂τ / ∂ x = ∂τ / ∂ y = 0
(1.1)
dove x,y sono le coordinate generiche dove il raggio incontra la superficie. In modo
equivalente si può rimpiazzare la frase tempo di viaggio della luce con cammino ottico della
luce. Se dt è un tempo infinitesimo allora cdt è il corrispondente cammino ottico. Il cammino
ottico (OPL) è definito perciò dalla relazione:
d(OPL)=cdt=(c/v)vdt=nds (1.2)
OPL= c dt = nds
∫ ∫
n’
P1