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Versione e856994
26 3. Basi Hilbertiane
3.5 Sviluppi di Fourier per funzioni regolari
Consideriamo una funzione u ∈ C ∞ (T). In particolare, u ∈ L 2 (T), dunque possiamo calcolare i coefficienti di
Fourier della sua derivata rispetto al sistema ortonormale solito. Un semplice conto mostra che
In generale,
Osserviamo che, per l’identità di Bessel,
u ′
(k) = u
T
′ (x)e −2πi kx
d x = 2πi k u(x)e
T
−2πi kx d x = 2πi k u(k).
k∈Z
k∈Z
u (m) (k) = (2πi k) m u(k). (3.1)
(m)
u 2 L2 =
u (m)
(k) 2
=
(2π) 2m |i k| 2m | u(k)| 2
2m
= (2π) |i k| 2m | u(k)| 2 < ∞,
dunque per ogni N ∈ N vale
|k| N | u(k)| −−−−−→
|k|→+∞ 0.
Definiamo lo spazio delle successioni a decrescenza rapida come l’insieme
k∈Z
s(Z) := {a : Z → C | |k| N a(k) −−−−−→ 0 per ogni N }.
|k|→+∞
Allora la mappa che ad ogni funzione in L 2 associa la successione dei coefficienti di Fourier definisce, per
restrizione, un’applicazione lineare
Viceversa, consideriamo la mappa
così definita
Φ: C ∞ (T) → s(Z).
Ψ: s(Z) → C ∞ (T)
(Ψ(a))(x) :=
a(k)e
k∈Z
2πi kx .
Innanzitutto, è davvero a valori in C ∞ (T) perché la serie delle derivate m-esime di Ψ(a) converge uniformemente
per ogni m, grazie alle proprietà di a. Abbiamo, quindi il seguente diagramma:
L2 (T)
⏐
ι⏐
u→ u
−−−−−→ l 2 (Z)
⏐
⏐ι
C ∞ (T) −−−−−→
Φ
3.5.1 ESERCIZIO - Dimostrare la formula di inversione, cioè che
1. Φ ◦ Ψ = Id|s(Z);
2. Ψ ◦ Φ = Id |C ∞ (T).
3.5.2 OSSERVAZIONI - ◦ Se a ∈ l 1 (Z), allora la serie k∈Z a(k)e 2πi kx è uniformemente convergente, dunque
è ben definita una mappa lineare e continua
s(Z)
Ψ: l 1 (Z) → C 0 (T).
Occorre fare attenzione al fatto che Ψ non è invertibile. Non è conveniente dare ora una dimostrazione di
questo fatto, in quanto lo otterremo più avanti, quando avremo a disposizione risultati più generali 3 .
3 In realtà, sapremo dimostrare che non può esistere alcuna mappa invertibile, lineare e continua definita su l 1 (Z) e a valori in C 0 (T).