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Versione e856994
14 2. Spazi di Hilbert
Caratterizzazione Sia w ∈ C che realizza il minimo della norma e v ∈ C . Per ogni t ∈ [0,1], il vettore w +t(v −w)
appartiene a C per convessità. Allora:
da cui
w 2 ≤ w + t(v − w) 2 = w 2 + t 2 v − w 2 + 2t Re(w, v − w),
t(t v − w 2 + 2Re(w, v − w)) ≥ 0.
Se t > 0 possiamo dividere per t e ottenere t v − w 2 +2Re(w, v −w) ≥ 0. Facendo tendere t a 0, otteniamo
la tesi.
Viceversa, se Re(w, v − w) ≥ 0 per ogni v ∈ C , abbiamo che
v 2 = v − w + w 2 = v − w 2 + w 2 + 2Re(v − w, w) ≥ w 2 ,
che è ciò che volevamo dimostrare.
Vediamo adesso la dimostrazione del Teorema di Proiezione.
Dimostrazione. Il lemma precedente applicato a C − u implica tutto fino alla caratterizzazione.
Vediamo la lipschitzianità. Siano u, v ∈ H. Per la (2.2),
Re(u − P(u),P(v) − P(u)) ≤ 0
Cambiando di segno e sommando, otteniamo
da cui
cioè, dividendo, la tesi.
2.3 Proiettori lineari
Re(v − P(v),P(u) − P(v)) ≤ 0.
Re(u − P(u) + P(v) − v,P(v) − P(u)) ≤ 0,
P(v) − P(u) 2 ≤ Re(v − u,P(v) − P(u)) ≤ v − uP(v) − P(u),
2.3.1 DEFINIZIONE - Un’applicazione P : H → H lineare, continua e tale che P 2 = P è detta proiettore lineare 1 .
2.3.2 OSSERVAZIONE - La definizione ha senso anche su uno spazio di Banach, cioè uno spazio vettoriale
normato e completo.
Vediamo alcune facili proprietà dei proiettori.
2.3.3 PROPOSIZIONE - Sia P : X → X un proiettore su uno spazio di Banach X .
1. I − P è ancora un proiettore.
2. Im(P) = {punti fissi di P} = ker(I − P).
3. X = ker(P) ⊕ Im(P).
4. Se H è di Hilbert, un proiettore P : H → H è autoaggiunto 2 se e solo se la decomposizione H = ker(P)⊕Im(P)
è ortogonale.
Dimostrazione. 1. Chiaramente I − P è lineare e continuo. Inoltre,
(I − P) 2 = (I − P)(I − P) = I 2 − P − P + P 2 = I − P − P + P = I − P.
2. La seconda uguaglianza è ovvia. Sia u ∈ Im(P); allora u = P(v) per qualche v ∈ X .
P(u) = P 2 (v) = P(v) = u.
Viceversa, se u ∈ X è tale che (I − P)u = 0, allora u = P(u), cioè u ∈ Im(P).
1 D’ora in poi ometteremo l’aggettivo lineare.
2 Un operatore lineare su uno spazio di Hilbert si dice autoaggiunto se (u,P v) = (Pu, v) per ogni u, v ∈ H.