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Versione e856994 3.3. Una base hilbertiana di L 2 (T) 23 3.3 Una base hilbertiana di L 2 (T) Sia T := R/Z, l’1-toro. In questa sezione vogliamo esibire una base hilbertiana dello spazio L 2 (T) dove su T mettiamo la misura di Lebesgue. Quindi, L 2 (T) := f → R → C | f è misurabile, 1-periodica e 1 0 |f (x)| 2 dx < +∞ / ∼ . Non è difficile vedere che L 2 (T) è separabile, dunque ha una base hilbertiana numerabile. Consideriamo {ek}k∈Z, con ek(x) := e 2kπi x ; mostriamo che {ek}k è ortonormale: (ek,eh) = e T 2πi (k−h)x 0 se k = h dx = 1 se k = h. In realtà questa famiglia è anche massimale, come mostriamo nel prossimo teorema. 3.3.1 TEOREMA - La famiglia {ek}k∈Z è una base hilbertiana su L 2 (T). Prima dimostriamo un lemma fondamentale, con cui dimostriamo che C ∞ è denso in L p . Avremo bisogno della nozione di prodotto di convoluzione, che non abbiamo ancora definito. Per ora bastano le nozioni date nel corso di Analisi in più Variabili III. 3.3.2 DEFINIZIONE - Sia r ∈ (0,1). Il nucleo di Weyl è un’applicazione pr (x): T → C così definita: pr (x) := 3.3.3 LEMMA - 1. pr (x) è ben definito per ogni x ∈ T. 2. Se u ∈ L 1 (T), sia Allora Jr u = u ∗ pr (x). 3. Per ogni 1 ≤ p < ∞, per ogni u ∈ L p (T), vale in L p (T). Jr u(x) := r k∈Z |k| e 2kπi x . r k∈Z |k| u(k)e 2πi kx . Jr u −−→ r ↑1 u Dimostrazione. 1. La serie k∈Z r |k| e 2kπi x è assolutamente convergente per ogni x ∈ T e converge uniformemente in (C 0 (T), · ∞), pertanto pr (x) è ben definito. Facciamo delle osservazioni che ci serviranno per i prossimi punti. Si verifica che pr (x) = 1 + (r e 2πi x ) k + (r e −2πi x ) k k>0 r e2πi x k>0 x r e−2πi = 1 + + 1 − r e2πi x 1 − r e 1 − r = 2 . 1 − 2r cos(2πx) + r 2 Abbiamo ottenuto che pr è una funzione di classe C ∞ (T) e positiva. Inoltre, pr −−→ 0 sui compatti di r ↑1 T \ {0} e pr (x)dx = r T T |k| e 2kπi x dx = r T |k| e 2kπi x dx = 1, k∈Z k∈Z −2πi x dove abbiamo potuto scambiare integrale e somma per convergenza uniforme.
Versione e856994 24 3. Basi Hilbertiane 2. Innanzitutto, osserviamo che Jr u converge assolutamente in C 0 (T), quindi è ben definita. Procediamo con la dimostrazione: vediamo che Jr u(x) = r |k| Poiché k∈Z |k|≤N u(y)e T −2πi k y d y r |k| u(y)e 2πi k(x−y) e 2πi kx = ≤ |k|≤N k∈Z r T |k| u(y)e 2πi k(x−y) d y. r |k| u(y) 2 ≤ u(y) 1 − r e u ∈ Ł1 (T), allora per il teorema di convergenza dominata possiamo scambiare la serie con l’integrale e ottenere Jr u(x) = r T k∈Z |k| 2πi k(x−y) e u(y)d y = u(y)pr (x − y)d y = u ∗ pr (x). T 3. Osserviamo che |Jr u(x) − u(x)| = |u ∗ pr (x) − u(x)| = u(x − y)pr (y)dy − u(x)pr (y)dy T T ≤ |u(x − y) − u(x)||pr (y)|dy. T Sia dµ := pr (y)dy. Poiché µ(T) = 1, allora possiamo applicare la disuguaglianza di Jensen con la funzione ϕ(t) := |t| p . |Jr u(x) − u(x)| p ≤ |u(x − y) − u(x)|pr (y)dy T p ≤ |u(x − y) − u(x)| p pr (y)dy. T Poiché pr converge alla delta di Dirac, allora per ogni ɛ > 0 esiste r0 < 1 tale che se r ≥ r0, allora 0 < pr (x) ≤ ɛ per ogni x ∈ T \ (−ɛ,ɛ). Quindi, |Jr u(x) − u(x)| p ɛ ≤ |u(x − y) − u(x)| p pr (y)dy + |u(x − y) − u(x)| p pr (y)dy Integrando in x, otteniamo Jr u − u p L p ≤ ≤ T −ɛ ɛ −ɛ ɛ −ɛ |u(x − y) − u(x)| p pr (y)dy + ɛ |u(x − y) − u(x)| p pr (y)dxdy (1) Stimiamo separatamente i due pezzi e vediamo che vanno a 0. T\(−ɛ,ɛ) T\(−ɛ,ɛ) +ɛ |u(x − y) − u(x)| p dy. |u(x − y) − u(x)| T T p dxdy . (2) (1) Sia (τy v)(x) := v(x − y), la traslazione di y. Possiamo applicare Fubini-Tonelli e otteniamo ɛ |u(x − y) − u(x)| −ɛ T p ɛ dx pr (y)dy = τy u − u −ɛ p Lp pr (y)dy ≤ sup τy u − u |y|≤ɛ p Lp −−→ ɛ→0 0 per continuità delle traslazioni in L p . (2) Applichiamo di nuovo il teorema di Fubini-Tonelli; ɛ |u(x − y) − u(x)| T T p dx dy = ɛ τy u − u T p Lp dy ≤ ɛ ( τy u Lp + uL p ) p dy = 2 p ɛu p Lp , quindi l’integrale può essere reso piccolo a piacere. T
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