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Versione e856994
36 4. Teoremi fondamentali
x2 ∈ 1
4 BX tale che
(y − T x1) − T x2
< δ/4.
Induttivamente, otteniamo una successione (xn) ⊂ X tale che xn ∈ 2−nBX e
n
y
− T x j
< δ2−n . (4.12)
j =1
Sia x := ∞
j =1 x j . Chiaramente questa scrittura ha senso, essendo (xn) una famiglia sommabile. Poiché
x =≤
∞
2 −n = 1,
n=1
allora x ∈ BX . Per la 4.12 e per continuità di T , otteniamo che T x = y, cioè y ∈ T BX , come volevasi
dimostrare.
4.4.1 Alcune conseguenze importanti
4.4.3 COROLLARIO - Sia T : X → Y lineare e continua tra due spazi di Banach X e Y . Se T è bigettiva, allora
T −1 : Y → X è continua e dunque è un isomorfismo tra spazi di Banach e inoltre vale la stima
−1
T
1
=
sup{δ | δBY ⊂ T BX } .
Ricordiamo che due norme · 1 e · 2 su uno spazio X si dicono equivalenti se esiste una costante C tale
che
x 1 ≤ C x 2 e x 2 ≤ C x 1 per ogni x ∈ X .
4.4.4 COROLLARIO - Se X è uno spazio di Banach rispetto a due norme · 1 e · 2 e x 1 ≤ C x 2 per ogni x ∈ X ,
allora le norme sono equivalenti.
Dimostrazione. Per ipotesi, la funzione
I d : (X ,· 2) → (X ,· 1)
è continua. Poiché è bigettiva, per il primo corollario abbiamo la continuità dell’inversa, che dà esattamente la
disuguaglianza voluta.
Il seguente corollario è molto importante e merita un nome.
4.4.5 COROLLARIO (Teorema del Grafico Chiuso) - Siano X ,Y spazi di Banach e T : X → Y lineare. Allora T è
continua se e solo se Γ(T ) := {(x,T x) | x ∈ X } è un sottospazio chiuso di X × Y .
Dimostrazione. Chiaramente, se T è continua allora il grafico Γ(T ) è un sottospazio chiuso (e non serve la
linearità).
Viceversa, supponiamo che Γ(T ) sia chiuso e definiamo su X la seguente norma, detta norma del grafico:
x T := x X + T x Y .
Vediamo che · T è completa. Sia (xn) una successione di Cauchy per · T . In particolare, (xn) è di Cauchy per
· X e (T xn) lo è per · Y . Quindi esiste x ∈ X tale che xn → x nella norma di X e esiste y ∈ Y tale che T xn → y
nella norma di Y . Allora (xn,T xn) → (x, y) nel prodotto e poiché il grafico è chiuso y = T x, da cui xn − x T → 0.
Ovviamente, x X ≤ x T per ogni x ∈ X , dunque per il corollario precedente le norme sono equivalenti: esiste
C tale che x T ≤ C x X per ogni x ∈ X . Poiché T x Y ≤ x T per ogni x ∈ X , combinando le disuguaglianze
abbiamo la continuità di T .
4.4.6 ESERCIZIO - Dimostrare che la mappa
tale che Fu := u, non è surgettiva.
F : L 1 (T) → c0(Z)