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Versione e856994
16 2. Spazi di Hilbert
2.4 Il Teorema di Riesz
In questa sezione dimostriamo un teorema di caratterizzazione dei funzionali lineari e continui degli spazi di
Hilbert. Come vedremo meglio quando parleremo di spazi duali, il teorema di Riesz asserisce che uno spazio di
Hilbert H e lo spazio dei funzionali lineari e continui su H sono isomorfi.
2.4.1 TEOREMA (di Riesz) - Sia H uno spazio di Hilbert e ϕ: H → C un funzionale lineare e continuo. Allora
esiste un unico vettore v ∈ H tale che ϕ(u) = (u, v).
Dimostrazione. Chiaramente, se ϕ ≡ 0 la tesi si ottiene con v = 0: possiamo quindi supporre ϕ = 0.
Consideriamo V := kerϕ. V è un sottospazio vettoriale chiuso di H e inoltre V = H perché ϕ è non nullo. Per
il Corollario 2.3.7, possiamo decomporre lo spazio in H = kerϕ ⊕ (kerϕ) ⊥ . Poiché V ⊥ = 0, possiamo scegliere
w ∈ V ⊥ tale che w = 1. Sia v := λw con λ ∈ C da determinare. Per le proprietà di ϕ, abbiamo che
D’altra parte,
ϕ(v) = v 2 = |λ| 2 .
ϕ(v) = ϕ(λw) = λϕ(w),
quindi λ = ϕ(w).
È lasciato al lettore verificare che con questa scelta si ottiene la tesi.
2.5 Norme operatoriali
In questa sezione considereremo spazi vettoriali normati X ,Y e operatori lineari tra di essi. Indicheremo con
BX la palla aperta di raggio 1, cioè l’insieme {x ∈ X | x X < 1}.
2.5.1 DEFINIZIONE - Sia T : X → Y un operatore lineare. La norma di T è
T vY T := sup T vY = sup T vY = sup .
v∈X , vX ≤1
v∈X , vX =1
v∈X , v=0 v X
Vale la seguente relazione tra la norma di T e la continuità di T .
2.5.2 PROPOSIZIONE - T è continuo se e solo se T < ∞.
Dimostrazione. Vediamo la condizione necessaria per la continuità. Poiché T (0) = 0, allora T −1 (BY ) è un
intorno di 0 in X . Pertanto esiste r > 0 tale che r BX ⊂ T −1 (BY ), da cui, per linearità, T (BX ) ⊂ r −1 BY . Pertanto
T < 1/r . La condizione sufficiente è lasciata al lettore.
2.5.3 DEFINIZIONE - Un operatore T : X → Y con T < ∞ si dice limitato.
2.5.4 OSSERVAZIONE - Abbiamo caratterizzato gli operatori limitati: essi sono tutti e soli i continui.
2.5.5 ESERCIZIO - Definiamo il seguente spazio:
L(X ,Y ) := {T : X → Y | T lineare e continuo}.
1. Dimostrare che è uno spazio vettoriale normato (con la norma operatoriale definita prima).
2. Se Y è uno spazio di Banach, far vedere che anche L(X ,Y ) è di Banach.
2.5.6 DEFINIZIONE - Sia X uno spazio vettoriale normato. Il duale (topologico) di X è lo spazio
2.5.7 OSSERVAZIONI -
X ∗ := L(X ,C).
◦ Per l’esercizio precedente, il duale di un qualsiasi spazio vettoriale normato è di Banach.
◦ Lo spazio L(X , X ) con la composizione è un’algebra di Banach con identità Id: X → X .
Con il linguaggio introdotto in questa sezione, possiamo riformulare il Teorema di Riesz come segue:
2.5.8 TEOREMA (di Riesz) - Se H è uno spazio di Hilbert, allora H ∼ = H ∗ e ∼ = è un’isometria.