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Versione e856994 1.2. Spazi L p 7 non appena n,m sono più grandi di un certo ν per convergenza della serie. Vediamo ora la condizione sufficiente. Sia (xn) una successione di Cauchy: per ogni ɛ > 0 esiste νɛ tale che per ogni n,m > νɛ vale xn − xm < ɛ. Possiamo restringerci ad una sottosuccessione degli indici (νk ) crescente tale che xν − xν −k < 2 per ogni k. k+1 k Definiamo una successione (yk) come segue: Per costruzione, xνn = n k=0 yk. D’altra parte, ∞ k=0 yk Per ipotesi, esiste y ∈ X tale che y0 := xν0 yk := xν k − xν k−1 . ∞ ∞ ≤ xν0 + xν − xν ≤ xν0 + 2 k k−1 1−k < ∞. k=1 y = lim n n→∞ k=0 yk = lim n→∞ xνn . Poiché se una sottosuccessione di una successione di Cauchy converge, allora tutta la successione converge, abbiamo ottenuto la tesi. 1.2.9 TEOREMA - L p (X ,F ,µ) è completo per ogni p ∈ [1,∞]. Dimostrazione. Sia p < ∞. Utilizziamo la condizione sufficiente data dal lemma precedente. Consideriamo perciò una successione (fn) ⊂ Lp tale che M := ∞ n=0 fn p < ∞ e dimostriamo che esiste f ∈ Lp tale che f = ∞ n=0 fn. Definiamo due funzioni ausiliarie: n ∞ gn := |fk| e g := |fk|. Chiaramente sono tutte misurabili e gn → g quasi ovunque. Inoltre, g ∈ L p . Infatti, X k=0 k=0 |g | p dµ = lim |gn| n→∞ X p dµ per il Teorema di Beppo Levi. Lo stesso vale chiaramente elevando a 1/p: X |g | p 1 p dµ = lim |gn| n→∞ X p 1 p dµ ≤ lim n→∞ k=1 n k=0 fk p ≤ M. Poiché µ({g = +∞}) = 0, allora ∞ k=0 |fk (x)| è finito per quasi ogni x, dunque la serie ∞ assolutamente convergente e dunque convergente. Sia f (x) := ∞ k=0 fk(x). Mostriamo che f ∈ Lp e che n f − fk −−−−→ n→∞ 0. Per quanto riguarda la prima, osserviamo che, per il Lemma di Fatou, X k=0 p |f (x)| p 1 p dµ ≤ liminf n→∞ ≤ liminf n→∞ = liminf n→∞ n fk(x) p dµ X n k=0 n k=0 k=0 X fk |fk(x)| p dµ p ≤ M. 1 p 1 p k=0 fk (x) è quasi ovunque
Versione e856994 8 1. Gli spazi L p Invece, per quanto riguarda la seconda, vediamo che f − n fk k=0 ancora una volta per il lemma di Fatou, Continuità delle traslazioni n f − fk k=0 p = ≤ liminf r →∞ ≤ liminf r →∞ ∞ k=n+1 X fk(x) = lim r k=n+1 r r →∞ k=n+1 r fk k=n+1 p 1 p fk p = Dimostriamo il seguente teorema, che risulterà utile nel seguito. ∞ k=n+1 fk fk(x) ; p −−−−→ n→∞ 0. 1.2.10 TEOREMA - Sia p ∈ [1,+∞[. Per ogni f ∈ L p (R n ), posto fh(x) := f (x + h), vale lim fh − f Lp = 0. h↓0 Dimostrazione. Supponiamo che f ∈ C 0 0 (Rn ) e sfruttiamo un argomento di densità. Se K := supp(f ), sia K1 := {x ∈ R n | dist(x,K ) ≤ 1} e consideriamo ɛ e δ dati dalla uniforme continuità di f . Non appena |h| < δ, |f (x + h) − f (x)| p d x ≤ ɛ p m(K1), R n dunque per arbitrarietà di ɛ, vale la tesi. Sappiamo che C 0 0 (Rn ) è denso in Lp (Rn ), dunque se f ∈ Lp (Rn ) esiste g ∈ C 0 0 (Rn ) tale che fh − gh Lp = f − g L p < ɛ. Poiché, non appena |h| < δ vale allora il teorema è dimostrato. fh − f Lp ≤ fh − gh Lp + gh − g Lp + g − f L p < 2ɛ + ɛ p m(K1),
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