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Versione e856994 Capitolo 4 Teoremi fondamentali 4.1 Compattezza Cominciamo con un teorema che caratterizza gli spazi vettoriali normati per cui la palla unitaria è compatta. 4.1.1 TEOREMA - Sia X uno spazio vettoriale normato e BX := {x ∈ X | x < 1} la palla unitaria. Allora BX è compatta se e soltanto se X ha dimensione finita. Per poter dimostrare questo teorema, abbiamo bisogni del seguente lemma. 4.1.2 LEMMA - Sia V ⊂ X un sottospazio vettoriale chiuso. Allora per ogni ɛ > 0 esiste u ∈ X , u = 1 e tale che dist(x,V ) ≥ 1 − ɛ. Dimostrazione. Cominciamo con l’osservare che negli spazi di Hilbert possiamo scegliere ɛ = 0, cioè esiste sempre un vettore ortogonale ad un sottospazio. Sia w ∈ X \V . Poiché V è chiuso, allora di certo d := dist(w,V ) > 0, per cui esiste v0 ∈ V tale che v0 − w < d 1 − ɛ . Sia u := w−v0 w−v0 . Allora, se v ∈ V , dist(u,V ) ≥ v − u = w − v0 v − w − v0 = 1 w − v0 w − v0 v + v0 −w 1 − ɛ > d = 1 − ɛ. d 4.1.3 OSSERVAZIONE - Se dist(w,V ) è realizzata, allora possiamo scegliere ɛ = 0 e ciò vale non solo negli Hilbert, ma anche se dimV < ∞. Dimostrazione del Teorema. Se X ha dimensione finita, allora i chiusi e limitati sono compatti, quindi in particolare lo è BX . Viceversa, se dim X = ∞ esiste una successione di sottospazi vettoriali Vn ⊂ X tali che • dimVn = n; • Vn ⊆ Vn+1 per ogni n. Inoltre, poiché hanno tutti dimensione finita, i Vn sono chiusi. A questo punto scegliamo una successione (un) ⊂ X in questo modo: u1 ∈ V1 u1 = 1 In particolare, se n > m abbiamo ∈V un ∈ Vn un = 1, dist(un,Vn−1) ≥ 1 2 . um ∈ Vm ⊂ Vn−1, per cui un − um > 1 2 . La successione (un) non ha sottosuccessioni convergenti, dunque BX non può essere compatto. 31
Versione e856994 32 4. Teoremi fondamentali Enunciamo ora un teorema di compattezza che riguarda lo spazio C0(R n ) := {u ∈ C (R n ,C) | lim u(x) = 0}. |x|→∞ Ricordiamo che, se B è un insieme, B c è il suo complementare. 4.1.4 TEOREMA (di Ascoli-Arzelà) - Un sottoinsieme A ⊆ C0(R n ) ha chiusura compatta se e soltanto se valgono le seguenti proprietà: 1. A equilimitato, ossia supu∈A u∞ < ∞; 2. A equicontinuo, ossia supu∈A sup |y| n, allora x ∈ B(xn,rn) ⊆ Vn per la 4.3. Quindi x ∈ ∞ n=1 Vn. Per la 4.2, x ∈ W . Infatti, che ci dà la 4.1. x ∈ B(x1,r1) ⊆ W, 4.2.2 OSSERVAZIONE - Passando ai complementari, si ottiene una formulazione equivalente del teorema di Baire:
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