Istituzioni di Analisi Matematica - Home Page degli Studenti di ...

Versione e856994
4 1. Gli spazi L p
3. {x ∈ D | f (x) < α} ∈ F per ogni α ∈ R;
4. {x ∈ D | f (x) ≤ α} ∈ F per ogni α ∈ R;
1.1.6 PROPOSIZIONE - 1. Se f , g : D → R sono misurabili, allora f + g , f · g , f ∧ g , f ∨ g sono misurabili.
2. Sia (fn) una successione di funzioni misurabili. Allora
sono misurabili.
sup fn, inf
n→+∞
n→+∞ fn, limsup
n→+∞
fn, liminf
n→+∞ fn, lim
n→+∞ fn (se esiste)
1.1.7 DEFINIZIONE - Una funzione ϕ: X → R misurabile si dice semplice se è della forma
con An ∈ F , µ(An) < ∞ per ogni n = 1,..., N .
Vale la seguente caratterizzazione.
ϕ(x) =
N
αn I An (x)
n=1
1.1.8 PROPOSIZIONE - Sia D ∈ F . Una mappa f : D → R è misurabile se e solo se esiste una successione (ϕn) di
funzioni semplici tali che
lim
n→+∞ ϕn(x) = f (x) per ogni x ∈ D.
1.1.3 Integrale
Integrale delle funzioni semplici
1.1.9 DEFINIZIONE - Sia ϕ: X → R una funzione semplice, ϕ = N n=1
αn I An . L’integrale di ϕ rispetto alla misura
µ è
N
f dµ := αnµ(An).
X
n=1
Indicheremo con S lo spazio delle funzioni semplici.
Integrale delle funzioni positive
Data f : X → [0,+∞] misurabile, si pone:
f dµ := sup
Integrale delle funzioni con segno
Data f : X → R, diremo che f è integrabile se
è finito e, in tal caso, si pone
X
X
X
ϕ dµ ϕ semplice , 0 ≤ ϕ ≤ f
f + dµ o
X
f − dµ
f dµ := f
X
+
dµ − f
X
− dµ
X
Inoltre, se entrambi gli integrali di f + e f − sono finiti, diremo che f è sommabile.
1.1.10 OSSERVAZIONE - Possiamo definire l’integrale su un sottoinsieme di X . Se E ∈ F , si pone
f dµ := f · IE dµ.
In teoria dell’integrazione, è usuale porre +∞ · 0 := 0.
1.1.11 PROPOSIZIONE - Date f , g funzioni misurabili positive, α ∈ [0,+∞[, allora:
1. f ≤ g =⇒
X f ≤ X g .
2.
X αf = α X f .
3.
X f + g = X f + X g .
E
X
.