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Versione e856994
3.4. Basi hilbertiane per L 2 (0,T ) 25
Finalemente possiamo dimostrare il teorema che ci interessa.
Dimostrazione (del Teorema). Sia u ∈ L 2 (T). Per una delle equivalenze del Teorema 3.2.3, basta far vedere che
la serie di Fourier di u converge a u in L 2 .
Sia v(x) := k∈Z u(k)e 2πi kx la serie di Fourier di u. Osserviamo che è ben definita, in quanto u ∈ l 2 (Z) per la
disuguaglianza di Bessel, dunque per il Teorema di Pitagora generalizzato la famiglia { u(k)e 2πi kx }k∈Z è una
famiglia sommabile e inoltre v ∈ L 2 . Vale
Jr u − v 2
r
k∈Z
|k| u(k)e 2πi kx −
2
2πi kx
u(k)e
k∈Z
L2
= (r
|k|
2
2πi kx
− 1) u(k)e =
r |k|
− 1
L 2 =
k∈Z
per il teorema di convergenza dominata, perché u ∈ L 2 .
3.3.4 ESERCIZI - 1. Se u ∈ C 0 (T), allora Jr u → u uniformemente.
L 2
k∈Z
2
| u(k)| 2 −−→
r ↑1 0
|k|≤N
2πi kx
2. La classe dei polinomi trigonometrici ake N ∈ N, ak ∈ C è densa in C 0 (T).
(Suggerimento: usare il nucleo di Weyl n-dimensionale
Pr (x) :=
n
pr (x j ).)
j =1
3.3.5 OSSERVAZIONE - Se u ∈ C 0 (T), non è vero che la sua serie di Fourier converge uniformemente a u, ma
solo in L2 .
3.3.6 ESERCIZIO - Se Tn := Rn /Zn
2πi (k,x)
, allora la base e k ∈ Zn è una base hilbertiana di L2 (Tn ).
3.4 Basi hilbertiane per L 2 (0,T )
Sia T ∈ R + . Indicheremo con L 2 (0,T ) lo spazio L 2 (]0,T [). In analogia a quanto fatto per L 2 (T), si può dimostrare
che la famiglia
1
T
2πi kx
e T
k ∈ Z
è una base hilbertiana di L 2 (0,T ). Lo svantaggio di utilizzare questa base è che anche funzioni molto regolari,
che assumono valori diversi negli estremi di ]0,T [ hanno coefficienti di Fourier che vanno a 0 non molto
velocemente.
Un modo per risolvere questo inconveniente potrebbe essere di ricorrere ad un’estensione pari di una qualsiasi
funzione u ∈ L2 (0,T ) per 2T -periodicità ad una funzione u di L2 (−T,T ) e poi estenderla per periodicità ad una
funzione u di L2
(R,C). In questo modo, u ha uno sviluppo di Fourier rispetto alla base k ∈ Z :
u(x) =
k∈Z
1
2T
u(k)e πi kx
T =
k∈Z
1
2T
T
−T
πi kx
πi kx
− e T
u(y)e T d y
2T .
Sfruttando la parità di u, portando avanti i conti (esercizio), si ottiene che
hilbertiana di L 2 (0,T ).
1 πkx
T cos T
πi kx 1
2T e T
k ∈ N è una base
3.4.1 ESERCIZIO - Applicare il procedimento di ortonormalizzazione di Graham-Schmidt alla famiglia {x n | n ∈
N} ed ottenere una base hilbertiana di polinomi per L 2 (−1,1).
(Suggerimento: usare il fatto che l’insieme dei polinomi è denso in C 0 (−1,1).)