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Versione e856994
34 4. Teoremi fondamentali
Vediamo che il primo caso implica la 4.4 e il secondo implica la 4.5.
Supponiamo, quindi, che esista N tale che VN non è denso. Ciò equivale a dire che V c
N contiene un aperto,
cioè che esiste x ∈ X , r > 0 tale che B(x,r ) ⊂ V c
N , ossia TuY ≤ N per ogni u ∈ B(x,r ). Adesso usiamo la
linearità per mostrare che T è limitato per ogni v ∈ BX . Sia u ∈ B(x,r ); esisterà v ∈ B(0,1) tale che u = x + r v e
x + r vY ≤ N . Allora:
T vY = 1
r T (r v)Y ≤ 1
r (T (r v + x)Y + T xY ) ≤ 2 N
r .
Abbiamo ottenuto che T è uniformemente limitata su BX , dunque per l’osservazione 4.3.2 otteniamo la 4.4.
Viceversa, se Vn è denso per ogni n, allora poniamo
da cui la 4.5.
G :=
∞
n=1
Vn = {x ∈ X | ϕ(x) = +∞} = {x ∈ X | sup T xY = +∞},
T ∈T
4.3.3 DEFINIZIONE - Se X ,Y sono spazi vettoriali normati, (Tn) ⊂ L(X ,Y ), diremo che Tn → T fortemente se
Tn(x) → T (x) per ogni x ∈ X .
4.3.4 OSSERVAZIONE - La convergenza in norma implica la convergenza forte.
4.3.5 ESERCIZIO - Sia X di Banach, Y uno spazio vettoriale normato e (Tn) ⊂ L(X ,Y ). Se Tn converge fortemente
a T , allora
1. sup n∈N Tn < ∞;
2. T ∈ L(X ,Y );
3. T ≤ liminfn→∞ Tn.
4.3.1 Un’applicazione alle Serie di Fourier
Con il Teorema di Banach-Steinhaus (BS, nel seguito) possiamo dimostrare che esiste un insieme generico di
funzioni continue la cui Serie di Fourier non converge in x = 0. Vediamo come fare.
Innanzitutto, se u ∈ C (T), la sua serie di Fourier troncata ad n è
sn(u(x)) :=
u(k)e 2πi kx .
|k|≤n
|k|≤n
Facciamo vedere che esiste un sottoinsieme generico G ⊂ C (T) per cui sn(u(0)) non converge se n → ∞ per
ogni u ∈ G.
Osserviamo che sn(u, x) := sn(u(x)) = u ∗ qn(x), dove
qn(x) :=
e 2πi kx = sin2π n + 1
2 x
∈ R.
sin(πx)
È lasciato al lettore verificare che
qn
1 → ∞ se n → ∞. Introduciamo una mappa ϕn così definita:
ϕn : C [0,1] → C
ϕn(u) = sn(u,0) = u ∗ qn(0).
Chiaramente ϕn è lineare e inoltre
ϕn(u)
= u ∗ qn(0)
≤ u∞ qn
1 ,
per cui ϕn è anche continuo e vale
ϕn ≤ qn
1 . Dimostriamo adesso che
ϕn ≥ qn
1 , ottenendo l’uguaglianza
delle norme.
Infatti,
ϕn = sup u ∗ qn(0) | u ∈ C [0,1], u∞ ≤ 1
= sup u(x)qn(−x)d x
u ∈ C [0,1], u∞ ≤ 1 .
T