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Versione e856994
Appunti del corso di
Istituzioni di Analisi Matematica
DANIELE SERRA
17 dicembre 2010
Versione e856994
Questo documento è ancora incompleto.
Corso tenuto dai proff. Alberto Abbondandolo e Paolo Acquistapace.

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Indice
I Spazi L p 1
1 Gli spazi L p 3
1.1 Richiami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Funzioni misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Teoremi di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Spazi L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II Spazi di Hilbert 9
2 Spazi di Hilbert 11
2.1 Definizione e proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Teorema di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Proiettori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Il Teorema di Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Norme operatoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.1 Isometrie lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Basi Hilbertiane 19
3.1 Famiglie sommabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Basi Hilbertiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Una base hilbertiana di L 2 (T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Basi hilbertiane per L 2 (0,T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Sviluppi di Fourier per funzioni regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6 Coefficienti di Fourier di funzioni in L 1 (T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7 Coefficienti di Fourier e prodotti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
III Spazi di Banach 29
4 Teoremi fondamentali 31
4.1 Compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Il Teorema di Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Il Teorema di Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.1 Un’applicazione alle Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Il Teorema della mappa aperta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4.1 Alcune conseguenze importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
I

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II Indice

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Parte I
Spazi L p
1

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Capitolo 1
Gli spazi L p
1.1 Richiami
In questa sezione richiamiamo senza dimostrazioni le nozioni di base di teoria della misura e dell’integrazione
astratta vista in corsi precedenti (si può, ad esempio, consultare ..).
1.1.1 Misure
1.1.1 DEFINIZIONE - Sia X un insieme, F ⊂ P (X ) si dice σ-algebra se:
1. , X ∈ F ;
2. se A ∈ F , allora A c ∈ F ;
3. se An ∈ F per ogni n ∈ N, allora n∈N An ∈ F .
1.1.2 OSSERVAZIONE - Se F è una σ-algebra su un insieme X , allora F è chiusa per intersezione numerabile.
1.1.3 DEFINIZIONE - Sia X un insieme, F una σ-algebra su X. Una funzione µ: F → [0,+∞] si dice misura
(σ-additiva) se:
1. µ() = 0;
2. se Ai ∩ A j = per ogni i = j , allora µ
+∞ +∞
n=1
An = n=1 µ(An).
1.1.4 DEFINIZIONE - Chiameremo spazio misurato una terna (X ,F ,µ) dove F è una σ-algebra su X e µ è una
misura definita su F .
Sia P(x) una proposizione nella variabile x, elemento di X . Diremo che P(x) è vera per quasi ogni x se
{x | P(x) è falsa} ⊂ E, con µ(E)=0. Se bisogna specificare di quale misura si sta parlando, diremo per µ-quasi ogni
x.
Diremo che:
• µ è finita se µ(X ) < ∞.
• µ è di probabilità se µ(X ) = 1.
• µ è σ-finita se X = n Xn con Xn ∈ F e µ(Xn) < ∞ per ogni n.
1.1.2 Funzioni misurabili
È assegnato uno spazio misurato (X ,F ,µ).
1.1.5 DEFINIZIONE - Sia D ∈ F . Una funzione f : D → R si dice misurabile se vale una delle seguenti condizioni
equivalenti:
1. {x ∈ D | f (x) > α} ∈ F per ogni α ∈ R;
2. {x ∈ D | f (x) ≥ α} ∈ F per ogni α ∈ R;
3

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4 1. Gli spazi L p
3. {x ∈ D | f (x) < α} ∈ F per ogni α ∈ R;
4. {x ∈ D | f (x) ≤ α} ∈ F per ogni α ∈ R;
1.1.6 PROPOSIZIONE - 1. Se f , g : D → R sono misurabili, allora f + g , f · g , f ∧ g , f ∨ g sono misurabili.
2. Sia (fn) una successione di funzioni misurabili. Allora
sono misurabili.
sup fn, inf
n→+∞
n→+∞ fn, limsup
n→+∞
fn, liminf
n→+∞ fn, lim
n→+∞ fn (se esiste)
1.1.7 DEFINIZIONE - Una funzione ϕ: X → R misurabile si dice semplice se è della forma
con An ∈ F , µ(An) < ∞ per ogni n = 1,..., N .
Vale la seguente caratterizzazione.
ϕ(x) =
N
αn I An (x)
n=1
1.1.8 PROPOSIZIONE - Sia D ∈ F . Una mappa f : D → R è misurabile se e solo se esiste una successione (ϕn) di
funzioni semplici tali che
lim
n→+∞ ϕn(x) = f (x) per ogni x ∈ D.
1.1.3 Integrale
Integrale delle funzioni semplici
1.1.9 DEFINIZIONE - Sia ϕ: X → R una funzione semplice, ϕ = N n=1
αn I An . L’integrale di ϕ rispetto alla misura
µ è
N
f dµ := αnµ(An).
X
n=1
Indicheremo con S lo spazio delle funzioni semplici.
Integrale delle funzioni positive
Data f : X → [0,+∞] misurabile, si pone:
f dµ := sup
Integrale delle funzioni con segno
Data f : X → R, diremo che f è integrabile se
è finito e, in tal caso, si pone
X
X
X
ϕ dµ ϕ semplice , 0 ≤ ϕ ≤ f
f + dµ o
X
f − dµ
f dµ := f
X
+
dµ − f
X
− dµ
X
Inoltre, se entrambi gli integrali di f + e f − sono finiti, diremo che f è sommabile.
1.1.10 OSSERVAZIONE - Possiamo definire l’integrale su un sottoinsieme di X . Se E ∈ F , si pone
f dµ := f · IE dµ.
In teoria dell’integrazione, è usuale porre +∞ · 0 := 0.
1.1.11 PROPOSIZIONE - Date f , g funzioni misurabili positive, α ∈ [0,+∞[, allora:
1. f ≤ g =⇒
X f ≤ X g .
2.
X αf = α X f .
3.
X f + g = X f + X g .
E
X
.

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1.2. Spazi L p 5
1.1.4 Teoremi di convergenza
1.1.12 TEOREMA (di convergenza monotona) - Sia (fn) una successione di funzioni misurabili e positive tale che
fn ≤ fn+1 per quasi ogni x. Allora
lim
n→+∞
fn =
X
lim
X n→+∞ fn
e tale convergenza è monotona.
1.1.13 TEOREMA (Lemma di Fatou) - Sia (fn) una successione di funzioni misurabili e positive. Allora
liminf
n→+∞
fn ≥
X
liminf
X n→+∞ fn.
1.1.14 TEOREMA (di convergenza dominata) - Sia (fn) una successione di funzioni misurabili tale che fn → f
puntualmente quasi ovunque e esiste g sommabile tale che |fn(x)| ≤ g (x) per quasi ogni x. Allora
lim
n→+∞
fn =
X
f .
X
Inoltre,
1.2 Spazi L p
Consideriamo uno spazio misurato (X ,F ,µ).
lim |fn − f | dµ = 0.
n→+∞ X
1.2.1 DEFINIZIONE - Data f : X → R, se p ∈ [1,+∞), la norma L p di f è
Inoltre, poniamo
f p := |f |
X
p 1
p
dµ .
f ∞ := inf{t ∈ [0,+∞] | |f (x)| ≤ t per µ-quasi ogni x}.
1.2.2 DEFINIZIONE - Lo spazio L p (X ,F ,µ) è l’insieme quoziente
L p (X ,F ,µ) := {f : X → R | f è misurabile e f p < +∞}/ ∼,
dove ∼ è la relazione d’equivalenza che identifica due funzioni che coincidono quasi ovunque:
f1 ∼ f2 ⇐⇒ f1 = f2 quasi ovunque.
1.2.3 OSSERVAZIONE - Poiché ogni funzione nulla quasi ovunque ha integrale nullo, allora se non avessimo
quozientato per ∼ la norma L p non sarebbe potuta essere una norma, come invece ci aspettiamo che sia.
Conseguenza della definizione è che non ha senso parlare di valore di una funzione L p in un punto.
Da questo momento in poi, dato p ∈ [1,+∞[, chiameremo esponente coniugato di p quel numero q
= 1.
determinato dalla relazione 1
p
+ 1
q
È facile verificare che la norma L p gode delle prime due proprietà della norma. La proprietà triangolare non
è banale e seguirà dalle disuguaglianze che ci accingiamo a dimostrare.
1.2.4 LEMMA (Disuguaglianza di Young) - Per ogni a,b ∈ [0,+∞[, vale
ab ≤ ap
p
+ bq
q .
Dimostrazione. Supponiamo a,b = 0 e siano α := a p , β := b q . Allora
α 1/p β 1/q = α β
+
p q
logα logβ α β
⇐⇒ + ≤ log + .
p q p q
L’ultima disuguaglianza vale perché log x è convessa, dunque la disuguaglianza è dimostrata.

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6 1. Gli spazi L p
1.2.5 LEMMA (Disuguaglianza di Hölder) - Sia p ∈ [1,+∞]. Vale
f g 1 ≤
f p g q per ogni f ∈ L p , g ∈ L q .
Dimostrazione. Se p = 1 (il caso p = ∞ è simmetrico), vale
Integrando,
X
|f (x)g (x)| ≤ |f (x)| g ∞ per quasi ogni x.
|f (x)g (x)|dµ ≤
cioè la tesi. Se p ∈ (1,∞), per la disuguaglianza di Young
|f (x)|p
|f (x)g (x)| ≤
p
X |f (x)| g ∞ dµ = f 1 · g ∞ ,
+ |g (x)|q
q
Supponiamo dapprima che f p = g q = 1; integrando,
f g 1 ≤ 1 1
+
p q = 1 =
f p
quasi ovunque.
g q .
In generale, siano F (x) := f (x)/ f p e G(x) := g (x) g q . Abbiamo già dimostrato che FG 1 ≤ 1, da cui,
sviluppando, si ottiene la tesi.
Veniamo ora alla disuguaglianza che ci interessa.
1.2.6 LEMMA (Disuguaglianza di Minkowski) - Per ogni f , g ∈ L p ,
f + g p ≤ f p + g p .
Dimostrazione. Osserviamo dapprima che, se f , g ∈ L p , allora (f + g ) p−1 ∈ L q . Applicando la disuguaglianza di
Hölder,
f + g p p =
|f + g |
X
p
dµ = |f + g ||f + g |
X
p−1
≤ (|f | + |g |)|f + g |
X
p−1
= |f ||f + g |
X
p−1
+ |g ||f + g |
X
p−1
≤
f p p−1
|f + g |
q +
g p p−1
|f + g |
q = (
f p +
g p ) p−1
|f + g |
q .
A questo punto si verifica facilmente che |f + g | p−1 q = f + g p−1
p
e, semplificando, si ha la tesi.
Come corollario della disuguaglianza di Minkowski, otteniamo immediatamente la disuguaglianza triangolare
per le norme, per cui:
1.2.7 COROLLARIO - · p è una norma.
In realtà L p è completo. Per dimostrarlo, abbiamo bisogno del prossimo lemma.
1.2.8 LEMMA - Sia (X , · ) uno spazio normato. X è completo se e solo se per ogni (xn) ⊂ X tale che ∞ n=0 xn <
∞, esiste y ∈ X tale che y = ∞ n=0 xn, cioè
k
y
− xn
−−−→
k→∞ 0
n=0
Dimostrazione. Vediamo la condizione necessaria. Sia (xn) come nelle ipotesi e consideriamo la successione
(yn) così definita:
n
yn := xk.
Tale successione è di Cauchy:
yn − ym
=
n
k=m+1
k=0
xk
≤
n
k=m+1
xk < ɛ

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1.2. Spazi L p 7
non appena n,m sono più grandi di un certo ν per convergenza della serie.
Vediamo ora la condizione sufficiente. Sia (xn) una successione di Cauchy: per ogni ɛ > 0 esiste νɛ tale che per
ogni n,m > νɛ vale xn − xm < ɛ. Possiamo restringerci ad una sottosuccessione degli indici (νk ) crescente tale
che
xν − xν
−k
< 2 per ogni k.
k+1 k
Definiamo una successione (yk) come segue:
Per costruzione, xνn = n
k=0 yk. D’altra parte,
∞
k=0
yk
Per ipotesi, esiste y ∈ X tale che
y0 := xν0
yk := xν k − xν k−1 .
∞ ∞
≤ xν0 + xν − xν
≤ xν0 + 2 k k−1
1−k < ∞.
k=1
y = lim
n
n→∞
k=0
yk = lim
n→∞ xνn .
Poiché se una sottosuccessione di una successione di Cauchy converge, allora tutta la successione converge,
abbiamo ottenuto la tesi.
1.2.9 TEOREMA - L p (X ,F ,µ) è completo per ogni p ∈ [1,∞].
Dimostrazione. Sia p < ∞. Utilizziamo la condizione sufficiente data dal lemma precedente. Consideriamo
perciò una successione (fn) ⊂ Lp tale che M :=
∞
n=0
fn
p < ∞ e dimostriamo che esiste f ∈ Lp tale che
f = ∞ n=0 fn. Definiamo due funzioni ausiliarie:
n
∞
gn := |fk| e g := |fk|.
Chiaramente sono tutte misurabili e gn → g quasi ovunque. Inoltre, g ∈ L p . Infatti,
X
k=0
k=0
|g | p
dµ = lim |gn|
n→∞ X
p dµ
per il Teorema di Beppo Levi. Lo stesso vale chiaramente elevando a 1/p:
X
|g | p 1
p
dµ = lim |gn|
n→∞ X
p 1
p
dµ ≤ lim
n→∞
k=1
n
k=0
fk
p ≤ M.
Poiché µ({g = +∞}) = 0, allora ∞ k=0 |fk (x)| è finito per quasi ogni x, dunque la serie ∞ assolutamente convergente e dunque convergente. Sia f (x) := ∞ k=0 fk(x). Mostriamo che f ∈ Lp e che
n
f
− fk −−−−→
n→∞ 0.
Per quanto riguarda la prima, osserviamo che, per il Lemma di Fatou,
X
k=0
p
|f (x)| p 1 p
dµ ≤ liminf
n→∞
≤ liminf
n→∞
= liminf
n→∞
n
fk(x) p
dµ
X
n
k=0
n
k=0
k=0
X
fk
|fk(x)| p dµ
p ≤ M.
1
p
1
p
k=0 fk (x) è quasi ovunque

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8 1. Gli spazi L p
Invece, per quanto riguarda la seconda, vediamo che
f −
n
fk
k=0
ancora una volta per il lemma di Fatou,
Continuità delle traslazioni
n
f
−
fk
k=0 p
=
≤ liminf
r →∞
≤ liminf
r →∞
∞
k=n+1
X
fk(x) = lim
r
k=n+1
r
r →∞
k=n+1
r
fk
k=n+1
p
1
p
fk
p =
Dimostriamo il seguente teorema, che risulterà utile nel seguito.
∞
k=n+1
fk
fk(x) ;
p −−−−→
n→∞ 0.
1.2.10 TEOREMA - Sia p ∈ [1,+∞[. Per ogni f ∈ L p (R n ), posto fh(x) := f (x + h), vale
lim
fh − f
Lp = 0.
h↓0
Dimostrazione. Supponiamo che f ∈ C 0 0 (Rn ) e sfruttiamo un argomento di densità. Se K := supp(f ), sia
K1 := {x ∈ R n | dist(x,K ) ≤ 1}
e consideriamo ɛ e δ dati dalla uniforme continuità di f . Non appena |h| < δ,
|f (x + h) − f (x)| p d x ≤ ɛ p m(K1),
R n
dunque per arbitrarietà di ɛ, vale la tesi. Sappiamo che C 0 0 (Rn ) è denso in Lp (Rn ), dunque se f ∈ Lp (Rn ) esiste
g ∈ C 0 0 (Rn ) tale che
fh − gh
Lp =
f − g L
p < ɛ. Poiché, non appena |h| < δ vale
allora il teorema è dimostrato.
fh − f
Lp ≤
fh − gh
Lp + gh − g
Lp +
g − f L
p < 2ɛ + ɛ p m(K1),

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Parte II
Spazi di Hilbert
9

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Capitolo 2
Spazi di Hilbert
2.1 Definizione e proprietà
Sia H uno spazio vettoriale complesso di dimensione arbitraria (finita o infinita).
2.1.1 DEFINIZIONE - Un prodotto scalare hermitiano su H è una mappa ϕ: H × H → C
1. sesquilineare hermitiana: per ogni u, v, w ∈ H, per ogni z ∈ C ,
• ϕ(u + v, w) = ϕ(u, w) + ϕ(v, w);
• ϕ(u, v + w) = ϕ(u, v) + ϕ(u, w);
• ϕ(zu, v) = zϕ(u, v);
• ϕ(u, zv) = zϕ(u, v).
2. simmetrica: ϕ(u, v) = ϕ(v,u) per ogni u, v ∈ H.
3. strettamente positiva: ϕ(u,u) > 0 per ogni u ∈ H,u = 0.
2.1.2 ESERCIZIO - Sia ϕ un prodotto scalare hermitiano e indichiamo con ϕ(u) := ϕ(u,u) la forma quadratica
associata a ϕ.
1. Dimostrare la formula di polarizzazione
ϕ(u, v) = 1
[ ϕ(u + v) − ϕ(u − v) + i ϕ(u + i v) − i ϕ(u − i v)].
4
2. Dimostrare che ϕ è simmetrica se e soltanto se ϕ è reale.
3. Cosa succede nel caso degli spazi vettoriali reali?
D’ora in poi, se ϕ è un prodotto scalare hermitiano, poniamo
• (u, v) := ϕ(u, v);
• u 2 := (u,u).
2.1.3 ESERCIZIO - Dimostrare le seguenti uguaglianze.
1. Identità del parallelogramma: u + v 2 + u − v 2 = 2u 2 + 2v 2 per ogni u, v ∈ H. Inoltre,
u + v 2 = u 2 + v 2 + 2Re(u, v).
2. Teorema di Pitagora: se {u1,...,uk} è una famiglia ortogonale (ossia (ui ,uj ) = 0 per ogni i = j ), allora
k
u j
j =1
2
k
= u
j
2 .
11
j =1

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12 2. Spazi di Hilbert
2.1.4 DEFINIZIONE - Se U := {u1,...,uk} è una famiglia ortonormale (ossia, ortogonale e
u
j = 1 per ogni j ),
per ogni u ∈ H il j -esimo coefficiente di Fourier di u rispetto a U è (u,uj ).
2.1.5 PROPOSIZIONE (Disuguaglianza di Bessel) - Sia {u1,...,uk} una famiglia ortonormale. Allora
u 2 ≥
e vale l’uguale se e solo se u ∈ Span{u1,...,uk}.
k
|(u,uj )| 2
Dimostrazione. Vale la seguente catena di disuguaglianze:
j =1
j =1
j =1
per ogni u ∈ H
k 2
k
k
0 ≤ u
− (u,uj )u j = u − (u,uj )u j ,u − (u,uj )u j
= u 2 k
k
− (u,uj )(u,uj ) − (u,uj )(u j ,u) +
j =1
j =1
j =1
j =1
j =1
k
(u,uj )(u,uh))(u j ,uh)
j,h=1
= u 2 k
− |(u,uj )| 2 k
− |(u,uj )| 2 k
+ |(u,uj )| 2
perché (u j ,uh) = δj h per ortogonalità del sistema.
L’unica disuguaglianza è la prima ed è un’uguaglianza se e solo se u ∈ Span{u1,...,uk}.
Come conseguenza della disuguaglianza di Bessel, otteniamo la ben nota disuguaglianza di Cauchy-
Schwarz.
2.1.6 PROPOSIZIONE (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) - Per ogni u, v ∈ H, vale
j =1
|(u, v)| ≤ uv.
Dimostrazione. Se v = 0 è banale. Supponiamo che v = 0 e poniamo v := v
v . Applichiamo la disuguaglianza di
Bessel a u e alla famiglia ortonormale {v}. Otteniamo
u 2 ≥ |(u, v)| 2
=
u, v
,
v
da cui |(u, v)| ≤ uv, cioè la tesi.
2.1.7 ESERCIZIO - Dimostrare la disuguaglianza triangolare:
u + v ≤ u + v per ogni u, v ∈ H.
Nota la disuguaglianza triangolare, abbiamo ottenuto il seguente
2.1.8 TEOREMA - La funzione · : H → R è una norma su H.
Diamo finalmente la definizione di Spazio di Hilbert.
2.1.9 DEFINIZIONE - Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale complesso munito di prodotto scalare tale
che la distanza indotta dalla norma associata sia completa.
2.1.10 ESEMPIO - I seguenti insiemi sono spazi di Hilbert con il prodotto scalare specificato.
1. C n con (u, v) := n
j =1 u j v j .
2. l 2 := {}u : N → C | j ∈N |u(j )| 2 < ∞} con il prodotto scalare (u, v) := j ∈N u(j )v(j ).
3. Se A è un insieme, poniamo l 2 (A) := {u : A → C | a∈A |u(a)| 2 < ∞}, dove
|u(a)|
a∈A
2
:= sup |u(a)|
a∈J
2
J ⊆ A, J finito .
Il prodotto scalare su l 2 (A) è
(u, v) :=
u(a)v(a).
a∈A

Versione e856994
2.2. Teorema di proiezione 13
4. Sia (X ,F ,µ) uno spazio misurato. Allora L2 (X ,F ,µ) è uno spazio di Hilbert con il prodotto scalare
(f , g )2 = f g dµ.
2.1.11 OSSERVAZIONE - Gli esempi 2 e 3 sono casi particolari di 4, in cui consideriamo µ la misura che conta i
punti.
2.1.12 ESERCIZIO - Dimostare che le funzioni ( · , · ): H × H → C e · : H → R sono continue rispetto alla
topologia indotta dalla norma.
Diamo, in conclusione, la definizione di spazio di Banach, visto che nel resto del capitolo daremo risultati
che varranno, alternativamente, solo per spazi di Hilbert o in generale per spazi di Banach.
2.1.13 DEFINIZIONE - Uno spazio vettoriale X normato e completo è detto spazio di Banach.
Chiaramente tutti gli esempi dati nella prima sezione di spazi di Hilbert sono anche spazi di Banach. Inoltre,
L p (X ,F ,µ) è di Banach per ogni 1 ≤ p ≤ ∞.
2.2 Teorema di proiezione
In questa sezione dimostriamo il Teorema di proiezione su un convesso chiuso di H. Ricordiamo che un insieme
C ⊆ H si dice convesso se per ogni u, v ∈ C , il segmento [u, v] ⊆ C .
2.2.1 TEOREMA - Sia H uno spazio di Hilbert e C ⊂ H un sottoinsieme convesso e chiuso. Per ogni u ∈ H esiste un
unico P(u) ∈ C tale che
u − P(u) = minu
− v =: dist(u,C ). (2.1)
v∈C
Inoltre, P(u) è caratterizzato da
P(u) ∈ C
Re(u − P(u), v − P(u)) ≤ 0 per ogni v ∈ C .
Infine, l’applicazione P : H → H è 1-Lipschitz e verifica P 2 = P e P|C = I .
La dimostrazione del teorema segue dal seguente lemma.
2.2.2 LEMMA - Sia C ⊂ H un convesso chiuso. Allora esiste ed è unico w ∈ C di minima norma ed è caratterizzato
da
w ∈ C
Re(v − w, w) ≥ 0 per ogni v ∈ C .
(2.3)
Dimostrazione. Unicità Supponiamo esistano w1, w2 ∈ C distinti tali che w1 = w2 = minv∈C v =: D. Sia
u := w1+w2
2 . Per convessità, u ∈ C e u2 ≥ D2 per minimalità di w1 e w2. Applichiamo l’identità del
parallelogramma a w1/2 e a w2/2 e otteniamo
che è ovviamente assurdo.
X
(2.2)
u 2
= 2
w1
2
2
+ 2
w2
2
2
− w1 −
w2
≤ D
2
2
− w1 −
w2
< D
2
2 , (2.4)
Esistenza Sia (un) ⊂ C una successione minimizzante, cioè tale che
un → D = inf
v∈C v.
Dimostriamo che (un) è di Cauchy. Per l’identità del parallelogramma,
1
4 un − um = 1
2 un 2 + 1
2 um 2
− un −
um
2
2
(2.5)
≤ 1
2 un 2 + 1
2 um 2 − D 2 −−−−−→ 0
n,m→∞
(2.6)
Poiché (un) è di Cauchy, allora converge ad un certo w ∈ C perché C è chiuso. Grazie alla continuità della
funzione norma, concludiamo che w = D.

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14 2. Spazi di Hilbert
Caratterizzazione Sia w ∈ C che realizza il minimo della norma e v ∈ C . Per ogni t ∈ [0,1], il vettore w +t(v −w)
appartiene a C per convessità. Allora:
da cui
w 2 ≤ w + t(v − w) 2 = w 2 + t 2 v − w 2 + 2t Re(w, v − w),
t(t v − w 2 + 2Re(w, v − w)) ≥ 0.
Se t > 0 possiamo dividere per t e ottenere t v − w 2 +2Re(w, v −w) ≥ 0. Facendo tendere t a 0, otteniamo
la tesi.
Viceversa, se Re(w, v − w) ≥ 0 per ogni v ∈ C , abbiamo che
v 2 = v − w + w 2 = v − w 2 + w 2 + 2Re(v − w, w) ≥ w 2 ,
che è ciò che volevamo dimostrare.
Vediamo adesso la dimostrazione del Teorema di Proiezione.
Dimostrazione. Il lemma precedente applicato a C − u implica tutto fino alla caratterizzazione.
Vediamo la lipschitzianità. Siano u, v ∈ H. Per la (2.2),
Re(u − P(u),P(v) − P(u)) ≤ 0
Cambiando di segno e sommando, otteniamo
da cui
cioè, dividendo, la tesi.
2.3 Proiettori lineari
Re(v − P(v),P(u) − P(v)) ≤ 0.
Re(u − P(u) + P(v) − v,P(v) − P(u)) ≤ 0,
P(v) − P(u) 2 ≤ Re(v − u,P(v) − P(u)) ≤ v − uP(v) − P(u),
2.3.1 DEFINIZIONE - Un’applicazione P : H → H lineare, continua e tale che P 2 = P è detta proiettore lineare 1 .
2.3.2 OSSERVAZIONE - La definizione ha senso anche su uno spazio di Banach, cioè uno spazio vettoriale
normato e completo.
Vediamo alcune facili proprietà dei proiettori.
2.3.3 PROPOSIZIONE - Sia P : X → X un proiettore su uno spazio di Banach X .
1. I − P è ancora un proiettore.
2. Im(P) = {punti fissi di P} = ker(I − P).
3. X = ker(P) ⊕ Im(P).
4. Se H è di Hilbert, un proiettore P : H → H è autoaggiunto 2 se e solo se la decomposizione H = ker(P)⊕Im(P)
è ortogonale.
Dimostrazione. 1. Chiaramente I − P è lineare e continuo. Inoltre,
(I − P) 2 = (I − P)(I − P) = I 2 − P − P + P 2 = I − P − P + P = I − P.
2. La seconda uguaglianza è ovvia. Sia u ∈ Im(P); allora u = P(v) per qualche v ∈ X .
P(u) = P 2 (v) = P(v) = u.
Viceversa, se u ∈ X è tale che (I − P)u = 0, allora u = P(u), cioè u ∈ Im(P).
1 D’ora in poi ometteremo l’aggettivo lineare.
2 Un operatore lineare su uno spazio di Hilbert si dice autoaggiunto se (u,P v) = (Pu, v) per ogni u, v ∈ H.

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2.3. Proiettori lineari 15
3. Mostriamo che ker(P) e Im(P) hanno intersezione banale: sia P(u)Im(P) ∩ ker(P). Poiché P 2 (u) = P(u),
allora necessariamente deve essere P(u) = 0.
Sia u ∈ X . Scriviamo u = u − P(u) + P(u). Poiché P(u − P(u)) = 0, allora abbiamo la decomposizione che
volevamo.
4. Supponiamo che P sia autoaggiunto e siano u ∈ ker(P), v := P(w) ∈ Im(P). Allora
(u, v) = (u,P w) = (Pu, w) = (0, w) = 0.
Viceversa, supponiamo che la decomposizione sia ortogonale. Per ogni u, v ∈ H vale
ma anche
da cui la tesi.
(u,P v) = (u − Pu,P v) + (Pu,P v) = (Pu,P v),
(Pu, v) = (Pu, v − P v) + (Pu,P v) = (Pu,P v),
2.3.4 OSSERVAZIONI - (i) - Se P è lineare e continuo, allora ker(I − P) è un sottospazio lineare chiuso di X ,
da cui Im(P) è un sottospazio lineare chiuso per ogni P proiettore.
(ii) - I proiettori lineari autoaggiunti vengono denominati proiettori ortogonali (anche se la matrice che li
rappresenta nel caso finito non è affatto ortogonale).
(iii) - Sia A ⊆ H. Se A ⊥ := {u ∈ H | (u, v) = 0 per ogni v ∈ A} è l’ortogonale di A, allora A ⊥ è un sottospazio
vettoriale chiuso.
2.3.5 ESERCIZIO - Costruire un’applicazione T : l 2 → l 2 lineare e continua tale che Im(T ) non sia chiuso.
2.3.6 ESERCIZIO - Sia P un proiettore su uno spazio di Hilbert. Dimostrare che P è ortogonale se e solo se P è
1-Lipschitz.
Vediamo un corollario del teorema di proiezione.
2.3.7 COROLLARIO - Se V ⊂ H è un sottospazio vettoriale chiuso, esiste un unico proiettore ortogonale P : H → H
tale che Im(P) = V . In questo caso, H = V ⊕V ⊥ e V ⊥ prende il nome di complemento ortogonale di V .
Dimostrazione. Poiché V è convesso e chiuso, applichiamo il Teorema di Proiezione ed otteniamo una mappa
P : H → H tale che Im(P) = V .
Usando il fatto che V è un sottospazio, la (2.2) equivale a u − P(u) ⊥ V . Da ciò si dimostra che P è lineare e
quindi è un proiettore. Per 1-Lipschitzianità è ortogonale e perciò H = V ⊕V ⊥ .
2.3.8 ESERCIZIO - 1. (0) ⊥ = H e H ⊥ = (0).
2. A ∩ A ⊥ ⊆ (0) per ogni A ⊆ H.
3. A ⊆ A ⊥⊥ per ogni A ⊆ H.
4. A ⊆ B =⇒ A ⊥ ⊇ B ⊥ per ogni A,B ⊆ H.
5. A ⊥⊥⊥ = A.
6. Se V è un sottospazio vettoriale chiuso, allora V = V ⊥⊥ .
7. A ⊥⊥ = Span(A) per ogni A ⊆ H.
8. Se V è un sottospazio vettoriale tale che V ⊥ = 0, allora V è denso.
9. Se V e W sono sottospazi vettoriali chiusi e V ⊥W , allora V +W è chiuso.
10. Se V e W sono sottospazi vettoriali, allora (V +W ) ⊥ = V ⊥ ∩W ⊥ .
11. Se V e W sono sottospazi vettoriali, allora (V ∩W ) ⊥ = V ⊥ +W ⊥ .
2.3.9 ESERCIZIO - Trovare due sottospazi chiusi V,W di l 2 tali che V +W non sia chiuso.

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16 2. Spazi di Hilbert
2.4 Il Teorema di Riesz
In questa sezione dimostriamo un teorema di caratterizzazione dei funzionali lineari e continui degli spazi di
Hilbert. Come vedremo meglio quando parleremo di spazi duali, il teorema di Riesz asserisce che uno spazio di
Hilbert H e lo spazio dei funzionali lineari e continui su H sono isomorfi.
2.4.1 TEOREMA (di Riesz) - Sia H uno spazio di Hilbert e ϕ: H → C un funzionale lineare e continuo. Allora
esiste un unico vettore v ∈ H tale che ϕ(u) = (u, v).
Dimostrazione. Chiaramente, se ϕ ≡ 0 la tesi si ottiene con v = 0: possiamo quindi supporre ϕ = 0.
Consideriamo V := kerϕ. V è un sottospazio vettoriale chiuso di H e inoltre V = H perché ϕ è non nullo. Per
il Corollario 2.3.7, possiamo decomporre lo spazio in H = kerϕ ⊕ (kerϕ) ⊥ . Poiché V ⊥ = 0, possiamo scegliere
w ∈ V ⊥ tale che w = 1. Sia v := λw con λ ∈ C da determinare. Per le proprietà di ϕ, abbiamo che
D’altra parte,
ϕ(v) = v 2 = |λ| 2 .
ϕ(v) = ϕ(λw) = λϕ(w),
quindi λ = ϕ(w).
È lasciato al lettore verificare che con questa scelta si ottiene la tesi.
2.5 Norme operatoriali
In questa sezione considereremo spazi vettoriali normati X ,Y e operatori lineari tra di essi. Indicheremo con
BX la palla aperta di raggio 1, cioè l’insieme {x ∈ X | x X < 1}.
2.5.1 DEFINIZIONE - Sia T : X → Y un operatore lineare. La norma di T è
T vY T := sup T vY = sup T vY = sup .
v∈X , vX ≤1
v∈X , vX =1
v∈X , v=0 v X
Vale la seguente relazione tra la norma di T e la continuità di T .
2.5.2 PROPOSIZIONE - T è continuo se e solo se T < ∞.
Dimostrazione. Vediamo la condizione necessaria per la continuità. Poiché T (0) = 0, allora T −1 (BY ) è un
intorno di 0 in X . Pertanto esiste r > 0 tale che r BX ⊂ T −1 (BY ), da cui, per linearità, T (BX ) ⊂ r −1 BY . Pertanto
T < 1/r . La condizione sufficiente è lasciata al lettore.
2.5.3 DEFINIZIONE - Un operatore T : X → Y con T < ∞ si dice limitato.
2.5.4 OSSERVAZIONE - Abbiamo caratterizzato gli operatori limitati: essi sono tutti e soli i continui.
2.5.5 ESERCIZIO - Definiamo il seguente spazio:
L(X ,Y ) := {T : X → Y | T lineare e continuo}.
1. Dimostrare che è uno spazio vettoriale normato (con la norma operatoriale definita prima).
2. Se Y è uno spazio di Banach, far vedere che anche L(X ,Y ) è di Banach.
2.5.6 DEFINIZIONE - Sia X uno spazio vettoriale normato. Il duale (topologico) di X è lo spazio
2.5.7 OSSERVAZIONI -
X ∗ := L(X ,C).
◦ Per l’esercizio precedente, il duale di un qualsiasi spazio vettoriale normato è di Banach.
◦ Lo spazio L(X , X ) con la composizione è un’algebra di Banach con identità Id: X → X .
Con il linguaggio introdotto in questa sezione, possiamo riformulare il Teorema di Riesz come segue:
2.5.8 TEOREMA (di Riesz) - Se H è uno spazio di Hilbert, allora H ∼ = H ∗ e ∼ = è un’isometria.

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2.5. Norme operatoriali 17
La verifica che la mappa
è un’isometria è lasciata per esercizio.
v → (v, · )
2.5.9 OSSERVAZIONE - Sia T : X → Y lineare e continuo. Poiché Tu Y ≤ T u X per ogni u ∈ X , allora
abbiamo
Tu − T v Y ≤ T x − y X per ogni x, y ∈ X .
Quindi T è T -Lipschitz.
2.5.1 Isometrie lineari
Dedichiamo un paragrafo alle proprietà delle isometrie lineari. Supponiamo che X ,Y siano spazi di Banach.
2.5.10 DEFINIZIONE - Una applicazione lineare T : X → Y è detta isometria lineare se conserva la norma:
T v = v per ogni v ∈ X .
2.5.11 OSSERVAZIONI - ◦ Segue dalla definizione che la norma operatoriale di T è esattamente 1.
◦ Se T è un’isometria, allora T è iniettiva. Infatti, se v ∈ kerT , allora T v = 0. Ma T v = v, da cui v = 0
necessariamente.
◦ ImT è chiusa. In realtà, vale un risultato più generale: se T : X → Y è lineare e continua e X è di Banach,
allora ImT è chiusa. Consideriamo una successione (Tun) in ImT convergente ad un certo v ∈ Y e
mostriamo che v ∈ ImT . Poiché (Tun) è di Cauchy, allora anche (un) è di Cauchy e, per completezza di X ,
convergerà ad un certo u ∈ X . Per continuità di T deve necessariamente essere Tun → Tu, da cui v = Tu.
◦ È ben definita una mappa T −1 : ImT → X ed è ancora un’isometria, quindi continua 3 . Concludiamo che
T è un isomorfismo tra X e ImT .
◦ Segue dalle formule di polarizzazione che una applicazione tra spazi di Hilbert T : H1 → H2 è un’isometria
se e solo se conserva il prodotto scalare.
3 Chiaramente, in generale non è detto che l’inversa di una mappa continua sia continua.

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18 2. Spazi di Hilbert

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Capitolo 3
Basi Hilbertiane
3.1 Famiglie sommabili
Lo scopo di questa sezione è di dare un senso alla scrittura
u j ,
j ∈J
dove (u j ) è una famiglia di elementi di X indicizzata su una famiglia di indici qualsiasi J. Il problema grosso
è che su J non abbiamo un ordinamento, quindi non possiamo dare la nozione di serie come limite della
successione delle somme parziali. Vediamo qual è la definizione giusta da dare.
3.1.1 DEFINIZIONE - Una famiglia (u j )j ∈J ⊂ X si dice sommabile ed ha somma u ∈ X se per ogni ɛ > 0 esiste
J0 ⊂ J finito tale che per ogni J1 ⊂ J finito con J0 ⊂ J1, risulti
u
−
j ∈J1
u j
< ɛ.
3.1.2 OSSERVAZIONE - Se X = R,C, questa è la definizione di convergenza assoluta.
D’ora in poi, con la scrittura j ∈J u j = u intenderemo dire che la famiglia (u j )j ∈J è sommabile ed ha somma
u.
Vediamo qualche proprietà delle famiglie sommabili:
• Se j ∈J u j = u, allora j ∈J λu j = λu.
• Se j ∈J u j = u e j ∈J v j = v, allora j ∈J (u j + v j ) = u + v.
• Se H è uno spazio di Hilbert e j ∈J u j = u, j ′ ∈J ′ v j ′ = v, allora
(u, v) = u j ,
j ∈J
j ′ ∈J ′
v j ′ =
(j,j ′ )∈J×J ′
(u j , v j ′).
Enunciamo il criterio di Cauchy per le famiglie sommabili (la dimostrazione è lasciata al lettore).
3.1.3 PROPOSIZIONE (Criterio di Cauchy) - Una famiglia (u j )j ∈J ⊂ X è sommabile se e solo se per ogni ɛ > 0 esiste
J0 ⊂ J finito tale che per ogni J1 ⊂ J finito, J0 ∩ J1 = , risulta
j ∈J1
u j
< ɛ.
3.1.4 OSSERVAZIONE - Segue dal criterio di Cauchy che, se (u j ) è sommabile, allora {j ∈ J | u j = 0} è al più
numerabile.
Con la nozione di famiglia sommabile, possiamo dimostrare un paio di importanti teoremi validi in uno
spazio di Hilbert H che abbiamo già visto nel caso finito.
19

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20 3. Basi Hilbertiane
3.1.5 TEOREMA (Disuguaglianza di Bessel) - Sia (u j )j ∈J una famiglia ortonormale e u ∈ H. Allora
Dimostrazione. Per definizione,
j ∈J
|(u,uj )| ≤ u 2 .
j ∈J
|(u,uj )| = sup
J0 ⊂ J
J0 finito
|(u,uj )| ≤ u 2 ,
dove l’ultima disuguaglianza vale per la disuguaglianza di Bessel nel caso finito.
3.1.6 OSSERVAZIONE - Segue dal criterio di Cauchy che i coefficienti di Fourier di u rispetto ad una famiglia
ortonormale qualsiasi sono tutti nulli ad eccezione di un insieme al più numerabile.
3.1.7 TEOREMA (di Pitagora generalizzato) - Una famiglia ortogonale (u j ) è sommabile se e solo se
j ∈J u
j < ∞
e in questo caso vale
2
u j =
u
j
2 .
j ∈J
Dimostrazione. Vediamo prima la condizione necessaria alla sommabilità.
Sia (u j ) una famiglia ortogonale sommabile. Per il criterio di Cauchy, comunque scelto ɛ > 0 esiste J0 ⊂ J finito
tale che per ogni J1 ⊂ J finito, J1 ∩ J0 = ,
u j < ɛ.
Quindi, grazie al Teorema di Pitagora,
j ∈J1
j ∈J
u
j
2
=
j ∈J1
j ∈J1
j ∈J0
u j
2
< ɛ.
Applicando il criterio di Cauchy nella direzione opposta alla famiglia (
u
j
2 ), abbiamo la sommabilità che
volevamo.
Con un argomento identico si verifica che tale condizione è anche sufficiente. Verifichiamo l’uguaglianza:
3.2 Basi Hilbertiane
u 2
= (u,u) = u j ,u
j ∈J
=
(u j ,u) =
u j ,
j ∈J
j ∈J
uh
h∈J
=
(u j ,uj ) =
u
j
2 .
j ∈J
j ∈J
=
(u j ,uh)
Siamo pronti a parlare di basi hilbertiane. Come suggerisce il nome, abbiamo bisogno di uno spazio di Hilbert
H.
3.2.1 DEFINIZIONE - Una base hilbertiana è una famiglia ortonormale (v j )j ∈J massimale rispetto all’inclusione.
3.2.2 OSSERVAZIONI - ◦ - Basi Hilbertiane esistono grazie al Lemma di Zorn: ogni catena ascendente di
famiglie ortonormali ammette un maggiorante: l’unione di tutti gli elementi della catena. Pertanto
esistono elementi massimali.
◦ - Le basi hilbertiane sono molto diverse dalle basi algebriche (ad esempio, può accadere che Span({v j }) =
H).
j,h∈J

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3.2. Basi Hilbertiane 21
Il teorema fondamentale delle basi hilbertiane è il seguente:
3.2.3 TEOREMA - Sia (u j )j ∈J ⊂ H una famiglia ortonormale. Sono fatti equivalenti:
1. (u j ) è hilbertiana.
2. Se u ∈ H è tale che (u,uj ) = 0 per ogni j ∈ J, allora u = 0.
3. Span(u j ) = H.
4. Se u ∈ H, allora u = j ∈J (u,uj )u j . (Sviluppo di Fourier)
5. Se u, v ∈ H, allora (u, v) = j ∈J (u,uj )(u j , v). (Identità di Parseval)
6. Se u ∈ H, allora u 2 = j ∈J |(u,uj )| 2 . (Identità di Bessel)
Dimostrazione. Dimostriamo la catena di implicazioni.
1. =⇒ 2. Supponiamo che u = 0. Allora sia v := u/u. La famiglia (u j ) ∪ {v} è una famiglia ortonormale, ma ciò è
assurdo per massimalità di (u j ).
2. =⇒ 3. Se per assurdo Span(u j ) = H, allora avremmo che Span(u j ) = (0). per il Corollario 2.3.7, esiste v = 0,
⊥ v ∈ Span(u j ) . Ma (v,uj ) = 0 per ogni j , dunque deve essere necessariamente nullo, da cui l’assurdo.
3. =⇒ 4. Sia u ∈ H. Per la disuguaglianza di Bessel, j ∈J |(u,uj )| 2 ≤ u2 , quindi la famiglia {|(u,uj )|} è sommabile.
Per il Teorema di Pitagora generalizzato, anche la famiglia {(u,uj )u j } è sommabile; sia v := j ∈J (u,uj )u j
e mostriamo che v = u. Osserviamo che per ogni h ∈ J, vale
(u − v,uh) = (u,uh) −
⊥
(u,uj )u j ,uh
j ∈J
= (u,uh) −
(u,uj )(u j ,uh)
j ∈J
= (u,uh) − (u,uh) = 0,
cioè u − v ⊥ Span(u j ). Per continuità, u − v ⊥ Span(u j ) = H, quindi u − v = 0, cioè u = v.
4. =⇒ 5. È un semplice conto:
(u, v) = (u,uj )u j , v =
j ∈J
((u,uj )u j , v)) =
j ∈J
(u,uj )(u j , v).
j ∈J
5. =⇒ 6. È ovvio.
6. =⇒ 1. Se esistesse u ∈ H tale che {u j } ∪ {u} sia ortonormale, avremmo
da cui u = 0.
Vediamo ora un paio di esempi di basi Hilbertiane.
u 2 =
|(u,uj )| 2 = 0,
3.2.4 ESEMPIO - 1. Nello spazio l 2 , consideriamo l’insieme {e j }j ∈N, dove
j ∈J
e j (n) := δj,n,
la funzione delta di Kronecker. È una base Hilbertiana perché Span{e j } = cc , che è denso 1 in l 2 .
1 Ricordiamo che cc := {u ∈ l 2 | u(n) = 0 per n grande}. Ecco uno sketch di dimostrazione della densità di cc in l 2 : approssimare una
qualsiasi v ∈ l 2 con una successione (un ) ⊂ cc ottenuta troncando v fino a v(n) e ponendo v(m) = 0 per ogni m ≥ n. La convergenza segue
dal fatto che le code delle somme possono essere rese piccole a piacere.

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22 3. Basi Hilbertiane
2. Se X è un insieme qualunque, l 2 (X ) ha come base hilbertiana {ex}x∈X data da
ex(y) = δx,y .
3.2.5 OSSERVAZIONE - L’esempio precedente mostra come le basi hilbertiane possano avere qualunque
cardinalità.
Come corollario del precedente esempio, otteniamo
3.2.6 COROLLARIO (Caratterizzazione degli spazi di Hilbert) - Sia H uno spazio di Hilbert. Se {v j }j ∈J è una base
hilbertiana, allora la mappa T : H → l 2 (J) definita da
(Tu)(j ) := (u, v j )
è un’isometria surgettiva. In particolare, è un isomorfismo di spazi di Hilbert.
Dimostrazione. La linearità di T è ovvia. Vediamo che è un’isometria: per ogni u ∈ H,
Tu 2
2 = |(u, v j )| 2 = u 2
H
j ∈J
per l’identità di Bessel.
Resta da verificare la surgettività: sia w ∈ l 2 (J), realizziamolo come Tu, con u ∈ H. Innanzitutto osserviamo che,
poiché w ∈ l 2 (J) allora j ∈J |w(j )| 2 < ∞ e dunque la famiglia {w(j )v j } è sommabile. Poniamo
u :=
w(j )v j
e osserviamo che per ogni h ∈ J vale
(Tu)(h) = (u, vh) = w(j )v j , vh =
j ∈J
w(j )(v j , vh) = w(h),
j ∈J
dunque Tu = w.
j ∈J
Abbiamo quindi dimostrato che un qualsiasi spazio di Hilbert può essere realizzato come un l 2 (J) per
qualche insieme J. Vediamo ora che la cardinalità di una base hilbertiana è l’unico invariante degli spazi di
Hilbert.
3.2.7 PROPOSIZIONE - Sia H di Hilbert. Due basi hilbertiane {ui }i∈I , {v j }j ∈J di H sono equipotenti.
Dimostrazione. Se I o J è finito, allora la base hilbertiana corrispondente è una base algebrica e quindi dim H è
finita, per cui si conclude.
Supponiamo che ℵ0 ≤ |I |,|J|. Per ogni i ∈ I vale lo sviluppo di Fourier di ui e pertanto vale
ui =
(ui , v j )v j .
j ∈J
Per quanto abbiamo già avuto modo di osservare, la sommabilità di {(ui , v j )v j } assicura che al più una quantità
numerabile di essi è diversa da zero: se chiamiamo Ki := {j ∈ J | (ui , v j ) = 0}, abbiamo |Ki | ≤ ℵ0.
Poiché {ui } è hilbertiana, allora i coefficienti di Fourier di v j rispetto a {ui }i non sono tutti nulli: per ogni j ∈ J
esiste i ∈ I tale che (ui , v j ) = 0; osservando che vale J = i∈I Ki , allora
|J| ≤ ℵ0|I | = |I |.
Ripetendo lo stesso ragionamento scambiando il ruolo di I e J, otteniamo |I | ≤ |J|,da cui la tesi.
3.2.8 ESERCIZIO - Dimostrare che H ha base hilbertiana al più numerabile se e soltanto se è separabile 2 .
Come conseguenza dell’esercizio precedente e del teorema di caratterizzazione degli spazi di Hilbert
otteniamo che esiste un solo spazio di Hilbert separabile di dimensione infinita, ed è l 2 .
3.2.9 ESERCIZIO - Mostrare che le basi algebriche di l 2 non sono numerabili.
2 Ricordiamo che uno spazio topologico X è separabile se ha un sottoinsieme denso numerabile.

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3.3. Una base hilbertiana di L 2 (T) 23
3.3 Una base hilbertiana di L 2 (T)
Sia T := R/Z, l’1-toro. In questa sezione vogliamo esibire una base hilbertiana dello spazio L 2 (T) dove su T
mettiamo la misura di Lebesgue. Quindi,
L 2
(T) := f → R → C | f è misurabile, 1-periodica e
1
0
|f (x)| 2
dx < +∞ / ∼ .
Non è difficile vedere che L 2 (T) è separabile, dunque ha una base hilbertiana numerabile. Consideriamo {ek}k∈Z,
con
ek(x) := e 2kπi x ;
mostriamo che {ek}k è ortonormale:
(ek,eh) = e
T
2πi (k−h)x
0 se k = h
dx =
1 se k = h.
In realtà questa famiglia è anche massimale, come mostriamo nel prossimo teorema.
3.3.1 TEOREMA - La famiglia {ek}k∈Z è una base hilbertiana su L 2 (T).
Prima dimostriamo un lemma fondamentale, con cui dimostriamo che C ∞ è denso in L p . Avremo bisogno
della nozione di prodotto di convoluzione, che non abbiamo ancora definito. Per ora bastano le nozioni date nel
corso di Analisi in più Variabili III.
3.3.2 DEFINIZIONE - Sia r ∈ (0,1). Il nucleo di Weyl è un’applicazione pr (x): T → C così definita:
pr (x) :=
3.3.3 LEMMA - 1. pr (x) è ben definito per ogni x ∈ T.
2. Se u ∈ L 1 (T), sia
Allora Jr u = u ∗ pr (x).
3. Per ogni 1 ≤ p < ∞, per ogni u ∈ L p (T), vale
in L p (T).
Jr u(x) :=
r
k∈Z
|k| e 2kπi x .
r
k∈Z
|k| u(k)e 2πi kx .
Jr u −−→
r ↑1 u
Dimostrazione. 1. La serie k∈Z r |k| e 2kπi x è assolutamente convergente per ogni x ∈ T e converge uniformemente
in (C 0 (T), · ∞), pertanto pr (x) è ben definito. Facciamo delle osservazioni che ci serviranno
per i prossimi punti. Si verifica che
pr (x) = 1 +
(r e 2πi x ) k +
(r e −2πi x ) k
k>0
r e2πi x
k>0
x r e−2πi
= 1 + +
1 − r e2πi x 1 − r e
1 − r
=
2
.
1 − 2r cos(2πx) + r 2
Abbiamo ottenuto che pr è una funzione di classe C ∞ (T) e positiva. Inoltre, pr −−→ 0 sui compatti di
r ↑1
T \ {0} e
pr (x)dx = r
T
T
|k| e 2kπi x dx =
r
T
|k| e 2kπi x dx = 1,
k∈Z
k∈Z
−2πi x
dove abbiamo potuto scambiare integrale e somma per convergenza uniforme.

Versione e856994
24 3. Basi Hilbertiane
2. Innanzitutto, osserviamo che Jr u converge assolutamente in C 0 (T), quindi è ben definita. Procediamo
con la dimostrazione: vediamo che
Jr u(x) =
r |k|
Poiché
k∈Z
|k|≤N
u(y)e
T
−2πi k y d y
r |k| u(y)e
2πi k(x−y)
e 2πi kx =
≤
|k|≤N
k∈Z
r
T
|k| u(y)e 2πi k(x−y) d y.
r |k|
u(y)
2
≤ u(y)
1 − r
e u ∈ Ł1 (T), allora per il teorema di convergenza dominata possiamo scambiare la serie con l’integrale e
ottenere
Jr u(x) = r
T k∈Z
|k|
2πi k(x−y)
e u(y)d y = u(y)pr (x − y)d y = u ∗ pr (x).
T
3. Osserviamo che
|Jr u(x) − u(x)| = |u ∗ pr (x) − u(x)|
= u(x − y)pr (y)dy − u(x)pr (y)dy
T
T
≤ |u(x − y) − u(x)||pr (y)|dy.
T
Sia dµ := pr (y)dy. Poiché µ(T) = 1, allora possiamo applicare la disuguaglianza di Jensen con la funzione
ϕ(t) := |t| p .
|Jr u(x) − u(x)| p
≤ |u(x − y) − u(x)|pr (y)dy
T
p
≤ |u(x − y) − u(x)| p pr (y)dy.
T
Poiché pr converge alla delta di Dirac, allora per ogni ɛ > 0 esiste r0 < 1 tale che se r ≥ r0, allora 0 < pr (x) ≤
ɛ per ogni x ∈ T \ (−ɛ,ɛ). Quindi,
|Jr u(x) − u(x)| p ɛ
≤ |u(x − y) − u(x)| p
pr (y)dy + |u(x − y) − u(x)| p pr (y)dy
Integrando in x, otteniamo
Jr u − u p
L p ≤
≤
T
−ɛ
ɛ
−ɛ
ɛ
−ɛ
|u(x − y) − u(x)| p
pr (y)dy + ɛ
|u(x − y) − u(x)| p pr (y)dxdy
(1)
Stimiamo separatamente i due pezzi e vediamo che vanno a 0.
T\(−ɛ,ɛ)
T\(−ɛ,ɛ)
+ɛ
|u(x − y) − u(x)| p dy.
|u(x − y) − u(x)|
T T
p dxdy .
(2)
(1) Sia (τy v)(x) := v(x − y), la traslazione di y. Possiamo applicare Fubini-Tonelli e otteniamo
ɛ
|u(x − y) − u(x)|
−ɛ T
p ɛ
dx pr (y)dy = τy u − u
−ɛ
p Lp pr (y)dy
≤ sup τy u − u
|y|≤ɛ
p
Lp −−→
ɛ→0 0
per continuità delle traslazioni in L p .
(2) Applichiamo di nuovo il teorema di Fubini-Tonelli;
ɛ |u(x − y) − u(x)|
T T
p
dx dy = ɛ τy u − u
T
p Lp dy
≤ ɛ ( τy u
Lp + uL p ) p dy = 2 p ɛu p
Lp ,
quindi l’integrale può essere reso piccolo a piacere.
T

Versione e856994
3.4. Basi hilbertiane per L 2 (0,T ) 25
Finalemente possiamo dimostrare il teorema che ci interessa.
Dimostrazione (del Teorema). Sia u ∈ L 2 (T). Per una delle equivalenze del Teorema 3.2.3, basta far vedere che
la serie di Fourier di u converge a u in L 2 .
Sia v(x) := k∈Z u(k)e 2πi kx la serie di Fourier di u. Osserviamo che è ben definita, in quanto u ∈ l 2 (Z) per la
disuguaglianza di Bessel, dunque per il Teorema di Pitagora generalizzato la famiglia { u(k)e 2πi kx }k∈Z è una
famiglia sommabile e inoltre v ∈ L 2 . Vale
Jr u − v 2
r
k∈Z
|k| u(k)e 2πi kx −
2
2πi kx
u(k)e
k∈Z
L2
= (r
|k|
2
2πi kx
− 1) u(k)e =
r |k|
− 1
L 2 =
k∈Z
per il teorema di convergenza dominata, perché u ∈ L 2 .
3.3.4 ESERCIZI - 1. Se u ∈ C 0 (T), allora Jr u → u uniformemente.
L 2
k∈Z
2
| u(k)| 2 −−→
r ↑1 0
|k|≤N
2πi kx
2. La classe dei polinomi trigonometrici ake N ∈ N, ak ∈ C è densa in C 0 (T).
(Suggerimento: usare il nucleo di Weyl n-dimensionale
Pr (x) :=
n
pr (x j ).)
j =1
3.3.5 OSSERVAZIONE - Se u ∈ C 0 (T), non è vero che la sua serie di Fourier converge uniformemente a u, ma
solo in L2 .
3.3.6 ESERCIZIO - Se Tn := Rn /Zn
2πi (k,x)
, allora la base e k ∈ Zn è una base hilbertiana di L2 (Tn ).
3.4 Basi hilbertiane per L 2 (0,T )
Sia T ∈ R + . Indicheremo con L 2 (0,T ) lo spazio L 2 (]0,T [). In analogia a quanto fatto per L 2 (T), si può dimostrare
che la famiglia
1
T
2πi kx
e T
k ∈ Z
è una base hilbertiana di L 2 (0,T ). Lo svantaggio di utilizzare questa base è che anche funzioni molto regolari,
che assumono valori diversi negli estremi di ]0,T [ hanno coefficienti di Fourier che vanno a 0 non molto
velocemente.
Un modo per risolvere questo inconveniente potrebbe essere di ricorrere ad un’estensione pari di una qualsiasi
funzione u ∈ L2 (0,T ) per 2T -periodicità ad una funzione u di L2 (−T,T ) e poi estenderla per periodicità ad una
funzione u di L2
(R,C). In questo modo, u ha uno sviluppo di Fourier rispetto alla base k ∈ Z :
u(x) =
k∈Z
1
2T
u(k)e πi kx
T =
k∈Z
1
2T
T
−T
πi kx
πi kx
− e T
u(y)e T d y
2T .
Sfruttando la parità di u, portando avanti i conti (esercizio), si ottiene che
hilbertiana di L 2 (0,T ).
1 πkx
T cos T
πi kx 1
2T e T
k ∈ N è una base
3.4.1 ESERCIZIO - Applicare il procedimento di ortonormalizzazione di Graham-Schmidt alla famiglia {x n | n ∈
N} ed ottenere una base hilbertiana di polinomi per L 2 (−1,1).
(Suggerimento: usare il fatto che l’insieme dei polinomi è denso in C 0 (−1,1).)

Versione e856994
26 3. Basi Hilbertiane
3.5 Sviluppi di Fourier per funzioni regolari
Consideriamo una funzione u ∈ C ∞ (T). In particolare, u ∈ L 2 (T), dunque possiamo calcolare i coefficienti di
Fourier della sua derivata rispetto al sistema ortonormale solito. Un semplice conto mostra che
In generale,
Osserviamo che, per l’identità di Bessel,
u ′
(k) = u
T
′ (x)e −2πi kx
d x = 2πi k u(x)e
T
−2πi kx d x = 2πi k u(k).
k∈Z
k∈Z
u (m) (k) = (2πi k) m u(k). (3.1)
(m)
u 2 L2 =
u (m)
(k) 2
=
(2π) 2m |i k| 2m | u(k)| 2
2m
= (2π) |i k| 2m | u(k)| 2 < ∞,
dunque per ogni N ∈ N vale
|k| N | u(k)| −−−−−→
|k|→+∞ 0.
Definiamo lo spazio delle successioni a decrescenza rapida come l’insieme
k∈Z
s(Z) := {a : Z → C | |k| N a(k) −−−−−→ 0 per ogni N }.
|k|→+∞
Allora la mappa che ad ogni funzione in L 2 associa la successione dei coefficienti di Fourier definisce, per
restrizione, un’applicazione lineare
Viceversa, consideriamo la mappa
così definita
Φ: C ∞ (T) → s(Z).
Ψ: s(Z) → C ∞ (T)
(Ψ(a))(x) :=
a(k)e
k∈Z
2πi kx .
Innanzitutto, è davvero a valori in C ∞ (T) perché la serie delle derivate m-esime di Ψ(a) converge uniformemente
per ogni m, grazie alle proprietà di a. Abbiamo, quindi il seguente diagramma:
L2 (T)
⏐
ι⏐
u→ u
−−−−−→ l 2 (Z)
⏐
⏐ι
C ∞ (T) −−−−−→
Φ
3.5.1 ESERCIZIO - Dimostrare la formula di inversione, cioè che
1. Φ ◦ Ψ = Id|s(Z);
2. Ψ ◦ Φ = Id |C ∞ (T).
3.5.2 OSSERVAZIONI - ◦ Se a ∈ l 1 (Z), allora la serie k∈Z a(k)e 2πi kx è uniformemente convergente, dunque
è ben definita una mappa lineare e continua
s(Z)
Ψ: l 1 (Z) → C 0 (T).
Occorre fare attenzione al fatto che Ψ non è invertibile. Non è conveniente dare ora una dimostrazione di
questo fatto, in quanto lo otterremo più avanti, quando avremo a disposizione risultati più generali 3 .
3 In realtà, sapremo dimostrare che non può esistere alcuna mappa invertibile, lineare e continua definita su l 1 (Z) e a valori in C 0 (T).

Versione e856994
3.6. Coefficienti di Fourier di funzioni in L 1 (T) 27
◦ Se u ∈ C 1 (T), allora u ′ ∈ cl 0 (T)∩L 2 (T), dunque la successione u ′ dei suoi coefficienti di Fourier è in l 2 (Z),
ossia
k∈Z
u ′ (k) 2
=
k∈Z
4π 2 k 2 | u(k)| 2 < ∞.
Da ciò otteniamo, usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, che
k∈Z\{0}
| u(k)| =
k∈Z\{0}
|k|| u(k)|
≤ |k|
|k| k∈Z\{0}
2 | u(k)| 2
1
2
1
k∈Z\{0} |k| 2
1
2
< ∞,
cioè u ∈ l 1 (Z). In particolare, la serie di Fourier di una funzione di classe C 1 converge uniformemente.
3.5.3 ESERCIZIO - Se u ∈ C l (T n ) e l > n/2, allora la serie di Fourier di u converge uniformemente a u.
3.6 Coefficienti di Fourier di funzioni in L 1 (T)
Abbiamo già osservato che i coefficienti di Fourier sono ben definiti anche per funzioni in L1 . In particolare, i
coefficienti di Fourier di una tale funzione sono limitati, in quanto
| u(k)| =
u(x)e −2πi kx
d x
≤ uL1 .
Definiamo, quindi, la seguente mappa:
T
Φ: L 1 (T) −−−→
u→ u l ∞ (Z)
e analizziamone le proprietà.
1. ImΦ ⊆ c0(Z) := a : Z → C | a(k) −−−−−→
|k|→+∞ 0
. Utilizziamo, per dimostrarlo, un argomento di densità. Sap-
piamo che L 2 (T) è denso in L 1 (T) (in effetti, C 0 (T) ⊂ L 2 (T) e le funzioni continue sono dense in L p per
ogni 1 ≤ p < ∞) : fissato ɛ > 0, sia u ∈ L 1 (T); allora esiste v ∈ L 2 (T) tale che u − v L 1 < ɛ. In particolare,
v ∈ l 2 (Z), dunque è infinitesima: esiste N ∈ Z tale che |v(k)| ≤ ɛ per ogni |k| ≥ N. Mettiamo insieme le
cose ed otteniamo
per |k| ≥ N . Pertanto u è infinitesima.
| u(k)| ≤ | u(k) − v(k)| + |v(k)| = | u − v(k)| +|v(k)| ≤ ɛ + ɛ
≤u−v
L1 2. Φ: L1 (T) → c0(Z) è lineare, continua e iniettiva. Lasciamo al lettore la verifica delle prime due proprietà
e concentriamoci sull’iniettività. Sia u ∈ L1 (T) tale che u(k) = 0 per ogni k ∈ Z. Abbiamo già visto che
Jr u → u per r ↑ 1. Poiché
Jr u =
r |k| u(k)e 2πi kx ≡ 0,
da cui u ≡ 0.
3. È possibile dimostrare che Φ non è surgettiva, ma lo vedremo più avanti.
k∈Z
3.7 Coefficienti di Fourier e prodotti
Se u, v ∈ L1 (T), allora segue dalla formula di Young che la convoluzione u∗v ∈ L1 (T). Ha senso, quindi, calcolarne
i coefficienti di Fourier:
u ∗ v(k) = u ∗ v(x)e
T
−2πi kx
d x = u(x − y)v(y)d y e
T T
−2πi kx d x
= v(y) u(x − y)e
T T
−2πi kx
d x d y = v(y) u(t)e
T T
−2πi kt e −2πi k y
d t d y
= v(y)e −2πi k y u(k)d y = u(k)v(k).
T

Versione e856994
28 3. Basi Hilbertiane
Abbiamo ottenuto che L 1 (T) è un’algebra di Banach senza unità con il prodotto di convoluzione e che c0(Z) è
un’algebra di Banach senza unità con il prodotto puntuale. In definitiva, la mappa
è un omomorfismo di algebre di Banach.
Φ: L 1 (T) −−−→
u→ u c0(Z)

Versione e856994
Parte III
Spazi di Banach
29

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Versione e856994
Capitolo 4
Teoremi fondamentali
4.1 Compattezza
Cominciamo con un teorema che caratterizza gli spazi vettoriali normati per cui la palla unitaria è compatta.
4.1.1 TEOREMA - Sia X uno spazio vettoriale normato e BX := {x ∈ X | x < 1} la palla unitaria. Allora BX è
compatta se e soltanto se X ha dimensione finita.
Per poter dimostrare questo teorema, abbiamo bisogni del seguente lemma.
4.1.2 LEMMA - Sia V ⊂ X un sottospazio vettoriale chiuso. Allora per ogni ɛ > 0 esiste u ∈ X , u = 1 e tale che
dist(x,V ) ≥ 1 − ɛ.
Dimostrazione. Cominciamo con l’osservare che negli spazi di Hilbert possiamo scegliere ɛ = 0, cioè esiste
sempre un vettore ortogonale ad un sottospazio.
Sia w ∈ X \V . Poiché V è chiuso, allora di certo d := dist(w,V ) > 0, per cui esiste v0 ∈ V tale che
v0 − w < d
1 − ɛ .
Sia u := w−v0
w−v0 . Allora, se v ∈ V ,
dist(u,V ) ≥ v − u =
w − v0
v −
w − v0
=
1
w − v0
w − v0
v + v0 −w
1 − ɛ
> d = 1 − ɛ.
d
4.1.3 OSSERVAZIONE - Se dist(w,V ) è realizzata, allora possiamo scegliere ɛ = 0 e ciò vale non solo negli Hilbert,
ma anche se dimV < ∞.
Dimostrazione del Teorema. Se X ha dimensione finita, allora i chiusi e limitati sono compatti, quindi in
particolare lo è BX .
Viceversa, se dim X = ∞ esiste una successione di sottospazi vettoriali Vn ⊂ X tali che
• dimVn = n;
• Vn ⊆ Vn+1 per ogni n.
Inoltre, poiché hanno tutti dimensione finita, i Vn sono chiusi. A questo punto scegliamo una successione
(un) ⊂ X in questo modo:
u1 ∈ V1 u1 = 1
In particolare, se n > m abbiamo
∈V
un ∈ Vn un = 1, dist(un,Vn−1) ≥ 1
2 .
um ∈ Vm ⊂ Vn−1,
per cui un − um > 1
2 . La successione (un) non ha sottosuccessioni convergenti, dunque BX non può essere
compatto.
31

Versione e856994
32 4. Teoremi fondamentali
Enunciamo ora un teorema di compattezza che riguarda lo spazio
C0(R n ) := {u ∈ C (R n ,C) | lim u(x) = 0}.
|x|→∞
Ricordiamo che, se B è un insieme, B c è il suo complementare.
4.1.4 TEOREMA (di Ascoli-Arzelà) - Un sottoinsieme A ⊆ C0(R n ) ha chiusura compatta se e soltanto se valgono le
seguenti proprietà:
1. A equilimitato, ossia supu∈A u∞ < ∞;
2. A equicontinuo, ossia supu∈A sup
|y| n,
allora x ∈ B(xn,rn) ⊆ Vn per la 4.3. Quindi x ∈ ∞ n=1 Vn. Per la 4.2, x ∈ W . Infatti,
che ci dà la 4.1.
x ∈ B(x1,r1) ⊆ W,
4.2.2 OSSERVAZIONE - Passando ai complementari, si ottiene una formulazione equivalente del teorema di
Baire:

Versione e856994
4.3. Il Teorema di Banach-Steinhaus 33
4.2.3 TEOREMA - Un’unione numerabile di chiusi con parte interna vuota ha parte interna vuota.
Premettiamo alcune definizioni a degli esercizi.
4.2.4 DEFINIZIONE - • Un sottoinsieme A ⊂ X si dice magro se A ha parte interna vuota.
• Un’unione numerabile di insiemi magri si dice insieme di prima categoria. Se A non è di prima categoria,
allora è di seconda categoria.
• Il complementare di un insieme di prima categoria si dice insieme residuale o insieme generico.
4.2.5 ESERCIZIO - Sia (X ,d) uno spazio metrico completo e A ⊂ X un aperto non vuoto. Allora A è di seconda
categoria.
4.2.6 ESERCIZIO - Se f ∈ C (R) e per ogni a > 0 vale limn→∞ f (an) = 0, allora limx→∞ f (x) = 0.
4.2.7 ESERCIZIO - L’insieme
è residuale.
{f ∈ C ([0,1]) | f non è derivabile in alcun punto}
4.3 Il Teorema di Banach-Steinhaus
La prima, fondamentale, conseguenza del Teorema di Baire è il teorema di Banach-Steinhaus.
4.3.1 TEOREMA - (di Banach-Steinhaus) Sia X uno spazio di Banach e Y uno spazio vettoriale normato. Sia
T ⊆ L(X ,Y ). Allora vale la seguente alternativa:
1.
2. esiste G ⊂ X , intersezione numerabile di aperti densi, tale che
4.3.2 OSSERVAZIONE - Segue dal teorema precedente che, se
allora sup T ∈T T < ∞, cioè 4.6 è una condizione uniforme su BX .
Dimostrazione. Definiamo la seguente mappa:
data da
sup T < ∞; (4.4)
T ∈T
sup T xY = ∞
T ∈T
per ogni x ∈ G. (4.5)
sup T xY < ∞
T ∈T
per ogni x ∈ X , (4.6)
ϕ: X → [0,+∞]
ϕ(x) := sup T xY .
T ∈T
Osserviamo che ϕ è estremo superiore di funzioni continue, dunque è semicontinua inferiormente. Pertanto gli
insiemi della forma
Vn := {x ∈ X | ϕ(x) > n}
sono aperti, e inoltre Vn ⊂ Vn−1. Ci si presentano quindi due casi:
1. Esiste N ∈ N tale che VN non è denso;
2. Vn è denso per ogni n.

Versione e856994
34 4. Teoremi fondamentali
Vediamo che il primo caso implica la 4.4 e il secondo implica la 4.5.
Supponiamo, quindi, che esista N tale che VN non è denso. Ciò equivale a dire che V c
N contiene un aperto,
cioè che esiste x ∈ X , r > 0 tale che B(x,r ) ⊂ V c
N , ossia TuY ≤ N per ogni u ∈ B(x,r ). Adesso usiamo la
linearità per mostrare che T è limitato per ogni v ∈ BX . Sia u ∈ B(x,r ); esisterà v ∈ B(0,1) tale che u = x + r v e
x + r vY ≤ N . Allora:
T vY = 1
r T (r v)Y ≤ 1
r (T (r v + x)Y + T xY ) ≤ 2 N
r .
Abbiamo ottenuto che T è uniformemente limitata su BX , dunque per l’osservazione 4.3.2 otteniamo la 4.4.
Viceversa, se Vn è denso per ogni n, allora poniamo
da cui la 4.5.
G :=
∞
n=1
Vn = {x ∈ X | ϕ(x) = +∞} = {x ∈ X | sup T xY = +∞},
T ∈T
4.3.3 DEFINIZIONE - Se X ,Y sono spazi vettoriali normati, (Tn) ⊂ L(X ,Y ), diremo che Tn → T fortemente se
Tn(x) → T (x) per ogni x ∈ X .
4.3.4 OSSERVAZIONE - La convergenza in norma implica la convergenza forte.
4.3.5 ESERCIZIO - Sia X di Banach, Y uno spazio vettoriale normato e (Tn) ⊂ L(X ,Y ). Se Tn converge fortemente
a T , allora
1. sup n∈N Tn < ∞;
2. T ∈ L(X ,Y );
3. T ≤ liminfn→∞ Tn.
4.3.1 Un’applicazione alle Serie di Fourier
Con il Teorema di Banach-Steinhaus (BS, nel seguito) possiamo dimostrare che esiste un insieme generico di
funzioni continue la cui Serie di Fourier non converge in x = 0. Vediamo come fare.
Innanzitutto, se u ∈ C (T), la sua serie di Fourier troncata ad n è
sn(u(x)) :=
u(k)e 2πi kx .
|k|≤n
|k|≤n
Facciamo vedere che esiste un sottoinsieme generico G ⊂ C (T) per cui sn(u(0)) non converge se n → ∞ per
ogni u ∈ G.
Osserviamo che sn(u, x) := sn(u(x)) = u ∗ qn(x), dove
qn(x) :=
e 2πi kx = sin2π n + 1
2 x
∈ R.
sin(πx)
È lasciato al lettore verificare che
qn
1 → ∞ se n → ∞. Introduciamo una mappa ϕn così definita:
ϕn : C [0,1] → C
ϕn(u) = sn(u,0) = u ∗ qn(0).
Chiaramente ϕn è lineare e inoltre
ϕn(u)
= u ∗ qn(0)
≤ u∞ qn
1 ,
per cui ϕn è anche continuo e vale
ϕn ≤ qn
1 . Dimostriamo adesso che
ϕn ≥ qn
1 , ottenendo l’uguaglianza
delle norme.
Infatti,
ϕn = sup u ∗ qn(0) | u ∈ C [0,1], u∞ ≤ 1
= sup u(x)qn(−x)d x
u ∈ C [0,1], u∞ ≤ 1 .
T

Versione e856994
4.4. Il Teorema della mappa aperta 35
A questo punto, sia h la seguente funzione costante a tratti:
h(x) :=
1 se qn(−x) ≥ 0
−1 se qn(−x) ≤ 0.
Possiamo approssimare h con una successione di funzioni continue (h j ) ⊂ C [0,1] tali che
h
j = 1 e h ∞ j → h
puntualmente quasi ovunque. Dunque,
sup u(x)qn(−x)d x
u ∈ C [0,1], u∞ ≤ 1 ≥ limsup
h j (x)qn(−x)d x
T
j T
=
qn(−x) T
d x = qn
1 ,
dove la penultima uguaglianza segue dal teorema di convergenza dominata.
Pertanto
ϕn −−−−→ ∞ e, per BS, esiste G ⊂ C [0,1], intersezione numerabile di aperti densi, tale che per ogni
n→∞
u ∈ G vale
supϕn
= sup|sn(u,0)|
= +∞.
n
n
Concludendo, per le funzioni in G la serie di Fourier non solo non converge in x = 0, ma è anche illimitata.
4.4 Il Teorema della mappa aperta
4.4.1 TEOREMA (della mappa aperta) - Siano X ,Y spazi di Banach e T ∈ L(X ,Y ). Se T è surgettiva, allora è
aperta.
4.4.2 OSSERVAZIONE - Per linearità, dire che T è aperta, vuol dire che T manda intorni aperti di 0 in aperti.
Questo, a sua volta, equivale a dire che T manda BX in un aperto e, infine, ciò è equivalente ad affermare che
esiste δ > 0 tale che δBY ⊂ T BX . Pertanto è sufficiente dimostrare l’ultima asserzione.
Dimostrazione. Passo 1 Facciamo innanzitutto vedere che
esiste δ > 0 tale che 2δBY ⊂ T BX . (4.7)
Poiché T è surgettiva, abbiamo che Y = n T (nBX ). Poiché Y è completo ed è unione numerabile di
chiusi, allora per il Teorema di Baire almeno uno dei chiusi ha parte interna non vuota. Sfruttando la
linearità,
T (nBX ) = nT BX −→ T (nBX ) = nT BX = nT BX ,
dunque T BX ha parte interna vuota non appena T (nBX ) ha parte interna vuota. Pertanto abbiamo che
In particolare, abbiamo che
Mettendo insieme la 4.8 e la 4.9, otteniamo che
esiste y0 ∈ Y , r > 0 tali che y0 + r BY = B(y0,r ) ⊂ T BX . (4.8)
se y0 ∈ T BX , allora − y0 ∈ T BX . (4.9)
r BY ⊂ T BX + T BX . (4.10)
Per convessità, abbiamo che T BX + T BX ⊆ 2T BX , da cui r
2 BY ⊂ T BX , cioè la 4.7 (prendendo δ = r
4 ).
Passo 2 Per linearità, vale un fatto più generale:
Passo 3 Dimostriamo che, se δ è come nel Passo 1, allora vale
2λδBY ⊂ T (λBX ) per ogni λ > 0. (4.11)
δBY ⊂ T BX .
Sia y ∈ δBY . Per il Passo 2, scegliendo λ = 1
1
2 , abbiamo che y ∈ T ( 2 BX ). Quindi, esisterà x1 ∈ 1
2 BX tale che
y − T x1
1
< δ/2. Scegliendo λ = 4 e applicando il Passo 2 al vettore y − T x1 ∈ δ
2 BY , abbiamo che esiste

Versione e856994
36 4. Teoremi fondamentali
x2 ∈ 1
4 BX tale che
(y − T x1) − T x2
< δ/4.
Induttivamente, otteniamo una successione (xn) ⊂ X tale che xn ∈ 2−nBX e
n
y
− T x j
< δ2−n . (4.12)
j =1
Sia x := ∞
j =1 x j . Chiaramente questa scrittura ha senso, essendo (xn) una famiglia sommabile. Poiché
x =≤
∞
2 −n = 1,
n=1
allora x ∈ BX . Per la 4.12 e per continuità di T , otteniamo che T x = y, cioè y ∈ T BX , come volevasi
dimostrare.
4.4.1 Alcune conseguenze importanti
4.4.3 COROLLARIO - Sia T : X → Y lineare e continua tra due spazi di Banach X e Y . Se T è bigettiva, allora
T −1 : Y → X è continua e dunque è un isomorfismo tra spazi di Banach e inoltre vale la stima
−1
T
1
=
sup{δ | δBY ⊂ T BX } .
Ricordiamo che due norme · 1 e · 2 su uno spazio X si dicono equivalenti se esiste una costante C tale
che
x 1 ≤ C x 2 e x 2 ≤ C x 1 per ogni x ∈ X .
4.4.4 COROLLARIO - Se X è uno spazio di Banach rispetto a due norme · 1 e · 2 e x 1 ≤ C x 2 per ogni x ∈ X ,
allora le norme sono equivalenti.
Dimostrazione. Per ipotesi, la funzione
I d : (X ,· 2) → (X ,· 1)
è continua. Poiché è bigettiva, per il primo corollario abbiamo la continuità dell’inversa, che dà esattamente la
disuguaglianza voluta.
Il seguente corollario è molto importante e merita un nome.
4.4.5 COROLLARIO (Teorema del Grafico Chiuso) - Siano X ,Y spazi di Banach e T : X → Y lineare. Allora T è
continua se e solo se Γ(T ) := {(x,T x) | x ∈ X } è un sottospazio chiuso di X × Y .
Dimostrazione. Chiaramente, se T è continua allora il grafico Γ(T ) è un sottospazio chiuso (e non serve la
linearità).
Viceversa, supponiamo che Γ(T ) sia chiuso e definiamo su X la seguente norma, detta norma del grafico:
x T := x X + T x Y .
Vediamo che · T è completa. Sia (xn) una successione di Cauchy per · T . In particolare, (xn) è di Cauchy per
· X e (T xn) lo è per · Y . Quindi esiste x ∈ X tale che xn → x nella norma di X e esiste y ∈ Y tale che T xn → y
nella norma di Y . Allora (xn,T xn) → (x, y) nel prodotto e poiché il grafico è chiuso y = T x, da cui xn − x T → 0.
Ovviamente, x X ≤ x T per ogni x ∈ X , dunque per il corollario precedente le norme sono equivalenti: esiste
C tale che x T ≤ C x X per ogni x ∈ X . Poiché T x Y ≤ x T per ogni x ∈ X , combinando le disuguaglianze
abbiamo la continuità di T .
4.4.6 ESERCIZIO - Dimostrare che la mappa
tale che Fu := u, non è surgettiva.
F : L 1 (T) → c0(Z)