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Versione e856994
20 3. Basi Hilbertiane
3.1.5 TEOREMA (Disuguaglianza di Bessel) - Sia (u j )j ∈J una famiglia ortonormale e u ∈ H. Allora
Dimostrazione. Per definizione,
j ∈J
|(u,uj )| ≤ u 2 .
j ∈J
|(u,uj )| = sup
J0 ⊂ J
J0 finito
|(u,uj )| ≤ u 2 ,
dove l’ultima disuguaglianza vale per la disuguaglianza di Bessel nel caso finito.
3.1.6 OSSERVAZIONE - Segue dal criterio di Cauchy che i coefficienti di Fourier di u rispetto ad una famiglia
ortonormale qualsiasi sono tutti nulli ad eccezione di un insieme al più numerabile.
3.1.7 TEOREMA (di Pitagora generalizzato) - Una famiglia ortogonale (u j ) è sommabile se e solo se
j ∈J u
j < ∞
e in questo caso vale
2
u j =
u
j
2 .
j ∈J
Dimostrazione. Vediamo prima la condizione necessaria alla sommabilità.
Sia (u j ) una famiglia ortogonale sommabile. Per il criterio di Cauchy, comunque scelto ɛ > 0 esiste J0 ⊂ J finito
tale che per ogni J1 ⊂ J finito, J1 ∩ J0 = ,
u j < ɛ.
Quindi, grazie al Teorema di Pitagora,
j ∈J1
j ∈J
u
j
2
=
j ∈J1
j ∈J1
j ∈J0
u j
2
< ɛ.
Applicando il criterio di Cauchy nella direzione opposta alla famiglia (
u
j
2 ), abbiamo la sommabilità che
volevamo.
Con un argomento identico si verifica che tale condizione è anche sufficiente. Verifichiamo l’uguaglianza:
3.2 Basi Hilbertiane
u 2
= (u,u) = u j ,u
j ∈J
=
(u j ,u) =
u j ,
j ∈J
j ∈J
uh
h∈J
=
(u j ,uj ) =
u
j
2 .
j ∈J
j ∈J
=
(u j ,uh)
Siamo pronti a parlare di basi hilbertiane. Come suggerisce il nome, abbiamo bisogno di uno spazio di Hilbert
H.
3.2.1 DEFINIZIONE - Una base hilbertiana è una famiglia ortonormale (v j )j ∈J massimale rispetto all’inclusione.
3.2.2 OSSERVAZIONI - ◦ - Basi Hilbertiane esistono grazie al Lemma di Zorn: ogni catena ascendente di
famiglie ortonormali ammette un maggiorante: l’unione di tutti gli elementi della catena. Pertanto
esistono elementi massimali.
◦ - Le basi hilbertiane sono molto diverse dalle basi algebriche (ad esempio, può accadere che Span({v j }) =
H).
j,h∈J