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Versione e856994
12 2. Spazi di Hilbert
2.1.4 DEFINIZIONE - Se U := {u1,...,uk} è una famiglia ortonormale (ossia, ortogonale e
u
j = 1 per ogni j ),
per ogni u ∈ H il j -esimo coefficiente di Fourier di u rispetto a U è (u,uj ).
2.1.5 PROPOSIZIONE (Disuguaglianza di Bessel) - Sia {u1,...,uk} una famiglia ortonormale. Allora
u 2 ≥
e vale l’uguale se e solo se u ∈ Span{u1,...,uk}.
k
|(u,uj )| 2
Dimostrazione. Vale la seguente catena di disuguaglianze:
j =1
j =1
j =1
per ogni u ∈ H
k 2
k
k
0 ≤ u
− (u,uj )u j = u − (u,uj )u j ,u − (u,uj )u j
= u 2 k
k
− (u,uj )(u,uj ) − (u,uj )(u j ,u) +
j =1
j =1
j =1
j =1
j =1
k
(u,uj )(u,uh))(u j ,uh)
j,h=1
= u 2 k
− |(u,uj )| 2 k
− |(u,uj )| 2 k
+ |(u,uj )| 2
perché (u j ,uh) = δj h per ortogonalità del sistema.
L’unica disuguaglianza è la prima ed è un’uguaglianza se e solo se u ∈ Span{u1,...,uk}.
Come conseguenza della disuguaglianza di Bessel, otteniamo la ben nota disuguaglianza di Cauchy-
Schwarz.
2.1.6 PROPOSIZIONE (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) - Per ogni u, v ∈ H, vale
j =1
|(u, v)| ≤ uv.
Dimostrazione. Se v = 0 è banale. Supponiamo che v = 0 e poniamo v := v
v . Applichiamo la disuguaglianza di
Bessel a u e alla famiglia ortonormale {v}. Otteniamo
u 2 ≥ |(u, v)| 2
=
u, v
,
v
da cui |(u, v)| ≤ uv, cioè la tesi.
2.1.7 ESERCIZIO - Dimostrare la disuguaglianza triangolare:
u + v ≤ u + v per ogni u, v ∈ H.
Nota la disuguaglianza triangolare, abbiamo ottenuto il seguente
2.1.8 TEOREMA - La funzione · : H → R è una norma su H.
Diamo finalmente la definizione di Spazio di Hilbert.
2.1.9 DEFINIZIONE - Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale complesso munito di prodotto scalare tale
che la distanza indotta dalla norma associata sia completa.
2.1.10 ESEMPIO - I seguenti insiemi sono spazi di Hilbert con il prodotto scalare specificato.
1. C n con (u, v) := n
j =1 u j v j .
2. l 2 := {}u : N → C | j ∈N |u(j )| 2 < ∞} con il prodotto scalare (u, v) := j ∈N u(j )v(j ).
3. Se A è un insieme, poniamo l 2 (A) := {u : A → C | a∈A |u(a)| 2 < ∞}, dove
|u(a)|
a∈A
2
:= sup |u(a)|
a∈J
2
J ⊆ A, J finito .
Il prodotto scalare su l 2 (A) è
(u, v) :=
u(a)v(a).
a∈A