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Versione e856994 2.5. Norme operatoriali 17 La verifica che la mappa è un’isometria è lasciata per esercizio. v → (v, · ) 2.5.9 OSSERVAZIONE - Sia T : X → Y lineare e continuo. Poiché Tu Y ≤ T u X per ogni u ∈ X , allora abbiamo Tu − T v Y ≤ T x − y X per ogni x, y ∈ X . Quindi T è T -Lipschitz. 2.5.1 Isometrie lineari Dedichiamo un paragrafo alle proprietà delle isometrie lineari. Supponiamo che X ,Y siano spazi di Banach. 2.5.10 DEFINIZIONE - Una applicazione lineare T : X → Y è detta isometria lineare se conserva la norma: T v = v per ogni v ∈ X . 2.5.11 OSSERVAZIONI - ◦ Segue dalla definizione che la norma operatoriale di T è esattamente 1. ◦ Se T è un’isometria, allora T è iniettiva. Infatti, se v ∈ kerT , allora T v = 0. Ma T v = v, da cui v = 0 necessariamente. ◦ ImT è chiusa. In realtà, vale un risultato più generale: se T : X → Y è lineare e continua e X è di Banach, allora ImT è chiusa. Consideriamo una successione (Tun) in ImT convergente ad un certo v ∈ Y e mostriamo che v ∈ ImT . Poiché (Tun) è di Cauchy, allora anche (un) è di Cauchy e, per completezza di X , convergerà ad un certo u ∈ X . Per continuità di T deve necessariamente essere Tun → Tu, da cui v = Tu. ◦ È ben definita una mappa T −1 : ImT → X ed è ancora un’isometria, quindi continua 3 . Concludiamo che T è un isomorfismo tra X e ImT . ◦ Segue dalle formule di polarizzazione che una applicazione tra spazi di Hilbert T : H1 → H2 è un’isometria se e solo se conserva il prodotto scalare. 3 Chiaramente, in generale non è detto che l’inversa di una mappa continua sia continua.
Versione e856994 18 2. Spazi di Hilbert
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