Periodico di matematiche - Mathesis

Rivista quadrimestrale - Poste Italiane SpA - Sped. in Abb. Postale - D.L. 353/2003 (conv. in L. n. 46 del 27/02/2004) art. 1 comma 2 - CNS BA
Periodico
di matematiche
Organo della
MATHESIS
Società italiana di scienze
matematiche e fisiche
fondata nel 1895
Numero 3 Set-Dic 2011
Volume 3 Serie XI
Anno CXXI

CONSIGLIO NAZIONALE
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00040 Lavinio Lido di Enea (RM)
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63039 S. Benedetto del Tronto (AP)
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Numero 3 Set-Dic 2011 Volume 3 Serie XI Anno CXXI
Rivista quadrimestrale - Poste Italiane SpA - Sped. in Abb. Postale - D.L. 353/2003
(conv. in L. n. 46 del 2 7/02/2004) art. 1 comma 2 - CNS BA
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Società italiana di scienze
matematiche e fisiche
fondata nel 1895

2 Periodico di matematiche 3/2011
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ISSN 1582-8832
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Editoriale
Un anniversario importante! Ottant’anni fa, nel 1931, K. Gödel pubblicava, su un
periodico scientifico tedesco, l’articolo «Sulle proposizioni formalmente indecidibili
dei “Principia Mathematica” e di sistemi affini» la cui proposizione VI “tutte le
assiomatizzazioni coerenti dell’aritmetica contengono proposizioni indecidibili” è
passata alla storia come il teorema di Gödel. Un risultato che ha avuto così tante
conseguenze e interpretazioni da renderlo punto di riferimento di studiosi e intellettuali
in ogni settore del sapere e segnato così, inequivocabilmente, la storia del pensiero.
L’articolo di Gödel, allora giovane matematico venticinquenne dell’Università
di Vienna, come sempre accade in questi casi, non destò particolari attenzioni anche
perché il suo contenuto era largamente incomprensibile alla gran parte dei matematici.
Poi, gradualmente, ne hanno parlato e scritto un numero sempre più ampio di studiosi
e notissimo è divenuto negli anni sessanta del secolo scorso in ragione dei risultati
di P. Cohen — tra i quali l’indecidibilità dell’ipotesi del continuo — e dell’interesse
crescente per la meccanizzazione e la computer science.
Tra i libri più noti sull’argomento va certamente menzionato “La prova di Gödel”
di Nagel e Newman, più volte ristampato, ma la cui prima edizione è solo del 1958. Un
ventennio più tardi, nel 1979 — la prima edizione italiana è del 1984 — , in modo avvincente
e nuovo, ne ha parlato Douglas R. Hofstaedter che paragona il teorema ad una
perla e il metodo di dimostrazione a un’ostrica. L’«ostrica — egli scrive — è un complicato
essere vivente che nelle sue viscere dà origine a questo gioiello dalla misteriosa
semplicità». Nel libro dal titolo suggestivo: “Gödel, Escher, Bach: un’Eterna Ghirlanda
Brillante”, Hofstaedter parte dalla convinzione che Gödel, Escher e Bach siano solo
“ombre” proiettate in diverse direzioni da una qualche solida essenza centrale. Il suo è il
tentativo di ricostruire questo oggetto centrale intrecciando in un’Eterna Ghirlanda Brillante
i tre fili del discorso che Gödel, Esher e Bach hanno sviluppato. Pagine chiarificatrici
sulla portata del lavoro di Gödel e in particolare sulle implicazioni filosofiche, sulla
meccanizzazione delle procedure algoritmiche e il rapporto mente-macchina si trovano
in Hao Wang: Dalla Matematica alla Filosofia (1974, edizione italiana 1984). Ma le citazioni
da articoli e libri potrebbero essere tante. S. Ulam ad esempio, narra del rapporto
di Gödel con J. von Neumann avanzando anche il sospetto di un disappunto di von
Neumann per non essere stato lui il primo a dare quella dimostrazione di incompletezza.
A Gödel e ai suoi risultati dedicano gran parte della loro affascinante conversazione
A. Connes, A. Lichnerowicz e M.P. Schutzenberger in Triangolo di Pensieri (2001).
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Il risultato di Gödel segna la fine di un sogno, quello che fu di Leibniz e, ancor
prima e ancora dopo, di tanti altri autori, compreso il grande Hilbert, di dominio
assoluto della conoscenza; in questo senso il teorema comporta un non so che di
negativo perché pone un limite alle possibilità dell’uomo anche se ne prova l’inesauribilità
del compito. Infatti, uno dei significati più eccitanti del teorema di Gödel è
che la matematica non finirà mai. Mai potremo dire di aver trovato un ultimo risultato
della matematica e porre così la parola fine alla ricerca, scoperta o invenzione che sia,
matematica. Che la matematica sia la scoperta dei caratteri nei quali il Signore ha
scritto le leggi che regolano l’universo o sia pura e semplice invenzione della mente
umana, il risultato di Gödel afferma che si tratta di attività che non avranno fine. Se
da una parte, da Gödel in poi, sappiamo che mai potremo penetrare la mente di Dio,
dall’altra sappiamo altrettanto bene che l’uomo, in questo mondo fatto da Dio, avrà
sempre da fare, le sue creazioni saranno sempre imperfette e, in matematica, ogni
sistema coerente soffrirà di una ben definita limitazione. La coerenza si paga con una
perdita di qualcosa, con la rinuncia ad ogni aspirazione di completezza del discorso e
di assiomatizzazione globale. La rinuncia a poter dimostrare tutto! Ci sarà sempre
spazio per un atto di fede! Si adatta bene a ciò, quella che fu l’espressione di A.
Weil: «Dio esiste dato che la matematica è coerente, e il diavolo esiste dato che non
possiamo dimostrarne la coerenza». Se il teorema di incompletezza di Gödel fu un
duro colpo inferto anche al programma hilbertiano di completa formalizzazione della
matematica ove i simboli sono svuotati di ogni significato e i ragionamenti espressi
per mezzo di ragionamenti formali, allo stesso tempo lo spirito matematico rimane
inalterato, perché avremo sempre problemi da risolvere. Il motto hilbertiano che in
matematica non esiste ignorabimus continuerà ad essere valido, porremo problemi e
ne troveremo la soluzione, non ci sarà un ultimo risultato e anche la meccanizzazione
avrà i suoi limiti.
Da Gödel in poi la matematica si pone nella dimensione nella quale già Platone
l’aveva colta: ciò che sempre è e che non nasce e non perisce. Una dimensione
di eternità, un fluire perenne, senza origine nè fine. Infatti, dov’è l’origine della
matematica? C’è una radice? Michel Serres che sulla question ha forse indagato più di
tutti è portato a concludere che la matematica «non può dirsi greca, egizia, babilonese,
cinese o indù,. . . non certo perché non sia nata qui o là, in questo o in quel mese, ma
perché la sua lingua e i pensieri che suscita non si riferiscono, nè per il senso nè
per il tempo, ad alcuna terra nota, d’Oriente o d’Occidente, del Nord o del Sud».
Ed ecco la perturbante stranezza: la geometria, ad esempio, risalirebbe a un’origine,
fonte o inizio, a un cominciamento, senza essere attaccata ad alcuna radice, senza
fiorire su alcuno stelo! L’inizio dell’interminabile discorso del grande racconto di
geometria non può che essere un mito: “C’era una volta, intorno al 600 a.C., un uomo
di nome Talete. . . ”. È R. Trudeau [La rivoluzione non euclidea, 1991] ad iniziare
così la sua narrazione, per poi avvertire: “il racconto che sto facendo riguardo alla
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geometria. . . è una specie di mito: attribuisce infatti ad alcuni personaggi leggendari i
più significativi progressi intellettuali, che in realtà devono aver richiesto l’intervento
di molte persone lungo un arco di tempo abbastanza esteso. In mancanza di dati sicuri,
questa storia si è sviluppata partendo da alcune leggende, dal desiderio dei matematici
di conoscere le origini della loro disciplina e dalla considerazione di quelle che, da
un punto di vista matematico, furono probabilmente le tappe fondamentali di questo
sviluppo.”
Per il resto le verità matematiche, a qualsiasi livello, sono spesso apparse in un
ampio orizzonte dapprima in forma appena percepibile e, gradatamente, in modo
sempre più chiaro e distinto. Ad esprimerlo con bella metafora è il matematico Bolyai
al proprio e più famoso figlio Janos: “molte cose hanno un’epoca nella quale esse
sono trovate nello stesso tempo da molte parti, proprio come le violette nascono
dappertutto in primavera”.
In definitiva un racconto, quello della geometria e della matematica in generale,
che possiamo cominciare dove vogliamo ma anche continuare finchè vogliamo perché,
grazie a Gödel, il discorso non potrà dirsi mai chiuso. Un dato di fatto che si vorrebbe
valido per altri ambiti del sapere, altre discipline. Il fisico Freeman Dyson, in Infinito in
ogni direzione (1989) lo esprime in modo molto efficace: «Indipendentemente da quanto
lontana fosse andata la matematica e da quanti problemi avrebbe potuto risolvere,
ci sarebbero sempre state, grazie a Gödel, nuove domande da porre e idee da scoprire.
Spero che si riesca a dimostrare che il mondo della fisica è inesauribile quanto quello
della matematica. . . . In realtà negli ultimi dieci anni sono stati compiuti meravigliosi
progressi; ma spero che la nozione di una sistemazione definitiva delle leggi della fisica
si dimostrerà altrettanto illusoria del concetto di un processo di esatta determinazione
per tutta la matematica. Se dovesse saltar fuori che tutta la realtà fisica può essere
descritta con un sistema finito di equazioni, rimarrei deluso. Avrei la sensazione che
il Creatore avesse dimostrato un’insolita mancanza di fantasia. Dovrei dire, come ha
detto Einstein una volta in un contesto simile: Allora mi spiacerebbe per il buon Dio».
Il riferimento di Dyson è ai fisici teorici impegnati nella GTU — la grande teoria unificata
dell’Universo — nella ricerca cioè delle equazioni che, in analogia alle equazioni
di Maxwell per il campo elettromagnetico, possono descrivere ogni sorta di fenomeni.
Bella al riguardo la conclusione che S. Hawking — già peraltro autore di un saggio dal
suggestivo titolo “La fine della fisica” — dà al suo Dal big bang ai buchi neri uno dei
maggiori successi editoriali degli ultimi decenni. La conclusione di Hawking è educativa
e formativa; egli, infatti, scrive: «Se però perverremo a scoprire una teoria completa,
essa dovrebbe essere col tempo comprensibile a tutti nei suoi principi generali, e non
solo a pochi scienziati. Noi tutti — filosofi, scienziati e gente comune — dovremmo
allora essere in grado di partecipare alla discussione del perché noi e l’universo esistiamo.
Se riusciremo a trovare la risposta a questa domanda, decreteremo il trionfo
definitivo della ragione umana: giacchè allora conosceremmo la mente di Dio».

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Si ritrova cioè il tema di fondo dell’amor Dei intellectualis che N. Cusano individuava
nella conoscenza matematica e in definitiva il convincimento che — come si
espresse H. Weyl — la matematica approssima la mente umana a quella divina più di
qualunque altro strumento. Sono considerazioni che vanno ben al di là dei limiti imposti
da un editoriale. Il fatto è che Gödel porta la matematica ad indagare su se stessa, ad
essere introspettiva, a dare nuovo slancio ai problemi educativi e formativi che sono comunque
nell’essenza della matematica, nel significato etimologico del termine: ciò che
può essere insegnato e ciò che può essere appreso. I matematici non amano tanto indugiare
su un tale lavoro di introspezione; si dividono ed oscillano perennemente tra Platone
e Aristotele, in modo “indecidibile”, tant’è che si dice che sono aristotelici nel corso
della settimana lavorativa e platonici nel week end quando, rilassati, possono godere di
quanto esprime la natura e il mondo che ci circonda. Eppure come si fa ad insegnare ed
apprendere la matematica se non si ha un’idea o una fede in ciò che essa è e rappresenta?
Forse non ha torto chi asserisce che se le cose non vanno proprio bene nell’insegnamento
e nell’apprendimento della matematica questo dipende da un travisamento della
natura della matematica. Che cos’è la matematica? È certo il titolo di un libro. Uno dei
più noti e diffusi al mondo. Un libro che conserva la sua freschezza malgrado i 70 anni
dalla sua prima edizione (1941) e che, in accordo a quanto già osservò il nostro F. Severi,
dovrebbe stare sulla scrivania di ogni studioso e di ogni insegnante di matematica.
R. Courant e H. Robbins ne sono gli autori; ma è un libro di matematica, non sulla
matematica. E non è la “matematica”, ma solo un modo, ancorché brillante, di fare e di
comunicare la matematica. A tentare di colmare la lacuna ha pensato più recentemente
R. Hersh con il suo: Che cos’è davvero la matematica (1997, 2001) e con l’intento
di porre all’attenzione dei matematici la necessità di saperne di più sulla filosofia della
matematica essenziale a sua volta per discorrere di pedagogia della matematica. Hersh
si schiera nettamente a favore di Aristotele, di Locke e Hume, di J.S.Mill, di J. Pjaget
e ancora di G. Polya e di C.S. Peirce, contro il platonismo; asserisce che la matematica
è una “entità socio-storico-culturale”, che non è immutabile e che come tale va considerata
e insegnata. «Quello che c’era nella testa di Archimede è diverso da quello che
c’era nella testa di Newton e questo a sua volta differisce da quel che c’era nella testa
di Gauss. Non è una questione di “quantità”, cioè del fatto che Gauss conoscesse più
matematica di Newton il quale, a sua volta, ne conosceva più di Archimede. È anche
una questione di “diversità”. Lo stato attuale del sapere è inestricabilmente connesso
ad una rete di motivazioni e aspirazioni diverse, di interpretazioni e potenzialità diverse».
Quanto riportato, Hersh l’aveva già asserito in l’Esperienza matematica scritto
in collaborazione con P. Davis (1981, 1985). Una scelta di campo, quella di Hersh che
evidenzia i suoi limiti perché tiene conto di alcune cose e ne trascura altre. A essere d’aiuto
allora è di nuovo il testo di Courant e Robbins, nella rilettura di quella succinta ma
luminosa Introduzione ove si trova la più avvincente e realistica definizione possibile
di matematica. Ed è con essa che inizia il libro: «Come espressione della mente umana,
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la matematica riflette la volontà attiva, la ragione contemplativa e il desiderio di
perfezione estetica. I suoi elementi fondamentali sono la logica e l’intuizione, l’analisi
e la costruzione, la generalità e l’individualità. Tradizioni diverse potranno mettere in
evidenza aspetti diversi, ma è soltanto la reazione di queste forze antitetiche e la lotta
per la loro sintesi che costituiscono la vita, l’utilità e il valore supremo della scienza
matematica». Per un momento la mente va a Dante quando nel canto alla Vergine
armonizza e integra gli opposti: Vergine Madre, figlia del tuo figlio, umile e alta. . .
La matematica è l’unica disciplina a rendere compossibili al suo interno le grandi opposizioni
dialettiche; come una calamita con i suoi poli, presenta, indissolubili, le coppie
antitetiche che ne sostanziano la natura: Algoritmico/Dialettico, Astratto/Concreto,
Discreto/Continuo, Finito/Infinito, Individuale/Collettivo, Locale/Globale, Esoterico/Essoterico,
Razionale/Irrazionale, Ordine/Caos, Uno/Molti, Utile/Inutile . . . (della
coppia Pura/Applicata parla G. Lolli sulle pagine di questo stesso fascicolo del Periodico).
Su ognuna si potrebbe discutere ed imbastire un racconto. Il mito del labirinto,
ad esempio: la coppia algoritmico/dialettico vi trova la sua più incisiva interpretazione.
Per uscire dal labirinto bisogna, o munirsi del filo di Arianna, caratteristico del calcolo
e del pensiero algoritmico, oppure tentare il volo verso l’alto alla conquista della
terza dimensione, di cui modello insuperabile è la misura della piramide effettuata
da Talete: non una misura diretta ma un atto di furbizia della mente: il ricorso ad un
invariante. Un vero atto di magia: un umile strumento e la sua ombra sfidano ciò che
non è accessibile e percorribile, l’altezza della tomba del Faraone e ne hanno ragione!
S’innestano qui le questioni dell’infinitamente grande e dell’infinitamente piccolo,
la divisione di un segmento in n parti uguali e il paradosso di Achille e la tartaruga.
Ma il discorso si amplia alle coppie filosofiche locale/globale e discreto/continuo che
R.Thom, l’autore della teoria delle catastrofi, considera così centrali da costituire le
vere aporie fondatrici della matematica. E un altro francese, ancora M. Serres, scrive
(1993): «La matematica è: tanto oggettiva che è l’unica a essere veramente collettiva;
tanto collettiva che è l’unica a essere veramente oggettiva; tanto inutile che è l’unica
a essere veramente utile; tanto esteriore che è l’unica a essere veramente interiore;
tanto interiore che è l’unica a essere veramente esteriore; tanto nell’essere che eccelle
nella conoscenza; tanto nella conoscenza che eccelle nell’essere; tanto astratta che è
l’unica a essere veramente concreta, tanto concreta che si è creduto, a volte, che il suo
spazio fosse la forma del senso esterno. . . tanto concreta, infine, che è l’unica a essere
veramente astratta: la nascita della sua astrazione. . . deriva dalla somma integrale
del reale più concreto che essa attraversa. Eminentemente oggetto, essa assorbe tutti
gli oggetti; soggetto collettivo, eminentemente, essa pensa da sola, al punto che siamo
divenuti i suoi levìti e i suoi accoliti. Dalla nascita, volenti o nolenti, noi viviamo e
pensiamo in essa e per essa.». Si innesta qui il mito di Metis, mito d’origine della
matematica e della conquista della razionalità. Zeus re dell’Olimpo s’innamora di
Metis, dea della furbizia e dell’astuzia umana; la sposa e la mette incinta. L’evento

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8 Periodico di matematiche 2/2011
terrorizza Zeus! Un figlio potrà fare a lui ciò che lui ha fatto al padre Crono e questi
al padre Urano: detronizzarlo! Mentre Metis dorme al suo fianco, nel talamo nuziale,
Zeus la mangia, la incorpora. La gestazione continua, e quando è tempo, con un colpo
di scure inferto da Efesto, nasce Atena, dea della razionalità; nasce dalla testa di Zeus.
L’impresa di Talete è talmente magica da ispirare Zeus che incorporando Metis origina
la razionalità, fa della sua testa il grembo del pensiero razionale. Ecco che dalla
nascita, volenti o nolenti, noi viviamo e pensiamo in essa e per essa. La matematica
è prodotta dalla mente ma non se ne separa se non come proiezione, come l’ombra
con la piramide, e allo stesso tempo è perenne testimonianza del suo funzionamento,
quasi come esistesse un organo esterno di stimolo e di controllo. Di nuovo platonismo
e aristotelismo. Matematica e Mente: chi la perla e chi l’ostrica? Una matematica
che non può fare a meno della coesistenza al suo interno delle grandi opposizioni
dialettiche non può fare neppure a meno di riflettere su se stessa e sul suo valore
pedagogico e se è ininfluente che tutto sia importato da ambienti matetici, secondo
l’espressione di S. Papert, ambienti cioè ricchi di germi portatori di apprendimento
matematico o sia frutto di innatismo. Secondo il logico Hao Wang ad esempio «Non
è difficile convenire che il concetto di numero è un’idea innata, latente nella mente del
bambino. Ecco perché non è possibile insegnare la teoria dei numeri agli animali, per
quanto si potrebbe allenarli all’uso della parola “numero”» allo stesso tempo le macchine
sanno oggi trattare i numeri tanto bene da essere divenute insostituibili. Sono
queste le questioni che attengono all’insegnamento e apprendimento della matematica,
questioni che sempre Wang include, seguendo l’esempio di Hilbert, in una lista dei
problemi generali che la matematica si trova di fronte a dover affrontare. Il suo, in
definitiva, è un invito ai matematici a curare di più la comunicazione della matematica,
cosa sempre sottovalutata rispetto all’atto creativo ritenuto di gran lunga più importante.
G.H. Hardy ad esempio scriveva, nella sua Apologia (1940, 1989) «Esposizione
critica insegnamento sono attività per cervelli mediocri». Oggi, è il parere non solo
di Wang, impegnarsi nella comunicazione di quanto è noto è forse più importante
dell’impegnarsi nell’ottenimento di nuovi frammenti di matematica; tutto ciò potrebbe
anche aprire il campo alla possibilità della costituzione di una critica matematica come
analogo della critica letteraria. Il problema della comunicazione della matematica è,
comunque, aspetto preponderante del problema pedagogico e Wang, che lo ha posto,
è uno che Gödel lo ha capito bene. Infatti se, contrariamente a Gödel, esistesse una
sistemazione globale e coerente della matematica, il problema pedagogico non sarebbe
neppure da porsi. Quella sistemazione costituirebbe certamente il riferimento sicuro
per una filosofia e una pedagogia altrettanto sicure, una linea di sviluppo del discorso
comunicativo e didattico così come lo è stata per secoli l’organizzazione che Euclide
diede agli Elementi della Geometria. La mancanza di una tale sistemazione, ovvero
di una struttura globale canonica, ha condotto per un certo periodo a sopravvalutare
in campo pedagogico la riduzione categorica e/o logico-sintattica al locale e cioè
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Editoriale 9
le tendenze assiomatiche e logiciste formali. Oggi non è più così, tale riduzione è
stata abbandonata e proprio il tema della organizzazione del discorso matematico è
divenuto centrale per la pedagogia. Un’organizzazione immaginata dotata di ampi
gradi di libertà, non più vincolata a canoni standardizzati di inferenza logica o lacerata
in parti o capitoli di comodo ma possibile incollamento di carte locali costruite intorno
a risultati matematici significativi. Risultati cioè che puntano automaticamente a altri
risultati e che con A. Adler potremmo dire dotati di una maggiore “quantità di moto”
rispetto ad altri. Un’organizzazione che ricostruisce il suo ordine logico, il suo “prima
e dopo” didattico in una visione di “matematica totale”, rispettando i soggetti interessati
(docenti e studenti) in ciò che è loro più congeniale per contenuti e per metodi,
coltivando il gusto e il piacere di fare matematica, potenziando il significato (anche
storico e applicativo) di quello che si fa e arricchendolo dei modi di dire. Spesso la
vera novità — diceva un grande della letteratura — sta nell’efficacia delle espressioni.
Abbiamo l’esigenza di un arricchimento dei modi di dire, visto che il vocabolario
l’abbiamo sempre di più impoverito, essiccato. In genere le definizioni, gli enunciati
dei teoremi sono tutti uguali da libro a libro, da autore ad autore; si ha anche paura
di cambiare, di passare a formulazioni diverse, dire con altre parole. Eppure che cos’è
la cultura se non la miniera, lo scrigno dove depositiamo i nostri tesori o gemme
concettuali esposte nelle espressioni più belle?
Tutti gli insegnanti sanno che molto spesso si comprende qualcosa per la prima
volta solo quando si cerca di spiegarlo a un altro. Nello sforzo di comunicare agli altri,
agli alunni, si impara meglio ciò che già si sa o se ne comprendono aspetti che non
erano chiari o che forse non si possedevano affatto. In effetti quando siamo obbligati,
come nell’attività di insegnamento spesso avviene, a separare le cose essenziali da
quelle accessorie al fine di spiegare, di chiarire la portata di un concetto, di una idea
e il suo significato allora abbiamo modo di compiere delle riformulazioni, cioè di
trovare espressioni diverse di dire riorganizzando le nostre conoscenze. Sono queste
riformulazioni che spesso hanno un’efficacia tale da sorprendere noi stessi che ci
consentono “decolli semantici” nuovi e non posseduti.
Sono questi i principi pedagogici che in tutti i Paesi industrializzati sono stati
accolti nelle norme che regolano i diversi sistemi dell’istruzione e della formazione e
che da noi hanno dato luogo alle moderne Indicazioni e Linee Guida per i nuovi licei,
istituti tecnici e professionali.
A queste ultime abbiamo dedicato l’attenzione del Periodico nell’arco di quest’ultimo
triennio sollecitando a un dibattito collettivo. L’occasione dell’anniversario
del risultato di Gödel può darsi che porti nuova luce invitando a nuove riflessioni e
confronti.. Un ulteriore contributo al tema è offerto dalla pubblicazione su questo
fascicolo delle conferenze di Gabriele Lolli, M. G. Ottaviani e Luigi Verolino tenute
al Congresso Mathesis 2011 di Caserta.
Emilio Ambrisi

“master_3_2011” — 2012/1/7 — 22:53 — page 10 — #10
10 Periodico di matematiche 3/2011
I voti assegnati alla prova di Matematica all’Esame di Stato a.s. 2009-10 (Commissario interno)
Regione Totale Hanno meritato % Sono risultatii % Voto
Diplomati il voto max:15/15 15/15 insufficienti insufficienti Medio
Piemonte 6040 674 11,2 1743 28,9 11,04
Lombardia 12344 1394 11,3 3111 25,2 11,26
Veneto 6302 823 13,1 1539 24,4 11,36
Friuli V.G. 1588 180 11,3 515 32,4 10,92
Liguria 2267 289 12,7 470 20,7 11,53
Emilia Romagna 5295 714 13,5 1383 26,1 11,32
Toscana 5433 646 11,9 1248 23,0 11,30
Umbria 1461 167 11,4 388 26,6 11,18
Marche 2309 318 13,8 385 16,7 11,79
Lazio 9899 1158 11,7 2190 22,1 11,34
Abruzzo 2777 352 12,7 567 20,4 11,49
Molise 797 119 14,9 158 19,8 11,64
Campania 14630 2492 17,0 1411 9,6 12,18
Puglia 7948 1236 15,6 851 10,7 12,11
Basilicata 1100 145 13,2 144 13,1 11,80
Calabria 4921 1039 21,1 291 5,9 12,46
Sicilia 9361 1458 15,6 943 10,1 12,15
Sardegna 2625 215 8,2 866 33,0 10,68
Totale 97097 13419 13,8 18203 18,7 11,63
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Pensiero matematico e pensiero fisico
1 Le matematiche miste
Gabriele Lolli
11
In ricordo di Donatella Iannece
Nell’età moderna, da Bacone fino all’Ottocento si parlava di matematica
mista:
La matematica è o pura o mista: alla matematica pura appartengono
quelle scienze che trattano la quantità completamente separata
dalla materia e dagli assiomi della filosofia naturale. Sono due
queste scienze, la geometria e l’aritmetica; l’una tratta la quantità
continua, l’altra la quantità separata [. . . ] ([Bacon 1623, Book 3])
La matematica mista ha come suo argomento alcuni assiomi e parti
della filosofia naturale, e considera la quantità in quanto essa serve
a spiegare, dimostrare e attivare quelle. ([Bacon 1605, Book 2]) 1
Ancora nell’Ottocento, con questa dizione si intendono le discipline caratterizzate
per il fatto che in essa “le relazioni di spazio e numero [sono] combinate
con principi ricavati da osservazioni speciali” ([Whewell 1858, Parte 1, Libro 2,
cap. I, par. 4]). 2
Il maestro maggiore delle matematiche miste, quasi il nume tutelare, il
protettore, era considerato Archimede:
1 “Mathematics is either Pure or Mixed: To Pure Mathematics belong those sciences which
handle Quantity entirely severed from matter and from axioms of natural philosophy. These
are two, Geometry and Arithmetic; the one handling quantity continued, the other dissevered
[. . . ] ([Bacon 1623, Book 3])
Mixed Mathematics has for its subject some axioms and parts of natural Philosophy,
and considers quantity in so far as it assists to explain, demonstrate and actuate those”.
([Bacon 1605, Book 2])
2 Si veda anche [Cerruti 1908], dove ancora si parla delle matematiche miste nei congressi
della Società i Italiana per il Progresso delle Scienze.
11

“master_3_2011” — 2012/1/7 — 22:53 — page 12 — #12
12 Periodico di matematiche 3/2011
12 Periodico di matematiche 3/2011
[Archimede] volgendosi dalle pure matematiche alle miste discipline
la via si mise a ricercare, per cui dagli oggetti geometrici potea la
sua mente discendere a quei, che son fisici, e da questi a quelli colla
stessa facilità risalire. [Scirà 1823, p. 57]
Ecco la famosa figura della quadratura del segmento di parabola con il
metodo meccanico (non conosciuto da Scirà).
H F
K
N
P
M
A O Q
Nella Figura
- Q è il punto di mezzo di AC,
- QBE è parallela all’asse della parabola
- AF è parallela a QBE
- CF è tangente alla parabola in C
- HK = KC.
Archimede conosce le seguenti proprietà della parabola, che si dimostrano geometricamente,
e
da cui
EB = BQ, F K = KA, MN = NO
CA : AO = MO : OP
CA : AO = CK : KN
HK : KN = MO : OP.
Si consideri K come fulcro di una bilancia con braccia HK e KC.
Coll’aiuto di questa bilancia [un segmento, un punto come fulcro, e punti
massa] fece Archimede ritorno dalle cose fisiche alle geometriche: cominciò
a pesare figure matematiche, e dal modo, con cui queste si equilibrano,
andò trovando il rapporto delle loro superficie. [Scirà 1823, p. 63]
E
B
C
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GabriElE lolli
13
Gabriele Lolli 13
Si prenda un segmento ST = OP centrato in H.
S
H F
T
Esso fa equilibrio a MO nel senso che
HK : KN = MO : ST.
S
H F
T
K
K
N
P
M
A O Q
M
A O Q
I segmenti OP al variare di O in AC riempiono il segmento parabolico ABC, mentre
i segmenti MO riempiono il triangolo CF A.
N
P
E
B
E
B
C
C

“master_3_2011” — 2012/1/7 — 22:53 — page 14 — #14
14 Periodico di matematiche 3/2011
14 Periodico di matematiche 3/2011
Il punto G su CK tale che
CK = 3 KG
è il baricentro di CF A per cui
e inoltre
H F
CF A : segm.ABC = HK : KG
CF A = 4 ABC
e in definitiva
segm.ABC = 4/3 ABC.
K
N
P
M
G
A O Q
Per via adunque del centro di gravità comune agli oggetti fisici e matematici
possono le pure discipline riuscir nelle miste. [Scirà 1823,
p. 58]
Si sa che Archimede doveva dichiarare, per non urtare l’ortodossia alessandrina,
che il suo metodo era solo euristico, permettendo di congetturare il risultato e
quindi più facilmente trovare le dimostrazioni rigorose, con metodi puramente
geometrici (di fatto per esaustione).
Questo significa che fin dall’inizio (o almeno, da Euclide) c’è stata una
matematica pura, nel senso spiegato da Bacone, cioè una matematica che
non fa uso di alcun assioma della filosofia naturale. La matematica mista è
tuttavia una vera matematica, contro l’ortodossia alessandrina; in essa non si
formulano solo euristiche e congetture; la statica di Archimede è potenzialmente
la trasformazione di assiomi della filosofia della natura in teorie matematiche,
o fisico-matematiche.
E
B
C
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GabriElE lolli
15
Gabriele Lolli 15
Non è questa l’occasione per ripercorrere le vicende che hanno portato alla
modifica dell’aggettivo “mista” in “applicata”, sicché ora la distinzione viene a
implicare o presupporre che la matematica delle scienze sia prodotta in modo
autonomo come pura. La dizione “ancella della scienza” esprime la separatezza,
l’indipendenza, della matematica pura. Ci sono state valide ragioni perché la
matematica verso la fine dell’Ottocento cercasse di eliminare la dipendenza
da ogni forma di intuizione sensibile dei propri oggetti, e si volgesse dentro
di sé a chiarire la sua natura e i suoi obiettivi. Ma quando quelle ragioni si
sono esaurite, a metà del Novecento, con Bourbaki, non ci è voluto molto, una
generazione, perché la frattura tra matematica e scienze venisse superata, sul
piano della ricerca. Nella scuola invece l’evoluzione è stata letale. La ragione
è che la matematica formale, pura, viene innestata nelle menti dei giovani in
un momento nel quale la fisicità del corpo e dell’azione è una componente
essenziale della conoscenza.
2 L’insegnamento della matematica
La matematica che viene insegnata a scuola, fatte le debite sparute eccezioni
– non si offendano gli insegnanti che adottano un metodo non tradizionale –
sembra voler confermare l’idea dei filosofi idealisti che nella matematica non
c’è un pensiero. Essa consiste nell’apprendimento mnemonico di una serie di
regole o procedure per svolgere operazioni, o risolvere problemi di tipo formale
(riguardanti cioè numeri ed equazioni).
Se non si seguono correttamente quelle procedure, si sbaglia, ovviamente;
ne deriva l’idea distorta che la matematica consista nella massima precisione;
l’idea è distorta perché instillata e assimilata nel senso che non si possa deviare
dalle regole apprese; il che comporta anche l’idea che ci sia sempre un solo
modo di rispondere in modo adeguato ai quesiti posti.
La concezione della matematica indotta dall’insegnamento tradizionale è
esattamene il negativo dell’immagine reale. Non è vero che per ogni problema
esista soltanto una soluzione giusta; invece esistono sempre tanti modi diversi
di risolvere un problema, ed è già matematica, meglio, la parte più interessante
della matematica, scegliere quello o quelli più adatti, ognuno con i suoi particolari
vantaggi, e le sue ragioni di preferenza. I più sorprendenti sono quelli che
non fanno uso del formalismo stabilito e obbligato. La conferma viene dagli
esperimenti di insegnamento libero e creativo.
Per esempio si consideri questo problema (ripreso da [Boaler 2008]): una
signora che segue una rigida dieta compra tre fette di carne che pesano in
totale 1/3 di kg. Si suppone come si vedrà che le tre fette di carne siano uguali.

“master_3_2011” — 2012/1/7 — 22:53 — page 16 — #16
16 Periodico di matematiche 3/2011
16 Periodico di matematiche 3/2011
La signora ha la prescrizione di mangiare solo 1/4 kg di carne al giorno; si
chiede quante delle fette può mangiare, si chiede il numero – anche frazionario
– delle fette, non la frazione in peso di quello che ha comprato, dal che si evince
che le fette sono uguali.
Per risolvere il quesito numericamente si deve riuscire a concepire, e scrivere
un’equazione, abitudine per inciso che a scuola non si impara; si impara a
risolvere le equazioni proposte dall’insegnante, che tra l’altro solitamente sono
puramente algebriche. Nell’esempio, le equazioni sono anche dimensionali:
3 fette = 1
3 kg
x fette = 1
4 kg
e bisogna eliminare prima le dimensioni
1 fetta = 1
9 kg
x 1 1
kg =
9 4 kg
x = 9
4
per arrivare a un numero di fette che è una frazione.
Consideriamo invece una soluzione ingegnosa trovata da un allievo, o allieva,
in una classe dove si favoriva la ricerca, individuale o di gruppo, di metodi di
soluzione. L’allievo si è fatto il seguente disegno,
che gli rappresentava 1 kg di carne, e poi
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GabriElE lolli
17
Gabriele Lolli 17
La soluzione è geniale, è memorabile. L’invenzione del ragazzo, o ragazza,
è degna di miglior causa che non le fette di carne, una causa che si presenta
spesso nel compito di spiegare la natura, anche nei suoi misteri più profondi.
Nel parlare di Richard Feynman, Freeeman Dyson ha scritto: 3
[. . . ] Feynman rappresentava il mondo con figure piuttosto che con
equazioni. Altri fisici nel passato e nel presente descrivono le leggi di
natura con equazioni e quindi risolvono le equazioni per scoprire che
cosa accade. Feynman evitava le equazioni e scriveva direttamente
le soluzioni, usando le sue figure come guida. Evitare le equazioni
è stato il suo contributo più grande alla scienza. Evitando le
equazioni, egli ha creato il linguaggio che parla la maggior parte
dei fisici moderni.
Il ricorso alle figure da parte dei bambini non è la manifestazione di
una preferenza per l’intuizione geometrica rispetto a quella numerica che nel
matematico maturo caratterizza un tipo piuttosto che un altro di conoscenza;
è una necessità di restare aggrappati al mondo fisico nel momento che viene
loro proposto l’arduo salto alla modellizzazione formale.
Quando i bambini iniziano ad affrontare problemi matematici, gli strumenti
che hanno nel loro bagaglio conoscitivo sono di tipo fisico, e alle manipolazioni
tendono ad appoggiarsi, anche in modo geniale, come prova ulteriormente il
seguente esempio (riportato da [Beckmann 2011]). Come dimostrazione che
la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 ◦ viene eseguita da uno
studente la seguente rotazione di una matita che percorre il perimetro del
triangolo:
3
F. Dyson, “The ‘Dramatic picture’ of Richard Feynman”, New York Review of Books,
2011, n. 2, pp. 39-40.

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18 Periodico di matematiche 3/2011
18 Periodico di matematiche 3/2011
γ
β
Si fa scorrere una matita lungo i lati di un triangolo, partendo dalla base, e ai vertici la
si fa ruotare di un angolo uguale a quello interno corrispondente al vertice proseguendo
sull’altro lato (quindi nel disegno procedendo all’indietro sul secondo lato, in avanti sul
terzo e indietro sulla base), alla fine si torna alla base con la matita invertita, ruotata
di 180 ◦ .
Non è escluso che chi ha inventato questa soluzione fosse figlio di un ferroviere
macchinista. Se invece agli angoli la punta resta sempre avanti, quindi si ruota nel
vertice destro di 180 ◦ −α, e così nei successivi,
dopo tre rotazioni si è spazzato un angolo di 540 ◦ −α − β − γ = 180 ◦ −α − β − γ, e
deve essere 180 ◦ = α + β + γ.
La dimostrazione tradizionale non è difficile, ma richiede di fare intervenire
conoscenze importanti (sulle rette tagliate da una trasversale):
Potremmo chiamare pensiero fisico il naturale sviluppo dei gesti corporei e
degli strumenti materiali. Non dobbiamo interpretare questa disposizione come
un atteggiamento regressivo, ma al contrario costruire a partire da essa una
nuova proposta didattica e cognitiva: “la costruzione di schemi ‘fisici’ di realtà
molto spesso precede di gran lunga quella degli schemi ‘formali’ che dai primi
saranno tratti semplicemente (all’inizio) per proiezione analogico-metaforica
su parti di realtà diverse da quelle da cui sono stati tratti” ([Guidoni 1985]).
α
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GabriElE lolli
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Gabriele Lolli 19
Secondo questa linea, [Iannece e Tortora 2007] sostengono lo sviluppo integrato
di aspetti disciplinari fisici e matematici, come due modi complementari e
“risonanti” di guardare il mondo, e invitano a riconoscere l’identità dei processi
cognitivi sottesi all’apprendimento delle due discipline.
“Nel processo di apprendimento, enfatizzare la sua [della matematica]
separatezza a priori dagli altri settori della scienza, confligge con i processi
cognitivi naturali, figurando così all’origine di molte delle difficoltà manifestate
dagli studenti”.
Se, al contrario, la matematica è concepita come un’astrazione a posteriori di
strutture comuni a diversi contesti, il suo sviluppo strutturale entra in risonanza
con la naturale attitudine di ogni essere umano di costruirsi strutture mentali
e strumenti culturali per interpretare e dare un carattere di previsionalità
all’esperienza, assumendo il ruolo di un linguaggio atto ad esprimere e sostenere
il pensiero.
“La matematica, come la lingua, è infilata un po’ dappertutto. [. . . ] Cioè
non esistono attività propriamente di matematica per il semplice motivo che la
matematica non è un campo della realtà, ma una modalità della mente umana
di rapportarsi alla realtà” (insegnante attiva nel nel progetto europeo PDTR,
citata da [Iannece e Tortora 2007]).
Iannece e Tortora citano Bottazzini (da [Boncinelli, Bottazzini 2000]), che,
a proposito della costruzione del modello dell’ellisse per il moto dei pianeti,
sottolinea come in essa si manifestino due livelli di utilizzo del modello matematico,
uno descrittivo e organizzativo dei dati ed uno generativo, in termini
di conoscenza, che richiede di cogliere la correlazione tra gli aspetti geometrici,
cinematici e dinamici del fenomeno.
Non può sfuggire (dicono Iannece e Tortora) il ruolo di intermediazione
cognitiva che gioca la fisica nel rapporto tra matematica e realtà.
Nell’esempio del moto dei pianeti la coerenza interna della ricerca si regge
sul mutuo rinforzo di dimensioni cognitive diverse: la dimensione di percezioneazione
dell’attrazione gravitazionale, i cui effetti sono esperiti a livello motorio
nella vita quotidiana; la dimensione linguistica della descrizione fisica della
stessa in termini di forza, costrutto concettuale astratto introdotto per descrivere
gli effetti di una molteplicità di agenti; la dimensione previsionale presente
nella formulazione dell’ipotesi di Newton in termini di rapporto causa-effetto,
che si esprime come dipendenza funzionale della forza di attrazione dall’inverso
del quadrato della distanza, e infine la dimensione della verifica, quando
l’osservazione della posizione del sole conferma i dati geometrici individuati
nella previsione. “Nella sistemazione disciplinare della legge di attrazione
gravitazionale sono presenti due strumenti matematici, l’ellisse e la funzione
di variabile reale [. . . ] mentre dalla fisica non solo traggono il loro senso in

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20 Periodico di matematiche 3/2011
20 Periodico di matematiche 3/2011
termini di uso [. . . ] ma si arricchiscono di una semantica e di una semiotica di
natura percettiva”. 4
3 Il meccanico matematico
Le ricerche di Newton potrebbero sembrare troppo eccezionali, lontane
dalla quotidianità didattica; abbiamo bisogno di esempi che siano alla portata
di tutti. Ne troviamo una ricca raccolta in [Levi 2009], che si propone di
rovesciare l’idea che la matematica sia l’ancella della fisica: “in questo libro
la fisica è messa al lavoro per la matematica, dimostrandosi un’ancella molto
efficiente” (p. 2).
Mark Levi ha studiato in Unione sovietica negli anni 70, e già nella scuola
secondaria aveva incontrato questa impostazione in [Uspenski 1961]; per altri
esempi rimanda a [Kogan 1974] e a [Balk e Boltyanskii 1987].
Una nuova tipologia di dimostrazione viene aggiunta a quelle note, la dimostrazione
fisica. Per risolvere un problema matematico con un ragionamento
fisico, il primo passo è la definizione di una “incarnazione fisica del problema”,
così rovesciando l’impostazione usuale che costruisce un modello matematico
di un problema fisico. Il modello matematico consiste di solito in un insieme
di equazioni differenziali; queste possono spesso essere sostituite da equazioni
algebriche vettoriali tra i concetti fisici. Un meccanico ragiona per esempio in
termini di forze, energia, potenziali, equilibrio e simili. Non sono concetti della
fisica naïve, ma concetti della fisica matematica dove la parte matematica non
potrebbe essere in nessun modo separata da una parte sperimentale: “Anche il
pensiero su forze e movimenti coinvolge una assai complessa formalizzazione
[. . . ] Si sarebbe tentati, in polemica con Piaget, di definirla direttamente
come uno degli esempi tipici di ‘formalizzazione fisica’: sorgente essa stessa
dell’esplicitazione di molteplici ‘formalizzazioni matematiche’, che vi sono
originariamente sovrapposte e intrecciate” ([Guidoni 1985]).
La matematica pura quando lavora con questi concetti tende a ricondurli
alle loro definizioni, sciogliendo i potenti passi inferenziali che sono compattati
entro risultati ben stabiliti, per esempio principi di conservazione. Allora si
perde quella che si usa chiamare intuizione fisica, ma che non ha nulla di
intuitivo, bensì è l’insieme delle conoscenze fisiche.
In una situazione tipica, la soluzione è data dall’equilibrio di un sistema,
quindi dall’annullarsi dell’energia potenziale.
Il primo e più semplice esempio in [Levi 2009, p. 6] è il seguente: per
dimostrare che dati tre punti A, B, C in un piano il punto X per cui la distanza
4 Iannece e Tortora rimandano a [Vygotskij 1934].
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GabriElE lolli
21
Gabriele Lolli 21
XA + XB + XC è minima è quello per cui i tre angoli A ˆ XB, A ˆ XC e B ˆ XC
sono tutti uguali a 120 ◦ , si leghino insieme tre cordini facendoli passare in tre
buchi tagliati in A, B e C, con lo stesso peso (peso convenzionale 1) attaccato
alle estremità:
A
B
X
Il punto del piano dove giace il nodo dei tre cordini, con il sistema in equilibrio,
è il punto cercato. La somma XA + XB + XC ha il significato fisico di energia
potenziale del sistema: la distanza XA è l’energia potenziale del primo cordino,
in quanto per portare A a X occorre sollevare il peso unitario di AX. In
equilibrio, le tre forze di tensione nel punto X assommano a zero e quindi,
rappresentate da vettori, formano un triangolo, se applicati consecutivamente:
Il triangolo è equilatero perché le tre forze sono uguali, quindi gli angoli
tra i vettori sono di 120 ◦ .
La soluzione matematica richiede le derivate; indicando i punti X, A, B, C con
〈x, y〉, 〈a1, a2〉, 〈b1, b2〉, 〈c1, c2〉 rispetto a un sistema di riferimento nel piano, la soluzione
consiste nel minimizzare la somma
S(x, y) = (x − a1) 2 + (y − a2) 2 + (x − b1) 2 +)y − b2) 2 + (x − c1) 2 +)y − c2) 2
120
ponendo uguale a zero il gradiente ∇S = ( ∂S
∂x
(x − a1) 2 + (y − a2) 2 sono
x − a1
(x − a1) 2 + (y − a2) 2
e
C
∂S , ∂y ) di S. Le derivate parziali di
y − a2
(x − a1) 2 ,
+ (y − a2) 2

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22 Periodico di matematiche 3/2011
22 Periodico di matematiche 3/2011
ed
ea =
x − a1
(x − a1) 2 y − a2
,
+ (y − a2) 2 (x − a1) 2 + (y − a2) 2
è un vettore unitario.
Analogamente per gli altri due punti; il il gradiente risulta la somma dei vettori
unitari ea + eb + ec che formano un triangolo equilatero, come sopra.
Benché Levi faccia una dichiarazione programmatica minimalista, secondo la
quale l’argomento fisico può essere uno strumento di scoperta e di comprensione
intuitiva, egli stesso ammette che la traduzione in linguaggio matematico e
la soluzione con tecniche matematiche fanno perdere qualcosa. La meccanica,
da cui soprattutto trae i suoi esempi, è “un attributo fondamentale del nostro
intelletto”; è “geometria con enfasi sul movimento e sul contatto”, che aggiunge
una dimensione di percezione.
D’altra parte anche Federigo Enriques nella sua analisi sui fondamenti
della geometria sosteneva che le rappresentazioni di base erano connesse alle
sensazioni tattili muscolari, a quelle del contatto e quelle della visione
([Enriques 1901]).
Altri esempi:
1. Teorema di Pitagora. Una dimostrazione fisica del teorema di Pitagora
basata sull’equilibrio delle forze.
Si immagini una vaschetta a forma di prisma triangolare equilatera
montata in modo che possa ruotare intorno a un asse perpendicolare
passante per un vertice dell’ipotenusa.
P
a
c
b
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“master_3_2011” — 2012/1/7 — 22:53 — page 23 — #23
GabriElE lolli
23
Gabriele Lolli 23
Se riempita d’acqua, questa esercita sulle pareti una forza in tre diverse
direzioni che tendono a far ruotare la vaschetta intorno al perno P .
Naturalmente la vaschetta non ruota, altrimenti avremmo un motore
senza carburante, contro il principio di conservazione dell’energia.
Possiamo supporre, in mancanza di ragioni al contrario, che la pressione
contro le pareti sia uniforme, e giocando sulla quantità di acqua possiamo
inoltre supporre che sia 1 per unità di lunghezza delle pareti; allora le
tre forze sono a, b e c applicate nei baricentri delle pareti.
b/2
P
c
a
La torsione di una forza rispetto a un perno P è la grandezza della forza
per la distanza della linea di forza dal punto di perno.
Ricordiamo che se una forza F è applicata in un punto A e O è il punto scelto
come fulcro, o pivot, la torsione o momento di F rispetto a O è il prodotto
T = L × F dove L = OA.
l sin α f sin α
l
O
α
b
α
f

“master_3_2011” — 2012/1/7 — 22:53 — page 24 — #24
24 Periodico di matematiche 3/2011
24 Periodico di matematiche 3/2011
Se indichiamo con f il modulo della forza F, e con l quello di L, allora il modulo
della torsione, l · f · sin α, si può anche calcolare come il prodotto del modulo f
della forza per la distanza l · sin α della retta della forza dal fulcro O.
Le corrispondenti leve sono allora a/2, b/2 e c/2 e la condizione che la
torsione sia nulla è
ovvero
a · a/2 + b · b/2 − c · c/2 = 0,
a 2 + b 2 = c 2 .
Qualcuno potrebbe obiettare che se si usano concetti derivati dalla trigonometria
si presuppone il teorema di Pitagora, e quindi l’argomento presentato
sarebbe circolare. Tuttavia una simile obiezione non coglie il senso della proposta;
non è una versione aggiornata della Logische Aufbau der Welt di Rudolph
Carnap (1928); l’obiettivo non è quello di costruire la matematica su fondamenta
che siano costituite da concetti fisici; abbiamo già detto che quelli a cui
facciamo riferimento sono intrisi di matematica, non primitivi e ricavati solo
dalle sensazioni o osservazioni. Si vogliono presentare esempi per convincere
della possibilità di sviluppare matematica e fisica in modo integrato, al di là
dei concetti più semplici; non si pretende che questi esempi, scelti per ora solo
per la facilità della loro comunicazione, siano proprio quelli che potrebbero
trovare spazio in un progetto didattico adeguato.
I prossimi esempi sono piuttosto generalizzazioni del modo di procedere dei
ragazzi di cui abbiamo ricordato sopra le sorprendenti prestazioni.
2. Teorema di Pitagora, per rotazione.
Se si fa ruotare un triangolo rettangolo nel piano intorno a un estremo
dell’ipotenusa, si vedono spazzati due cerchi, di area rispettivamente πc 2
e πa 2 . L’altro cateto b spazza la corona circolare differenza dei due cerchi,
c
a
b
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sicché
πc 2 = πa 2 + area corona.
Per calcolare l’area della corona circolare, si consideri che il cateto compie
un movimento rotatorio mentre la sua base percorre la circonferenza di
raggio a. Se si tiene ferma la sua base e si compie solo il movimento
rotatorio, il segmento spazza un cerchio di raggio b,
quindi
πc 2 = πa 2 + πb 2 .
3. Il paradosso della bicicletta
Il ragionamento fatto sulla corona circolare è un caso particolare del
teorema sulla bicicletta, o del paradosso della bicicletta: qualunque sia
il percorso chiuso compiuto da una bicicletta in modo che le traiettorie
delle due ruote non si intersechino, l’area compresa tra le due traiettorie
è indipendente dal percorso.
L’area è uguale a πb 2 dove b è la distanza tra i punti di contatto al
suolo delle due ruote. I velocisti su pista di qualche generazione fa, come
b

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Antonio Maspes, erano veri artisti e giocolieri, non contavano solo sulla
potenza; essi erano capaci di tenere fissa la ruota posteriore sullo stesso
punto mentre le facevano compiere un giro completo su se stessa.
4. Area sottesa dalla trattrice.
Con lo stesso metodo si calcola immediatamente l’area racchiusa dalla
trattrice, generata da un segmento di lunghezza b; la definizione matematica
è quella di una curva tale che in ogni punto la tangente incontra
l’asse x in un punto a distanza costante b dal punto di tangenza.
La trattrice si può immaginare come la curva descritta dalla ruota posteriore
di una bicicletta che, posta all’inizio con la ruota davanti nell’origine
e quella posteriore in 〈0, b〉, si muova nella direzione perpendicolare, con
la ruota anteriore lungo l’asse x.
b
y
b
L’area compresa tra la trattrice e l’asse x, benché la superficie non sia
limitata, è 1
4 πb2 , dal momento che il segmento di lunghezza b nel suo
movimento, ruota di π
4 .
5. x
0 sin t dt = 1 − cos x con un pendolo.
Si consideri un pendolo costituito da un punto di peso 1 su un’asta priva
di peso di lunghezza 1 che ruota sul perno O.
x
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t
dt
sin t
Se il peso è 1 come la lunghezza della corda, occorre una forza sin t
per tenere il pendolo a un angolo t rispetto alla verticale; lo si vede
considerando i due triangoli rettangoli:
t
1
1
sin t
Il lavoro necessario per spostare il pendolo da t a t + dt è sin t dt, e da 0
sin t dt.
a x è x
0
D’altra parte la variazione in energia potenziale è peso per altezza =
1 − cos x:
O
1 − cos x {
x
1

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28 Periodico di matematiche 3/2011
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6. d d
dt sin t e dt cos t per rotazione.
Un punto P ruoti su una circonferenza unitaria con velocità unitaria,
partendo da P0 al tempo 0:
Il vettore di posizione è
La velocità è
v =
O
y
t
r
| r |=| v |= 1.
OP = 〈cos t, sin t〉.
v
d d
cos t, sin t .
dt dt
Siccome v è perpendicolare a OP , i lati corrispondenti dei due triangoli
sono perpendicolari e gli angoli corrispondenti congruenti, ed è subito
visto che
v = 〈− sin t, cos y〉.
Si può facilmente immaginare che problemi di calcolo di baricentri, massimi
e minimi, problemi isosperimetrici, ottica e altri si prestano a questa trattazione
meccanica. Levi utilizza anche la teoria dell’elettricità e quella del moto dei
fluidi.
P
x
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4 La filosofia della matematica
Piaget e Bourbaki hanno da tempo esaurito la loro forza propulsiva; gli
educatori ne hanno preso atto, non così la filosofia della matematica; sono
state proposte sì filosofie umanistiche, e tra queste in particolare c’è stata una
ripresa della filosofia empiristica, ma molto timida, e forse per questo fuori
bersaglio.
La filosofia empiristica della matematica insiste soprattutto su un tema,
quello della validazione dei risultati, e sostiene che le procedure della matematica
non sono diverse da quelle delle scienze naturali: l’induzione per enumerazione
avrebbe la prevalenza, nello stabilire la verità, sulla dimostrazione. Semplificando
la realtà delle procedure della matematica, e delle scienze stesse, gli
empiristi hanno finito per condurre una polemica sterile esclusivamente contro
la logica e la dimostrazione.
Anche i matematici che si dedicano a quella che ormai viene chiamata
matematica sperimentale hanno un atteggiamento ambiguo.
Borwein per esempio in diversi interventi, anche in contesti di didattica
della matematica, continua meritoriamente a fare propaganda alla matematica
sperimentale permessa dal calcolatore, con le ricerche e la formazione di
congetture che permette. Afferma sempre che la dimostrazione è insostituibile,
e tuttavia si barcamena con un colpo al cerchio e uno alla botte: afferma
anche che in ultima analisi la matematica non riguarda la dimostrazione ma
la conoscenza sicura ([Borwein 2002, p. 27]); confessa che “[m]olti matematici
hanno incominciato a sentirsi costretti dai vincoli posti dalla nostra concezione
generale di dimostrazione” ([Borwein, Bailey 2004, p. 245]), e anche che a lui
della dimostrazione non importa nulla.
Il problema non è dire sì o no alla dimostrazione, ma arricchire il concetto
di dimostrazione stessa. Non meraviglia che la visione di una dimostrazione
fisica come si manifesta in Levi sia sopratutto sostenuta da matematici russi,
con la loro grande tradizione didattica. 5
5 L’argomento è sviluppato maggiormente in [Lolli 2012].

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30 Periodico di matematiche 3/2011
30 Periodico di matematiche 3/2011
Riferimenti bibliografici
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[Iannece e Tortora 2007] D. Iannece, R. Tortora, “La Risonanza nei
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http://www.seminariodidama.unito.it/mat07.php
[Kogan 1974] B. Yu. Kogan, The Applications of Mechanics to Geometry, Univ.
of Chicago Press, Chicago, 1974.
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[Levi 2009] M. Levi, The Mathematical Mechanic: using physical reasoning to
solve problems, Princeton Univ. Press., Princeton, 2009.
[Lolli 2012] G. Lolli, “Empiricism and Experimental Mathematics”, prossima
pubblicazione in un volume in onore di C. Cellucci.
[Scirà 1823] Abate Domenico Scirà, Discorso intorno ad Archimede, Nella
Reale Stamperia, Palermo, 1823.
[Uspenski 1961] V. A. Uspenski, Some Applications of Mechanics to
Mathematics, Pergamon Press, New York, 1961.
[Vygotskij 1934] L. S. Vygotskij, My˘slenie i rec’. Psichologiceskie issledovanija,
Mosca, 1934; trad. it. Pensiero e Linguaggio. Ricerche psicologiche (a
cura di L. Mecacci), Laterza, Bari, 1990.
[Whewell 1858] W. Whewell, The Philosophy of the Inductive Sciences,
London, 1858.
✉Gabriele Lolli
Scuola Normale Superiore, Pisa
gabriele.lolli@sns.it
Relazione tenuta al Congresso Mathesis di Caserta 2011.

“master_3_2011” — 2012/1/7 — 22:53 — page 32 — #32
32 Periodico di matematiche 3/2011
I voti assegnati alla prova di Matematica all’Esame di Stato a.s. 2010-11 (Commissario esterno)
Regione Totale Hanno meritato % Sono risultatii % Voto
Diplomati il voto max:15/15 15/15 insufficienti insufficienti Medio
Piemonte 6976 308 4,4 3210 46,0 9,79
Lombardia 15211 602 4,0 6959 45,7 9,76
Veneto 7976 403 5,1 3243 40,7 10,16
Friuli V.G. 2211 102 4,6 1052 47,6 9,83
Liguria 2705 127 4,7 1274 47,1 9,73
Emilia Romagna 6440 380 5,9 2503 38,9 10,27
Toscana 5756 305 5,3 2370 41,2 10,10
Umbria 1783 135 7,6 672 37,7 10,30
Marche 2697 160 5,9 889 33,0 10,63
Lazio 12316 539 4,4 5208 42,3 9,94
Abruzzo 3263 147 4,5 1226 37,6 10,30
Molise 815 23 2,8 238 29,2 10,60
Campania 16787 1072 6,4 3978 23,7 11,09
Puglia 9403 762 8,1 1912 20,3 11,28
Basilicata 1597 64 4,0 519 32,5 10,52
Calabria 5158 523 10,1 641 12,4 11,86
Sicilia 10914 613 5,6 2986 27,4 10,87
Sardegna 3077 119 3,9 1511 49,1 9,62
Totale 115085 6384 5,5 40391 35,1 10,43
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Insegnare ed apprendere
statistica e probabilità a scuola:
il problema dell’aggiornamento degli insegnanti
Maria Gabriella Ottaviani
Abstract: This paper aims to motivate the teaching and learning of statistics and probability in Italian
schools, to enlighten the need for math teachers training and to present statistics teaching materials in
Italian that both teachers and students have at their disposal into the Web.
1 Introduzione
Le nuove disposizioni sull’istruzione secondaria di secondo grado hanno generalizzato
a tutte le tipologie di scuole superiori l’insegnamento di statistica e probabilità,
nell’ambito dell’insegnamento di matematica (AMBRISI, 2010; BOLONDI, 2010),
completando così il percorso curricolare verticale dalla primaria alla secondaria di
secondo grado.
Ciò crea nella scuola, in particolare tra i docenti, molti problemi pratici.
Gli studi universitari seguiti da larga parte degli insegnanti di matematica non
prevedono corsi di statistica, né di didattica della statistica. In generale gli insegnanti
di matematica non conoscono la statistica e non hanno esperienza diretta del suo
insegnamento, vissuta in classe da studenti. Anche la probabilità non è molto ben
conosciuta, né lo è la sua didattica. L’insegnamento di statistica e probabilità parte
così con un grande svantaggio visto che nella scuola italiana non c’è tradizione del
loro insegnamento.
Per un insegnante è importante anche la sua opinione sugli argomenti che insegna.
Può succedere che chi non conosce un argomento non sia ben disposto verso di esso, e
non intenda studiarlo ed approfondirlo. Da qui un ulteriore svantaggio, poiché chi non
conosce a fondo un argomento, raramente motiva se stesso e gli studenti ad affrontarlo.
Un modo per rompere il circolo vizioso che ne rende difficile l’insegnamento
consiste nel fare conoscere la statistica e la probabilità agli insegnanti in modo che
conoscendole, anche nei loro rapporti reciproci e con gli altri nuclei della matematica,
essi ne colgano l’essenza, trovino gusto al loro insegnamento e le implementino in
classe.
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34 Periodico di matematiche 3/2011
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2 Statistica e probabilità a scuola. Perché?
A promuovere l’introduzione di statistica e probabilità nel curricoli scolastici di
ogni ordine è stato senza dubbio il progetto internazionale PISA (Programme for
International Student Assessment) che valuta le competenze dei 15-enni scolarizzati
in numerosi Paesi dell’OECD. Iniziato nel 2000, il progetto prosegue ogni tre anni sui
temi: lettura, matematica, scienze. A rotazione, partendo dalla comprensione dalla
lettura, uno dei tre temi indicati è quello principale. Nel tempo si sono susseguite
le edizioni: 2000, 2003, 2006, 2009. Basati sul concetto delle competenze e non
su quello delle conoscenze, gli esiti della valutazione PISA, nelle edizioni iniziali,
sono stati una débâcle per gli studenti italiani. Per quanto riguarda la matematica,
le competenze richieste hanno riguardato i nuclei chiave: Quantità (assimilabile a
Aritmetica ed algebra), Spazio e forma (assimilabile a Geometria), Cambiamento
e relazioni (assimilabile a Relazioni e funzioni), Incertezza (assimilabile a Dati e
previsioni). Gli studenti italiani si sono mostrati poveri in particolare nei nuclei
“Relazioni e funzioni” e “Dati e previsioni” (OTTAVIANI ET AL., 2005).
Sulla scia di quanto stava avvenendo in Europa e nel mondo, i responsabili dell’Istruzione
in Italia hanno: predisposto nuovi curricoli, si sono proposti di aggiornare
i docenti ed hanno istituito presso l’INVALSI il Servizio Nazionale di Valutazione
degli apprendimenti.
L’esigenza di sviluppare competenze, senza più limitarsi alle conoscenze, nasceva
dal Parlamento Europeo e dal Consiglio dell’Unione come risposta europea alla
globalizzazione e al passaggio verso economie basate sulla conoscenza. La Raccomandazione
del 18 dicembre 2006, relativa a Competenze chiave per l’apprendimento
permanente, conteneva suggerimenti sulla cui linea si mossero le “Indicazioni per il
curricolo per la scuola dell’infanzia e per il primo ciclo dell’istruzione” licenziate
dall’allora Ministro Fioroni il 31 luglio 2007. Nella raccomandazione del 23 aprile
2008 sulla Costituzione del Quadro europeo delle qualifiche per l’apprendimento
permanente, 1 Parlamento e Consiglio Europeo affermarono che: “Lo sviluppo e il
riconoscimento delle conoscenze, delle abilità e delle competenze dei cittadini sono
fondamentali per lo sviluppo individuale, la competitività, l’occupazione e la coesione
sociale della Comunità”. Il documento definì le competenze come: “comprovata capacità
di utilizzare conoscenze, abilità e capacità personali, sociali e/o metodologiche, in
situazioni di lavoro e di studio e nello sviluppo professionale e personale”. Le competenze
sono perciò di una metaqualità dell’individuo che la scuola deve concorrere a
sviluppare.
L’attenzione all’individuo in tutti gli aspetti della sua vita: componente di una
famiglia, studente, lavoratore, cittadino coinvolto consapevolmente nella società fa
1Cfr. http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=OJ:C:2008:111:
0001:0007:it:PDF
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emergere fra l’altro la sua esigenza di dover: interpretare dati statistici forniti sotto
forma di tabelle, leggere grafici, comprendere il significato di rapporti, di numeri indici,
interpretare i risultati di un’indagine campionaria, prevedere andamenti di fenomeni
economici e finanziari e di dover prendere opportune decisioni in base ad informazioni
quantitative e in situazione di incertezza. È necessario perciò che l’individuo abbia
una formazione culturale che gli consenta di affrontare il diffondersi nella società di
una maggiore attenzione agli aspetti quantitativi del sapere e della realtà economica
e sociale, e quindi una formazione culturale che lo metta in grado di affrontare in
modo critico la massa di informazioni quantitative che quotidianamente gli vengono
fornite dai mezzi di comunicazione di massa della società dell’informazione. In questo
contesto culturale si giustifica l’inserimento della statistica e della probabilità a scuola.
Ed è ancora una volta il PISA che dà modo di cogliere la motivazione dell’inserimento
della statistica e della probabilità nel curricolo di matematica proprio a partire dalla
definizione di competenza matematica:
“La competenza matematica è la capacità di un individuo di identificare e comprendere
il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni
fondate e di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono
alle esigenze della vita di quell’individuo in quanto cittadino che esercita un ruolo
costruttivo, impegnato e basato sulla riflessione.” (OCSE, 2004, p.29)
Tale definizione non pone problemi di livello minimo di conoscenza della matematica.
Circa la sua conoscenza e il suo utilizzo, si può andare da situazioni quotidiane a
situazioni inusuali, dal semplice al complesso. La definizione include l’abilità di porre,
formulare e risolvere problemi, utilizzando la matematica in una pluralità di situazioni
e contesti. I contesti spaziano da situazioni puramente matematiche a situazioni in cui
non è presente, almeno in apparenza, alcuna struttura matematica, che deve essere
allora individuata con successo da chi pone o risolve il problema. Fra i contesti quelli
di tipo quantitativo sono spesso proposti dalla realtà quotidiana. I fenomeni presentati
in modo quantitativo sono fenomeni collettivi di diversa natura: demografica,
economica e sociale. Essi vanno rilevati, rappresentati, analizzati, interpretati non
solo per conoscerli, ma anche per effettuare scelte in condizione di incertezza. Dato
che la trattazione dei fenomeni collettivi va fatta seguendo i canoni della statistica,
l’introduzione del concetto di competenza matematica ha portato con sé l’inserimento
di quell’ambito che PISA denomina “Uncertainty” e che nel curricolo italiano di
matematica va sotto il nome di “Dati e previsioni”.
3 Statistica e probabilità: loro natura
Anche se statistica e probabilità, nell’insegnamento di matematica a scuola
appartengono allo stesso nucleo, in effetti non hanno la stessa natura.

36 Periodico di matematiche 3/2011
36 Periodico di matematiche 3/2011
La probabilità ha il compito di affrontare lo studio dell’incertezza, appartiene
alla matematica e, come il ragionamento matematico, è deduttivo (ANICHINI, 2010).
La statistica è il metodo per lo studio scientifico dei fenomeni collettivi, ossia quei
fenomeni che si possono conoscere solo eseguendo una massa di osservazioni individuali
(GINI, 1962). Per raggiungere il suo scopo, la statistica si avvale della
matematica in modo strumentale, utilizzandone il linguaggio formale ed argomenti
quali ad esempio: numeri, figure, geometria, funzioni, calcolo infinitesimale, analisi
numerica, calcolo vettoriale e via dicendo, a seconda delle esigenze che lo studio della
realtà e la metodologia statistica utilizzata richiedono.
L’osservazione e la raccolta di dati qualitativi e quantitativi sono necessari per
rilevare: la variabilità dei fenomeni naturali e l’incertezza degli eventi.
Di fronte alla variabilità dei fenomeni l’uomo cerca regolarità che possono portare
alla scoperta di leggi di natura, di modelli di comportamento. Di fronte all’incertezza
degli eventi l’uomo cerca strategie vincenti in termini di probabilità degli accadimenti
e di misura del rischio. (MONARI, 2010)
La variabilità dei fenomeni naturali si affronta grazie alla statistica. Effettuate
l’osservazione e la raccolta dei dati, si avvia il processo di classificazione che sostanzialmente
rende simile gli elementi che compongono una popolazione rispetto
alle modalità di una o più caratteristiche (qualitative o quantitative), pervenendo alla
costruzione di distribuzioni statistiche di uno o più caratteri. È la conoscenza della
distribuzione statistica che dà la possibilità di studiare leggi e relazioni distributive,
ossia di: modelli statistici.
L’incertezza di un evento, invece, viene misurata con la probabilità. “Nel tempo,
la ricerca scientifica ha cercato, più che la definizione di probabilità, i criteri con cui
stimarne la misura per poterla efficacemente utilizzare” (MONARI 2010).
“Nei giochi di sorte la probabilità dell’evento incerto è dato dal rapporto tra
numero di esiti favorevoli dell’evento e numero di esiti possibili, all’interno di uno
schema combinatorio costituito da un numero finito di possibilità. Nei fenomeni reali
il criterio di misura è determinato dalla prassi della ricerca moderna:
– la probabilità di un evento ripetibile (in senso statistico e classificatorio) si stima con
la sua frequenza di accadimento, calcolata in un numero sufficiente di osservazioni;
– la probabilità di un evento non ripetibile trova sostegno logico nel cosiddetto criterio
della scommessa e la sua misura dipende dall’esperto che la produce.” (MONARI,
2010)
La statistica consente di misurare la probabilità di eventi ripetibili.
Statistica e probabilità insieme concorrono ad affrontare la variabilità dei fenomeni
naturali e l’incertezza degli eventi.
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Maria GabriElla ottaviani
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4 Statistica e probabilità a scuola nell’esperienza internazionale
Per quanto si possa cercare di argomentare in modo convincente la necessità che
il bagaglio culturale di un cittadino moderno includa statistica e probabilità, nei fatti,
nella scuola si avverte un certo malessere nell’insegnamento delle due discipline e
non solo oggi, e non solo in Italia, dato che la mancanza di preparazione di base
in statistica e probabilità nella formazione degli insegnanti di matematica è comune
ovunque nel mondo.
Ciò è testimoniato da un Studio edito recentemente dall’ International Association
for Statistical Education e dall’International Committe on Mathematical Instruction e
dal titolo evocativo: Teaching statistics in School Mathematics-Challenges for Teaching
and Teacher Education (BATANERO ET AL., 2011). Lo Studio presenta e discute
le conclusioni più importanti frutto dell’attività di ricerca e delle migliori pratiche
didattiche a livello intenzionale. Esso riguarda in particolare tre temi fondamentali:
insegnamento della statistica a scuola; attitudini, atteggiamenti e conoscenze degli
insegnanti; formazione in statistica degli insegnanti di matematica.
A livello curricolare, l’insegnamento della statistica nella scuola secondaria, a
livello internazionale, ha oramai una tradizione consolidata. In anni recenti inoltre
molti Paesi hanno inserito statistica anche alla scuola primaria. Si sta ora ponendo
attenzione al ragionamento statistico, sviluppandolo verticalmente nel corso dei
successivi livelli scolastici.
A livello di scuola secondaria la statistica viene insegnata di solito nel curricolo di
matematica da insegnanti che possono o meno essere stati formati all’insegnamento
della statistica stessa. La maggior parte degli insegnanti riconoscono l’importanza
pratica della statistica e sono disposti a dare maggior rilievo al suo insegnamento.
Tuttavia molti insegnanti di matematica non si considerano preparati né ad insegnare
statistica, né ad affrontare le difficoltà incontrate dai propri studenti. La ricerca in didattica
presentata nello Studio mostra difficoltà e mis-concetti di futuri insegnanti con
riguardo anche a idee statistiche fondamentali. Poca ricerca è stata invece sviluppata
sulla conoscenza da parte degli insegnanti degli aspetti pedagogici dell’insegnamento
della statistica e ciò che si conosce suggerisce che questa conoscenza è molto limitata.
Nei diversi Paesi, pochi sono i corsi in grado di formare adeguatamente gli insegnanti
all’insegnamento della statistica, qualunque sia il livello scolastico considerato.
Pochi sono i futuri insegnanti della secondaria che ricevono specifica preparazione
pedagogica sullo sviluppo del pensiero statistico. La situazione è ancora più difficile
per gli insegnanti della primaria, dove pochi hanno una benché minima formazione in
statistica.

38 Periodico di matematiche 3/2011
38 Periodico di matematiche 3/2011
5 La sfida all’insegnamento della statistica e della probabilità
in Italia
Iniziative della SIS e dell’ISTAT
Come per gli altri Paesi, anche in Italia sta venendo al pettine il nodo cruciale
dell’insegnamento della statistica e della probabilità a scuola: la formazione dei futuri
insegnanti e l’aggiornamento degli insegnanti in servizio.
Circa il primo punto, la fine delle SSIS nel 2008 ha soffocato ogni più modesto
tentativo di iniziare a trattare della statistica e dei suoi problemi didattici con i futuri
insegnanti (RIGATTI LUCHINI, 2010).
Circa il secondo punto, invece, l’attività degli statistici si è andata sviluppando a
partire dal 1998 in conseguenza, diretta e indiretta, della firma da parte della Società
Italiana di Statistica (SIS) dell’accordo che ha esteso anche alla SIS il protocollo
d’intesa fra l’allora Ministero della Pubblica Istruzione e l’Unione Matematica Italiana
(UMI).
Numerosi sono i prodotti didattici e le attività proposte sia dalla Società Italiana di
Statistica, sia dall’Istat. Si tratta di materiali validati dal punto di vista scientifico ed
accessibili a tutti perché messi a disposizione sul Web.
Materiali e strumenti per l’insegnamento a scuola sono presenti sul sito della Società
Italiana di Statistica, all’indirizzo: http://www.sis-statistica.it/index.
php?area=main&module=contents&contentid=259 .
Altri materiali didattici si trovano sul sito dell’ISTAT, all’indirizzo http://www.
istat.it/it/supporto/per-gli-studenti/binariodieci .
L’insieme dei materiali didattici presenti copre l’intero ciclo scolastico. Si tratta in
particolare di:
• Censimento a scuola — guida per le elementari e per le medie — predisposto
da Istat e SIS;
• Dati e previsioni — materiali del progetto “La Matematica per il cittadino”,
dal primo ciclo alla quinta classe della scuola secondaria di secondo grado —
predisposti da UMI, SIS e Mathesis.
• Il Valore dei dati — ipertesto che può essere usato in modo sistematico da
studenti e insegnanti per approfondire l’applicazione concreta della statistica —
predisposto da Istat e SIS.
• L’uso di excel per la statistica — materiale didattico per la scuola — predisposto
dall’Istat
La Società Italiana di Statistica ha creato collegamenti attivi con la scuola. A
partire dal 2001 ha bandito il Premio SIS per la didattica, un concorso a tema aperto
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alle classi di ogni ordine e grado, successivamente dal 2008–2009 ha favorito la
partecipazione degli studenti italiani a concorsi internazionali di statistica banditi
dall’International Statistical Literacy Project (ISLP), infine dal 2011 ha proposto
e gestito le Olimpiadi di statistica, di cui è prevista la seconda edizione nel 2012
e che sono rivolte agli studenti delle ultime classi delle superiori. La SIS inoltre
partecipa al Progetto Lauree Scientifiche (PLS) per le quali esistono progetti di
statistica accanto a quelli di matematica (MARASINI, 2010). Nel 1990 la SIS ha
promosso la pubblicazione della rivista Induzioni. Demografia, probabilità, statistica
a scuola. La rivista, tuttora attiva, sta per pubblicare il numero 42.
L’Istat dallo scorso 2010 celebra la Giornata della Statistica, istituita dall’Assemblea
delle Nazioni Unite con la risoluzione 64/267 con lo scopo di rafforzare il ruolo
della statistica ufficiale. Sia nell’edizione del 10.10.2010, sia in quella del 20.10.2011
si è colta l’occasione dell’evento per fare intervenire le scolaresche coinvolte nei
concorsi della SIS e premiarle in presenza di responsabili dell’Istat, della SIS e del
MIUR.
Il Progetto di formazione m@t.abel
I materiali prodotti per il progetto “La matematica per il cittadino” sono in larga
parte confluiti nel Piano Nazionale m@t.abel promosso nel 2005/6 dalla Direzione del
personale del MIUR grazie anche alla collaborazione degli esperti disciplinari UMI e
SIS. Il Progetto “Matematica. Apprendimenti di base con e-learning” — m@t.abel
appunto — propone una rinnovata formazione dei docenti di matematica della scuola
secondaria di primo grado e di quelli del biennio del secondo grado. Oltre a incontri in
presenza e su una piattaforma on-line con i tutor e gli altri docenti-corsisti, una parte
integrante del piano M@t.abel consiste nella sperimentazione in classe con gli studenti
di unità di lavoro sui principali nodi concettuali della materia, attraverso l’utilizzo di
materiali predisposti per una didattica laboratoriale. I materiali sviluppano quattro
nuclei tematici (Numeri, Geometria, Relazioni e funzioni, Dati e previsioni) e sono
finalizzati a stimolare negli allievi un maggiore interesse per la matematica.
Per ogni nucleo sono oggi disponibili 20 unità didattiche i cui autori sono insegnanti
in servizio. Le unità, 10 per la secondaria di primo grado e 10 per il biennio della
scuola secondaria di secondo grado, sono ora visibili a tutti e da tutti fruibili sul sito
dell’ANSAS all’indirizzo: http://risorsedocentipon.indire.it/offerta_
formativa/f/index.php?action=home&area_t=f&id_ambiente=7
Le unità predisposte per il nucleo Dati e previsioni sono elencati nella TABELLA 1
e nella TABELLA 2.
I nodi concettuali sono tutti quelli previsti dal curricolo per il nucleo “Dati e
previsioni”, ciò che si modifica nei due livelli è la modalità di trattazione proposte
dalle attività. Gli argomenti del nucleo “Dati e previsioni” sono presentati in modo prevalentemente
intuitivo nelle attività della scuola secondaria di primo grado mentre nel

40 Periodico di matematiche 3/2011
40 Periodico di matematiche 3/2011
primo biennio della secondaria di secondo grado conducono gli studenti ad utilizzare
il linguaggio simbolico e formale della matematica. Nel biennio gli studenti vengono
infatti guidati anche a fare piccole dimostrazioni, utilizzando il calcolo algebrico.
DATI E PREVISIONI
Scuola secondaria di primo grado
ATTIVITÀ NODI CONCETTUALI
Come ci alimentiamo? Raccolta dei dati: osservazioni con questionario.
Classificazione: frequenza assoluta
Anche in Statistica ci
sono gli alberi . . .
Di media non ce n’è una
sola I
Dai dati ai grafici e
. . . ritorno
Frequenza assoluta o frequenza
relativa?
Esperimenti . . . Esiti
. . . Eventi
Ritrovarsi nelle statistiche
ufficiali
Tante strade conducono
alla probabilità
Vorrei una figlia coi capelli
rossi
Classificazione: dati quantitativi
Elaborazione dei dati: frequenze relative e percentuali.
Valori medi
Organizzazione e rappresentazione: tabelle e grafici
Protocollo di sperimentazione. Assegnazione di
probabilità ad un evento (classica, frequentista)
Costruzione di eventi composti: (spazio degli eventi)
Raccolta dei dati: statistiche ufficiali. Confronti
mediante rapporti e mediante differenze
Risultati possibili di semplici esperimenti. Assegnazione
di probabilità ad un evento (classica, frequentista)
Esempi di strategie risolutive per il calcolo della probabilità
(complementare, incompatibilità, indipendenza)
L’Uomo di Vitruvio Strategie per un percorso di apprendimento scientifico:
prova o verifica di congetture
Tabella 1. Attività e nodi concettuali per la scuola secondaria di primo grado
A livello di scuola superiore le conoscenze da acquisire, pur basandosi sempre sulla
classificazione dei caratteri (qualitativi, sconnessi ed ordinati; quantitativi, discreti e
continui), consistono nel mettere in evidenza l’importanza della distribuzione statistica,
la possibilità di rappresentare graficamente la distribuzione statistica semplice, di
sintetizzarla con una pluralità di valori medi tra i quali scegliere in modo opportuno,
tenendo conto della definizione di ciascuno di essi, di misurare la variabilità del
carattere nel collettivo studiato. Lo studio della variabilità non è però fine a se stesso,
ma ha uno scopo interpretativo e di confronto fra distribuzioni rilevate in occasioni
spazio-temporali differenti.
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DATI E PREVISIONI
Primo biennio secondaria di secondo grado
ATTIVITÀ NODI CONCETTUALI
I giovani e la musica Classificazione dei caratteri: distribuzione di frequenze
assolute, relative, e loro uso
Pivot è bello Classificazione dei caratteri: distribuzione di frequenze
assolute, relative, cumulate e loro uso
I grafici . . . questi scono- Grafici e loro tipologie
sciuti
Di media non ce n’è una Elaborazione dei dati: valori medi
sola II
Siamo “vincoli o sparpa- Elaborazione dei dati: variabilità
gliati”?
Navigando fra i dati Confronti fra dati
Un gioco con tre dadi Eventi elementari; composti (spazio degli eventi)
Dolci . . . eventi Eventi elementari; composti condizionati. Spazio degli
eventi
Qual è la probabilità di
. . . sapendo che . . .
Stocastica e . . . legami
intradisciplinari
Strategie risolutive per l’assegnazione di probabilità ai
diversi tipi di evento
Variabili casuali: basi concettuali
Tabella 2. Attività e nodi concettuali per il primo biennio della scuola
secondaria di secondo grado
Non a caso le unità che riguardano la probabilità seguono nella proposta quelle di
statistica. Ciò suggerisce come sia opportuno iniziare la trattazione della probabilità,
avendo già a disposizione motivazioni ed esempi accattivanti che permettono di
introdurla insieme con le sue proprietà di base e le prime regole di calcolo. Anche
il passaggio dagli eventi alle variabili aleatorie, nel biennio, è favorito da questo
approccio che vede “semplici distribuzioni di probabilità” introdotte su una base ormai
solida, offerta dallo studio delle distribuzioni semplici.
La vita quotidiana e le proposte dei mezzi di comunicazione offrono sempre più
l’opportunità di motivare gli studenti ad affrontare temi di statistica e di probabilità.
L’insegnante potrà utilmente sfruttare la curiosità innata degli studenti per far loro
raccogliere informazioni quantitative su argomenti che li coinvolgono direttamente
(Come ci alimentiamo? I giovani e la musica), ma anche su argomenti che riguardano
la fisica, l’economia, la storia, la geografia (Ritrovarsi nelle statistiche ufficiali,

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Navigando tra i dati) e che richiedono o la ripetizione della stessa esperienza o la
gestione di un collettivo di osservazioni empiriche (L’Uomo di Vitruvio).
Ciò che va evitato è di introdurre la statistica come un insieme di calcoli su numeri
inventati e senza significato in un contesto reale.
La statistica e la probabilità sono un valido aiuto per il cittadino e promuovono
l’acquisizione di abilità utili nella vita quotidiana solo se aiutano a comprendere
la realtà ed in particolare quel suo aspetto “disorientante” che è la variabilità
dei fenomeni (Di media non ce n’è una sola ; Di media non ce n’è una sola 2.
Siamo vincoli o. . . sparpagliati?)
Tra l’altro operare in contesti quantitativi coinvolgenti ed interessanti, perché
derivanti da fenomeni in parte conosciuti, può essere un utile supporto per passare
dalla realtà alla sua astrazione simbolica (Anche in statistica ci sono gli alberi),
introducendo gradualmente il linguaggio formale della matematica, in modo che gli
studenti arrivino a percepire che le formule non sono altro che un linguaggio che ha il
vantaggio della concisione e della non ambiguità.
Il nucleo “Dati e previsioni”, nelle proposte di m@t.abel, mostra i suoi legami
con tutti gli altri nuclei della matematica (Stocastica e legami intradisciplinari) ed
evidenzia l’interazione strettissima con l’informatica grazie alla quale si può mediante
un foglio elettronico: costruire il data-base relativo ad una raccolta di dati
statistici, rappresentarli ed elaborarli (Dai dati ai grafici e . . . ritorno, Pivot è bello,
I grafici questi sconosciuti) oppure simulare distribuzioni di probabilità relative a semplici
variabili aleatorie discrete (Frequenza assoluta o frequenza relativa? Un gioco con
tre dadi).
La probabilità, coniugata con la statistica, offre poi strategie da perseguire per
affrontare al meglio (e correttamente) l’incertezza; il chiedersi cosa potrà accadere
al verificarsi di un evento casuale ed il poterlo verificare attraverso molti esperimenti
(Esperimenti, esiti, eventi, Dolci . . . eventi), per giungere a proporre, argomentandole,
strategie alternative per misurare la probabilità (Tante strade conducono alla probabilità,
Vorrei una figlia coi capelli rossi, Qual è la probabilità di sapendo che) sarà un
elemento decisivo anche per superare alcune delle innumerevoli misconcezioni che, in
ambito statistico ed in ambito probabilistico, sono, troppo spesso, presenti negli adulti.
Le proposte didattiche così come sono portate avanti dalle unità di “Dati e previsioni”
rafforzano le strategia di problem-solving e danno importanza al momento
della comunicazione da parte degli studenti, interessati ad argomentare le proprie
conclusioni basandosi su dati statistici.
La disponibilità delle unità di “Dati e previsioni” sul Web ha come conseguenza
che ogni insegnante potrà sperimentare i materiali nel modo che riterrà più utile: potrà
sulla falsa riga delle proposte, presentarle ai propri studenti; potrà usarle trasversalmente
integrando elementi di unità diverse; potrà utilizzare tutta una unità o solo
una sua parte; potrà utilizzare anche con gli allievi gli approfondimenti disciplinari
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presenti nelle unità o limitarsi ad esaminarli per il proprio personale approfondimento
della disciplina; potrà utilizzare le prove di verifica che ogni unità contiene o partire
da esse per costruirne opportune versioni per la propria classe. I materiali sono stati
costruiti dagli autori espressamente per i loro colleghi, creando una specie di sceneggiatura,
non dando nulla per scontato e senza sottacere alcuna nozione importante, ma
notando ogni momento saliente dove misconcetti, purtroppo ricorrenti, possono creare
difficoltà e fraintendimenti. I termini tecnici usati sono quelli corretti e ne è fornita la
definizione.
6 Conclusioni
I cambiamenti globali a cui stiamo assistendo, hanno imposto cambiamenti anche
alla scuola italiana, tra questi l’introduzione di insegnamenti di statistica e probabilità
in modo verticale nel curricolo di matematica. Questi argomenti saranno fra l’altro
oggetto anche delle prove Invalsi previsti dalla attuale normativa.
Per gli insegnanti di matematica desiderosi di aggiornare la propria formazione
culturale e professionale con riguardo alla statistica, il Web offre ora numerose opportunità,
con materiali scientificamente validi, di diverso livello ed approfondimento
ed immediatamente fruibili in classe. L’augurio degli statistici è che gli insegnanti
vogliano e sappiano cogliere le proposte loro offerte, portino in classe i materiali in
modo da vagliarli dal punto di vista didattico, da adattarli alle esigenze delle proprie
classi e da proporre nuovi ed interessanti stimoli alla comunità docente.
Riferimenti bibliografici
AMBRISI E. (2010), “Le Linee Guida per gli Istituti tecnici e professionali”,
Induzioni, Pisa, 40, pp. 33–37.
ANICHINI G. (2010), “Matematica e Statistica: differenze, contatti e. . . connivenze!”,
in ANGELUCCI A. e IANNUCCI A., (editors) La statistica a scuola, Dossier
pubblicato sul portale www.treccani.it all’interno della sezione Scuola, 4/2/2010.
BATANERO C., BURRILL G., READING C. (editors) (2011), Teaching Statistics in
School Mathematics-Challenges for Teaching and Teacher Education, Dordrecht,
Springer, New ICMI Study Series, Volume 14.
BOLONDI G. (2010), “I nuovi programmi di matematica e statistica per il sistema
dei licei”, Induzioni, Pisa, 40, pp. 27–32.
GINI C. (1962), La logica della statistica, Torino, Boringhieri.

44 Periodico di matematiche 3/2011
44 Periodico di matematiche 3/2011
MARASINI D. (2010), “Il Piano Lauree Scientifiche 2009–12”, Induzioni, Pisa, 40,
pp. 57–64.
MONARI P. (2010), “Statistica fra conoscenza e strategia. Breve storia del linguaggio
della ricerca moderna”, in ANGELUCCI A. e IANNUCCI A., (editors) La statistica a
scuola, Dossier pubblicato sul portale www.treccani.it all’interno della sezione
Scuola, 4/2/2010.
OCSE (a cura di) (2004), PISA 2003. Valutazione dei quindicenni, Roma, Armando
Armando.
OTTAVIANI M.G., MIGNANI S., RICCI R. (2005), “Metodi statistici per la valutazione
di abilità e competenze: uno studio di caso che riguarda la matematica”,
Atti del XXV Convegno UMI-CIIM “Valutare in Matematica”, pp.113–114,
http://umi.dm.unibo.it/downloads/siena2005.pdf.
RIGATTI LUCHINI S. (2010), “La didattica della statistica nella scuola italiana”,
Induzioni, Pisa, 40, pp. 107–118.
✉MARIA GABRIELLA OTTAVIANI
È stata Professore ordinario di Statistica
presso la “Sapienza” Università di Roma
mariagabriella.ottaviani@uniroma1.it
Relazione tenuta al Congresso Mathesis di Caserta 2011.
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Orientamento Universitario e Indicazioni Nazionali
Michele Antonio Iovine, Luigi Verolino
Sunto: In questo articolo viene discusso il difficile rapporto esistente tra Esame di Stato e test di ingresso
all’università.
Abstract: In this paper we discuss the intricate relationship between secondary school final examinations
and university access tests.
Premesse
Cosa sta succedendo al sistema educativo italiano?
Negli ultimi anni una serie di riforme, che non hanno risparmiato alcun ordine di scuola,
dalle elementari all’università, lo ha travolto e stravolto. Al grido di razionalizzazione,
qualità, approfondimento, autonomia, flessibilità, i diversi ministri succedutisi hanno
brandito la spada del cambiamento e dell’ammodernamento, ma nessuno si è chiesto
se gli addetti ai lavori, cioè i docenti, e gli utenti, cioè gli studenti, percepiscano
realmente e compiutamente tutti questi termini ed i processi di cambiamento in atto. In
forza del trinomio ‘conoscenze, abilità e competenze’ il sistema educativo del nostro
paese è stato profondamente modificato, ma non tutti se ne sono avveduti.
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Ebbene, in questa breve nota è nostro intendimento soffermarci sulla razionalizzazione:
in modo particolare focalizzeremo l’attenzione su come e se la riforma della
scuola secondaria superiore di secondo grado si relazioni con il sistema universitario.
La razionalizzazione
È indubbio che la riforma della scuola secondaria di secondo grado, senz’altro
discutibile in molti punti, una certa razionalizzazione l’abbia introdotta. Infatti, i
piani di studio delle scuole secondarie superiori erano stati ampliati, negli scorsi
decenni, fino a raggiungere dimensioni spropositate e sproporzionate, se confrontate
con quelle degli altri paesi europei, sia per estensione oraria che per numero di materie
previste. Razionalizzare ha voluto dire introdurre le indicazioni nazionali, al posto dei
programmi, una rivoluzione copernicana, non ancora completamente compresa. In
ultima analisi, si è voluto sostituire il solco già tracciato dal programma ministeriale
con le indicazioni, che stabiliscono gli obiettivi da raggiungere, ma non impongono la
maniera per arrivarci. Ogni classe decide, in piena autonomia, come arrivare a certe
mete e la via per farlo può essere diversa da classe a classe.
Dal settembre 2010 è entrata in vigore la riforma complessiva e simultanea del
secondo ciclo di istruzione e formazione che ha cambiato il volto della scuola secondaria
superiore, completamente riorganizzata e pronta ad offrire un panorama
più chiaro per le scelte delle famiglie (www.orizzontescuola.it) (6 licei; istituti
tecnici suddivisi in 2 settori con 11 indirizzi; istituti professionali suddivisi in 2 settori
e 6 indirizzi). Lo spirito profondo della riforma consiste nel passaggio dall’insegnamento
all’apprendimento, facendo convergere l’attenzione sullo studente e sul modo
di capire ed assimilare le diversi materie curricolari. I nostri ragazzi, al termine del
primo ciclo di studi, hanno una visione più chiara e semplificata dell’offerta formativa
che si dispiega davanti ai loro occhi, potendo affrontare una scelta, si spera, più consapevolmente.
Dunque, nel passaggio dal primo al secondo ciclo di studi, una sorta di
‘razionalizzazione’ o semplificazione, a seconda di come la si voglia chiamare, si è
realizzata.
Ma ci siamo chiesti come si sentono gli studenti italiani dopo aver conseguito il
diploma e se esiste un raccordo (VEROLINO, 2008) tra scuole superiori ed università?
Sicuramente al termine dei cinque anni di studi ci si preoccupa di valutare gli
allievi attraverso un Esame di Stato che si sta tentando di rendere quanto più possibile
oggettivo ed omogeneo, sia a livello nazionale che europeo, anche grazie all’introduzione
delle famose prove Invalsi. Ad oggi l’Invalsi, in relazione agli Esami di Stato
conclusivi dei corsi di studio di istruzione secondaria di secondo grado, provvede
(www.invalsi.it):
• alla valutazione delle conoscenze e delle abilità degli studenti in uscita dalla
scuola secondaria superiore, utilizzando le prove scritte degli Esami di Stato
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secondo criteri e modalità coerenti con quelli applicati a livello internazionale
per garantirne la comparabilità;
• alla raccolta ed alla diffusione di terze prove attraverso la realizzazione dell’Archivio
Terze Prove;
• alle attività di monitoraggio realizzate attraverso l’Osservatorio Nazionale sugli
Esami di Stato.
Nei prossimi anni, così come già fatto per l’Esame di Licenza Media, sarà introdotto
il test Invalsi anche per l’esame conclusivo della secondaria superiore. Già lo scorso
anno scolastico (www.orizzontescuola.it) è stato somministrato alle seconde
classi degli Istituti Superiori dell’intero territorio nazionale, ma a giugno 2012 arriverà
la sperimentazione all’Esame di Stato.
Farà media? Non la farà per il 2012, dato che si tratterà di una sperimentazione su
un campione di cento scuole. Le materie coinvolte saranno due, italiano e matematica,
ma c’è la volontà di introdurre anche le lingue straniere, a partire dal 2013. Dunque,
se la sperimentazione dovesse andare a buon fine, dal 2013 il test entrerà a pieno
titolo tra le prove che gli alunni dovranno affrontare per conseguire la maturità e
farà media per il conseguimento del voto finale. Avremo finalmente un parametro
oggettivo ed unificato a livello nazionale, un indice della preparazione del singolo
studente, indipendente dalla regione di provenienza.
Cosa fanno le università
Come intendiamo utilizzare questa tanto attesa informazione, costata moltissimo
sia in termini di tempo che economici? Soprattutto le università che fanno? Come si
preparano a ricevere i nuovi iscritti che si presentano con questo ‘biglietto da visita
unificato’?
Non fanno altro che ‘chiudersi’, introducendo il numero programmato in quasi tutte le
principali facoltà, frapponendo una barriera, talvolta veramente insormontabile, sul
cammino della aspirante matricola.
L’inizio dell’accesso selettivo all’università risale (www.menodizero.eu) alla
fine degli anni Ottanta, quando alcuni atenei decisero di limitare, con decreto rettorale,
il numero di immatricolati in determinate facoltà. Di lì a qualche anno (D.M. n. 245
del 21 luglio 1997), il Ministro Ortensio Zecchino, considerato l’elevato numero
di studenti che aspiravano ad intraprendere la carriera medico-sanitaria, istituì con
decreto ministeriale il numero chiuso nazionale. Il numero programmato venne allora
introdotto in Italia fondamentalmente per controllare l’alto numero di iscrizioni nelle
Facoltà di Medicina, ma poi (Legge n. 264 del 2 agosto 1999) è stato reso di più
generale applicazione in ambito legislativo. Oggi è ormai consuetudine per un gran
numero di facoltà.

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48 Periodico di matematiche 3/2011
Dal prossimo anno accademico, molto probabilmente, anche la Facoltà di Ingegneria
dell’Università Federico II di Napoli, la più grande dell’Ateneo quanto a
consistenza numerica degli iscritti, istituirà il famoso e contestato numero chiuso. Con
tale introduzione, di fatto, l’Ateneo Fridericiano chiude tutte le sue grandi, se non altro
in termini di iscritti, facoltà, lasciando aperta a tutti la sola Facoltà di Giurisprudenza,
quale ultima grande facoltà. Insomma, tutti gli aspiranti ingegneri napoletani, dal
prossimo anno accademico, con l’aria da liceali ancora addosso, a diciannove anni
e subito dopo aver sostenuto gli esami conclusivi del ciclo secondario superiore, si
troveranno di nuovo sui banchi a cimentarsi con lo sbarramento rappresentato dalle
prove di accesso, di fronte ad un’università sconosciuta, caotica e, per certi versi,
ostile. Proprio così, ostile. E come definire altrimenti un’università che ignora completamente
il precedente percorso di studi? Non è pensabile che il risultato di cinque anni
di studi, sintetizzato nel voto del diploma e nel futuro test Invalsi, non abbia alcun
peso per accedere al sistema universitario. Uno iato, una frattura incomprensibile
che deve essere sanata e saldata, se non si vuole far perdere credibilità agli Esami di
Stato. Una incredibile contraddizione del sistema educativo italiano che considera
gli studenti (ANICHINI, 2011) maturi a luglio ed acerbi a settembre! La figura che
segue riassume bene i due modi diversi di guardare lo stesso studente a breve distanza
temporale.
Il ‘sistema scuola’ vede i maturandi e le aspiranti matricole come ‘due perfetti
sconosciuti’, anche se si sta parlando della stessa persona, che affronta due prove
vicine in ordine temporale, ma assai diverse nei contenuti.
Ma come è possibile non comprendere che quanto migliore è il prodotto in uscita
dalla secondaria superiore, tanto più semplice sarà il compito delle università nel
formare la futura classe dirigente del nostro paese?
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Nuove proposte
Mettiamoci nei panni di un bravo studente di ultimo anno di scuola superiore:
deve concentrarsi sicuramente, durante l’intero ultimo anno, sull’esame finale, ma il
suo occhio attento non perde di vista i test di ingresso all’università, che rappresentano
la vera chiave del suo futuro. Se da un lato è vero che, i finanziamenti per il normale
funzionamento delle università, finanziaria dopo finanziaria, vengono minacciati da
ogni governo, di qualsiasi coalizione politica, dall’altro è pur vero che i giovani,
protagonisti della società di domani, dovrebbero seriamente preoccuparsi di questo
continuo taglio di fondi, convinti di quello che un loro anonimo collega epigrafò
sui muri di Berkeley: «Il futuro mi interessa, poiché è là che intendo passare i miei
prossimi anni». Quindi, come si può dare importanza ed il giusto valore ad un esame
finale, se questo poi non dà alcun credito?
Ed ancora, si consideri il caso di uno studente di Liceo Scientifico che vuole
iscriversi alla Facoltà di Ingegneria: come potrà questo studente affrontare con serenità
la seconda prova di matematica dell’Esame di Stato, magari (www.cisiaonline.it)
risolvere dei problemi di geometria analitica, studiare e tracciare il grafico di una
funzione, quando sa che di lì a pochi giorni dovrà cimentarsi con dei quesiti di algebra
e domande di trigonometria, argomenti questi che egli ricorda a stento, perché studiati
qualche anno prima? Beh, noi ci sentiremmo quantomeno perplessi, per non dire
frastornati.
Perché allora non somministrare tre tipi di test invalsi all’Esame di Stato, uno a
carattere medico-sanitario, uno umanistico-sociale ed uno scientifico-tecnologico, vale
a dire tre tipi di test che riassumano tutte le sue future possibili scelte universitarie?

50 Periodico di matematiche 3/2011
50 Periodico di matematiche 3/2011
Si potrebbe dare un valore a tali test, riconosciuti a livello nazionale, ed affiancarlo
al risultato dell’eventuale test d’ingresso delle facoltà a numero programmato. In
tal modo si valorizzerebbe il futuro test Invalsi e soprattutto gli studenti vedrebbero
utilizzato al meglio il risultato dell’esame sostenuto qualche mese prima.
Un’altra idea potrebbe essere perfino quella di fondere la prova Invalsi con il test
d’ingresso all’università in un’unica prova, in modo da valutare alcune parti del corso
di studi già effettuato e dare al tempo stesso, laddove si superino i requisiti richiesti
dai singoli Atenei, l’accesso alla Facoltà desiderata.
Certo, si dovrebbe dare ancora maggiore affidabilità, in termini di trasparenza, a
questa parte dell’Esame di Stato; in questo potrebbero concorrere anche le università
con alcuni loro docenti come supervisori, magari uno per ogni istituzione scolastica.
Questi comunque sarebbero dettagli da discutere e definire.
Intanto, nell’immediato, noi crediamo che qualche risultato lo si avrebbe certamente:
• riduzione dei costi legati ai testi d’ingresso;
• maggiore impegno e serietà da parte degli studenti nella preparazione di un
esame che non vedrebbero più fine a se stesso, ma trampolino di lancio per il
loro futuro;
• perché no, finalmente gli studenti potrebbero godersi una meritata vacanza
prima di intraprendere gli studi universitari.
Concludiamo questo contributo con una nota di speranza: speriamo di suscitare
quantomeno un dibattito tra gli addetti ai lavori su questo problema che, se non risolto,
potrebbe angosciare diverse future generazioni di maturandi.
Riferimenti bibliografici
VEROLINO L. (2008), Orientamento verso la Facoltà di Ingegneria, Cuzzolin
Editore, Napoli.
ANICHINI G. (2011), « “Maturi” a luglio ma . . . “acerbi” a settembre », Periodico di
matematiche, Numero 2, Volume 3, Serie XI, maggio-agosto.
✉MICHELE ANTONIO IOVINE
micheleiovine@alice.it
Relazione tenuta al Congresso Mathesis di Caserta 2011.
✉LUIGI VEROLINO
Dipartimento di Ingegneria Elettrica
Università Federico II
Via Claudio 21, 80125 Napoli
verolino@unina.it
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Vettori
Antonino Giambò
1. Il calcolo vettoriale entra nell’insegnamento/apprendimento della matematica
a pieno titolo con le Indicazioni Nazionali per i Licei, che nel nucleo “Aritmetica e
algebra” per il primo biennio così dettano: « . . . [Lo studente] studierà i concetti
di vettore, di dipendenza e indipendenza lineare, di prodotto scalare e vettoriale
nel piano e nello spazio . . . ». In realtà le Indicazioni Nazionali non enfatizzano il
ruolo fondamentale di questo strumento all’interno della matematica, ma lo presentano
quasi esclusivamente come supporto allo studio della fisica. Ecco, in quest’articolo ci
proponiamo di far vedere come i vettori siano in realtà uno strumento formidabile per
affrontare e risolvere questioni matematiche di geometria piana. Niente di originale,
per carità, ma cose ugualmente utili. Che poi siano utili anche in fisica è un di più,
anche se, bisogna riconoscerlo, sembra che proprio con la fisica sia nato il concetto di
“vettore”.
2. Incominciamo col dire che il modo migliore d’introdurre il concetto di vettore
è il ricorso alla definizione rigorosa, vale a dire “vettore” come “classe di segmenti
orientati equipollenti”. In questo modo è facile comprendere che un vettore v può
essere rappresentato da un qualunque segmento orientato della classe senza però
identificarsi con esso. Cosa, questa, non scontata per molti studenti e soprattutto di
notevole importanza.
Introdotto poi il concetto di “somma” di due vettori, si dimostrano (o si verificano,
se dimostrare non si può) le seguenti proprietà:
u + v = v + u (proprietà commutativa)
(u + v) + w = u + (v + w) (proprietà associativa)
u + 0 = 0 + u = u (esistenza dell’elemento neutro)
u + (−u) = (−u) + u = 0 (simmetrizzabilità degli elementi)
essendo u, v, w vettori qualsiasi e 0 il vettore nullo.
Insomma si fa vedere che i vettori costituiscono un modello di gruppo abeliano. Ma il
docente non parlerà esplicitamente né di strutture algebriche né tanto meno di gruppi.
Non ce n’è necessità alcuna.
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52 Periodico di matematiche 3/2011
52 Periodico di matematiche 3/2011
S’introduce anche il “prodotto di un numero reale per un vettore” e si elencano le
proprietà caratteristiche di questa operazione (la dimostrazione è possibile sulla base
del teorema di Talete, ma è preferibile tralasciarla):
1v = v,
α(βv) = (αβ)v,
(α + β)v = αv + βv,
α(v + w) = αv + αw,
dove α, β sono numeri reali qualunque e v, w sono vettori qualunque. Come dire che
i vettori costituiscono un modello di spazio vettoriale sul campo dei reali. Cosa che il
docente sa, ma anche di questo si guarderà bene dal parlarne in classe.
È il momento di introdurre i concetti di vettori “linearmente dipendenti” e “linearmente
indipendenti” e di dimostrare un paio di teoremi.
TEOREMA 1. Condizione necessaria e sufficiente affinché due vettori (non nulli)
siano linearmente dipendenti è che siano paralleli.
TEOREMA 2. Tre vettori, comunque scelti in un piano, sono linearmente dipendenti.
Immediata conseguenza dell’ultimo teorema è che, assegnata nel piano una coppia
ordinata (e1, e2) di vettori non paralleli ed un qualsiasi vettore u esiste una ed una sola
coppia ordinata (u1, u2) di numeri reali tali che:
u = u1e1 + u2e2.
La coppia (e1, e2) si chiama base per i vettori del piano. I due numeri u1, u2 si dicono
le componenti del vettore u secondo quella base. Invece i due vettori u1e1 e u2e2 si
dicono i componenti del vettore u secondo le direzioni dei vettori e1 ed e2.
Si assuma ora come base dei vettori del piano la coppia (e1, e2), tale che e1 = OU1
ed e2 = OU2 dove U1 ed U2 sono i punti unità rispettivamente dell’asse x e dell’asse
y in un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy). Ebbene, indicato con P(x, y) un
qualsiasi punto del piano cartesiano, le componenti del vettore OP = u secondo la base
(e1, e2) non sono altro che le coordinate cartesiane di P (Fig. 1). Queste componenti si
dicono anche componenti del vettore secondo gli assi cartesiani.
Si dimostrano due importanti teoremi.
TEOREMA 3. Se il vettore v è rappresentato dal segmento orientato (A, B) e se
A(xA, yA) e B(xB, yB) allora le componenti del vettore secondo gli assi cartesiani
prefissati (Fig. 2) sono: xB − xA, yB − yA.
TEOREMA 4. Se le componenti di un vettore v secondo gli assi coordinati prefissati
sono (a, b), quelle del vettore kv sono (ka, kb), essendo k un numero reale.
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Antonino Giambò 53
Figura 1 Figura 2
3. Si può completare il discorso sui vettori piani con l’introduzione del prodotto
scalare.
In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy) siano assegnati i
due vettori u1(x1, y1) ed u2(x2, y2) (Fig. 3). Indichiamo con u1 e u2 i loro moduli.
Si definisce prodotto scalare dei due vettori (si indica con la scrittura u1 × u2 o
anche con u1 · u2 o semplicemente con u1u2, ma si legge comunque “u1 scalare u2”)
il numero reale ottenuto sommando i prodotti delle componenti omologhe dei due
vettori; vale a dire:
u1 × u2 = x1x2 + y1y2.
Per convenzione si scrive: u × u = u 2 . Di modo che, se (x, y) sono le componenti del
vettore u, si ha:
u 2 = x 2 + y 2 = u 2 ,
avendo indicato con u il modulo del vettore.
Figura 3

54 Periodico di matematiche 3/2011
54 Periodico di matematiche 3/2011
In virtù del teorema del coseno applicato al triangolo OAB, indicato con ϕ l’angolo
A OB, che poi non è altro che l’angolo dei due vettori u1 e u2, si ha:
AB 2 = OA 2 + OB 2 − 2OA · OBcosϕ,
da cui segue:
(x1 − x2) 2 + (y1 − y2) 2 = (x1 2 + y1 2 ) + (x2 2 + y2 2 ) − 2u1u2 cosϕ,
e a conti fatti:
e perciò:
x1x2 + y1y2 = u1u2 cosϕ,
u1 × u2 = u1u2 cosϕ
Si tratta, evidentemente, di una proprietà notevole del prodotto scalare che, come
sanno i docenti, a volte è assunta proprio come definizione di prodotto scalare di due
vettori. Anzi, è esattamente in questo modo che fanno i fisici.
Premesso che due vettori si dicono ortogonali se le loro direzioni sono perpendicolari,
dalla precedente relazione si desume immediatamente un’altra notevole proprietà
del prodotto scalare di due vettori che peraltro può essere agevolmente dimostrata:
Il prodotto scalare di due vettori è nullo
se e solo se i due vettori sono ortogonali.
Ad onor del vero potevamo sorvolare su queste note introduttive dandole per
scontate perché conosciute da tutti i docenti. L’abbiamo voluto fare ugualmente per
suggerire una traccia di sviluppo dell’argomento in classe.
Andiamo ad occuparci adesso della ragione vera che ci ha indotto a scrivere questo
articolo: mostrare la potenza del calcolo vettoriale all’interno della matematica. Lo
facciamo prendendo in esame, in ordine sparso ed a titolo di esempio, alcune questioni
di geometria piana. Diciamo subito che i procedimenti che descriveremo non sono gli
unici possibili, potendosi ricorrere a procedimenti più tradizionali che non coinvolgono
il calcolo vettoriale. Ma col ricorso a questo strumento c’è la possibilità di affrontare
questioni concettualmente diverse in un quadro unitario.
4. Incominciamo con alcune questioni di geometria sintetica nel piano.
QUESTIONE 1. Dimostrare che il segmento che congiunge i punti medi di due lati di
un triangolo è parallelo al terzo lato ed è lungo la metà di esso.
DIMOSTRAZIONE. Considerato un triangolo generico ABC (Fig. 4), siano M ed N i
punti medi dei lati AB e AC rispettivamente.
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antonino GiaMbò
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Antonino Giambò 55
Figura 4
Si ha: MN = MA + AN ed MN = MB + BC + CN. Da qui sommando membro a
membro segue: 2MN = (MA + MB) + BC + (AN + NC). D’altro canto, i vettori
MA + MB ed AN + NC sono uguali al vettore nullo, per cui risulta: 2MN = BC,
ossia: MN = 1/2BC. Il che dimostra che la corda MN è parallela al lato BC ed è la
metà di esso.
QUESTIONE 2. Dimostrare che il segmento che congiunge i punti medi dei due lati
obliqui di un trapezio è parallelo alle basi ed è uguale alla loro semisomma.
DIMOSTRAZIONE. È del tutto simile alla precedente. Ci sentiamo perciò autorizzati a
tralasciarla.
QUESTIONE 3. Verificare che, comunque siano presi nel piano i punti A, B, C, D,
vale la seguente relazione:
BA · DC + CB · DA + AC · DB = 0.
Applicandola, dimostrare che le altezze di un triangolo passano tutte per un medesimo
punto (ortocentro).
RISOLUZIONE. Si ha: BA = DA − DB, CB = DB − DC, AC = DC − DA. Tenendo
allora presente che il prodotto scalare è commutativo, risulta:
BA · DC + CB · DA + AC · DB =
= (DA − DB) · DC + (DB − DC) · DA + (DC − DA) · DB =
= DA · DC − DB · DC + DB · DA − DC · DA + DC · DB − DA · DB = 0.
Indicato adesso con ABC un triangolo generico e chiamato D il punto in cui si intersecano
le due altezze relative ai lati AB e BC, nella relazione BA · DC + CB · DA +
AC · DB = 0 i prodotti scalari BA · DC e CB · DA risultano nulli poiché i due vettori
di ciascun prodotto sono ortogonali. La relazione diventa pertanto AC · DB = 0. E
perciò anche i vettori AC e DB sono ortogonali. Questo vuol dire che l’altezza del
triangolo relativa al lato AC passa per D.

56 Periodico di matematiche 3/2011
56 Periodico di matematiche 3/2011
QUESTIONE 4. Verificare che, comunque siano scelti i vettori u, v, si ha:
(u + v) 2 + (u − v) 2 = 2(u 2 + v 2 ).
Come applicazione di questa proprietà dimostrare che in ogni parallelogramma la
somma dei quadrati costruiti sulle diagonali è equivalente alla somma dei quadrati
costruiti sui quattro lati.
RISOLUZIONE. Dopo aver effettuato l’elementare verifica, si considera il parallelogramma
ABCD e si pone u = AB e v = BC. La prosecuzione è semplice.
QUESTIONE 5. L’esercizio di cui ci occupiamo adesso è il quesito N° 10 assegnato
negli esami di Stato 2010, liceo scientifico di ordinamento, sessione straordinaria:
Si dimostri che se le diagonali di un quadrilatero sono perpendicolari, la somma dei
quadrati di due lati opposti è uguale alla somma dei quadrati degli altri due.
RISOLUZIONE. Supponiamo che sia ABCD il quadrilatero assegnato (Fig. 5) e sia E il
punto in cui si secano le sue diagonali perpendicolari AC e BD.
Risulta evidentemente:
AB + BC = AD + DC,
da cui segue:
AB − DC = AD − BC.
Figura 5
Da qui, elevando entrambi i membri al quadrato e sviluppando si ottiene:
AB 2 + DC 2 − 2AB · DC = AD 2 + BC 2 − 2AD · BC.
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Antonino Giambò 57
Per dimostrare l’asserto basta allora far vedere che:
AB · DC = AD · BC.
Ciò si dimostra direttamente o chiamando in causa la precedente questione 3.
5. Passiamo ad alcune questioni di geometria analitica nel piano, supposto riferito
ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy).
QUESTIONE 1. Trovare le equazioni delle seguenti trasformazioni geometriche:
1) traslazione di componenti a, b;
2) simmetria di centro O;
3) simmetria rispetto all’asse y;
4) simmetria rispetto all’asse x;
5) omotetia di centro O e caratteristica k.
RISOLUZIONE. Sia P(x, y) un generico punto del piano e sia P ′ (x ′ , y ′ ) il suo trasformato
mediante la trasformazione geometrica T .
Se T è la traslazione di componenti a, b, il vettore PP ′ (x ′ − x, y ′ − y) è uguale al
vettore v(a, b), per cui, passando alle componenti dei due vettori rispetto al sistema
cartesiano (Oxy), risulta: x ′ − x = a, y ′ − y = b. Da qui seguono le equazioni della
traslazione: x ′ = x + a, y ′ = y + b.
Il ragionamento è simile nella determinazione delle equazioni delle altre trasformazioni.
QUESTIONE 2. Dato il segmento AB, essendo A(xA, yA) e B(xB, yB), trovare le coordinate
del punto P che, a partire da A, lo divide internamente in parti direttamente
proporzionali ai numeri reali positivi m ed n.
RISOLUZIONE. Deve essere soddisfatta la seguente relazione:
AP
m
= PB
n ,
ossia, passando alle componenti dei vettori, deve risultare:
n(xP − xA) = m(xB − xP), n(yP − yA) = m(yB − yP);
da qui segue:
xp = nxA + mxB
m + n
, yp = nyA + myB
·
m + n
Il ragionamento si particolarizza se m = n, nel qual caso P è il punto medio M di AB.
Si trova allora:
xM = xA + xB
2
, yM = yA + yB
·
2

58 Periodico di matematiche 3/2011
58 Periodico di matematiche 3/2011
Il risultato può essere spiegato ovviamente con un ragionamento diretto, a partire
dall’uguaglianza: AM = MB.
QUESTIONE 3. Trovare il quarto vertice del parallelogramma ABCD, in cui A(xA, yA),
B(xB, yB), C(xC, yC).
RISOLUZIONE. È soddisfatta la seguente uguaglianza: CD = BA. Da qui, passando
alle componenti dei vettori, seguono le seguenti relazioni, che risolvono la questione:
xD = xA − xB + xC, yD = yA − yB + yC.
QUESTIONE 4. Trovare il baricentro di un triangolo di vertici assegnati A(xA, yA),
B(xB, yB), C(xC, yC).
RISOLUZIONE. Se G è il baricentro del triangolo, è noto che esso divide ogni mediana
in due parti di cui quella che contiene il vertice è doppia dell’altra. Detto allora
M il punto medio del lato BC, deve risultare: AG = 2GM. Da qui, passando alle
componenti dei vettori, si ottengono le seguenti relazioni:
xG − xA = 2(xM − xG), yG − yA = 2(yM − yG).
Siccome 2xM = xB + xC e 2yM = yB + yC, dalle precedenti relazioni si ottiene:
xG = xA + xB + xC
3
, yG = yA + yB + yC
·
3
QUESTIONE 5. Dimostrare la formula che fornisce l’equazione della retta passante
per i punti A(xA, yA) e B(xB,yB).
RISOLUZIONE. Chiamato P(x, y) un generico punto del piano, esso risulta allineato
con i punti A e B se e solo se è soddisfatta la seguente uguaglianza: AP = kAB, dove
k è un parametro reale. Da qui, passando alle componenti dei vettori, seguono le
seguenti relazioni:
x − xA = k(xB − xA), y − yA = k(yB − yA).
Posto che la retta AB non sia perpendicolare all’asse x (xA = xB), dividendo membro a
membro la seconda uguaglianza per la prima, segue la formula cercata:
y − yA
x − xA
= yB − yA
·
xB − xA
QUESTIONE 6. Determinare il punto P in cui il segmento CA interseca una circonferenza
data, sapendo che C è il suo centro ed A un assegnato punto esterno.
RISOLUZIONE. Basta osservare che si ha:
CP = r
CA CA,
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dove r è il raggio della circonferenza. Da qui, posto di aver calcolato che r
= k, si
CA
ottiene immediatamente:
xP − xC = k(xA − xC), yP − yC = k(yA − yC),
da cui seguono i valori di xP e yP.
6. Le nozioni di calcolo vettoriale e molte applicazioni dello stesso possono essere
facilmente estese allo spazio tridimensionale, compresi i concetti di vettori linearmente
dipendenti e di prodotto scalare di due vettori.
Nello spazio si può poi introdurre il concetto di prodotto vettoriale, il cui uso
è effettivamente fondamentale per lo studio e la comprensione di molte grandezze
fisiche. Vi facciamo un breve cenno per puntualizzare un fatto importante sul piano
didattico.
Siano assegnati due vettori u e v, non nulli, e sia ϕ l’angolo da essi formato, con
0°≤ ϕ ≤180°. Preso un qualsiasi punto O del piano, costruiamo i punti A, B in modo
che sia: OA = u, OB = v (Fig. 6).
Figura 6
Si definisce prodotto vettoriale di u per v il vettore w avente le seguenti caratteristiche:
- il suo modulo è w = uvsenϕ, vale a dire il doppio dell’area del triangolo OAB
ovvero, se si vuole, uguale all’area del parallelogrammo costruito sui lati OA e OB;
- la sua direzione è data dalla perpendicolare al piano OAB;
- il suo verso è tale che, rispetto ad esso, il vettore u deve ruotare di un angolo minore
di 180° in senso antiorario per sovrapporsi al vettore v; ovvero, detto in termini di
regola pratica, disposti il pollice, l’indice e il medio della mano sinistra in modo che
il pollice appaia perpendicolare al piano delle altre due dita, il medio sia orientato

60 Periodico di matematiche 3/2011
60 Periodico di matematiche 3/2011
nel verso positivo del vettore u e l’indice nel verso positivo del vettore v, allora il
pollice indica il verso positivo del vettore w.
Si scrive:
w = u ∧ v
e si legge: “w è uguale ad u vettore v”.
In questa definizione c’è un evidente ricorso a fatti intuitivi che in un’impostazione
formale dell’argomento non hanno diritto di cittadinanza. In realtà questa concessione
al rigore logico è generalmente accettata poiché ne guadagna la comprensione da parte
degli studenti.
Nondimeno, esiste una definizione più formale. La seguente.
Nello spazio, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxyz), sono
assegnati i due vettori u(ux, uy, uz) e v(vx, vy, vz). Si definisce prodotto vettoriale di
u per v il vettore w tale che:
wx = uyvz − uzvy, wy = uzvx − uxvz, wz = uxvy − uyvx.
In base a questa definizione che non fa più ricorso a fatti intuitivi, si possono determinare
tutte le caratteristiche del vettore w, compreso il fatto che w = uvsenϕ, dove ϕ
è l’angolo dei due vettori, e dimostrare alcune proprietà notevoli del prodotto vettoriale.
Riteniamo che quest’approccio sia da sconsigliare in una scuola pre-universitaria e sia
più proficuo servirsi della prima definizione, ancorché non formalmente corretta.
7. UN PO’ DI STORIA.
Il concetto di vettore sembra essere nato con Galileo Galilei (1564–1642), che lo
usava col significato di “ciò che trasporta” da un punto ad un altro, per descrivere
fenomeni connessi al moto dei corpi.
In realtà, ancora oggi con il termine “vettore” si intende chi esegue trasporti di
merci (e anche di viaggiatori) per conto di terzi.
Con lo stesso significato di “ciò che trasporta da un punto ad un altro” è stato
ripreso in matematica e particolarmente nello studio della geometria, almeno all’inizio.
Lo studioso che, forse, più d’ogni altro ha il merito di avere elaborato un sistema
di calcolo vettoriale, benché ancora primitivo e perciò non esattamente uguale a
quello attuale, ma ad esso sostanzialmente equivalente, fu un matematico italiano
poco conosciuto al grande pubblico, il sacerdote Domenico Chelini (1802–1878),
nell’opera Saggio di geometria analitica trattata con nuovo metodo, pubblicata a
Roma nel 1838.
In questi studi sul calcolo vettoriale, che possiamo definire primitivi, si distinsero
altri studiosi, tra i quali il francese Michel Chasles (1793–1880) e il tedesco August
Ferdinand Möbius (1790–1868).
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Il moderno calcolo vettoriale è, però, secondo la maggior parte degli storici,
una versione semplificata della teoria dei quaternioni dell’irlandese William Rowan
Hamilton (1805–1865) e dell’algebra astratta di Hermann Günther Grassmann
(1809–1877).
Il calcolo vettoriale ordinario aveva trovato dunque una sua sistemazione verso la
fine dell’Ottocento, ma non vi era ancora una definizione formale di quella struttura
all’interno della quale oggi ci muoviamo, vale a dire la struttura di spazio vettoriale.
Il matematico che avrebbe operato una vera e propria formalizzazione dell’argomento
fu il torinese Giuseppe Peano (1858–1932), con l’opera Calcolo geometrico
secondo l’Ausdehnungslhere di H. Grassmann (1888).
Per questo Peano è considerato uno dei padri del calcolo vettoriale. Ma questo
solo al giorno d’oggi, poiché all’epoca della pubblicazione della sua opera questo
riconoscimento non ci fu e quella che venne considerata la prima definizione ufficiale
di “spazio vettoriale” risale a circa 30 anni dopo, intorno al 1920, e fu attribuita al
matematico tedesco Hermann Weyl (1885–1955).
Una sorta di generalizzazione del calcolo vettoriale è il calcolo tensoriale. Fu
creato e sviluppato da due studiosi italiani: Gregorio Ricci-Curbastro (1853–1925)
e il suo allievo Tullio Levi-Civita (1873–1941). È stato poi utilizzato da Albert
Einstein (1879–1955) per elaborare la sua Teoria della Relatività Generale (1915).
E fu esattamente dopo questa utilizzazione che Ricci-Curbastro e Levi-Civita ebbero,
seppure tardivamente, il dovuto riconoscimento. Infatti, il loro lavoro, la celebre
memoria Méthodes de Calcul différentiel absolu et leurs applications, pubblicata

62 Periodico di matematiche 3/2011
62 Periodico di matematiche 3/2011
nel 1900 sulla rivista tedesca “Mathematische Annalen” (di cui Felix Klein era allora
il direttore), non suscitò all’epoca grande interesse sugli studi dei due matematici
italiani.
Pensierino finale.
Come va che la matematica, essendo fondamentalmente
un prodotto del pensiero umano
indipendente dall’esperienza, spiega in
modo così ammirevole le cose reali?
✉ANTONINO GIAMBÒ
Ispettore tecnico MIUR in pensione
Macerata
Albert Einstein
[Fonte: Eric T. Bell, I grandi matematici,
Firenze, Sansoni, 1966, pag. XI]
Relazione tenuta al Congresso Mathesis di Caserta 2011.
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Tecnica non convenzionale per la soluzione dei limiti
Francesco Auletta, Luigi Verolino
Sunto: Presentiamo una tecnica non convenzionale per risolvere alcuni limiti, altrimenti risolubili per
mezzo di tecniche che fanno uso del concetto di derivata.
Abstract: Hereafter we present a non-conventional technique for solving a class of limits, usually
evaluated by means of different techniques, all making use the concept of derivative.
Introduzione
È raro che le teorie che hanno generato la Scienza Moderna non traggano fondamento
dalle idee dei grandi pensatori dell’antichità. Non sfugge a questa regola il
concetto di limite. «Giammai il piè veloce Achille raggiungerà la tartaruga», la frase
storica con la quale Zenone conclude il suo celeberrimo paradosso, e, ancor più, il
metodo di esaustione, ideato oltre un secolo dopo da Archimede per la determinazione
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64 Periodico di matematiche 3/2011
della lunghezza della circonferenza e dell’area del cerchio, rappresentano inequivocabilmente
gli esempi più concreti dell’esistenza fin dal V secolo a.C. di una tecnica di
ragionamento basata sul concetto di limite se anche in forma intuitiva. Oltre duemila
anni più tardi tale concetto ha trovato la sua sistemazione quale fondamento dell’analisi
matematica e la sua applicazione operativa risulta uno strumento straordinariamente
efficace per l’indagine nell’infinitamente piccolo e nell’infinitamente grande.
Il passaggio al limite cui è sottoposta una funzione continua y = f (x) in un
qualsiasi punto x0 del dominio, necessariamente di accumulazione (non vengono
qui considerate funzioni il cui dominio è un insieme di punti isolati), si traduce
nella semplice operazione del calcolo del valore finito dell’espressione y = f (x0), ma
non è questa l’esigenza per la quale si utilizza tale operazione, che, invece, diventa
indispensabile per studiare il comportamento di una funzione negli intorni di punti di
accumulazione non appartenenti al dominio oppure all’infinito e, in entrambi i casi,
rilevare suoi eventuali rami asintotici. È proprio in queste situazioni che si verificano
difficoltà operative allorquando il primo approccio all’operazione di passaggio al
limite si configura in uno dei risultati universalmente definiti con il nome ‘forme
indeterminate’, come ad esempio il rapporto 0/0 che verrà qui esaminato per alcuni
casi particolari. Per superare tali difficoltà, almeno per quegli esercizi proposti agli
studenti nelle prove d’esame e, quindi, necessariamente risolvibili, i cosiddetti esercizi
ad usum delphini, oltre ai primi tentativi, ove si manipola opportunamente la funzione
con l’obbiettivo di poter inserire l’utilizzo di limiti fondamentali o notevoli, si ricorre
a strumenti di calcolo tanto efficaci quanto ineludibili come il principio di sostituzione
degli infinitesimi, la regola di de l’Hôpital oppure gli sviluppi in serie di Taylor o
di MacLaurin. È altrettanto vero, però, che la risoluzione di un limite per via ‘non
convenzionale’, cioè senza il ricorso a tali strumenti, è, in genere, soprattutto quando
è attuabile, più apprezzata dal docente, insegnante oppure esaminatore che sia, perché
attraverso questa via si riescono a cogliere capacità e preparazione dello studente più
di quanto questi non dimostri con il meccanicismo degli altri metodi risolutivi.
In questa breve nota si vuole mostrare come la risoluzione di particolari limiti,
che si presentano nella forma indeterminata 0/0, non debba necessariamente fare uso
degli strumenti suddetti, sviluppi in serie di MacLaurin, tanto meno invocando teoremi
di non facile comprensione e di ardua applicabilità, ma ricorrendo a procedimenti
elementari ed alle operazioni sui limiti. Quando il docente avrà dimostrato alcuni
limiti fondamentali, prima di spiegare le derivate, potrà fare uso della tecnica esposta
in questo lavoro per allargare l’orizzonte dei limiti risolvibili, non rimandando a dopo
le derivate la soluzioni di alcuni interessanti limiti. D’altra parte, l’interesse scientifico
per queste tecniche di soluzione è dimostrato da un lavoro del 2010 pubblicato da tre
ricercatori dell’Università di Salerno (NOCERA ET AL., 2010).
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F. aulEtta - l. vErolino
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F. Auletta, L. Verolino 65
Un esempio notevole
La funzione y = senx/x esprime il variare del rapporto tra il seno di un arco x e
dell’arco stesso ed è definita ∀x = 0; si dimostra, applicando il teorema del confronto
in un contesto geometrico, che è unitario il limite per x tendente a zero e questo prova
che è vero ciò che intuitivamente si afferma dicendo che un arco e il suo seno finiscono
quasi per confondersi mano a mano che l’arco rimpicciolisce. Non solo, ma da questa
considerazione ne scaturisce un’altra: nell’infinitamente piccolo gli archi ed i seni
possono considerarsi direttamente proporzionali.
Allo scopo di rendere quanto più chiara possibile la tecnica non convenzionale di
soluzione che si vuole presentare in questa nota, si cominci con un semplice esempio
goniometrico e si voglia determinare il limite
L = lim
x→0
senx − x
x3 ,
supponendo già noti i limiti notevoli
senx 1 − cosx
lim = 1, lim
x→0 x x→0 x2 = 1
2 ·
Per determinare il limite L, non volendo adoperare le tecniche suddette, si può
partire riscrivendo senx con la formula di duplicazione degli archi e procedere come
segue
2sen
L = lim
x→0
x x
cos − x
2 2
x3 =
2sen
= lim
x→0
x x x
cos − 2sen
2 2 2
x
+ 2sen − x
2
x3 =
2sen
= lim
x→0
x
cos
2
x
− 1
2
x3 2sen
+ lim
x→0
x
− x
2
x3 ·
Ora, ponendo x = 2u, si può anche a scrivere
2senu(cosu − 1)
L = lim
u→0 8u3 2(senu − u)
+ lim
u→0 8u3 =
= 1
senu(cosu − 1)
lim
4 u→0 u3 (senu − u)
+ lim
u→0 u3
=
= − 1
4 lim
senu (1 − cosu)
lim
u→0 u u→0 u2 + 1
4 L.
In tal modo, il calcolo del limite è stato trasformato nella seguente equazione di primo
grado
L = − 1
8
1
+ L → L = −1
4 6 ·

66 Periodico di matematiche 3/2011
66 Periodico di matematiche 3/2011
Pertanto, si conclude immediatamente che
senx − x
lim
x→0 x3 = − 1
6 ·
È evidente, in questo esempio, la laboriosità e l’artificiosità del calcolo di un
limite che tutti risolverebbero mediante due applicazioni successive della regola di de
l’Hôpital, ma lo spirito di queste brevi note è mostrare che esistono possibili soluzioni
non convenzionali laddove molti testi, in modo troppo sbrigativo, ne dichiarano
l’impossibilità.
La tecnica appena mostrata consente di determinare facilmente altri limiti notevoli,
tra i quali vanno menzionati sicuramente:
tanx − x
lim
x→0 x3 tanx − senx
= lim
x→0 x3 senx − x
+ lim
x→0 x3 = 1 1 1
− =
2 6 3 ;
arcsenx − x
lim
x→0 x3 arctanx − x
lim
x→0 x3 Ancora un esempio
t − sent
= lim
t→0 sen3 t
t − tant
= lim
t→0 tan3 t =
t − sent
= lim
t→0 t3 t
lim
t→0 tant
3
t 3
lim
t→0 sen3 t
lim
t→0
t − tant
t 3
= 1
6 ;
= −1
3 ·
Dopo la lettura dell’esempio precedente, si potrebbe essere indotti a credere che la
tecnica mostrata sia adatta alle sole funzioni goniometriche: si mostrerà qui di seguito
che ciò non corrisponde a verità. In vero, partendo dal ben noto risultato
e
lim
x→0
x − 1
= 1,
x
si mostrerà come ottenere il limite ben più complesso
L = lim
x→0
ex − 1 − x
x2 ,
seguendo la medesima via indicata nel precedente paragrafo. Risulta, allora, semplicemente
e
L = lim
x→0
x − 2e x 2 + 1
x2 2e
+ lim
x→0
x 2 − 2 − x
x2 =
= 1
e
lim
4 u→0
u 2 − 1
+
u
1
2 lim
e
u→0
u − 1 − u
u2 = 1 L
+
4 2 ·
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F. aulEtta - l. vErolino
67
F. Auletta, L. Verolino 67
Da quest’ultima relazione, si deduce immediatamente che
L = 1
2 ·
Quest’ultimo risultato può anche essere ottenuto in maniera diversa, precisamente
elevando al quadrato il limite fondamentale, sicché
e
1 = lim
x→0
2x − 2ex + 1
= 4 lim
u→0
x 2
e u − 1 − u
u 2
e
= lim
x→0
2x − 1 − 2x
− 2 lim
x→0
x 2
2 + 2x − 2e
+ lim
x→0
x
x2 =
e x − 1 − x
x 2 = 4L − 2L → L = 1
2 ·
Entrambe le tecniche mostrate possono con successo essere applicate alla determinazione
dell’altro limite
e
M = lim
x→0
x − 1 − x − x2
2
x3 ·
Risulta in tal modo
M = lim
x→0
= 1
lim
27 u→0
= 1
27
= 1
27
e x 3
3 − 1 3e
+ lim
x x→0
2x
eu 3 − 1
+
u
1
27 lim
u→0
1
+
9 lim
e
u→0
2u − 1 − 2u − 2u2 u3 + 8
9
3 − 3e x 3 − x − x2
2 =
x 3
3e 2u − 3e u − 3u − 9u2
2
u 3
+ 1
9 lim
u→0
1
1
M − M → M =
9 6 ,
=
1 + u − e u + u2
2
u 3
risultato verificabile applicando tre volte di seguito la regola di de l’Hôpital.
Conclusioni
La spinta ad utilizzare solo limiti notevoli nel calcolo di limiti complessi trova la
sua giustificazione didattica nel fatto che molti studenti usano con troppa disinvoltura
la sostituzione degli infinitesimi, commettendo gravi errori, legati alla osservazione
che se ad una funzione infinitesima di ordine superiore rispetto a y = f (x) si aggiunge
un’altra funzione con la stessa proprietà, non si migliorano le conoscenze della prima,
pertanto, nelle differenze di funzioni infinitesime non è possibile sostituire ad una
=

68 Periodico di matematiche 3/2011
68 Periodico di matematiche 3/2011
delle due funzioni l’infinitesimo corrispondente senza conoscere con esattezza l’ordine
dell’infinitesimo differenza.
In questa nota è stata presentata, almeno per alcune classi di funzioni, una via di
uscita a questo problema, cioè una tecnica non convenzionale di soluzione di limiti
complessi che fa uso soltanto di limiti notevoli e non ricorre a manipolazioni che
richiedono l’uso e la comprensione profonda del concetto di infinitesimo e di derivata.
Va infine sottolineato che l’utilizzo degli infiniti e infinitesimi è molto utile nel
calcolo dei limiti e deve essere proposto in ogni ordine scolastico che ne preveda il loro
studio, evidenziando però che la sostituzione può avvenire solo in alcuni casi, come il
prodotto e il quoziente di funzione, sempre maneggiandola con molta attenzione.
Riferimenti bibliografici
N. NOCERA, R. RAUCCI, L. TADDEO (2010), Su alcuni limiti fondamentali:
tecniche non classiche, Dipartimento di Scienze Economiche e Statistiche (Working
paper 3.212), Università di Salerno, aprile 2010.
✉FRANCESCO AULETTA, LUIGI VEROLINO
Dipartimento di Ingegneria Elettrica
Via Claudio, 21
80125 Napoli
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Difficoltà epistemologiche e didattiche
nell’insegnamento-apprendimento
dell’Infinito matematico
Maria Cocozza, Alessio Russo
Abstract: In this article the obstacles and the difficulties that students and teachers encounter in the
learning of infinity are investigated. Firstly, we outline an excursus through the historical development of
the concept of infinity. Then we report the results of a test proposed to some students of the Scuola di
Specializzazione Campana (2008) and to the teachers of a formation course organized by the Seconda
Università di Napoli inside the Piano Nazionale Lauree Scientifiche (2010). We compare our results
with those obtained in other investigations on the topic of infinity in the didactic of mathematics.
1 Introduzione
Questo nostro lavoro è dedicato a tutti quegli allievi ed insegnanti che continuamente
affrontano le difficoltà legate al concetto di infinito matematico che è tra le
fonti intrinseche di errori in matematica. Allo scopo di delineare alcuni aspetti che
riteniamo utili alla comprensione delle problematiche inerenti la didattica dell’infinito,
è sicuramente utile partire dal cosiddetto triangolo della didattica (CHEVALLARD e
JOSHA, 1982).
Come si può osservare, al vertice superiore di questo triangolo troviamo il “sapere”,
inteso come “savoir savant”. Si tratta del sapere accademico formalmente
69
69

70 Periodico di matematiche 3/2011
70 Periodico di matematiche 3/2011
strutturato e soggetto a continua evoluzione a seguito di nuove scoperte o acquisizioni
teoriche. Questo sapere, in prima istanza, è del tutto esterno ai processi di insegnamento
e di apprendimento legati alle figure dell’insegnante e dell’allievo che, quindi,
stanno sulla stessa base del triangolo. Affinché il sapere accademico si inserisca
nell’ambito del processo di insegnamento/apprendimento è necessario un’operazione
di trasposizione didattica consistente in un adattamento delle conoscenze al discorso
didattico educativo.
La formazione di un concetto e la sua trasposizione didattica è, senza dubbio,
un processo difficile. Lo diventa particolarmente quando ci si riferisce all’infinito
matematico. In tale ordine di idee è fondamentale tener conto degli ostacoli, che B.
D’Amore così definisce: “Un ostacolo è un’idea che, al momento della formazione
di un concetto, è stata efficace per affrontare dei problemi (anche solo cognitivi)
precedenti, ma che si rivela fallimentare quando si tenta di applicarla ad un problema
nuovo”.
Nella didattica della matematica vengono considerati vari tipi di ostacoli. Per i
nostri scopi ci limitiamo a considerare i seguenti:
• epistemologici, che dipendono dalla natura intrinseca dell’argomento studiato. Non
si possono eliminare, ma uno studio attento dell’evoluzione storica dei concetti
coinvolti può aiutare ad acquisire consapevolezza di ciò che si sta studiando.
• didattici, che dipendono dal sistema educativo adottato dall’insegnante, dalle sue conoscenze,
e spesso da modelli parziali o addirittura erronei sull’argomento. Pertanto,
è un tipo di ostacolo che può essere limitato.
La natura intrinseca del concetto di infinito, con la complessità formale della sua
struttura interna, giustifica la presenza di ostacoli epistemologici nella formazione
della teoria dell’infinito matematico, come sapere accademico, istituzionalizzato.
Una rapida analisi della storia del concetto di infinito mostra che si tratta di
un’evoluzione caratterizzata da fratture e discontinuità. Si nota spesso attraverso
i secoli un ritorno su posizioni che sembravano precedentemente superate e come
persino matematici di grande valore abbiano avuto difficoltà o addirittura ostilità
rispetto a concetti nuovi riguardanti l’infinito. Sicuramente, come osservò Hilbert nel
1921, “nessun altro problema ha mai scosso così profondamente lo spirito umano;
nessuna altra idea ha stimolato così proficuamente il suo intelletto; e tuttavia nessun
altro concetto ha [avuto] maggior bisogno di chiarificazione che quello di infinito”.
In questo articolo, dopo un rapido excursus attraverso i momenti salienti dello
sviluppo storico del concetto di infinito matematico che consentirà di soffermarci
sugli ostacoli epistemologici, sarà mostrato il risultato di un’indagine sulla percezione
dell’infinito proposta dal secondo autore a studenti della Scuola di Specializzazione
Campana (2008) ed in occasione del Corso di formazione per gli insegnanti svoltosi
presso il Polo Scientifico della Seconda Università di Napoli nell’ambito del Piano
Lauree Scientifiche (2010). Si confronteranno i risultati ottenuti con le acquisizioni
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M. CoCozza - a. russo
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M. Cocozza, A. Russo 71
ottenute nell’ambito della didattica della matematica relativamente alle problematiche
concernenti l’infinito.
2 Un po’ di storia
Andiamo dunque alla ricerca degli ostacoli epistemologici attraverso la storia
dell’infinito.
• Anassimandro di Mileto (VI secolo a.C.): L’infinito è l’apeiron, cioè l’indeterminato,
l’indefinito e l’illimitato.
• Pitagora di Samo (VI secolo a.C.): Finitismo. La scuola pitagorica concepisce
un tratto di linea come un aggregato costituito da un certo numero finito di punti
ciascuno dei quali di dimensioni finite (concezione granulare del punto (modello
della collana (Arrigo-D’Amore)). Tutte le cose vengono espresse mediante rapporti
tra numeri naturali.
• Scoperta Mirabilis (Ippaso di Metaponto, 500 a.C): Incommensurabilità della diagonale
e del lato di un quadrato (cfr. Menone di Platone, ~385 a.C.). Distacco fra
intuizione e ragione, passaggio dalla geometria di approssimazione alla geometria
di precisione, inizio della “vera Matematica” . Si perviene “all’annichilimento del
punto, che viene ridotto ad un’entità evanescente, cioè senza dimensioni: privo di
lunghezza, larghezza e altezza. Si tratta cioè del famoso punto geometrico [. . . ]
Sicché una linea, per quanto breve, non contiene già cento, o mille, o diecimila
punti, ma ne contiene infiniti. Questo fatto si esprime con una semplice proposizione,
che si assume come postulato sulla struttura della linea geometrica: tra due punti
qualunque di una linea può sempre inserirsi (almeno) un punto intermedio” (A.
Frajese). L’infinito si insinua nelle pieghe della matematica sin dalle sue origini.
• Zenone di Elea (~450 a.C.): Con i suoi celebri paradossi (ricordati nella Fisica di
Aristotele) mette in discussione le nuove concezioni scaturite dalla scoperta delle
grandezze incommensurabili. Le affermazioni di Zenone traggono la loro origine
dalla filosofia dell’essere di Parmenide per il quale l’infinito comprende tutto ma è
limitato.
Come afferma A. Frajese: “I matematici greci, di fronte ai problemi dell’infinito,
si misero ben presto in posizione di difesa. [. . . ] Per evitare l’uso diretto dell’infinito,
evidentemente pericoloso per il rigore matematico, escogitarono geniali, ma al tempo
stesso paralizzanti teorie, che si mossero in ambito perfettamente rigoroso. Fu il
matematico Eudosso di Cnido (408 a.C. – 355 a.C) il maestro dei maestri in questo
campo: [. . . ] Egli fu il più grande imbrigliatore dell’infinito attraverso i tempi.”
• La teoria delle proporzioni e il metodo di esaustione sono le due teorie attraverso
le quali Eudosso affrontò il problema della determinazione del rapporto di due

72 Periodico di matematiche 3/2011
72 Periodico di matematiche 3/2011
grandezze incommensurabili e quello delle aree evitando l’uso diretto dell’infinito,
cioè in senso attuale. Egli accettò soltanto l’infinito potenziale.
Come ha sottolineato molti secoli dopo G. Cantor “Si presenta spesso il caso che
vengano confusi tra loro [. . . ] i concetti di infinito potenziale e di infinito attuale,
malgrado la loro differenza è essenziale. [. . . ] Il primo denota una grandezza variabile
finita, che cresce al di là di ogni limite finito; il secondo, ha come suo significato un
quanto costante, fisso in sé, tuttavia posto al di là di ogni grandezza finita.”
• Fu probabilmente Aristotele (384 a.C. – 322 a.C.) il primo a cogliere la distinzione
tra infinito potenziale (“quello al di fuori del quale c’è sempre qualcosa” (Fisica)) e
infinito attuale (“quello al di là del quale non c’è più nulla” (Fisica)). Però asserì
che sia nell’universo che nel pensiero (matematico) “è impossibile che l’infinito sia
in atto” (Fisica).
• Euclide negli Elementi (300 a. C.) accetta completamente il dictat aristotelico.
Pur definendo il punto come ciò che non ha parti, per quanto riguarda la retta
egli la chiama eutheia gramme che significa linea terminata che si può prolungare
continuamente per diritto. Negli Elementi troviamo esposte le teorie di Eudosso.
Ricordiamo infine, la proposizione XX del libro IX dove, riguardo all’infinità dei
numeri primi, Euclide si esprime al modo seguente: “I numeri primi sono di più che
ogni proposto numero complessivo di numeri primi”.
Molte delle posizioni di Aristotele sopravvissero fino all’Ottocento quando R.
Dedekind e G. Cantor diedero una svolta definitiva alla teoria dell’infinito.
Si pensi che ancora nel 1831 Gauss, uno dei più grandi matematici di tutti i tempi,
scriveva: “Io devo protestare veementemente contro l’uso dell’infinito come qualcosa
di definito: questo non è permesso in Matematica”.
A fianco alla linea di pensiero che va da Aristotele agli Scolastici e che domina
per tutto il Medioevo, e non solo, ve ne è un’altra più nascosta, di cui ricordiamo solo
i nomi di Democrito, Archimede, Agostino, Bacone, Scoto fino a Galileo per i quali
l’infinito attuale è uno strumento di cui forse non se ne può fare a meno.
• Galileo (1564–1642) nella sua opera “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno
a due nuove scienze” (1638) pone sulla bocca di Salviati la domanda:” Onde se
io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i
quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così?” Galileo ben conosce la
Nozione Comune VIII degli Elementi di Euclide, secondo cui “Il tutto è maggiore
della parte”. Pertanto, Simplicio aggiunge: “Non si può dir altrimenti”. Salviati
però prosegue:” i numeri tutti è chiaro esser più dei numeri quadrati. Ovvio!
Comprendono infatti i numeri quadrati e i non quadrati. Ma allora chiediamoci
quanti siano i numeri quadrati. Qui compare il concetto fondamentale di tutta la
questione. I numeri quadrati sono ovviamente tanti quanti le loro radici, perchè per
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M. CoCozza - a. russo
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ogni numero quadrato c’è la sua, unica, radice, e ogni radice lo è solamente del
suo quadrato. Ma le radici sono esattamente ”i numeri tutti”! Siamo in presenza di
un problema. I “numeri tutti” sono più dei numeri quadrati che a loro volta però
sono tanti quanti i numeri tutti. . . ” ed infine conclude: “Infiniti esser tutti i numeri,
infiniti i quadrati, infinite le loro radici, né la moltitudine de’ quadrati essere minore
di quella di tutti i numeri, né questa maggior di quella, ed in ultima conclusione, gli
attributi di maggiore e minore non aver luogo ne’ gl’infiniti, ma solo nelle quantità
terminate.”
La soluzione data da Galileo è negativa. Infatti egli afferma: “Queste son di quelle
difficoltà che derivano dal discorrere che noi facciamo col nostro intelletto finito
intorno agli infiniti, dandogli quegli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate;
il che penso sia inconveniente, perché stimo che questi attributi di maggioranza,
minorità ed equalità non convenghino a gl’infiniti, dei quali non si può dire, uno
essere maggiore o minore o uguale all’altro.”
• Chi invece ebbe un atteggiamento diverso di fronte all’infinito fu B. Bolzano il quale
nei “Paradossi dell’infinito” (1851) perviene a quella che in seguito fu la definizione
di insieme infinito utilizzata da G. Cantor (1879) e da R. Dededind (1888).
Un insieme è infinito se si può mettere in corrispondenza biunivoca con una sua
parte propria.
• Il punto di partenza delle scoperte di Cantor fu il rovesciamento del punto di vista ben
noto secondo cui “la tecnica originaria del contare sia il prerequisito per la nozione
più sofisticata di uguale dimensione o equinumerosità” (W. Dunham). Vengono
di conseguenza definite le nozioni di cardinalità di un insieme e di confronto
fra cardinalità. Egli inoltre accettò definitivamente la nozione di infinito attuale
nell’ambito della matematica (con la sua teoria dei numeri cardinali transfiniti). Anzi,
con il suo tipico “ardire intellettuale” (L. Lombardo Radice) capovolse anche qui
l’atteggiamento tradizionale affermando che “l’infinito potenziale ha solo una realtà
presa a prestito dato che un concetto di infinito potenziale rimanda sempre ad un
concetto di infinito attuale che lo precede logicamente e ne garantisce l’esistenza”.
Riprendendo Hilbert, possiamo dire: “volendo caratterizzare in breve la nuova
concezione dell’infinito aperta da Cantor, si potrebbe dire: nell’analisi ci occupiamo
dell’infinitamente grande e dell’infinitamente piccolo in quanto concetti-limite, come
qualcosa che nasce, che viene prodotto, cioè (come si dice) come infinito potenziale.
Ma non è questo l’infinito vero e proprio. Lo abbiamo invece, per esempio, quando
consideriamo la stessa totalità dei numeri 1,2,3,4, . . . come un’unità conchiusa, o
quando riguardiamo i punti di un intervallo come una totalità di oggetti che ci è data
in modo completo. Questo tipo di infinito è chiamato infinito attuale.”

74 Periodico di matematiche 3/2011
74 Periodico di matematiche 3/2011
Altri importanti risultati ottenuti da Cantor furono i seguenti (il lettore interessato
alle dimostrazioni può consultare (FRANCIOSI, DE GIOVANNI, 1995)):
• L’unione di una famiglia finita o numerabile di insiemi numerabili è numerabile.
• L’insieme dei numeri algebrici è numerabile.
• L’insieme dei numeri reali ha cardinalità (detta potenza del continuo) maggiore
del numerabile.
• L’insieme dei numeri trascendenti ha la potenza del continuo (1874) .
• Se S è un insieme infinito, allora la potenza cartesiana S n è equipotente a S.
(Questo risultato mise in evidenza la differenza fra cardinalità e dimensione. Cantor
ne rimase così sorpreso che comunicandolo a Dedekind in una lettera del 29 giugno
1877 pronunciò queste parole “Lo vedo ma non lo credo!” )
• Se S è un insieme, allora l’insieme P(S) delle parti di S ha cardinalità maggiore
di quella di S (1891). Esiste così una successione strettamente crescente di
cardinali infiniti.
La rapida panoramica attraverso la storia dell’infinito (matematico) ci ha mostrato
le numerose difficoltà che si dovettero superare perché gli aspetti più profondi di
questo concetto venissero colti e, soprattutto, accettati nell’ambito della matematica.
Si pensino agli attacchi che lo stesso Cantor subì, in modo particolare da parte di L.
Kroneker. D’altra parte, personalità di grandissimo rilievo, come Hilbert, accettarono
con entusiasmo le scoperte di Cantor (“Nessuno ci scacci dal paradiso di Cantor”).
Tra i molti contributi che G. Peano diede alla Matematica, riuscì a fondare l’aritmetica
su un nucleo costituito da poche proposizioni (i famosi cinque assiomi di Peano)
e da tre nozioni primitive (zero, numero e successore). In particolare, attraverso il
Principio di Induzione, mise in evidenza il legame tra l’infinità potenziale e l’infinità
attuale dell’insieme dei numeri naturali. Ricordiamo le due definizioni seguenti:
• Un insieme ordinato si dice naturalmente ordinato se ogni sua parte non vuota ha
minimo, e se è superiormente limitata, ha massimo.
• Una terna (S,a, f ) costituita da un insieme non vuoto S, da un elemento a di S e da
un’applicazione f : S → S si dice terna di Peano se:
(P1) f è iniettiva;
(P2) a ∈ S\ f (S);
(P3) (Principio di Induzione) Se X è una parte di S tale che a ∈ X e f (X) ⊆ X,
allora X = S.
Nella teoria assiomatica degli insiemi si assume l’esistenza di un insieme infinito
(assioma di Cantor). Il seguente risultato, per la cui dimostrazione si rimanda
a (FRANCIOSI, DE GIOVANNI, 1995), evidenzia alcune affermazioni equivalenti
all’assioma di Cantor.
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M. CoCozza - a. russo
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M. Cocozza, A. Russo 75
Teorema di Peano - Sono equivalenti le seguenti affermazioni:
1. Esiste un insieme infinito;
2. Esiste una terna di Peano;
3. Esiste un insieme naturalmente ordinato privo di massimo.
3 La nostra indagine
Come è stato rilevato da molti studiosi di didattica della matematica, (cfr., ad
esempio, (D’AMORE, 1996)), alcune peculiarità incontrate nella storia dell’infinito
si ripresentano nella didattica. È interessante notare come uno stesso individuo,
dopo un primo incontro intuitivo con l’infinito potenziale nella scuola primaria, solo
gradualmente ed in modo spesso discontinuo, raggiunga una consapevolezza completa
degli aspetti principali dell’infinito matematico. Peraltro, il più delle volte si rimane
ancorati ai modelli intuitivi della fase iniziale. E ciò è stato riscontrato anche in
insegnanti di matematica di scuola primaria e secondaria.
Di seguito vengono elencate alcune delle convinzioni emerse da una serie di sperimentazioni
(test, interviste) descritte nella tesi di dottorato di ricerca di S. Sbaragli “Le
convinzioni degli insegnanti sull’infinito matematico” (SBARAGLI, internet). Tali opinioni
costituiscono dei veri e propri ostacoli didattici nell’apprendimento dell’infinito
matematico:
• Infinito come indefinito (qualcosa che non si riesce a dire, che non si sa quanto sia,
che non si può tradurre per iscritto).
• Infinito come numero molto grande.
• Infinito come illimitato (quindi, un segmento ha un numero “finito” di punti).
• Dipendenza dal modello finito. Si trasferisce al caso infinito l’idea che le espressioni
“avere lo stesso numero di elementi” ed “essere uguali” siano equivalenti (il
problema si risolve usando l’aggettivo “equipotente” al posto di “uguale”). Questa
convinzione viene supportata da errati modelli dei concetti primitivi della geometria:
punto, retta (modello della collana). Si riesce con grandi difficoltà a staccarsi da
modelli sensibili che dovrebbero essere solo un ausilio didattico per la concettualizzazione.
(Paradosso di Duval (1993): “ [. . . ] da una parte, l’apprendimento
degli oggetti matematici non può che essere un apprendimento concettuale e, d’altra
parte, è solo per mezzo di rappresentazioni semiotiche che è possibile un’attività su
degli oggetti matematici”).
• Appiattimento (dopo aver superato la dipendenza dal modello finito si suppone
l’equipotenza di tutti gli insiemi infiniti).
• Scarsa accettazione dell’infinito attuale (“[. . . ] il concetto di infinito attuale è
considerato contrario all’intuizione e tale da generare perplessità, pertanto non è
facilmente acquisibile; per insegnarlo è necessaria una speciale sensibilità didattica”
(TSAMIR, 2000)).

76 Periodico di matematiche 3/2011
76 Periodico di matematiche 3/2011
Nelle lezioni tenute ai futuri insegnanti della Scuola di Specializzazione Campana
(2008) ed in occasione del Corso di formazione per gli insegnanti svoltosi presso il
Polo Scientifico della Seconda Università di Napoli nell’ambito del Piano Lauree
Scientifiche (2010), A. Russo ha proposto il seguente questionario (che è essenzialmente
quello presente nella tesi di Sbaragli con qualche modifica evidenziata in
grassetto).
1. Che cosa pensi che significhi infinito matematico?
2. Durante i tuoi studi (scolastici, universitari ed ora, alla SICSI) e, se hai avuto
esperienze di insegnamento (anche come tirocinante) ti è mai capitato di parlare
di infinito? Quando? In che senso? In che modo? Sfruttando quali materiali?
3. Il termine “infinito” in matematica esiste sia come aggettivo che come sostantivo?
4. Ci sono più punti nel segmento AB o nel segmento CD? (Scrivi nel foglio tutto ciò
che ti ha fatto venire in mente questa domanda).
5. Quanti sono i numeri pari: 0, 2, 4, 6, 8, . . . ?
6. Quanti sono i numeri dispari: 1, 3, 5, 7. . . ?
7. Quanti sono i numeri naturali: 0, 1, 2, 3. . . ?
8. Quanti sono i multipli di 15?
9. Sono di più i numeri pari o i numeri dispari?
10. Sono di più i numeri pari o i numeri naturali?
11. Sono di più i numeri dispari o i numeri naturali?
12. Sono di più i multipli di 15 o i numeri naturali?
13. Ti è mai capitato durante i tuoi studi (scolastici, universitari ed ora alla SICSI) e,
se hai avuto esperienze di insegnamento (anche come tirocinante), di confrontare
le “quantità” di questi insiemi numerici (pari con dispari, pari con naturali,
dispari con naturali)? In che modo? E in quale circostanza?
14. Che cosa è per te un punto? C’entra qualcosa con l’infinito?
15. Secondo te in un segmento quanti punti ci sono?
16. Hai mai sentito parlare di infinito potenziale e di infinito attuale in generale ed
in particolare in matematica? C’è una distinzione fra i due concetti? Cosa ne
pensi?
Di seguito vengono riportate alcune delle risposte fornite alle domande del
questionario proposto.
• “Il concetto di infinito è molto complicato da spiegare in matematica. É un concetto
che già da piccoli si capisce, ma che è difficile spiegare. Si può spiegare dicendo
che è tutto ciò che non si riesce a quantificare.”
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M. CoCozza - a. russo
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M. Cocozza, A. Russo 77
• “Credo che se dovessi spiegare ad un ragazzo il concetto di infinito gli direi che
non è un numero ben definito ma è la possibilità di trovare sempre, dato un qualunque
numero fissato, un numero più grande di quest’ultimo. Ugualmente, dato un
segmento AB, questo è divisibile in un numero sempre più elevato di parti . . . ”
• “L’infinito matematico viene introdotto per indicare quantità che non si riesce ad
elencare (pur mettendosi con pazienza e dedizione).”
• “L’infinito è qualcosa che vedi, che sai che c’è, ma che non puoi contenere, che non
riesci a rappresentare nella sua interezza; la stessa retta, ne puoi rappresentare su
un foglio una parte, ma non tutta . . . perché è costituita da un numero infinito di
punti.”
• “Penso che infinito matematico sia un concetto astratto che viene utilizzato ad
esempio per indicare che un insieme ha un numero elevato di elementi.”
• “Quando penso al termine infinito da un punto di vista matematico penso subito
a due cose: agli insiemi infiniti, cioè insiemi che possono essere messi in corrispondenza
biunivoca con delle parti proprie; all’infinito che si usa in analisi per
indicare quantità estremamente grandi e estremamente piccole.”
• Il concetto di infinito è forse tra i più complicati in matematica, data la sua natura
intuitiva e quasi innata in noi . . .
• “L’infinito è l’estremo superiore dei numeri reali.”
• “Dal punto di vista dell’insegnamento scolastico, credo che il termine infinito in
matematica sia usato esclusivamente come aggettivo. L’infinito come sostantivo è
un concetto forse più complicato che riguarda, in un certo senso, la filosofia della
matematica, e pertanto viene trattato in corsi universitari avanzati.”
• “Non posso quantificare quanti punti ci sono nel segmento AB e quanti nel segmento
CD, perciò non posso confrontarli tra loro.”
• “Chiaramente, sia in AB che in CD i punti sono infiniti, ma ciò non toglie che
qualcuno potrebbe anche dire che in CD ci sono più punti, essendo CD più lungo di
AB. Si potrebbe anche pensare che in CD i punti sono infiniti ma sono più infiniti di
quelli di AB.”
• “Osservando la figura, essendo la lunghezza di CD maggiore di quella di AB, allora
CD avrà sicuramente più punti.”
• “Perché CD ci sembra più grande di AB se entrambi contengono infiniti punti?”
• “I punti del segmento AB sono infiniti, e analogamente, i punti del segmento CD.
Apparentemente, essendo i due segmenti di lunghezze differenti, si potrebbe erroneamente
pensare che nel segmento CD ci sono più infiniti punti del segmento AB, ma
l’infinito è uno, non esiste un infinito maggiore dell’infinito.”
• “Ovviamente, nel segmento AB e nel segmento CD ci sono lo stesso numero di punti.
Entrambi infatti hanno la cardinalità del continuo, cioè la cardinalità di R, e quindi
della retta. Il problema è farlo capire ai ragazzi. Perché due insiemi che hanno lo
stesso numero di punti possono essere contenuti l’uno nell’altro?”

78 Periodico di matematiche 3/2011
78 Periodico di matematiche 3/2011
• “Se AB fosse fatto di un filo elastico, e lo si tendesse fino a farlo diventare lungo
quanto CD, sarebbe facile notare che ora la lunghezza è la stessa, ma al segmento
AB io non ho aggiunto niente che già non avesse. Allora perché pensare che in CD
ci sono più punti che in AB?”
• “Volendo seguire la definizione di segmento ovvero di insieme finito di punti,
graficamente direi che il segmento CD contiene più punti del segmento AB.”
• “Ho sempre immaginato che se i numeri potessero essere contati, l’ultimo sarebbe
un numero pari; poiché penso che lo zero è pari, sembra quasi ovvio che i numeri
pari sono più di quelli dispari. Ma è solo una supposizione e non una certezza!”
• “I numeri pari, quelli dispari e quelli naturali sono tutti infiniti, e per questo non
sono paragonabili.”
• “I numeri naturali sono infiniti. L’insieme N è discreto ma non numerabile.”
• “I numeri naturali sono ovviamente infiniti; infatti a qualunque numero naturale n
infinitamente grande pensiamo esiste anche un altro numero naturale più grande
(n+1).”
• “Poiché sia i pari che i dispari sono infiniti, allora i due insiemi sono equipotenti.
Poiché i pari e i naturali sono infiniti, non si può dire se un insieme è maggiore
dell’altro, perché non esiste un infinito maggiore di infinito.”
• “L’infinito attuale è una necessità logica del pensiero astratto e degli assiomi della
matematica. Va preso salvo prova contraria. L’infinito potenziale è costruibile dal
nostro pensiero. Pensare alla fine e poi superarla. . .
4 Riflessioni finali
Si confermano, così, gran parte delle convinzioni rilevate dalle sperimentazioni
fatte dalla Sbaragli con gli insegnanti della scuola primaria e secondaria. Tuttavia,
occorre osservare che in alcuni vi è una certa consapevolezza dello stadio “avanzato”
della teoria. É interessante notare che dalle risposte fornite si evince che spesso in una
stessa persona si mescolano idee intuitive o parziali sull’infinito a idee che ormai sono
patrimonio acquisito della matematica. Ad esempio, si sa che gli insiemi dei pari, dei
dispari e dei naturali sono equipotenti, ma si giustifica l’infinità di N pensando alla
possibilità di trovare un numero sempre più grande.
Manca spesso la consapevolezza del ruolo che le relazioni di equivalenza hanno
nel processo di matematizzazione. Ad esempio, si confonde l’uguaglianza con l’equipotenza.
Spesso l’ostacolo della dipendenza dal modello finito ritorna anche quando
si intravede la possibilità del non appiattimento degli insiemi infiniti.
Per approfondire gli ostacoli didattici (oltre che epistemologici) alla comprensione
dell’infinito si rinvia (tra le diverse centinaia di lavori che esistono nel panorama
internazionale su questo tema) ai due importanti lavori (ARRIGO, D’AMORE, 1999) e
(ARRIGO, D’AMORE, 2002).
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M. CoCozza - a. russo
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M. Cocozza, A. Russo 79
Nel primo sono state evidenziate le enormi difficoltà da parte di studenti degli ultimi
anni delle superiori (17–19 anni) nella comprensione del teorema di Cantor sull’equipotenza
fra l’insieme dei punti di un quadrato e quello dei punti del suo lato. Il
secondo articolo verte invece sugli altri risultati di Cantor concernenti il confronto fra
insiemi infiniti.
Spesso le affermazioni di molti insegnanti sulla inopportunità didattica di introdurre
già nella scuola di base alcune tematiche concernenti l’infinito sono frutto più
di pregiudizi o di una scarsa conoscenza dell’argomento, piuttosto che di un reale
problema. Da numerose sperimentazioni è emerso un grande interesse e molta curiosità
da parte dei bambini nei riguardi dell’infinito. A tal proposito ricordiamo le
parole scritte da un bambino di seconda elementare ai compagni di prima durante una
sperimentazione sull’infinito svoltasi in una scuola primaria in provincia di Venezia
(riportate all’inizio del terzo capitolo della tesi di Sbaragli): “Cari bambini di prima,
lo sapete cosa vuol dire contare all’infinito? Vuol dire che se contate per 1000 anni di
seguito c’è sempre un numero maggiore di quello dove siete arrivati! C’è sempre un
numero in più e così per sempre. Provate a occhi chiusi a contare, diventerete nonni
e starete ancora contando. E sarete vecchi con la barba, sarete troppo vecchi che i
vostri genitori non vi riconosceranno più!”.
Le considerazioni svolte finora, supportate da numerose altre indagini che si
possono trovare in letteratura mostrano che forse “una conoscenza, una formazione,
un’educazione matematica attuale non può prescindere da alcune competenze basilari
sugli insiemi infiniti. [. . . ] Già nella scuola di base occorre iniziare un’educazione
alla trattazione degli insiemi infiniti che permetta all’alunno di rendersi conto delle
principali differenze che tale modo di pensare comporta rispetto all’ambito finito.”
(D’Amore)
Per un’introduzione didatticamente e storicamente efficace del concetto di infinito,
dal punto di vista matematico (e non solo), si possono consultare i libri (ACZEL, 2002),
(LOMBARDO RADICE, 1981), (RUCKER, 1991) e (ZELLINI, 1985). Non possiamo
altresì non ricordare che l’infinito per le sue peculiarità, ha attratto l’attenzione di
numerosi scrittori, artisti e filosofi che ne hanno fatto l’oggetto delle loro ricerche e
dei loro racconti. Ne ricordiamo qui solo alcuni: L. Sterne (1713–1768): “Tristam
Shandy”, G. Leopardi (1798–1837): “L’Infinito”, F. Kafka (1883–1924): “Il castello”,
J. L. Borges (1899–1986): L’Aleph, I. Matte Blanco (1908–1995): “L’inconscio come
insiemi infiniti”, S. Lem (1921–2006): “L’Hotel Straordinario” (questo racconto può
essere letto nella raccolta (BARTOCCI, 2007)), M. Escher (1898–1972).

80 Periodico di matematiche 3/2011
80 Periodico di matematiche 3/2011
Riferimenti bibliografici
ACZEL A.D. (2002), Il mistero dell’Alef, Il Saggiatore, Milano.
ARRIGO G. e D’AMORE B. (1999), « “Lo vedo ma non ci credo” Ostacoli epistemologici
e didattici al processo di comprensione di un teorema di Cantor che coinvolge
l’infinito attuale », L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, 22(B),
pp. 93–120.
ARRIGO G. e D’AMORE B. (2002), « “Lo vedo ma non ci credo . . . ”, seconda parte,
Ancora su ostacoli epistemologici e didattici al processo di comprensione di alcuni
teoremi di Georg Cantor », La matematica e la sua didattica, 1, pp. 4–57.
BARTOCCI C. (2007), Racconti matematici, Einaudi, Torino.
CHEVALLARD Y. e JOSHUA M.A. (1982), « Un exemple d’analyse de la transposition
didactique: la notion de distance », Recherches en didactique des mathématiques,
3(1), pp. 159–239.
D’AMORE B. (1996), Bibliografia in Progress sul tema: « L’Infinito in didattica
della matematica », La matematica la sua didattica, 3, pp. 289–305.
FRANCIOSI S. e DE GIOVANNI F. (1995), Elementi di Algebra, Aracne, Roma.
LOMBARDO RADICE L. (1981), L’infinito, Editori Riuniti, Roma.
RUCKER R. (1991), La mente e l’infinito, Muzzio, Padova.
SBARAGLI S. (2004), Le convinzioni degli insegnanti sull’infinito matematico
www.dm.unibo.it/rsddm/it/articoli/sbaragli/testo unico italiano.pdf
TSAMIR P. (2000), « La comprensione dell’infinito attuale nei futuri insegnanti », La
matematica e la sua didattica, 2, pp. 167–207.
ZELLINI P. (1985), Breve storia dell’infinito, Adelphi, Milano.
✉MARIA COCOZZA
Liceo Scientifico Statale
“Galileo Galilei”
81034 Mondragone (Ce)
maria.cocozza@libero.it
✉ALESSIO RUSSO
Seconda Università di Napoli
Dipartimento di Matematica
81100 Caserta
alessio.russo@unina2.it
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Una lezione inusuale sul tempo
la percezione umanistica incontra la scienza
Domenico Liguori, Tina Reo
Abstract: What’s time? This and many other reflections have given the cue to an unusual lesson,
addressed to two second classes of the “Liceo Scientifico” of Cariati (CS), in the school-year 2009/10.
The lesson, alternative towards a traditional way of teaching, has involved, in a acquainted and interdisciplinary
way, a Mathematics and Physics teacher, an Italian Letters teacher and the two parallel classes.
Through brain storming, critical analysis of passages from novels or from literature studied at school,
funny and amusing physical experiments the students, as true actors, have asked themselves questions
about “the concept of time” experimenting with its subjective psychological perception and its objective
scientific relativity.
“Non ho tempo!”
Chissà quante volte o sarà capitato di ascoltare questa espressione o l’abbiamo
pronunciata noi stessi. Tante volte nominiamo la parola “tempo”, utilizziamo il tempo
e viviamo in stretta relazione con esso ed in esso, ne facciamo esperienza di misura
tutti quanti eppure, probabilmente, l’idea, il significato o il concetto stesso implicito
nella parola, assumono sfumature diverse ed imprecise, mettendoci in imbarazzo di
fronte al tentativo di volerne parlare.
«Che cos’è dunque il tempo? Se nessuno me lo chiede, lo so; se voglio spiegarlo
a chi me lo chiede, non lo so più». Così si esprimeva, a riguardo del tempo,
Sant’Agostino nelle Confessioni.
Che cos’è il tempo? Quanti tempi esistono? Il tempo è uguale o scorre allo stesso
modo per tutti? Come percepiamo e misuriamo il tempo? Sono domande fondamentali
quando si inizia a parlare del tempo. Non sempre è possibile giungere a risposte o
verità oggettive, ma dal punto di vista della ricerca (ed anche di quella didattica), è più
importante porsi delle domande ed imparare ad interrogarsi stimolando la curiosità
ed il senso critico-logico, che trovare o fornire risposte già preconfezionate da far
accettare agli alunni come “verità assolute” o dettami di un “ipse dixit”.
Lo stesso Einstein, padre di una nuova concezione del tempo, alla richiesta di
spiegazioni sulla relatività rispondeva con un esempio illuminante: “quando un uomo
siede per un’ora in compagnia di una bella ragazza, ha l’impressione che sia passato
un minuto. Ma fatelo sedere su una stufa per un minuto e gli sembrerà più lungo di
qualsiasi ora. Questa è la relatività”.
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82 Periodico di matematiche 3/2011
82 Periodico di matematiche ??/201?
Immaginate di “non avere più tempo”! Cosa fareste? La percezione del tempo
rimarrebbe la stessa?
Durante l’anno scolastico 2009/10, nel Liceo Scientifico di Cariati (CS), si è
sperimentata una didattica diversa dal solito, con una lezione “inusuale” sul tempo
rivolta a due classi seconde (IIA e IIC). I docenti coinvolti sono stati: il prof. Domenico
Liguori, insegnante di matematica e fisica e la prof.ssa Tina Reo, insegnante di italiano
e latino. La lezione, strutturata in modo inusuale, ossia fuori dallo stereotipo solito
del far scuola, ha visto il coinvolgimento contemporaneo di entrambe le seconde; lo
svolgimento della lezione nella biblioteca dell’Istituto e non nelle aule e non ultimo
anche la scelta di una tematica “fuori programma” rispetto alle indicazioni tradizionali
per le seconde classi hanno reso attraente e insolita la trattazione dell’argomento
scelto. Gli alunni sono stati coinvolti anche nella preparazione del locale, dalla
sistemazione dei posti a sedere e della lavagna, alla predisposizione di una telecamera
per riprendere lo svolgimento della lezione. Di “inusuale”, inoltre, c’è stato il modo
in cui è stata condotta la lezione: gli alunni sono stati divisi in due squadre, per
incoraggiare un positivo spirito di concorrenza, e stimolati dai docenti attraverso
domande e riflessioni su cui lavorare, gli alunni stessi (attori attivi) hanno prodotto
delle “verità” le cui parole chiave o i concetti fondamentali venivano annotati sulla
lavagna determinando la conquista di un punto a squadra. Alla fine della discussione i
docenti hanno organizzato e rielaborato, sintetizzando le varie conquiste degli alunni
ed integrandole con le proprie conoscenze, il sapere scaturito dalla discussione. Ci
si è ispirati, fondamentalmente, ad una didattica basata sul metodo socratico della
maieutica integrandola, quando possibile, con il metodo sperimentale. Tutta la lezione
è durata circa tre ore, due delle quali impiegate nella discussione tra gli alunni ed
una per la sintesi finale. Questi tempi sono stati suddivisi equamente nella trattazione
dell’aspetto scientifico e di quello letterario come mostrato nella tabella 1.
La lezione ha avuto inizio con una domanda rivolta a tutti gli allievi e scritta alla
lavagna:
«Tempo psicologico e tempo fisico coincidono?»
Ed un intento: dimostrare che non esiste il tempo assoluto.
Argomento Il tempo e la sua
percezione nella
letteratura
Prima parte Seconda parte Terza parte
Il tempo e la sua
percezione nella fisica
Conclusioni e sintesi
Durata in ore 1 1 1
Tabella 1. Organizzazione della lezione
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D. Liguori, T. Reo 83
Prima parte
Il tempo e la sua percezione nella letteratura
La prima parte della discussione ha interessato l’analisi del concetto di tempo
nella Letteratura e nella Storia, due delle discipline umanistiche oggetto di studio nelle
classi coinvolte.
“Cos’è il tempo nella letteratura?” è stato l’interrogativo dal quale è partita la
discussione per affermare che la grandezza dei poeti è riconoscibile nella capacità di
esprimere emozioni private in modo da renderle universali, così che ciascun lettore
veda esemplato nei versi il singolo sentire.
Stesso interrogativo è stato rivolto agli allievi per il concetto di tempo nella storia.
Sin dalle scuole primarie i ragazzi hanno affrontato la conoscenza della preistoria,
della storia antica greca e romana, della storia medievale e mediante lo studio delle
diverse epoche e civiltà hanno appreso la caratteristica primaria dell’evoluzione umana:
lo sviluppo delle società ha radici profonde che è necessario conoscere e possedere
per capire e vivere in modo costruttivo il presente di ciascuno.
Si è proposto, quindi, agli allievi di trattare l’argomento Tempo riflettendo sulla
seguente domanda: Tempo psicologico e Tempo fisico (scientifico) coincidono?
Perché gli allievi potessero rendersi conto della differenza di percezione delle due
realtà, psicologica-soggettiva e fisica-oggettiva, si è dato ampio spazio alla modalità
del brain storming, che ha coinvolto gli alunni in una discussione attorno a domande
che stimolassero riflessioni sulla natura del tempo: come lo percepiscono i ragazzi?
Vivono il tempo come un valore che arricchisce la vita attraverso le esperienze fatte o
come un disvalore che distrugge i sogni, la giovinezza e li costringe a scontrarsi con
la realtà?
Dalla discussione è emerso che tempo psicologico e fisico non coincidono perché
aldilà della percezione, positiva o negativa, ristretta o allargata, il tempo fisico scorre
ugualmente. Le 24 ore quotidiane hanno sempre la stessa durata oggettiva, nonostante
la percezione umana sia variabile e soggettiva a seconda del contesto, dello stato
d’animo, delle età della vita etc.
Ci si è quindi interrogati sull’esistenza di un tempo assoluto, uguale per ogni
disciplina trattata, valido in ogni epoca storica. Questa fase si è sviluppata anche
attraverso racconti di esperienze personali.
Le diverse percezioni del tempo, liberamente espresse dagli alunni, sono state
trascritte alla lavagna per averne un riscontro tangibile, per evitare che venissero
ripetute le stesse affermazioni e per incentivare le due squadre concorrenti a formulare
ipotesi accattivanti. Dalla discussione sul tempo psicologico è emerso che il tempo
può essere gestito, ma non controllato; quindi l’uomo è attore del tempo, ma non suo
regista.

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Successivamente si è analizzato il tempo psicologico nella letteratura. Attraverso
la lettura di brani scelti, distribuiti in fotocopia agli alunni, questi ultimi sono stati
invitati a commentare ed approfondire la percezione del tempo letterario e nello
specifico:
• FOSCOLO - Sonetti: A Zacinto e In morte del fratello Giovanni
per il tema del tempo come sofferenza lontano dalla patria ed il tema del tempo
che si fa eterno nel ricordo della poesia immortale;
• LEOPARDI - Idilli: Infinito; Canti: A Silvia; Il sabato del villaggio
per il tema del tempo come illusione giovanile e delusione nella maturità: la
noia, il tempo umano ed il dolore;
• CARDUCCI - Odi: Pianto antico
per il tema del tempo come memoria sempre viva della sofferenza per la perdita
dei cari.
Il dibattito è proseguito con i contributi di alunni che hanno relazionato e riportato
il proprio pensiero su testi, precedentemente letti, di letteratura d’intrattenimento
come:
• Il gabbiano Jonathan Livingston di R. Bach
per il tema del tempo per sopravvivere e del tempo per scoprire i doni della vita;
• Lettera ad un bambino mai nato di Oriana Fallaci
per il tema del tempo dell’attesa: 9 mesi di incertezza e sofferenza;
• Freud, approfondimenti vari per il tema del tempo passato come coscienza del
presente per capire se stessi;
• Alberoni, approfondimenti vari per il tema dell’amore come evoluzione fisica e
psicologica attraverso il tempo della maturità umana.
La prima parte del dibattito, quella riguardante l’aspetto psicologico ed umanistico
della percezione del tempo, si è conclusa con una significativa maturazione intellettiva
dei ragazzi i quali, confrontandosi fra loro ed applicando ripetutamente la strategia
del team teaching, hanno compreso che non sempre il sentire soggettivo è estensibile
a tutti, ma che spesso confrontarsi rende consapevoli dei propri limiti ed aiuta a
concepire verità oggettive.
Seconda parte
Il tempo e la sua percezione nella fisica
Nella seconda parte della lezione sono stati affrontati i seguenti temi: la percezione
del tempo attraverso sensate esperienze, la misura del tempo, l’idea del tempo come
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D. Liguori, T. Reo 85
assoluto e relativo, il tempo di Einstein con esperienze qualitative sulla relatività della
simultaneità e della durata degli intervalli temporali.
Per fare esperienza della soggettività della percezione temporale si è proceduto
con esperimenti ai quali sono stati sottoposti gli alunni divisi in squadre (tre alunni
per ogni classe); sono stati proposti i seguenti esperimenti:
1) rimanere in apnea;
2) rimanere in equilibrio su una gamba;
3) ricercare un’ informazione su un motore di ricerca in internet.
Il docente ha fornito, cronometro alla mano, 40 secondi per ciascuna prova. Gli
alunni sottoposti alle prove, ignorando la durata effettiva delle stesse, hanno dovuto,
infine, fornire una loro stima della durata di ciascuna prova. La risposta, per ogni
squadra, è stata frutto di un confronto fra i componenti: ogni squadra ha valutato
autonomamente il tempo percepito. I risultati dell’esperimento sono riportati nella
tabella 2.
Squadra 2A Squadra 2C
Prova effettuata Tempo percepito (s) Tempo percepito (s)
Apnea 50 60
Equilibrio 45 50
Ricerca 35 35
Tabella 2. Risultati sulla percezione temporale della durata di alcune prove alle
quali sono state sottoposte le due squadre di alunni
I dati mostrano chiaramente una percezione temporale alterata: maggiorata nelle
prime due prove ossia in esercizi fisici che costringono a situazioni fisicamente
scomode; ridotta nella terza prova: l’informazione da ricercare era tanto complessa da
richiedere più tempo di quello concesso (nel caso specifico era stato chiesto di cercare
il numero di castelli medioevali presenti in tutta la Calabria).
Lo scopo di queste esperienze è stato quello di far riflettere gli alunni sull’inattendibilità
della percezione temporale soggettiva che non può, quindi, essere adottata
come misura scientifica in quanto risulta alterata dal proprio stato d’animo e dal tipo
di esperienza che si vive in quell’intervallo temporale. Dalla discussione è emerso
il bisogno di introdurre un metodo o una strumentazione diversa per una misura
scientifica e, quindi, attendibile del tempo. Si è posto un nuovo interrogativo: come
misurare il tempo? Fra le risposte più significative fornite dagli alunni è emerso il
concetto di ciclicità e periodicità che per esempio si ritrova in fenomeni naturali come
il movimento apparente del Sole attorno alla Terra, con l’alternarsi del giorno e della

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notte, delle stagioni; le fasi lunari, il ritmo cardiaco ed il pendolo. Si è concluso
che fenomeni ciclici e ripetitivi con periodicità nota, possono essere sfruttati come
strumenti per la misura del tempo (inteso come intervalli temporali di durata di qualche
evento).
Figura 1. Simulazione sulla relatività della simultaneità
Lo sforzo didattico in questa fase è stato concentrato sulla progettazione di esperienze
che, molto semplicemente ed intuitivamente, potessero evidenziare la relatività
della simultaneità e della durata di un intervallo temporale misurato da due osservatori
diversi, l’uno in moto rettilineo uniforme rispetto all’altro. Per il primo caso sono stati
scelti due alunni con la funzione di simulare due raggi di luce che, dalla loro posizione
iniziale di partenza (punto A e B nella fig. 1), si muovessero contemporaneamente,
allo stesso passo (stessa velocità), verso il punto medio di AB ove è stato posto un
altro alunno: l’osservatore O in quiete. Un altro alunno-osservatore O ′ , inizialmente
nella stessa posizione di O, nell’istante in cui sono partiti i due raggi da A e B, ha
iniziato a muoversi, a passo costante (velocità costante), ma più lentamente degli
alunni-raggi di luce, verso B. Nello stesso intervallo di tempo O ′ è stato raggiunto
per prima dall’alunno-raggio di luce partito da B, mentre l’osservatore O è stato
raggiunto contemporaneamente da entrambi gli alunni-raggi di luce. Le conclusioni
degli sperimentatori sono state, evidentemente, che per O gli eventi A e B erano simultanei,
mentre per O ′ l’evento B precedeva l’evento A. Avendo visualizzato questo
processo logico, gli alunni sono stati capaci di intuire che se O ′ si fosse mosso verso
A, l’osservatore O ′ avrebbe visto l’evento A precedere l’evento B. La discussione è
proseguita riflettendo anche sul legame causa-effetto e la sua relatività in funzione
dell’osservatore.
Figura 2. Simulazione sulla relatività della durata di un intervallo temporale
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Per sperimentare la relatività della durata di un intervallo temporale fra due eventi
(uno fungerà da start e l’altro da stop come in fig. 2) in funzione dell’osservatore, si è
proceduto sull’esempio di prima con la variante semplificativa che dallo stesso punto
A partivano due alunni-raggi di luce: uno per lo start e, successivamente, l’altro per lo
stop.
Lo stesso intervallo temporale tra il segnale di start e quello di stop viene misurato
in modo diverso dall’osservatore O e dall’osservatore O ′ . Per semplificare la comprensione
e l’intuizione dei risultati sperimentati, l’osservatore O ′ è stato messo in moto
dopo che è stato raggiunto dal segnale di start. In questo modo è facilmente verificabile
che se O ′ si muove verso A, l’osservatore O ′ registrerà un intervallo temporale minore
di quello misurato dall’osservatore O e viceversa se O ′ si allontana da A.
Terza parte
Conclusioni e sintesi
L’ultima parte della lezione è stata dedicata alla sintesi di tutte le osservazioni e le
conquiste raggiunte dagli alunni arrivando a delle conclusioni che lasciassero anche
domande aperte allo scopo di stimolare la ricerca personale sugli argomenti trattati, la
curiosità per queste tematiche ed un nuovo approccio di studio capace di privilegiare la
riflessione personale ed il senso logico-critico anche attraverso il metodo sperimentale.
Attraverso la discussione conclusiva delle varie idee proposte, gli alunni sono giunti
alla sintesi che la misura del tempo è una nostra convenzione, non è assoluta ma
relativa all’osservatore. Il tempo psicologico è diverso da quello scientifico perché
non misurabile in modo oggettivo ed influenzabile da fattori soggettivi. Dividiamo
il tempo in passato, presente e futuro perché così lo percepiamo. Riflettendo meglio
possiamo osservare che il presente ha una natura fugace perché scorre subito nel
passato. Approfondendo l’osservazione possiamo affermare che “il presente è fittizio”
perché qualsiasi realtà percepita come presente viene osservata in quanto la sua
immagine arriva ai nostri occhi attraverso dei segnali di luce che viaggiano a velocità
finita. Questa percezione avviene, quindi, in un intervallo di tempo non nullo per
cui l’oggetto osservato e percepito nell’immediato presente appartiene, anche se per
pochissimi istanti, già al passato.
Il futuro non esiste fin quando non diventa presente, per poi scorrere subito nel
passato. Il futuro di un sistema classico deterministico può essere previsto dalla
conoscenza delle sue equazioni. Per i sistemi complessi o per il mondo atomico e
subatomico la scienza può calcolare solo valori medi e probabilità. Si passa dall’idea
di determinismo a quella di probabilità e sistemi caotici per i quali l’idea di previsione
non ha senso. A tal proposito è stata affrontata la problematica degli oroscopi o di
altri inganni della ragione additati come strumenti capaci di prevedere il futuro, e se
ne è dimostrata la loro inattendibilità scientifica.

88 Periodico di matematiche 3/2011
88 Periodico di matematiche ??/201?
Per quanto riguarda il passato ci si è soffermati sulla possibilità di scrutarlo molto
semplicemente osservando il cielo e riflettendo sul fatto che la luce degli astri che
vediamo oggi è la fotografia di quegli oggetti celesti come erano tempo fa, il tempo
necessario alla luce per giungere fino ai nostri occhi.
Ci siamo lasciati con una domanda: “il tempo è una illusione?”, ed un invito alla
lettura.
La lezione proposta, secondo quanto affermato dagli allievi intervistati sull’argomento
nei giorni successivi, è stata vissuta positivamente perché ha permesso loro,
tra le altre esperienze, di toccare con mano l’interdisciplinarità, ossia l’intreccio alla
base del sapere che coinvolge tutte le discipline, sebbene per questioni pratiche ed
organizzative esse siano tenute separate nel monte ore scolastico.
✉DOMENICO LIGUORI, TINA REO
Liceo Scientifico di Cariati (CS)
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L’indagine nazionale sulla prova scritta di matematica dei licei scientifici
della sessione 2011 degli esami di Stato.
L’indagine nazionale sulla prova scritta di matematica realizzata da un decennio attraverso
il sito www.matmedia.it con il contributo della Mathesis è stata sostenuta quest’anno da un
progetto gestito dal Liceo “I. Newton” di Chivasso (TO) e promosso dalla Direzione Generale
per gli Ordinamenti Scolastici e per l’Autonomia Scolastica del MIUR.
In appositi seminari di studio residenziali cui hanno partecipato 130 docenti in servizio
nei licei italiani sono stati definiti sia il questionario rivolto alle commissioni giuidicatrici
operanti sul territorio nazionale sia una proposta di “griglia” di criteri comuni da adottare per
la valutazione della prova.
Su www.matmedia.it è disponibile il data-base completo dell’indagine alla cui realizzazione
ha peraltro contribuito la Facoltà di Ingegneria della Seconda Università di Napoli
diretta dal preside Michele di Natale. I dati dell’indagine 2011 riguardano 3071 classi e 64957
candidati e forniscono informazioni dettagliate e complete su: problemi e i quesiti affrontati e
svolti dagli studenti, voti conseguiti, pareri dei docenti sulle tracce (contenuti, formulazioni,
notazioni), strumenti di calcolo utilizzabili, durata della prova e la sua articolazione, modalità
e criteri adottati per la valutazione degli elaborati.
La Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e per l’Autonomia Scolastica il
16/12/2011 ha diramato una nota con la quale ha fatto presente che i risultati dell’indagine
saranno oggetto di specifici incontri tra i docenti dei licei organizzati su base territoriale dagli
USR.
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Curiosità sulla variabilità
della durata aleatoria dei giochi di rovina
Luigi Vannucci
Abstract: The expected duration of the classic ruin game with two players is well known. Here the
focus is on the variability of this random duration. More specifically, some analytical results are found
for the variance and for the expected value conditioned to the ruin of a fixed player.
1 Il classico gioco di rovina tra due giocatori
Innumerevoli sono le pubblicazioni sui giochi di rovina con due o più giocatori
e salto a piè pari la questione di tentare di farne un resoconto, rinviando per qualche
spigolatura sulla durata degli stessi al paragrafo finale. In questa nota mi limiterei
a riprendere la questione della durata del gioco nel caso più classico, ovvero quello
in cui si considerano due giocatori, Primo e Secondo, dotati di capitali limitati che
si scambiano importi unitari sulla base di sequenze di lanci di una moneta con esiti
indipendenti, con probabilità di “testa” p ∈ (0,1) e con probabilità di “croce” 1 − p a
ogni lancio, fintantoché uno dei due giocatori non si rovini: a quel punto il gioco ha
termine e la sua durata è data dal numero di lanci eseguiti fino a quello, incluso, che
ha provocato la rovina di Primo o di Secondo. Si ipotizzi che “testa” favorisca Primo
e “croce” Secondo.
È ben noto che per ogni p ∈ (0,1), e ovviamente anche nei casi estremi p = 0 o
p = 1, la rovina di uno dei due giocatori avviene con probabilità 1 e mi piace ricordare
a tal riguardo un contributo di B. de Finetti (DE FINETTI, 1976) sul Periodico di
Matematiche della Mathesis, con cui Egli intese “accompagnare” il mio contributo
(VANNUCCI, 1976). Inoltre se il capitale iniziale di Primo è h e quello di Secondo
è c − h con h e c − h interi positivi (e pertanto c finito e non minore di 2) allora la
probabilità di rovina di Primo è nel caso equo, quello con probabilità p = 1
2
πh =
c − h
c
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90 Periodico di matematiche 3/2011
90 Periodico di matematiche 3/2011
per h = 1,2,...,c − 1 e che la durata aleatoria del gioco, Dh, ha valore medio (si usa
il simbolo usuale per il valore atteso di una variabile aleatoria)
dh := E [Dh] = h(c − h)
per h = 1,2,...,c − 1.
Nel caso di gioco non equo, quindi con p = 1
2
1 − p
, se si pone s = , e quindi
p
p = 1
, allora la probabilità di rovina di Primo è per h = 1,2,...,c − 1
s + 1
πh = sc − s h
s c − 1
e la durata media del gioco di rovina, dh = E [Dh], è
dh =
s + 1
h − c
s − 1
sh − 1
sc
− 1
Si noti che le formule forniscono anche per h = 0 e h = c i valori al bordo, dovendo
essere
π0 = 1, πc = 0, d0 = dc = 0
Trattasi di risultati ottenuti o partendo da equazioni alle differenze finite lineari a
coefficienti costanti omogenee o non omogenee con preassegnate condizioni al bordo,
equazioni impiantate sfruttando classiche certezze del calcolo delle probabilità quali
il teorema delle probabilità totali, o sfruttando proprietà di martingala per opportuni
valori attesi condizionati (CHANG, 1995), (VANNUCCI, 2010).
Con riferimento alla durata attesa del gioco equo di rovina è curioso constatare,
ad esempio, che con h = 1 e c = 1000 la durata media è d1 = 1 · 999 = 999. Ma nella
metà dei casi, quindi con probabilità 1
2 , il gioco termina in un solo lancio: Primo perde
al primo colpo tutto il suo capitale. Nell’altra metà dei casi al primo colpo Primo si
ritrova con capitale 2 e Secondo con capitale 998 e il gioco ha allora una durata attesa
pari a 1 + d2 = 1 + 2 · 998 = 1997. Si noti che
1 1
· 1 + · 1997 = 999
2 2
Questa esemplificazione fa intuire che deve esserci un’ampia variabilità della
durata aleatoria dei giochi di rovina e in questa nota l’obiettivo è quello di curiosare
su questa variabilità, scegliendo di determinare sia la varianza di Dh in funzione di p,
di h e di c, che la durata attesa del gioco condizionata alla rovina di uno prefissato dei
due giocatori.
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Luigi Vannucci 91
2 La varianza della durata
2.1 Gioco equo
La varianza della durata, Var(Dh), può essere ottenuta conoscendo i momenti
secondi gh := E D2
h per h = 0,1,...,c e i momenti primi della relativa variabile aleatoria,
essendo Var(Dh) = E D2
h − (E [Dh]) 2 . Nel caso di gioco equo la successione
dei valori E D2
h soddisfa la
E D 2 1
h = E (1 + Dh+1)
2
2
+ 1
E (1 + Dh−1)
2
2
per h = 1,2,...,c − 1, con le condizioni al bordo E D2
0 = E D2 c = 0. Sviluppando
i quadrati, si tratta di risolvere l’equazione alle differenze finite
gh = 1 + dh+1 + 1
2 gh+1 + dh−1 + 1
2 gh−1
con le condizioni al bordo g0 = gc = 0, che, essendo dh+1 = (h + 1)(c − h − 1) e
dh−1 = (h − 1)(c − h + 1), si riduce a
1
2 gh+1 − gh + 1
2 gh−1 = 1 − 2hc + 2h 2
per h = 1,2,...,c − 1, con le condizioni al bordo g0 = gc = 0. La procedura standard
di risoluzione per questa equazione lineare a coefficienti costanti non omogenea, dà
gh = hh3 − 2ch2 + 2h + c c2 − 2
3
da cui la varianza
Var(Dh) = E D 2 h − (E [Dh]) 2 =
= hh3 − 2ch2 + 2h + c c2 − 2
− (h(c − h))
3
2 =
= hc3 − 2c + 2 − 3c2 h + 4ch2 − 2h3 3
per h = 0,1,...,c. Nell’esempio considerato con h = 1 e c = 1000 tale varianza è
332334000 e la devianza è √ 332334000 = 60 · √ 92315 18230: tra 18 e 19 volte
il valore medio 999. Riporto in Tab. 1 un’esemplificazione numerica dei risultati
ottenuti con c = 10, al variare di h.
Curiosa è l’invarianza dei tre valori centrali della varianza di Dh, che si registra
sempre se c è pari: se i due giocatori hanno lo stesso capitale iniziale nel caso di gioco
equo al primo colpo si determinano due situazioni di gioco di rovina uguali dal punto
di vista della ulteriore durata. Con analoghe procedure si potrebbero calcolare anche i
successivi momenti, ivi inclusi quelli centrali, della variabile aleatoria Dh ovviamente
con crescita di “voluminosità” delle formule.

92 Periodico di matematiche 3/2011
92 Periodico di matematiche 3/2011
h πh dh gh gh − (dh) 2
0 1.0 0 0 0
1 0.9 9 321 240
2 0.8 16 608 352
3 0.7 21 833 392
4 0.6 24 976 400
5 0.5 25 1025 400
6 0.4 24 976 400
7 0.3 21 833 392
8 0.2 16 608 352
9 0.1 9 321 240
10 0.0 0 0 0
Tab. 1
2.2 Gioco non equo
Nel gioco non equo la successione dei valori E D2
h soddisfa la
E D 2 1
h = E (1 + Dh+1)
s + 1
2
+ s
E (1 + Dh−1)
s + 1
2
per h = 1,2,...,c − 1, con le condizioni al bordo E D2
0 = E D2 c = 0. Sviluppando
i quadrati, si tratta di risolvere l’equazione alle differenze finite
gh = 1 + 2
s + 1 dh+1 + 1
s + 1 gh+1 + 2s
s + 1 dh−1 + s
s + 1 gh−1
che con il risultato sopra richiamato per dh equivale a
1
s + 1 gh+1 − gh + s
s + 1 gh−1 = 1 + 2(s + 1)c sh − 1 − h(sc − 1)
(s − 1)(sc − 1)
per h = 1,2,...,c − 1, con le condizioni al bordo g0 = gc = 0. La procedura standard
di risoluzione per questa equazione lineare a coefficienti costanti non omogenea, dà la
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Luigi Vannucci 93
soluzione
s + 1 2c(s + 1)
s − 1 (sc − 1)(s − 1) +
2
s + 1
− 1 h − c
s − 1
sh − 1
sc
+
− 1
2
s + 1
+
h
s − 1
2 − c 2 sh − 1
sc
+
− 1
2c(s + 1)2
(sc − 1)(s − 1) 2
hs h − cs c sh − 1
sc
− 1
gh =
Con tale risultato per il momento secondo e ricordando quello di dh, si può
ovviamente ottenere la varianza di Dh
Var(Dh) = gh − (dh) 2 =
= s + 1
2c(s + 1)
1 −
1 − s (sc − 1)(s − 1) −
2
s + 1
h − c
s − 1
sh − 1
sc
+
− 1
s + 1
2
+ h
s − 1
2 − c 2 sh − 1
sc
+
− 1
2c(s + 1)2
(sc − 1)(s − 1) 2
hs h − cs c sh − 1
sc
+
− 1
s + 1
− h − c
s − 1
sh − 1
sc 2
− 1
per h = 0,1,...,c.
Si applicano i risultati ottenuti per descrivere quello che può capitare a Primo che,
con h gettoni, gioca alla roulette francese puntando ogni volta un gettone su “rouge” o
“noir” e che si ripromette di smettere quando il suo capitale raggiunga il valore c, se
non è nel frattempo rovinato. Con i risultati indicati, posto 0 < h < c = 10 ed essendo,
in questo contesto, p = 18
19
37 e quindi s = 18 , quello che può capitare “in termini medi”
a Primo è evidenziato numericamente nella seguente Tab. 2, in cui le probabilità di
rovina sono arrotondate al quinto decimale e quelle su durate attese e loro varianze al
secondo decimale
In questa tabella non si ha ovviamente quella situazione simmetrica rispetto alla
riga di h = 5 che si registrava in Tab. 1 per il caso equo, con p = 1
2 e c = 10. La
durata attesa del gioco è maggiore di quella del gioco equo se h ≥ 6 e la varianza della
durata del gioco è maggiore di quella del gioco equo se h ≥ 7: il gioco è leggermente
sfavorevole per Primo e quanto più esso è “ricco” tanto più crescono, rispetto al caso
di gioco equo, valore medio e varianza della durata del gioco per vederlo alla fine o
rovinato o reso un po’ più ricco!
Primo non si deve illudere sulla vantaggiosità del gioco. La tabella gli fa vedere
che con h = 6 gettoni la probabilità di farcela a metterne insieme 10 e abbandonare il
tavolo della roulette con una vincita di 4 e maggiore del 50%, ma il conto della sua

94 Periodico di matematiche 3/2011
94 Periodico di matematiche 3/2011
h πh dh gh gh − (dh) 2
0 1.00000 0.00 0.00 0.00
1 0.92253 8.34 286.80 217.28
2 0.84076 15.08 557.31 329.82
3 0.75445 20.15 782.90 376.99
4 0.66334 23.44 940.25 390.93
5 0.56718 24.85 1012.04 394.28
6 0.46566 24.30 987.70 397.42
7 0.35851 21.65 864.17 395.47
8 0.24541 16.80 646.84 364.56
9 0.12602 9.63 350.42 257.73
10 0.00000 0.00 0.00 0.00
Tab. 2
vincita ha valore medio
10 ⎛
6
10
19 19
19 19
−
18 18
⎜
−
⎜ 18 18
· (−6) +
10
⎜1
−
19
⎝ 10
19
− 1
− 1
18
18
6
⎞
⎟ · 4 −0.65667
⎠
Lo stesso valore che si otterebbe moltiplicando la durata attesa del gioco E [Dh]
per il guadagno medio per turno di gioco, pari a 19 18
37 (−1) + 37 · 1. A riprova di ciò
⎛ ⎞
6
19
19
+ 1 ⎜
− 1
18 ⎜ 18
⎟
⎜6
− 10
19
⎝ 10 ⎟
− 1 19 ⎠
18 − 1
18
·
19 18
(−1) + · 1 −0.65667
37 37
Il conto proposto fa intravedere la possibilità di determinare immediatamente
e correttamente per il caso di gioco non equo la formula per E [Dh] nota che sia
πh = sc − sh sc (senza usare l’armamentario delle equazioni alle differenze finite) come
− 1
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Luigi Vannucci 95
soluzione dell’equazione nella incognita E [Dh]
−h · sc − sh sc
+ (c − h) 1 −
− 1 sc − sh sc
= E [Dh] −1 ·
− 1
1
s
+ 1 ·
s + 1 s + 1
Segue anche che quanto più dura mediamente per Primo il gioco a lui sfavorevole,
quanto più mediamente perde!
3 La durata media condizionata alla rovina di Primo
3.1 Gioco equo
Vorrei ora analizzare un’altra questione connessa alla variabile aleatoria Dh nel
caso del gioco equo, che non mi risulta sia stata considerata finora in letteratura
(potrei sbagliare), ma che mi pare non priva di un qualche interesse. Limitandosi
a considerare le durate del gioco in cui Primo, che detiene all’inizio il capitale h,
rovina è intuitivo prevedere che le durate condizionate a questa eventualità (la rovina
di Primo) devono avere un valore atteso minore di h(c − h) se h < c − h, maggiore
di h(c − h) se h > c − h e uguale a h(c − h) se h = c − h. Non nuocerebbe conoscere
l’esatta entità di questi scarti dal valore medio h(c − h), anche per dare una misura alla
naturale previsione che quanto più sono sbilanciati i capitali iniziali posseduti dai due
giocatori quanto più devono differire la durata attesa del gioco di rovina condizionata
alla rovina di Primo e quella condizionata alla rovina di Secondo.
Se con EP si simboleggia l’evento “Rovina di Primo” e con ES si simboleggia
l’evento “Rovina di Secondo”, allora dh, finora considerato, esprimerebbe il valore
atteso della variabile condizionata all’evento (che ha probabilità 1) EP +ES. In simboli
dh := E [Dh | EP + ES]
Ora si vuole invece determinare il valore atteso della durata del gioco di rovina condizionato
alla rovina di uno prefissato dei due giocatori e, senza perdita di generalità,
faremo riferimento a Primo, quello che detiene il capitale h all’inizio del gioco.
Indicando con δh := E [Dh | EP], l’equazione alle differenze soddisfatta dalla
successione dei valori δh è
δh = 1 + Ph (E+1 | EP) · δh+1 + Ph (E−1 | EP) · δh−1
per h = 1,2,...,c − 1, con la condizione al bordo δ0 = 0. Qui con Ph (E+1 | EP) si
intende la probabilità che Primo, quando si trova a detenere il capitale h, vinca al
lancio successivo, si noti il +1 come indice dell’evento, condizionata alla sua rovina
(e alla non rovina di Secondo). Analoga è l’interpretazione di Ph (E−1 | EP).

96 Periodico di matematiche 3/2011
96 Periodico di matematiche 3/2011
Quanto valgono Ph (E+1 | EP) e Ph (E−1 | EP)? Si devono valutare delle probabilità
condizionate e risulta pertanto per h = 1,2,...,c − 1
Ph (E+1 | EP) = Ph (E+1EP)
Ph (EP) =
= P(Primo ha un capitale h, vince il turno e rovina)
P(Primo ha un capitale h e rovina)
= ··· =
= c − (h + 1)
2(c − h)
Si noti che Pc−1 (E+1 | EP) = 0: se Primo vincesse allora non rovinerebbe in
contraddizione con l’evento condizionante. La successione delle Ph (E+1 | EP) è
c − 2 1
decrescente da P1 (E+1 | EP) = <
2(c − 1) 2 a Pc−1 (E+1 | EP) = 0. Per Ph (E−1 | EP)
vale con le ovvie considerazioni
Ph (E−1 | EP) = 1 − Ph (E+1 | EP) =
c − (h − 1)
2(c − h)
Con la simbologia introdotta, nel problema classico con l’evento condizionante
EP + ES di probabilità 1, è
Ph (E+1 | EP + ES) = Ph (E−1 | EP + ES) = 1
2
Per determinare il valore dei δh si può considerare l’equazione alle differenze
finite
δh = 1 +
c − (h + 1)
2(c − h) · δh+1
c − (h − 1)
+ · δh−1
2(c − h)
o equivalentemente moltiplicando primo e secondo membro per c − h
(c − h)δh = (c − h) +
c − (h + 1)
2
· δh+1 +
c − (h − 1)
2
· δh−1
per h = 1,2,...,c − 2, con le condizioni al bordo δ0 = 0 e quella, sui generis, δc−1 =
1 + δc−2. Se si pone come nuova successione incognita γh := (c − h)δh si ottiene
γh = (c − h) + 1
2 γh+1 + 1
2 γh−1
per h = 1,2,...,c − 2, con le condizioni al bordo γ0 = 0 e γc−1 = c − 1 + γc−2. Anche
questa è un’equazione alle differenze finite lineare a coefficienti costanti non
omogenea. La procedura standard di risoluzione conduce prima alla soluzione per γh
γh =
h(2c − h)(c − h)
3
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Luigi Vannucci 97
per h = 0,1,...,c − 1 e quindi alla
δh =
h(2c − h)
3
per h = 0,1,2,...,c − 1. Un risultato sorprendentemente semplice che, nell’emblematico
esempio con c = 1000, ci dà
δ1 =
1 · (2 · 1000 − 1)
3
= 1999
3
quale durata media del gioco quando rovina Primo, che ha il capitale iniziale 1 e,
all’altro estremo
δ999 =
999 · (2 · 1000 − 999)
3
= 333333
quale durata media del gioco quando rovina Secondo (considerare Secondo equivale a
pensare a Primo con capitale h = 999).
Ovviamente il risultato trovato “quadra” per h = 0,1,2,...,c nel senso che (indipendentemente
da come si “valuti” δc)
essendo
πh · δh + (1 − πh) · δc−h = dh
c − h
c
· h(2c − h)
+
3
h (c − h)(c + h)
· = h(c − h)
c 3
e consente di rispondere a quelle curiose osservazioni fatte all’inizio di questo paragrafo.
Riporto in Tab. 3 un’esemplificazione numerica dei risultati ottenuti con c = 10, al
variare di h.
3.2 Gioco non equo
Con la simbologia introdotta, nel caso di gioco non equo risulta per h = 1,2,...,
c − 1
s
Ph (E+1 | EP) =
c − sh+1 (s + 1)(sc − sh )
s
Ph (E−1 | EP) = 1 − Ph (E+1 | EP) =
c+1 − sh (s + 1)(sc − sh )
Considerando ancora con δh := E [Dh, p | EP], dove si è voluto segnalare con p la
probabilità di vincere di Primo a ogni lancio di moneta, l’equazione alle differenze
soddisfatta dalla successione dei valori δh è
δh = 1 +
sc − sh+1 (s + 1)(sc − sh ) · δh+1
s
+
c+1 − sh (s + 1)(sc − sh · δh−1
)

98 Periodico di matematiche 3/2011
98 Periodico di matematiche 3/2011
h δh δ10−h
1 6.3 33
2 12 32
3 17 30.3
4 21.3 28
5 25 25
6 28 21.3
7 30.3 17
8 32 12
9 33 6.3
Tab. 3
o equivalentemente moltiplicando primo e secondo membro per s c − s h
s c − s h
δh = s c − s h
+ sc − sh+1 · δh+1 +
s + 1
ssc − sh−1 · δh−1
s + 1
per h = 1,2,...,c − 2 con le condizioni al bordo δ0 = 0 e quella, sui generis, δc−1 =
1 + δc−2. Se si pone come nuova successione incognita γh := s c − s h δh si ottiene
γh = s c − s h
+ 1
s + 1 γh+1 + s
s + 1 γh−1
per h = 1,2,...,c − 2, con le condizioni al bordo γ0 = 0 e γc−1 = sc − sc−1 + γc−2.
Anche questa è un’equazione alle differenze finite lineare a coefficienti costanti non
omogenea. La procedura standard di risoluzione conduce alla soluzione
γh =
s + 1
s − 1
h
s c + s h
− 2csc sh − 1
sc
− 1
per h = 0,1,...,c − 1, ovvero per il problema posto
s + 1 h sc + sh δh =
s − 1
sc − sh − 2csc sh − 1
(sc − sh )(sc
− 1)
per h = 0,1,...,c − 1.
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luiGi vannuCCi
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Luigi Vannucci 99
Anche se il gioco non ha la “simmetria” di quello equo, è evidente che (Secondo
sia inteso come Primo e viceversa. . . )
e che
E [Dh; p | EP] = E [Dc−h;1 − p | ES]
E [Dh; p | ES] = E [Dc−h;1 − p | EP]
Ma c’è di più. Se al posto di p si considera 1 − p quale probabilità di vincita di
Primo a ogni lancio, allora s −1 va al posto di s e si ha
s−1 Ph (E+1 | EP) =
c
− s−1 h+1 (s−1
+ 1) (s−1 ) c − (s−1 ) h
Un banale controllo algebrico mostra che
s−1 c
− s−1 h+1 (s−1
+ 1) (s−1 ) c − (s−1
sc − sh+1 =
)
h
(s + 1)(sc − sh )
e pertanto l’equazione alle differenze e le condizioni al bordo per la successione dei
valori di δh resta la stessa. Questo giustifica la meno evidente ma vera
E [Dh; p | EP] = E [Dh;1 − p | EP]
ovvero, se la probabilità di guadagno per Primo a ogni lancio è p o è 1 − p (qualunque
sia p anche diverso da 1
2 ) allora la durata attesa del gioco condizionata alla sua rovina è
la stessa dato h quale suo capitale iniziale; cambia ovviamente, se p = 1
2 , la probabilità
della sua rovina.
Da queste osservazioni segue che
o anche
E [Dh; p | ES] = E [Dc−h;1 − p | EP] = E [Dc−h; p | EP]
I risultati “quadrano” con la formula data per dh per h = 0,1,2,...,c nel senso che
dh = πh · E [Dh; p | EP] + (1 − πh) · E [Dh; p | ES]
dh = πh · E [Dh; p | EP] + (1 − πh) · E [Dc−h; p | EP]
come si verifica con l’identità

100 Periodico di matematiche 3/2011
100 Periodico di matematiche 3/2011
sc − sh sc
s + 1 h sc + sh ·
− 1 s − 1
sc − sh − 2csc sh − 1
(sc − sh )(sc
+
− 1)
+ sh − 1
sc
s + 1 (c − h) sc + sc−h ·
− 1 s − 1
sc − sc−h − 2csc sc−h − 1
(sc − sc−h )(sc − 1)
= s + 1
s − 1
h − c sh − 1
s c − 1
Applico questo risultato all’esempio prima considerato di Primo alle prese con la
roulette francese che gioca “rouge” o “noir” con i suoi h < 10 gettoni e che vorrebbe
guadagnarne 10 − h, quindi c = 10, o. . . rovinarsi. Al solito per questo contesto si ha
p = 18
19
37 e quindi s = 18 . Nella seguente Tab. 4 le durate attese sono approssimate al
secondo decimale e si riportano oltre a E [Dh; p | EP] anche i valori di E [Dh; p | ES]
(ri-notare che E [Dh; p | ES] = E [Dc−h; p | EP]), questi ultimi da interpretarsi come
durata media dei giochi in cui Primo consegue il suo obiettivo di vincita.
4 Altre curiosità
h E [Dh; p | EP] E [Dh; p | ES]
1 6.28 32.85
2 11.91 31.85
3 16.88 30.18
4 21.20 27.85
5 24.85 24.85
6 27.85 21.20
7 30.18 16.88
8 31.85 11.91
9 32.85 6.28
Tab. 4
È da quaranta anni che ogni tanto mi attraggono i problemi legati ai giochi di
rovina. Segnalo alcune curiosità in merito alla loro durata.
=
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luiGi vannuCCi
101
Luigi Vannucci 101
Nel gioco equo di rovina con tre giocatori, se ad ogni colpo uno dei tre, con
probabilità 1
3 , vince una unità di capitale dagli altri due e i tre giocatori hanno capitali
iniziali rispettivamente a,b,c allora la durata media del gioco per registrare la prima
rovina di almeno uno dei tre giocatori è
E [D] =
abc
a + b + c − 2
Il problema era stato proposto per la prima volta nel 1941 da G. W. Petrie (PETRIE,
1941), irrisolto ancora nel 1963 (OGIVILY, 1963) e risolto nel 1966 da R.C. Read
(READ, 1966).
Se i giocatori sono n > 2 e soltanto 2 hanno un capitale iniziale limitato, rispettivamente
a e b, e tutti gli altri n − 2 hanno capitali illimitati la durata media del gioco
equo di rovina (quello in cui il giocatore che vince un turno riceve una unità di capitale
da tutti gli altri n − 1 giocatori) per osservare, con probabilità 1, la prima rovina di
almeno uno dei due giocatori “poveri” è
E [D] = ab
indipendentemente da n e anche se . . . n = 2. È questo un risultato del 1976, (VANNUC-
CI, 1976), con una generalizzazione al caso non equo nel 1981, (VANNUCCI, 1981).
Più recentemente, a partire dal 1990, mi sono occupato del caso dei giochi di
rovina tra due giocatori in particolari condizioni di dipendenza tra successivi esiti del
gioco, ipotizzando che si possano avere fasi più favorevoli per un giocatore, seguite
da fasi per lui meno favorevoli (e viceversa per l’altro), cercando di replicare schemi
più aderenti, ancorché stilizzati, a certe situazioni operative ipotizzabili nell’ambito
dell’economia e della finanza: i primi risultati analitici sono in (VANNUCCI, 1990) e
quei risultati, con altri successivamente ottenuti per varianti della modellistica, sono
stati recentemente riproposti in (VANNUCCI, 2010).
Nel caso di n giocatori, con n > 2, i problemi irrisolti sono tanti e per ottenere
qualche risultato esplicito ci si limita a considerare o ridotte dotazioni di capitale,
includendo anche il caso di gioco non equo, (ROCHA e STERN, 1999), o ad analizzare
la risolubilità di voluminosi sistemi di equazioni lineari associabili al problema, (SWAN
e RUSS, 2006)). Visto l’oggetto di questa nota, tra i problemi irrisolti sulla durata
attesa dei giochi equi di rovina tra n giocatori mi piace rammentarne uno superclassico,
proposto da R.C. Read in (READ, 1966) e ripreso con originalità da D. K. Chang,
(CHANG, 1995), ma senza addivenire alla soluzione: per il gioco equo tra quattro
giocatori, detentori all’inizio del gioco dei capitali a,b,c,d, in cui a ogni colpo uno
dei 4 giocatori vince con probabilità 1
4 una unità di capitale dagli altri 3, si è chiesto se
sia possibile ottenere la formula generale in funzione di a,b,c,d della durata attesa del
gioco per registrare la prima rovina di almeno uno dei quattro giocatori, ma. . . finora
nessuno l’ha trovata e, naturalmente, la “difficoltà” non si attenua con più di quattro
giocatori.

102 Periodico di matematiche 3/2011
102 Periodico di matematiche 3/2011
Riferimenti bibliografici
CHANG D.K. (1995), “A game with four players”, Statistics & Probability Letters,
vol. 23, pp. 111–115, .
B. DE FINETTI (1976), “Come, perché, e in che senso la rovina dei giocatori è certa”,
Periodico di Matematiche, Mathesis, gruppo IV serie V vol. 52, pp. 143–150.
OGIVILY C.S. (1963), Tomorrow’s Math - Unsolved Problems for the Amateur,
Oxford University Press, pag. 114.
PETRIE G.W. (1941), Rubrica: “Unsolved Problems”, The American Mathematical
Monthly, vol. 48, pag. 483.
READ R.C, (1966), “A Type of ‘Gambler’s Ruin’ Problem”, The American
Mathematical Monthly, vol. 73, pp. 177–179.
ROCHA A.L., STERN F. (1999), “The gambler’s ruin problem with n players and
asymmetric play”, Statistics & Probability Letters, vol. 44, pp. 87–95.
SWAN Y.C., RUSS F.T. (2006), “A matrix-analytic approach to n-player ruin
problem”, J. Appl. Prob., vol. 43, pp. 755–766.
VANNUCCI L. (1976), “Il problema della rovina in un particolare gioco tra n
giocatori”, Periodico di Matematiche, Mathesis, gruppo IV serie V vol. 52, pp.
3–20.
VANNUCCI L. (1981), “A new formula on a particular type of gambler’s ruin problem
with n players”, Rivista della Associazione per la Matematica Applicata alle Scienze
Economiche e Sociali, anno 4 fascicolo 1, pp. 39–45.
VANNUCCI L. (1990), “La rovina del giocatore con dipendenza markoffiana nel
processo di alternativa”, Rivista della Associazione per la Matematica Applicata alle
Scienze Economiche e Sociali, Anno 13 Fascicolo 1-2, pp. 73–85.
VANNUCCI L. (2010), Teoria del rischio e tecniche attuariali contro i danni, ed.
Pitagora, Bologna, ISBN 88-371-1803-1, pp. 78–95.
✉LUIGI VANNUCCI
Dipartimento di Matematica per le Decisioni
Università di Firenze
luigi.vannucci@dmd.unifi.it
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Dalla teoria delle reti accoppiate alla costruzione,
senza compasso, del pentagono regolare
A. D’Amico, C. Falconi
103
Sunto: In questo lavoro viene indicato un metodo per disegnare con riga e squadra un pentagono
regolare. È sorprendente notare che le ordinate dei vertici dei due punti di partenza (A e B), che
consentono la costruzione di questa figura, legate alla parte aurea (Φ = 0,618...) del segmento ed alla
sua inversa (1/Φ = 1.618...), hanno a che vedere con le frequenze di risonanza di particolari rete a
scala, direttamente accoppiate, formate da induttori e condensatori uguali.
Introduzione
Nell’ambito dei circuiti elettronici molto importanti sono le reti risonanti rappresentate
dall’accoppiamento diretto dei circuiti elementari a singola cella, come quella
rappresentata in fig. 1 dove sono presenti un induttore longitudinale, di induttanza
L ed un condensatore di capacità C. Nella fig. 2 sono mostrate due celle identiche
direttamente accoppiate mentre nella fig. 3 sono mostrate n-celle. Con Vi e Vu si
indicano rispettivamente la sollecitazione in ingresso e la risposta in uscita sotto forma
di livelli di tensione.
Il circuito di fig. 1 ha la proprietà di oscillare elettronicamente alla unica frequenza
permessa f = 1/2π √ LC, con ovvio significato dei simboli.
Nel caso di n-celle accoppiate esiste una relazione, di cui si omette la derivazione,
di seguito scritta, che fornisce tutte le n frequenze di risonanza, normalizzate a quella
della singola cella.
2i − 1 π
fi = 2sin
(1)
2n + 1 2
dove n rappresenta il numero delle celle ed i va da 1 ad n.
Per esempio, nel caso di cinque celle accoppiate, cioè di n = 5 si hanno, dalla [1],
per i che va da 1 ad 5, le 5 frequenze di risonanza di seguito calcolate:
2i − 1
fi = 2sin
22 π
= 2sin (2i − 1) 180°
= 2sin[(2i − 1)8.18°...],
22
103

104 Periodico di matematiche 3/2011
104 Periodico di matematiche 3/2011
cioè si ha:
f1 = 0.28...Hz; f2 = 0.42...Hz; f3 = 0.71...Hz;
f4 = 0.99...Hz; f5 = 1.28...Hz
Nel caso di due celle direttamente accoppiate si ha dalla [1]:
fi = 2sin[(2i − 1)18°]
e, per i = 1, 2 si ottiene:
f1 = 0.618...Hz; f2 = 1.618...Hz
con 0.618... parte aurea del segmento = Φ e, 1.618... = 1/Φ
Costruzione di due pentagoni regolari
Pensiamo al momento a questi due valori come le ordinate di due punti appartenenti
ad una circonferenza di raggio 2, con centro in (0; 0). Dividendo tali valori per 2 si
farà riferimento ad un circonferenza di raggio 1.
Per il calcolo delle rispettive ascisse si usano le relazioni: f ′ 1 = 2cos18° =
1.902... e f ′ 2 = 2cos54° = 1.175...
Quindi i due punti , che indicheremo con A e B, hanno le coordinate seguenti. A :
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a. d'aMiCo - C. FalConi
105
A. D’Amico, C. Falconi 105
(1.902; 0.618); B : (1.175...; 1.618...), oppure: A : (1.902; Φ); B : (1.175...; 1/Φ).
Vedere fig. 4
La conoscenza di questi due punti consente di determinare le coordinate di due pentagoni
regolari, uno con il vertice nel punto di coordinate (0, 2) : E ed un altro con il
vertice nel punto di coordinate (0, −2) : F
Consideriamo ora un sistema di assi cartesiani ortogonali e monometrici e si
indichino in esso i punti A e B con i quali è possibile costruire per simmetria rispetto
all’origine: A ′′ e B ′′ , per simmetria rispetto all’asse delle ascisse: A ′ e B ′ ,
per simmetria rispetto all’asse delle ordinate: A ′′′ e B ′′′ . Inoltre si indichino i punti
E(0; 2) e F(0; −2). Tutti questi punti, come è facile verificare, giacciono su di una
circonferenza di raggio pari a 2.
È possibile ora disegnare i due pentagoni, uno con il vertice nel punto E, congiungendo
i punti: E; A; B ′ ; B ′′ ; A ′′′ ; E, ed uno con il vertice nel punto F, congiungendo i
punti F; A ′′ ; B ′′′ ; B; A ′ ; F
Per disegnare i pentagoni inscritti nella circonferenza di raggio unitario, non rappresentata
per semplicità, è ovviamente sufficiente partire dai punti A e B aventi
coordinate dimezzate, cioè: A : (1.902.../2; Φ/2); B : (1.175.../2; 1/2Φ) e ripetere
il procedimento precedentemente descritto. Ovviamente, in questo caso, nella [1] il
coefficiente della funzione seno va diviso per 2.
Naturalmente i punti trovati per i due pentagoni consentono la costruzione immediata
del decagono regolare.

106 Periodico di matematiche 3/2011
106 Periodico di matematiche 3/2011
Conclusioni
Sono state trovate le coordinate di due punti che consentono, in un sistema di assi
cartesiani, di disegnare un pentagono regolare attraverso un semplice procedimento
geometrico e con l’uso di riga e squadra senza ricorrere a metodi, ben noti da tempo,
che richiedono anche l’uso del compasso.
È nuova la idea che porta alla genesi dei valori che esprimono tali coordinate: in
particolare le coordinate espresse sull’asse Y derivano, per quanto attiene il pentagono
inscritto in una circonferenza di raggio unitario, alla metà dei valori assunti dalle
frequenze di risonanza di due circuiti L,C accoppiati direttamente. Gli angoli di 54°
e 18°, tipici del pentagono regolare, consentono poi, tramite l’uso del coseno, di
determinare le ascisse corrispondenti alle due ordinate espresse dalla funzione seno.
Si fa inoltre notare il fatto che le ordinate relative ai dieci punti dei due tipi di
pentagoni, possono essere direttamente determinate dalla [1] imponendo ad i i valori
pari a: 0; 1; −1; 2; −2; 3 ma che solamente i punti A e B (per altro sufficienti per
disegnare i due pentagoni) corrispondono a risonanze delle reti (L, C) del secondo
ordine.
Infine per sottolineare l’affinità esistente tra il pentagono e la parte aurea del
segmento si incoraggia il lettore ad utilizzare la [1] per diversi valori crescenti di n per
reti(L, C) accoppiate sempre più lunghe; egli troverebbe che, partendo dalla rete a due
celle, oggetto di questo studio, proprio ogni 5 celle, quindi in corrispondenza a valori
di n pari a : 7, 12, 17, 23, 27, ecc. celle, cioè fra le corrispondenti 7, 12, 17, 23, 27,
ecc. soluzioni risonanti, la relazione [1] ripropone mirabilmente i valori delle due
frequenze di risonanza che hanno consentito di costruire le due forme del pentagono
inscritto in una circonferenza. La parte aurea del segmento e la sua inversa continuano
a stupire nel campo della geometria!
Ringraziamenti: un particolare ringraziamento viene dato alla Sig. Mazzotta Michela
studentessa di Ingegneria presso la Università di Tor Vergata che sta studiando, con
grande accuratezza, il comportamento di reti a scala di elevata complessità.
✉A. D’AMICO, C. FALCONI
Università degli studi di Roma Tor Vergata
Facoltà di Ingegneria
Dipartimento di Ingegneria Elettronica
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Commemorato ad Innsbruck l’ottantesimo
anniversario del teorema de Finetti
Fulvia de Finetti
107
Abstract: The story of the de Finetti’s theorem from its first appearance in 1928 at the International
Congress of Mathematicians in Bologna up to its celebration in Innsbruck 80 years later by the International
Symposium on Imprecise Probabilities. Innsbruck de Finetti’s birthplace had already commemorated
his 80 years in 1986. The celebration in July 2011 ended with the unveiling of a memorial tablet at
Bruno de Finetti birth place in Conradstraße, at his times Adolf-Pichler straße.
Parole Chiave: Finetti, congresso, matematici, Bologna, teorema, Fichera, Kolmogorov, Innsbruck,
Conradstraße.
1 Bologna 1928.
Correva l’anno 1928, è un sabato pomeriggio di settembre, l’8 settembre, no non è
quell’8 settembre legato ad uno dei più tristi momenti della nostra storia nazionale, si
stanno semplicemente per concludere a Bologna i lavori del Congresso Internazionale
dei Matematici; la giornata di venerdì era stata dedicata alle gite, l’indomani partenza
per Firenze dove lunedì si terrà la sessione conclusiva nel Salone dei Cinquecento
in Palazzo Vecchio, cornice ideale per l’atteso discorso del professor George David
Birkhoff su Alcuni aspetti matematici dell’arte che terrà in francese. C’è aria di
smobilitazione e per di più prima c’era stata la colazione di 1100 coperti, offerta
dal Comitato Ordinatore, terminata con brindisi a base di champagne e la sera i
congressisti erano attesi al palazzo del Governo per il ricevimento offerto dal Prefetto.
Tutti i grandi nomi della scienza matematica che numerosi avevano accolto l’invito
del rettore dell’Università di Bologna, superando veti e risentimenti scaturiti dopo la
prima guerra mondiale e ciò mercè l’abile azione diplomatica del triestino Salvatore
Pincherle, avevano già parlato: a cominciare da quel David Hilbert che al Congresso
di Parigi del 1900 aveva elencato i problemi dai quali ci si doveva attendere un
significativo avanzamento della scienza, ne aveva citati 10 come i 10 Comandamenti
ma nella relazione scritta divennero 23, fornendo pane per un secolo alle più brillanti
menti matematiche, poi Jacques Hadamard e Umberto Puppini. Successivamente
107

108 Periodico di matematiche 3/2011
108 Periodico di matematiche 3/2011
Vito Volterra chiamato per la quarta volta dopo Parigi, Roma, Strasburgo a tenere un
discorso in sessione plenaria, un primato ineguagliato tra i matematici e che testimonia
dell’immensa considerazione di cui godeva, aveva parlato su La teoria dei funzionali
applicata ai fenomeni ereditari e William Henry Young aveva già incantato l’uditorio
con The mathematical method and its limitations citando Dante. Oswald Veblen,
Guido Castelnuovo, Hermann Weyl, Theodor von Karman, Leonida Tonelli, Luigi
Amoroso, Maurice Fréchet, Roberto Marcolongo, Nicolas Lusin avevano parlato e la
prevista conferenza di Emil Borel Le Calcul des probabilités et les sciences exactes
data la sua assenza era stata letta da altri.
Nella sezione IV A Statistica matematica e Probabilità il presidente designato
Frechét impegnato in un’altra sezione viene sostituito all’inizio da George Darmois
che, dopo le comunicazioni di Luigi Galvani e di Gruzewski, fa mettere ai voti due
iniziative relative alla teoria della probabilità che furono entrambe approvate. La
più importante per il futuro di questa scienza riguardava la creazione di un Comitato
Internazionale per il progresso del calcolo delle probabilità e delle sue applicazioni.
Per far parte del comitato si iscrissero immediatamente 21 dei presenti:
• F.M. Urban (Brno, Czecho-Slovakia)
• Octav Onicescu (Bucarest)
• Emil Julius Gumbel (Heidelberg)
• Carlo Alberto Dell’Agnola (R. Istituto Superiore di Scienze economiche e
commerciali, Venezia)
• Bruno de Finetti (Istituto Centrale di Statistica, Roma)
• S.D. Wicksell (University, Lund, Sweden)
• E.C. Molina (195 Broadway, New York)
• George Darmois (8, Rue du Hout Bourgeois, Nancy)
• Eugene Slutsky (Nikitsky Boulevard 12/18, Moscou, 19)
• Francesco Paolo Cantelli (via Merulana 105, Roma)
• Aleksandr Yakovlevich Khintchine (I Université, Institut Mathématique, Moscou)
• L. Gustave Du Pasquier (Sablons, 88 Neuchatel, Switzerland)
• Jerzy Neyman (Institut Mathématique de l’Université N. Swint, 72, Varsovie)
• Antoni Lomnicki (Politechniki, Lwòw, Poland)
• A. Gruzewski (Ecole Sup. de Commerce, Varsovie)
• Corrado Gini (Istituto di Statistica e Politica Economica R. Università, via delle
Terme di Diocleziano, 16, Roma)
• C. Jordan (28 Szerbutca, Budapest)
• G. Pietra (R. Università, Padova)
• K.G. Hagstrom (Livfovrsakringsbolaget, Frambinden, Stockholm)
• Y. Miura (Chuo, Central University of Tokio, Kanda)
• V. Korinek (Haute ecole Technique Karlownam, Prague II)
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Fulvia dE FinEtti
109
Fulvia de Finetti 109
Frechét rientrato riprende la Presidenza per dar modo a Darmois di presentare la sua
relazione poi lascia definitivamente la Presidenza a Corrado Gini per le ultime quattro
relazioni.
Quando, penultimo a parlare, Bruno de Finetti presenta la comunicazione dal titolo
Funzione caratteristica di un fenomeno aleatorio quanti dei presenti, dai quindici
minuti concessi ad ogni relazione, ne avranno compreso l’importanza? Cosa mai ci si
poteva aspettare da un giovane di 22 anni, laureato da appena un anno e impiegato in
qualità di Segretario all’Istituto Centrale di Statistica? Luigi Galvani che in qualità
di segretario della sezione aveva il compito di redigere il verbale delle sedute, per
quelle ultime quattro relazioni non riporta alcun intervento. Eppure proprio in quella
relazione si nascondeva il teorema di de Finetti.
Uno strano caso volle che al momento della sua presentazione fosse Presidente
proprio quel Corrado Gini, Presidente dell’Istituto Centrale di Statistica, che lo aveva
personalmente assunto e, ma questo si sapeva dall’inizio in quanto segretario della
sezione, Luigi Galvani capo del Servizio matematico e cartografico nell’ambito del
quale operava il dott. de Finetti.
La mancanza di interventi, testimoniata dal verbale, potrebbe far pensare che
la relazione non abbia suscitato interesse, invece così come era già avvenuto per
il suo primo lavoro del 1926 Considerazioni matematiche sull’eredità mendeliana
scritto durante il terzo anno universitario, subito pubblicato su METRON la rivista
che, insieme ai Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, godeva all’epoca del
più alto prestigio e lo aveva fatto immediatamente conoscere ed apprezzare al di là
dell’Atlantico dal famoso Alfred J. Lotka, anche questa sua prima partecipazione
ad un Congresso non passò inosservata. Già nel 1929 un sunto del suo intervento
fu pubblicato nel Bollettino dell’U.M.I. e gli valse l’assegnazione del Premio Toja
istituito in quello stesso anno e destinato a premiare con 5000 lire il miglior lavoro
originale di Calcolo delle probabilità, Statistica matematica e sue applicazioni, o
Matematica attuariale, di autore italiano studente o laureato negli ultimi tre anni.
Una più completa stesura sarà pubblicata nel 1930 negli Atti della Reale Accademia
dei Lincei su proposta di Guido Castelnuovo e Tullio Levi-Civita ed è questa la
data attribuita al teorema del quale si è celebrato quest’anno l’ottantesimo anniversario.
Ricordo ancora il sorriso divertito e meravigliato di mio padre quando qualcuno gli
disse che in letteratura esisteva un teorema de Finetti e immagino con quanta ancor
maggiore meraviglia avrebbe accolta la notizia che a qualcuno era venuta l’idea di
celebrarne l’ottantesimo anniversario.
Chi volesse cercare il teorema in Internet non lo cerchi come teorema de Finetti,
non lo troverebbe, e non provi neppure con teorema di rappresentazione, nome col
quale veniva citato nelle pubblicazioni italiane, ne troverebbe tanti altri, lo cerchi
invece come theorem de Finetti e allora sì lo troverà immediatamente.

110 Periodico di matematiche 3/2011
110 Periodico di matematiche 3/2011
2 Innsbruck 2011
Tutto è cominciato a luglio 2010 quando una mail, scritta in un corretto italiano
seppure con qualche imperfezione, dagli organizzatori della conferenza ISIPTA11 (7th
International Symposium on Imprecise Probability: Theories and Applications) mi
informa che, nell’ambito di tale convegno che si terrà a Luglio del 2011 ad Innsbruck,
una special session sarebbe stata dedicata all’Egregio Prof. Bruno de Finetti, nato ad
Innsbruck nel 1906. Seguiva la richiesta di pubblicare sul sito ufficiale dell’ISIPTA
tre fotografie del Prof. de Finetti, prese dal sito a lui dedicato.
Per saperne qualcosa di più di queste conferenze ISIPTA mi sono documentata in
Internet. La prima conferenza ebbe luogo a Gent nel 1999. Da allora ogni due anni
hanno luogo queste riunioni durante le quali una speciale sessione viene dedicata al
ricordo di qualcuno che ha lasciato un importante contributo scientifico nel campo
della probabilità. Due anni fa la dedicarono a Henry Kyburg che tra l’altro è colui che
ha pubblicato nel 1964 in Studies in subjective probability la traduzione in inglese
delle conferenze tenute da de Finetti in francese a Parigi nel 1935 all’Istituto Poincaré
che furono poi pubblicate nel 1937. La traduzione in italiano uscì molti anni dopo per
merito di Marco Mondadori inserita nel volume che, con il titolo La logica dell’incerto,
ripropose nel 1989 alcuni dei lavori di mio padre e che uscì per i tipi del Saggiatore
con una premessa dello stesso Marco Mondadori. La scelta di de Finetti in questa
occasione era motivata sia dal fatto che de Finetti era nato proprio ad Innsbruck che
dall’ottantesima ricorrenza del suo famoso teorema.
Ho acconsentito di buon grado alla richiesta e ho anche inserito la notizia del
convegno sul sito de Finetti. Un mese dopo ricevo una nuova mail con Oggetto: Invito
al Congresso ISIPTA’11, formulato come segue.
“Nel frattempo abbiamo comprato e studiato il libro Bruno de Finetti – un matematico
scomodo, abbiamo notato anche il link sul Suo sito al Congresso ISIPTA’11, per
il quale stiamo preparando il programma scientifico e sociale. Per la special session
su Bruno de Finetti gradiremmo una conferenza sulla sua vita: sarà questo il motivo
che ci permettiamo di invitarLa al nostro Congresso ISIPTA’11, specialmente il 26
Luglio 2011, per tenere questa conferenza (preferibilmente in inglese) ed in seguito
alla partecipazione ad una celebrazione davanti alla casa di nascita del Suo padre in
Via Conrad, 8. Saremmo molto lieti se Lei fosse in grado di accettare il nostro invito.”
Il fatto che avessero acquistato il libro e lo avessero addirittura studiato mi ha dato
subito la misura della serietà con la quale si accingevano ad organizzare l’evento. Di
qui la mia risposta.
“Ringrazio il comitato organizzatore per il gradito invito che accetto molto volentieri.
Sarà per me l’occasione per incontrare alcune persone che conosco e che spero
parteciperanno e di conoscerne altre. Mi ha fatto molto piacere sentire che avete letto
e addirittura studiato il libro, quello che potrò raccontare sarà in gran parte ciò che si
trova nella prima parte del libro. Ho pensato dato il luogo del congresso di incentrare
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Fulvia dE FinEtti
111
Fulvia de Finetti 111
l’intervento prevalentemente sul rapporto di de Finetti con l’Austria e la Germania
in qualche modo da lui stesso delineato nella prefazione all’edizione tedesca del suo
trattato di Teoria delle Probabilità, edizione che lui considerò la migliore in quanto
essendo stata l’ultima potè correggere alcuni errori dell’edizione italiana e inglese. In
italiano il titolo dell’intervento potrebbe essere Bruno de Finetti uomo di frontiera.
Renderlo in inglese non sarà facile ma ci proverò.”
Come avevo promesso prima di Natale inviai il mio contributo che, a parte qualche
modifica all’inglese, fu accolto molto favorevolmente, tanto che successivamente è
stato scelto tra quelli che verranno pubblicati in un numero speciale dell’International
Journal of Approximate Reasoning. Da quel momento è iniziata un’escalation relativamente
al programma della special session: una scientific session avrebbe affiancato
la historical session alla quale avrebbe dato un contributo anche il professor Viertl,
colui che aveva organizzato ad Innsbruck il Simposio Internazionale sulla Probabilità
e la Statistica Bayesiana nel 1986. Nei successivi Call for Papers i partecipanti venivano
invitati a presentare contributi nelle sessioni regolari che facessero riferimento o
estendessero il lavoro di de Finetti relativo alla probabilità imprecisa. Intanto quella
che doveva essere una passeggiata alla casa natale di de Finetti si trasformava in una
cerimonia per l’apposizione di una targa sulla casa natale.
Dopo questa lunga introduzione arriviamo alla cronaca della sessione pomeridiana
del 26 luglio 2011 che si apre come da programma alle 14.45 in punto con l’intervento
della sottoscritta dal titolo Bruno de Finetti, an Italian on the border con proiezione
di alcune foto dell’album di famiglia, seguito da quello di Reinhard Viertl Bruno de
Finetti and fuzzy probability distributions. Dopo l’immancabile e gradito Coffee Break
seguono gli interventi di Paolo Vicig e Teddy Seidenfeld su Bruno de Finetti and
Imprecision e di Gert de Cooman Exchangeability: A case study of how Bruno de
Finetti’s ideas thrive in indeterminate soil. A questo punto due pullman conducono
tutti i congressisti in Conradstraße, ai tempi di mio padre Adolf-Pichler straße. Discesi
dai pullman invadiamo pacificamente la strada in attesa dell’arrivo delle autorità e tutti
cominciamo a scattare fotografie favoriti dal sole che rende un po’ più mite l’aria di un
luglio davvero molto fresco. Arrivate tutte le autorità hanno inizio i discorsi ufficiali
di coloro che, in vario modo, hanno contribuito a questa iniziativa, primo fra tutti
il professor Michael Oberguggenberger vero deus ex machina di tutto il Convegno
ed ideatore della dedica a de Finetti e dell’iniziativa della targa. Primo a parlare è
stato il rappresentante del Comune di Innsbruck, Lukas Morscher, che ha fornito in
tedesco una dettagliata biografia di de Finetti e dei suoi meriti scientifici per i quali il
comune aveva deciso di finanziare l’iniziativa ringraziando la sottoscritta che con la
presenza dava maggiore solennità all’evento. È stata poi la volta di Barbara Tasser,
direttrice del Centro Italiano presso l’Università di Innsbruck che ha ricordato un altro
personaggio italiano che in passato aveva dato lustro alla città di Innsbruck, Claudia
de’ Medici, che andata sposa a Leopoldo V d’Austria, divenne contessa del Tirolo e

112 Periodico di matematiche 3/2011
112 Periodico di matematiche 3/2011
rimasta vedova ne assunse la reggenza, distinguendosi per il suo mecenatismo, infine il
professor Arnold Tautschnig in qualità di decano della facoltà di ingegneria ha portato
il saluto e l’appoggio dell’Università di Innsbruck all’iniziativa. Poi è stata la mia volta
di prendere brevemente la parola per ringraziare ed infine per compiere l’atto finale,
lo svelamento come lo avevano chiamato della targa. Atto che, per compiacere i vari
fotografi professionisti e non, ho dovuto ripetere una seconda volta più lentamente. Poi
in chiusura un brindisi in mezzo alla strada che era stata opportunamente transennata.
Alla cerimonia erano stati invitati, mediante un cartello affisso nell’androne,
anche gli attuali abitanti della casa. Un invito provvidenziale che ha dato luogo
ad un piacevole e per me emozionante fuori programma. Gli attuali proprietari
di uno dei due appartamenti al primo piano, tra l’altro rientrati proprio il giorno
prima da Monaco dove risiedono e lavorano come architetti, alla fine della cerimonia
mi invitarono a salire nell’appartamento per visitarlo, visita immortalata da diverse
fotografie che mi ritraggono affacciata alle finestre. Non sappiamo se fosse proprio
quello l’appartamento dove nacque Bruno o quello a fianco ma vi assicuro l’emozione
per me fu la stessa.
Solo successivamente ho saputo dagli organizzatori tutto l’iter necessario per poter
apporre la targa sulla facciata della casa. A parte il reperimento dei fondi per la targa,
della quale come detto se ne è fatto carico il comune, è stato necessario fare ricerche al
catasto per trovare i vari proprietari e poterli interpellare in merito a questa iniziativa
ed ottenerne l’approvazione. Per due mesi è stato esposto un cartello con il progetto, in
modo che se qualcuno fosse stato contrario potesse opporsi, un po’ come avviene per
le pubblicazioni di matrimonio, solo dopo la targa è stata commissionata ad una ditta
famosa per la costruzione di campane la ditta Grassmayr e fissata con due ore di lavoro
ad un’altezza tale che anche se ci fossero macchine parcheggiate fosse ugualmente
visibile. Nulla è stato lasciato al caso, di imprecisa in questo Convegno c’era solo la
probabilità.
Anche per quanto riguarda lo svolgimento del programma scientifico e di quello
sociale il rispetto dei tempi e del programma è stato degno della tradizione austroungarica,
niente quarto d’ora accademico. Una settimana prima dell’inizio del Convegno
gli atti erano disponibili sul sito ISIPTA11 e quelli stampati sono stati distribuiti
all’inizio del Convegno.
Al di là degli eventi ufficiali, già durante il ricevimento del primo giorno incontrando
i partecipanti, ho potuto rendermi conto dell’interesse suscitato dalla figura
di de Finetti, come quando il Professor Teddy Seidenfeld, attuale Presidente della
Society for Imprecise Probability: Theories and Applications (SIPTA) ha tenuto a
farmi sapere che, pur non avendolo conosciuto personalmente, era in grado di riferirmi
alcuni particolari dell’incontro tra de Finetti e Andrei Kolmogorov, in occasione di
una visita che Kolmogorov fu invitato a fare alla Facoltà di Scienze Statistiche della
Sapienza, riferitigli da uno dei presenti. Alla visita seguì una cena in onore dell’illustre
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Fulvia dE FinEtti
113
Fulvia de Finetti 113
ospite alla quale fu invitato anche de Finetti. Dal racconto fattomi sembra che mentre
tutti i maggiorenti sedevano al centro della tavolata i due probabilisti sedettero ad
un’estremità del tavolo e continuarono a parlare fitto fitto in francese di additività per
tutto il tempo della cena, quando un cameriere si avvicinò per portar via il piatto di
Kolmogorov questi protestò che gli lasciasse il piatto che ancora non aveva finito.
Dell’incontro tra Kolmogorov e de Finetti avvenuto nel 1963 quando Kolmogorov
venne a Roma a ritirare il Premio Balzan ne aveva parlato nel corso del Convegno
“Ricordo di Bruno de Finetti Professore nell’Ateneo triestino” il Professor Gaetano
Fichera che, recatosi ad accogliere all’aeroporto l’illustre ospite avendogli chiesto
gentilmente se potesse fare qualcosa per lui durante il soggiorno romano, si sentì
rispondere che suo principale desiderio era di incontrare Bruno de Finetti.
Durante il soggiorno ad Innsbruck ho voluto visitare la Hofkirche non tanto per
vedere il cenotafio di Massimiliano I ma per vedere la tomba di Andreas Hofer, il
patriota tirolese ricordato da mio padre insieme a Cesare Battisti nella prefazione
all’edizione tedesca del suo Trattato sulla Teoria delle Probabilità.
Da ultimo non posso fare a meno di ricordare che venticinque anni fa ad Innsbruck
fu organizzato un Simposio Internazionale sulla Probabilità e la Statistica Bayesiana
per onorare gli 80 anni di Bruno de Finetti. L’idea fu, allora, del professor Reinhard
Viertl che conobbe papà a Roma nel 1981 in occasione della Conferenza Internazionale
Exchangeability in Probability and Statistics, organizzata all’Accademia dei Lincei per
onorare i 75 anni di Bruno. In quell’occasione il professor Viertl nato ad Hall in Tirolo
scoprì che Bruno era nato ad Innsbruck, di qui l’idea di organizzarne uno ad Innsbruck
nel 1986. Sfortunatamente papà morì l’anno prima e fummo solo io e mamma a
partecipare a quello che divenne un Simposio in memoria di Bruno de Finetti. Vi
parteciparono i principali cultori della materia. Non avrei mai immaginato di tornarci
venticinque anni dopo in qualità di relatrice e per un evento così significativo che mi
piace interpretare anche come un segno tangibile del superamento di quei conflitti che
si sono protratti per secoli fra le due popolazioni.
La targa posta sulla facciata della casa natale di B. de Finetti il 26 Luglio 2011
LA PROBABILITÀ NON ESISTE
GEBURTSHOUS VON
CASA NATALE DI
BRUNO DE FINETTI
13.6.1906 20.7.1965
MATHEMATIKER UND BEGRÜNDER DER THEORIE
DER SUBJECTIVEN WAHRSCHEINLICHKEIT
MATEMATICO E FONDATORE DELLA TEORIA DELLA PROBABILITÀ SOGGETTIVA
STADT INNSBRUCK – JULI 2011 – UNIVERSITÄT INNSBRUCK

114 Periodico di matematiche 3/2011
Estratto Report Eurydice
La rete Eurydice, che fornisce informazioni e analisi sulle politiche educative in Europa,
ha pubblicato, nell’ottobre 2011 su
http://eacea.ec.europa.eu/education/eurydice/documents/
thematic_reports/132EN.pdf
il ”report Mathematics Education in Europe: Common Challenges and National Policies”
dedicato alle politiche dei 33 Paesi membri.
Gli autori del rapporto partono dai risultati delle indagini TIMSS e PISA per un’analisi
accurata degli effetti delle politiche realizzate dai diversi governi e per un confronto tra i
diversi Paesi. Per quanto riguarda l’Italia si riferisce che dai dati del test PISA 2009 risulta
che il nostro Paese (con Grecia, Portogallo e Turchia) ha fatto registrare, rispetto al 2003,
un significativo incremento del punteggio medio e una sensibile riduzione del numero degli
studenti che hanno fallito il test. E questo a differenza, ad esempio, della Germania il cui
punteggio medio è aumentato ma gli studendi con risultati insufficienti sono stabili.
Si tratta di un report interessante anche perché consente di vedere il punto di vista
dell’Europa sull’Italia e in particolare come viene percepita la novità delle Linee Guida e delle
Indicazioni Nazionali nel conteso del riordino che ha interessato il sistema dell’istruzione.
Al riguardo, infatti, si legge: “Obiettivi di apprendimento e risultati in Italia sono solo
raccomandati nei documenti ufficiali intitolati ‘Indicazioni nazionali’, per le scuole secondarie
superiori, e ‘Indicazioni per il curriculum’ per le primarie e le secondarie inferiori. Questi
documenti contengono una descrizione generale dei principali obiettivi di apprendimento e
dei risultati attesi per i vari livelli. Su questa base comune le scuole sono tenute a definire i
curricula per i propri studenti”.
In definitiva, Linee guida e Indicazioni nazionali sono percepite dagli autori del report
come raccomandazioni e non come prescrizioni e in modo più puntuale ciò è riportato nella
tabella seguente che offre la possibilità di comparare la situazione italiana con quella degli
altri Paesi.
L’Italia, per gli autori di Eurydice, sarebbe (ma è proprio vero?) tra i pochissimi Paesi
a non avere obiettivi e risultati di apprendimento prescrittivi per tutte le scuole del territorio
nazionale. Un’ulteriore conferma che i nostri documenti sono scritti male e non fanno
capire che cosa essi sono e vogliono essere?
Gli altri temi di cui il report si occupa sono: curricula matematici, metodi di insegnamento,
verifiche in classe, recupero degli studenti con scarsi risultati, motivazioni degli allievi e
formazione del personale docente. Uno studio approfondito del report figurerà sul prossimo
fascicolo di questo Periodico.
114
Biagio Beatrice
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L I N E E G U I D A
115
Sono state approvate e rese pubbliche le Linee Guida per il secondo biennio e ultimo
anno degli Istituti Tecnici e Professionali e relative Opzioni. Pubblichiamo quanto è
previsto per la Matematica e “Complementi di Matematica”.

116 Periodico di matematiche 3/2011
LINEE GUIDA
ISTITUTI TECNICI AREA DI ISTRUZIONE GENERALE
Settore: Tecnologico
MATEMATICA
Il docente di “Matematica” concorre a far conseguire, al termine del percorso quinquennale
d’istruzione tecnica, i seguenti risultati di apprendimento relativi al profilo
educativo, culturale e professionale dello studente di cui all’Allegato A del Regolamento
(D.P.R. n. 88 del 15 marzo 2010), coerenti con la disciplina: padroneggiare
il linguaggio formale e i procedimenti dimostrativi della matematica; possedere gli
strumenti matematici, statistici e del calcolo delle probabilità necessari per la comprensione
delle discipline scientifiche e per poter operare nel campo delle scienze
applicate; collocare il pensiero matematico e scientifico nei grandi temi dello sviluppo
della storia delle idee, della cultura, delle scoperte scientifiche e delle invenzioni
tecnologiche
Secondo biennio e quinto anno
I risultati di apprendimento sopra riportati in termini di competenze in esito al percorso
quinquennale costituiscono il riferimento delle attività didattiche della disciplina nel
secondo biennio e nel quinto anno. Il docente, nell’ambito della programmazione del
Consiglio di classe, concorre in particolare al raggiungimento dei seguenti risultati di
apprendimento, espressi in termini di competenze:
– utilizzare il linguaggio e i metodi propri della matematica per organizzare e
valutare adeguatamente informazioni qualitative e quantitative;
– utilizzare le strategie del pensiero razionale negli aspetti dialettici e algoritmici
per affrontare situazioni problematiche, elaborando opportune soluzioni;
– utilizzare i concetti e i modelli delle scienze sperimentali per investigare fenomeni
sociali e naturali e per interpretare dati;
– utilizzare le reti e gli strumenti informatici nelle attività di studio, ricerca e
approfondimento disciplinare;
– correlare la conoscenza storica generale agli sviluppi delle scienze, delle tecnologie
e delle tecniche negli specifici campi professionali di riferimento.
L’articolazione dell’insegnamento di “Matematica” in conoscenze e abilità è di seguito
indicata quale orientamento per la progettazione didattica del docente in relazione alle
scelte compiute nell’ambito della programmazione collegiale del Consiglio di classe.
116
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linEE Guida
117
Linee Guida 117
Conoscenze
Connettivi e calcolo degli enunciati.
Variabili e quantificatori.
Ipotesi e tesi. Il principio d’induzione.
Insieme dei numeri reali. Unità immaginaria
e numeri complessi. Strutture degli
insiemi numerici.
Il numero π.
Teoremi dei seni e del coseno. Formule
di addizione e duplicazione degli archi.
Potenza n-esima di un binomio.
Funzioni polinomiali; funzioni razionali
e irrazionali; funzione modulo; funzioni
esponenziali e logaritmiche; funzioni
periodiche.
Le coniche: definizioni come luoghi geometrici
e loro rappresentazione nel piano
cartesiano.
Funzioni di due variabili.
Continuità e limite di una funzione. Limiti
notevoli di successioni e di funzioni.
Il numero e.
Concetto di derivata di una funzione.
Proprietà locali e globali delle funzioni.
Formula di Taylor.
Integrale indefinito e integrale definito.
Teoremi del calcolo integrale.
Algoritmi per l’approssimazione degli
zeri di una funzione.
Secondo biennio
Abilità
Dimostrare una proposizione a partire da
altre.
Ricavare e applicare le formule per
la somma dei primi n termini di una
progressione aritmetica o geometrica.
Applicare la trigonometria alla risoluzione
di problemi riguardanti i
triangoli.
Calcolare limiti di successioni e funzioni.
Calcolare derivate di funzioni.
Analizzare esempi di funzioni discontinue
o non derivabili in qualche
punto.
Rappresentare in un piano cartesiano e
studiare le funzioni f (x) = a/x, f (x) =
ax, f (x) = logx.
Descrivere le proprietà qualitative di una
funzione e costruirne il grafico.
Calcolare derivate di funzioni composte.
Costruire modelli, sia discreti che continui,
di crescita lineare ed esponenziale e
di andamenti periodici.
Approssimare funzioni derivabili con
polinomi.
Calcolare l’integrale di funzioni elementari.
Risolvere equazioni, disequazioni e sistemi
relativi a funzioni goniometriche,
esponenziali, logaritmiche e alla funzione
modulo, con metodi grafici o numerici
e anche con l’aiuto di strumenti
elettronici.

118 Periodico di matematiche 3/2011
118 Periodico di matematiche 3/2011
Conoscenze
Distribuzioni doppie di frequenze.
Indicatori statistici mediante rapporti e
differenze.
Concetti di dipendenza, correlazione,
regressione.
Distribuzioni di probabilità: distribuzione
binomiale. Distribuzione di Gauss.
Applicazioni negli specifici campi professionali
di riferimento e per il controllo
di qualità.
Ragionamento induttivo e basi concettuali
dell’inferenza
Conoscenze
Il calcolo integrale nella determinazione
delle aree e dei volumi.
Sezioni di un solido. Principio di
Cavalieri.
Concetti di algoritmo iterativo e di
algoritmo ricorsivo.
Cardinalità di un insieme. Insiemi infiniti.
Insiemi numerabili e insiemi non
numerabili.
Probabilità totale, condizionata, formula
di Bayes.
Piano di rilevazione e analisi dei dati.
Campionamento casuale semplice e
inferenza induttiva.
Quinto anno
Abilità
Calcolare il numero di permutazioni,
disposizioni, combinazioni in un
insieme.
Analizzare distribuzioni doppie di frequenze.
Classificare dati secondo due
caratteri, rappresentarli graficamente e
riconoscere le diverse componenti delle
distribuzioni doppie.
Utilizzare, anche per formulare previsioni,
informazioni statistiche da diverse
fonti negli specifici campi professionali
di riferimento per costruire indicatori
di efficacia, di efficienza e di qualità di
prodotti o servizi.
Calcolare, anche con l’uso del computer,
e interpretare misure di correlazione e
parametri di regressione.
Abilità
Calcolare aree e volumi di solidi e
risolvere problemi di massimo e di
minimo.
Calcolare l’integrale di funzioni elementari,
per parti e per sostituzione.
Calcolare integrali definiti in maniera
approssimata con metodi numerici.
Utilizzare la formula di Bayes nei
problemi di probabilità condizionata.
Costruire un campione casuale semplice
data una popolazione. Costruire stime
puntuali ed intervallari per la media e la
proporzione.
Utilizzare e valutare criticamente informazioni
statistiche di diversa origine con
particolare riferimento agli esperimenti
e ai sondaggi.
Individuare e riassumere momenti significativi
nella storia del pensiero
matematico.
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ISTITUTI TECNICI
Settore: Economico
MATEMATICA
LINEE GUIDA
119
Il docente di “Matematica” concorre a far conseguire, al termine del percorso quinquennale
d’istruzione tecnica, i seguenti risultati di apprendimento relativi al profilo
educativo, culturale e professionale dello studente coerenti con la disciplina: padroneggiare
il linguaggio formale e i procedimenti dimostrativi della matematica; possedere
gli strumenti matematici, statistici e del calcolo delle probabilità necessari per la
comprensione delle discipline scientifiche e per poter operare nel campo delle scienze
applicate; collocare il pensiero matematico e scientifico nei grandi temi dello sviluppo
della storia delle idee, della cultura, delle scoperte scientifiche e delle invenzioni
tecnologiche.
Secondo biennio e quinto anno
I risultati di apprendimento sopra riportati in termini di competenze in esito al percorso
quinquennale costituiscono il riferimento delle attività didattiche della disciplina nel
secondo biennio e nel quinto anno. Il docente, nell’ambito della programmazione del
Consiglio di classe, concorre in particolare al raggiungimento dei seguenti risultati di
apprendimento, espressi in termini di competenze:
– utilizzare il linguaggio e i metodi propri della matematica per organizzare e
valutare adeguatamente informazioni qualitative e quantitative;
– utilizzare le strategie del pensiero razionale negli aspetti dialettici e algoritmici
per affrontare situazioni problematiche, elaborando opportune soluzioni;
– utilizzare le reti e gli strumenti informatici nelle attività di studio, ricerca e
approfondimento disciplinare;
– correlare la conoscenza storica generale agli sviluppi delle scienze, delle tecnologie
e delle tecniche negli specifici campi professionali di riferimento.
L’articolazione dell’insegnamento di Matematica in conoscenze e abilità è di seguito
indicata quale orientamento per la progettazione didattica del docente in relazione alle
scelte compiute nell’ambito della programmazione collegiale del Consiglio di classe.
119

120 Periodico di matematiche 3/2011
120 Periodico di matematiche 3/2011
Conoscenze
Connettivi e calcolo degli enunciati.
Variabili e quantificatori.
Ipotesi e tesi. Il principio d’induzione.
Insieme dei numeri reali.
Il numero π.
Teoremi dei seni e del coseno. Formule
di addizione e duplicazione degli archi.
Rappresentazione nel piano cartesiano
della circonferenza e della parabola.
Funzioni di uso comune nelle scienze
economiche e sociali e loro rappresentazione
grafica.
Continuità e limite di una funzione. Limiti
notevoli di successioni e di funzioni.
Il numero e.
Concetto di derivata e derivazione di una
funzione.
Proprietà locali e globali delle funzioni.
Approssimazione locale di una funzione
mediante polinomi Integrale indefinito e
integrale definito.
Concetto e rappresentazione grafica
delle distribuzioni doppie di frequenze.
Indicatori statistici mediante differenze
e rapporti.
Concetti di dipendenza, correlazione,
regressione.
Applicazioni finanziarie ed economiche
delle distribuzioni di probabilità.
Secondo biennio
Abilità
Dimostrare una proposizione a partire da
altre.
Ricavare e applicare le formule per
la somma dei primi n termini di una
progressione aritmetica o geometrica.
Applicare la trigonometria alla risoluzione
di problemi riguardanti i
triangoli.
Calcolare limiti di successioni e funzioni.
Analizzare funzioni continue e discontinue.
Calcolare derivate di funzioni.
Calcolare l’integrale di funzioni elementari.
Costruire modelli matematici per rappresentare
fenomeni delle scienze economiche
e sociali, anche utilizzando derivate
e integrali.
Utilizzare metodi grafici e numerici per
risolvere equazioni e disequazioni anche
con l’aiuto di strumenti informatici.
Risolvere problemi di massimo e di
minimo.
Analizzare distribuzioni doppie di frequenze.
Classificare e rappresentare
graficamente dati secondo due caratteri.
Utilizzare, anche per formulare previsioni,
informazioni statistiche da fonti diverse
di natura economica per costruire
indicatori di efficacia, di efficienza e di
qualità di prodotti o servizi.
Calcolare, anche con l’uso del computer,
e interpretare misure di correlazione e
parametri di regressione.
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linEE Guida
121
Linee Guida 121
Conoscenze
Ragionamento induttivo e basi concettuali
dell’inferenza.
Conoscenze
Algoritmi per l’approssimazione degli
zeri di una funzione.
Concetti di algoritmo iterativo e di
algoritmo ricorsivo.
Problemi e modelli di programmazione
lineare.
Ricerca operativa e problemi di scelta.
Probabilità totale, condizionata, formula
di Bayes. Concetto di gioco equo.
Piano di rilevazione e analisi dei dati.
Campionamento casuale semplice e inferenza
induttiva sulla media e sulla
proporzione.
Abilità
Quinto anno
Costruire modelli, continui e discreti,
di crescita lineare, esponenziale o ad
andamento periodico a partire dai dati
statistici.
Abilità
Risolvere e rappresentare in modo
formalizzato problemi finanziari ed
economici.
Utilizzare strumenti di analisi matematica
e di ricerca operativa nello studio di
fenomeni economici e nelle applicazioni
alla realtà aziendale.
Utilizzare la formula di Bayes nei
problemi di probabilità condizionata.
Costruire un campione casuale semplice
data una popolazione.
Costruire stime puntuali ed intervallari
per la media e la proporzione.
Utilizzare e valutare criticamente informazioni
statistiche di diversa origine con
particolare riferimento ai giochi di sorte
e ai sondaggi.
Realizzare ricerche e indagini di comparazione,
ottimizzazione, andamento,
ecc., collegate alle applicazioni
d’indirizzo.
Individuare e riassumere momenti significativi
nella storia del pensiero
matematico.

122 Periodico di matematiche 3/2011
ISTITUTI TECNICI - Settore: Tecnologico
Indirizzo: Meccanica, Meccatronica ed Energia
LINEE GUIDA
COMPLEMENTI DI MATEMATICA (C1)
Il docente di “Complementi di matematica” concorre a far conseguire allo studente,
al termine del percorso quinquennale, i seguenti risultati di apprendimento relativi
al profilo educativo, culturale e professionale: padroneggiare il linguaggio formale
e i procedimenti dimostrativi della matematica; possedere gli strumenti matematici,
statistici e del calcolo delle probabilità necessari per la comprensione delle discipline
scientifiche e per poter operare nel campo delle scienze applicate; collocare il pensiero
matematico e scientifico nei grandi temi dello sviluppo della storia delle idee, della
cultura, delle scoperte scientifiche e delle invenzioni tecnologiche.
Secondo biennio
I risultati di apprendimento sopra riportati in termini di competenze in esito al percorso
quinquennale costituiscono il riferimento delle attività didattiche della disciplina nel
secondo biennio e nel quinto anno. Il docente, nell’ambito della programmazione del
Consiglio di classe, concorre in particolare al raggiungimento dei seguenti risultati di
apprendimento, espressi in termini di competenze:
– utilizzare il linguaggio e i metodi propri della matematica per organizzare e
valutare adeguatamente informazioni qualitative e quantitative;
– utilizzare le strategie del pensiero razionale negli aspetti dialettici e algoritmici
per affrontare situazioni problematiche, elaborando opportune soluzioni;
– utilizzare i concetti e i modelli delle scienze sperimentali per investigare fenomeni
sociali e naturali e per interpretare dati;
– utilizzare le reti e gli strumenti informatici nelle attività di studio, ricerca e
approfondimento disciplinare;
– correlare la conoscenza storica generale agli sviluppi delle scienze, delle tecnologie
e delle tecniche negli specifici campi professionali di riferimento;
– progettare strutture, apparati e sistemi, applicando anche modelli matematici,
e analizzarne le risposte alle sollecitazioni meccaniche, termiche, elettriche e
di altra natura.
L’articolazione dell’insegnamento di Complementi di matematica in conoscenze e
abilità è di seguito indicata quale orientamento per la progettazione didattica del
docente in relazione alle scelte compiute nell’ambito della programmazione collegiale
122
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linEE Guida
123
Linee Guida 123
del Consiglio di classe. Essendo le tematiche d’interesse professionale, esse saranno
selezionate e trattate in accordo con i docenti delle discipline tecnologiche.
Conoscenze Abilità
Operazioni e trasformazioni vettoriali.
Luoghi geometrici; equazioni delle coniche
e di altre curve notevoli; formule
parametriche di alcune curve.
Analisi di Fourier delle funzioni periodiche.
Proprietà delle rappresentazioni polari e
logaritmiche.
Equazioni differenziali lineari.
Derivate parziali e differenziale totale.
Metodo dei minimi quadrati.
Popolazione e campione.
Statistiche, distribuzioni campionarie e
stimatori.
Utilizzare il calcolo vettoriale. Calcolare
il vettore risultante e individuarne il
punto di applicazione in un sistema di
vettori.
Definire luoghi geometrici e ricavarne
le equazioni in coordinate cartesiane,
polari e in forma parametrica.
Descrivere le proprietà di curve che
trovano applicazione nella cinematica.
Utilizzare l’integrazione definita in
applicazioni peculiari della meccanica.
Approssimare funzioni periodiche.
Esprimere in forma differenziale fenomenologie
elementari.
Calcolare la propagazione degli errori di
misura.
Individuare elementi qualitativi e quantitativi
in un fenomeno collettivo.
Trattare semplici problemi di campionamento
e stima e verifica di
ipotesi.

124 Periodico di matematiche 3/2011
Istruzioni per gli autori
Politica editoriale:
Il Periodico di matematiche pubblica articoli, in lingua italiana o inglese, inerenti le Scienze
Matematiche e Fisiche di carattere Scientifico, Storico e Didattico, di effettiva originalità. I
lavori vengono sottoposti alla consulenza di esperti anonimi che riferiscono al Direttore, a cui
compete il giudizio definitivo.
Standard da rispettare:
Il lavoro deve essere scritto con carattere Time New Roman, su fogli formato A4 e con
interlinea 1.
La dimensione del carattere è 11 pt ad eccezione del titolo che è 14 pt in grassetto e del nome
degli autori 12 pt.
I margini sono:
superiore 5,7 cm; inferiore 6 cm; destra e sinistra 4,5 cm.
Il testo è quindi contenuto in un riquadro di 12 cm×18 cm.
L’articolo deve contenere un sunto in lingua inglese di al più 10 righe.
1. Titolo del primo paragrafo
Primo paragrafo
etc.
Dopo ogni paragrafo aggiungere uno spazio verticale di 11 pt.
Di norma l’articolo non può superare le 12 pagine, salvo autorizzazione speciale della direzione
del periodico.
Il testo va giustificato a sinistra e a destra.
Le formule devono essere allineate a sinistra, con il numero allineato a destra:
formula (2.3)
(formula n. 3 del paragrafo n. 2).
Le tabelle e le figure seguono una numerazione a parte.
I teoremi e le definizioni vanno numerati a parte e separati dal testo di un’interlinea.
Limitare allo stretto essenziale le note a piè di pagina.
L’ultimo paragrafo va seguito da due spazi verticali e dalla bibliografia essenziale che va
riportata con criteri diversi a seconda che si tratti di un articolo su rivista, su atti di Congresso
o Convegno o in un libro, come negli esempi seguenti:
COGNOME N. (anno di pubblicazione), Titolo del libro (in corsivo), numero edizione (se
diversa dalla prima), numero del volume (per opere in più volumi), Luogo di pubblicazione,
Editore, titolo dell’eventuale collana, numero d’ordine dell’opera, pagine (se si fa riferimento
a specifiche porzioni del libro).
COGNOME N. (anno di pubblicazione), “Un articolo su periodico”, Nome rivista (in corsivo),
Luogo di pubblicazione, num. periodico, pagine contenenti l’articolo.
COGNOME N., COGNOME N. (anno di pubblicazione), “Un articolo ad un convegno”, in: Atti
del Convegno (in corsivo), numero del volume contenente l’articolo (per opere in più volumi),
Luogo di pubblicazione, Editore, pagine contenenti l’articolo (o altre indicazioni).
COGNOME N. (anno di pubblicazione), “Un articolo su testo monografico”, in COGNOME
N. (editor), Titolo del libro (in corsivo), numero del volume contenente l’articolo (per opere
in più volumi), Luogo di pubblicazione, Editore, anno di pubblicazione, pagine contenenti
l’articolo (o altre indicazioni).
Modalità di invio dei lavori
Gli articoli vanno inviati tramite posta elettronica, in formato doc o LaTex e simultaneamente
in formato pdf, a ciascuno dei componenti del Comitato di redazione. È gradita una nota di
presentazione.
124
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“master_3_2011” — 2012/1/7 — 22:53 — page 125 — #125
M. Barile - S. De Nuccio
Lezioni di matematica - vol. 3
dagli scritti di Évariste Galois
prefazione di Silvio Maracchia
Recensione
Lezione VI
La misura del lato del pentadecagono regolare.
Lezione VII
Risoluzione approssimata delle equazioni.
Lezione VIII
Raggio di curvatura delle curve nello spazio.
Edizioni Goliardiche - Trieste
125
CON il volume che conclude l’opera di Margherita Barile e Sergio De Nuccio si
completa la grande analisi che i due Autori hanno eseguito sull’opera matematica
di Évariste Galois. Il matematico francese, pur nella sua brevissima vita,
aveva mostrato svariati interessi e accennato a vari procedimenti e questo ha dato
lo spunto agli Autori di spaziare su molti rami della matematica, dall’aritmetica alla
geometria, dall’algebra all’analisi e a varie applicazioni: logaritmi, trigonometria ecc.
Questo è stato il piano dell’intera opera di Barile e di De Nuccio e così si è realizzato
nell’arco di otto anni tradotto in otto grandi “lezioni” di oltre duemila pagine
complessive, in tre volumi, uno dei quali, il secondo, suddiviso in due parti. Una
grande opera, quindi, per quantità e per qualità nella quale le varie e lunghe citazioni
di opere collegate storicamente agli argomenti trattati vengono riportate nella
loro lingua originale e successivamente tradotte.
Si potrebbe dire, pertanto, che si tratta di una matematica esposta storicamente che
ha come punto di partenza le indicazioni di Galois; punto centrale, anzi, poiché spesso
l’argomento viene esposto indietreggiando rispetto all’indicazione di Galois per
consentirne una maggiore comprensione e, successivamente, completato e sviluppato.
Con le tre ultime lezioni che completano l’opera vengono affrontati alcuni argomenti
di buon interesse storico e matematico. Nella sesta, ad esempio, a cura di Margherita
Barile, prendendo spunto dalla costruzione operata da Galois del lato del pentadecagono
regolare, si riprendono prima le costruzioni operate da Euclide e si analizza
poi il caso generale delle costruzioni con riga e compasso sino al famoso risultato di
Gauss e a quello successivo di Wantzel.
Nella settima lezione, a cura di Sergio De Nuccio, che cura anche l’ottava, l’argomento
preso in esame è la risoluzione approssimata delle equazioni di cui, pur nella
sinteticità di questa prefazione, vale la pena di fare un breve cenno.
Si trovano metodi di approssimazione sin dalle più antiche trattazioni matematiche
non appena vennero affrontate equazioni di grado superiore al primo specialmente
nelle matematiche pre-elleniche ma, anche in queste, che pur seguivano l’ideale della
soluzione esatta che tanto contribuì in ogni campo della matematica al suo sviluppo
e alla sua razionalizzazione, vi sono esempi notevoli di approssimazione. Vale la

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126 Periodico di matematiche 3/2011
pena di accennare alle famose successioni di “numeri laterali e diagonali” volti all’approssimazione
della radice quadrata di due, al procedimento per il calcolo delle
radici quadrate in generale e alle disinvolte “soluzioni” operate talvolta da Erone di
Alessandria. Nel lavoro vengono esaminate le prime intuizioni di Leonardo Pisano
e alcuni procedimenti di Cardano che si ritroveranno poi in procedimenti analitici
di grande notorietà, quale, ad esempio, quello detto “metodo delle tangenti di
Newton” cui seguono anche quelli di Raphson, Simpson, Fourier, Sturm e Lagrange.
L’Autore prende, al solito, lo spunto da lavori di Galois, per affrontare l’argomento
a partire dalle principali proprietà dei polinomi e delle equazioni per giungere alle
considerazioni di Galois volte appunto a stabilire quando è possibile ottenere, o
no, formule risolutive esatte del tipo radico-razionale alla stregua di quelle già conosciute.
È noto che questa risoluzione risulta possibile in forma completa solo per le
equazioni di grado minore di cinque. Questo generale contributo di Galois è il più
noto ma egli ebbe però anche l’intuizione della strada che si sarebbe dovuta seguire
per poter affrontare anche quelle di grado maggiore. Per il grado quinto, ad esempio,
si sarebbero dovute usare, come Galois aveva osservato nella sua famosa lettera
scritta la notte prima del duello che gli sarebbe stato fatale, le funzioni ellittiche.
Con l’ottava lezione si chiude la monumentale opera dei due Autori. Dopo una breve
esposizione delle principali operazioni di geometria analitica nel piano e nello
spazio, l’Autore si occupa della rettificazione delle curve piane e sghembe il che lo
porta ad affrontare un altro lavoro di Évariste Galois sul raggio di curvature di tali
curve, scritto quando era ancora allievo della École Normale. Vengono tratteggiati
anche argomenti più elevati quali le funzioni vettoriali e la loro differenziabilità
e integrabilità. E, sempre per essere legati agli interessi del giovane Galois, viene affrontata
la geometria differenziale di curve piane e loro inviluppi ed evolventi. Tutto
ciò dà lo spunto all’Autore di presentare i lavori originali di Leibniz, Johann e Jacob
Bernoulli, de l’Hospital, Newton, Eulero e Cramer assieme alle traduzioni operate
sempre dall’Autore stesso.
Possiamo ora fare un bilancio dell’intera opera che sviluppa, come abbiamo già detto
nella nostra Prefazione ai primi volumi, in maniera singolare ed accattivante quasi
tutti gli argomenti che uno studente affronta nel primo biennio universitario, ma che
potrebbe interessare anche qualche studente di scuola media superiore particolarmente
interessato alla matematica. Non c’è dubbio che l’opera è rivolta essenzialmente
ai docenti che possono ritrovarvi molti degli argomenti già studiati, ma posti
in modo da poterli insegnare agli studenti con quel taglio storico che oggi viene considerato
finalmente un grande ausilio didattico. Non è un’opera che deve essere
necessariamente letta di seguito dalla prima all’ultima pagina: gli argomenti trattati
sono autosufficienti e questo ne aumenta la loro fruibilità. Ed è un’opera che, come
tutte quelle di grande respiro, dovrebbe trovarsi in tutte le biblioteche scolastiche di
ogni livello.
A questo punto ci possiamo chiedere, antistoricamente, che cosa sarebbe potuto accadere
per la matematica se Galois non fosse morto così giovane. Non è possibile
fare alcuna ipotesi su quello che non è accaduto, e nessuno potrà mai dire se la grande
capacità e originalità di Galois avrebbe potuto svilupparsi in argomenti che non
sapremo mai. Ci dobbiamo accontentare di quel molto che comunque ci ha lasciato e
che, nel caso specifico, ha dato origine ad oltre duemila pagine di ottima matematica.
(S. Maracchia, Prefazione)
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Indice
127
EMILIO AMBRISI
Editoriale p. 3
GABRIELE LOLLI
Pensiero matematico e pensiero fisico “ 11
MARIA GABRIELLA OTTAVIANI
Insegnare ed apprendere statistica e probabilità a scuola:
il problema dell’aggiornamento degli insegnanti “ 33
MICHELE A. IOVINE, LUIGI VEROLINO
Orientamento Universitario e Indicazioni Nazionali “ 45
ANTONINO GIAMBÒ
Vettori “ 51
FRANCESCO AULETTA, LUIGI VEROLINO
Tecnica non convenzionale per la soluzione dei limiti “ 63
MARIA COCOZZA, ALESSIO RUSSO
Difficoltà epistemologiche e didattiche
nell’insegnamento-apprendimento dell’Infinito matematico “ 69
DOMENICO LIGUORI, TINA REO
Una lezione inusuale sul tempo
la percezione umanistica incontra la scienza “ 81
LUIGI VANNUCCI
Curiosità sulla variabilità
della durata aleatoria dei giochi di rovina “ 89
A. D’AMICO, C. FALCONI
Dalla teoria delle reti accoppiate alla costruzione,
senza compasso, del pentagono regolare “ 103
127

128 Periodico di matematiche 3/2011
128 Periodico di matematiche 2/2011
FULVIA DE FINETTI
Commemorato ad Innsbruck
l’ottantesimo anniversario del teorema de Finetti p. 107
Recensioni:
M. BARILE, S. DE NUCCIO
Lezioni di matematica - vol. 3
dagli scritti di Évariste Galois “ 125
Inserzioni:
I voti assegnati alla prova di Matematica all’Esame di Stato a.s. 2009-2010 (Commissario
di Matematica interno) (p. 10) - I voti assegnati alla prova di Matematica
all’Esame di Stato a.s. 2010-2011 (Commissario di Matematica esterno) (p. 33)
- L’indagine nazionale sulla prova scritta di matematica dei licei scientifici della
sessione 2011 degli esami di Stato (p. 88) - Estratto Report Eurydice (p. 114) - Linee
Guida per la Matematica e “Complementi di Matematica” nel secondo biennio
e ultimo anno degli Istituti Tecnici e Professionali (Settore Tecnologico p. 116,
Settore Economico p. 119, Settore Tecnologico Indirizzo Meccanica, Meccatronica
ed Energia p. 122) - Istruzioni per gli autori (p. 124).

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LATINA
Marcello Ciccarelli
Via Cena, 38
04100 Latina
tel. 0773 697807
marcello.ciccarelli@gmail.com
LECCE
Sebastiano Rizzo
Dipartimento di Matematica
Via Arnesano
73100 Lecce
tel. 0832 316965
sebastiano.rizzo@unile.it
MANTOVA
Fabio Mercanti
Polo regionale di Mantova
Piazza d’Arco, 1
46100 Mantova
tel. 335 7793114
famerca@alice.it
MILANO
Paola Gario
Dipartimento di Matematica
Via Saldini, 50
20133 Milano
tel. 02 7388514
mathesis.milano@unimi.it
ORISTANO
Castriota Marco Maria
Via Sinis, 27
09170 Oristano
0783 211177
marcocas@yahoo.it
NAPOLI
Salvatore Rao
DMA “R. Caccioppoli”
Università “Federico II”
Via Cintia, Monte S.Angelo, Ed. 5A
80126 Napoli
tel. 081 675664
salvatore.rao@unina.it
PARMA
Paola Vighi
Dip. di Matematica - Università
Campus Universitario
Parco Area delle Scienze, 53/A
paola.vighi@unipr.it
PAVIA
Angela Pesci
Dip. Matematica-Università
impaginazione e ottimizzazione grafica
Giuseppe Isernia
Via Ferrata, 1
27100 Pavia
tel. 0382 985660
angela.pesci@unipv.it
PESCARA
Antonio Maturo
Via Pianacci, 21
65015 Montesilvano (PE)
tel. 085 4492569
amaturo@unich.it
PIACENZA
Piero Lodigiani
Strada Farnesiana, 13
29100 Piacenza
tel. 0523 616396
plodigiani@libero.it
REGGIO CALABRIA
Caterina Romeo
S.S. 106 Diram Irto, 22
89131 Ravagnese (RC)
tel. 0965 891272
caterina.romeo@tin.it
ROMA
Stefano Geronimo
Via Angelo Poliziano, 27
00184 Roma
tel. 06 70454168
domenico.geronimo@alice.it
ROVERETO
Bruno Firmani
Via Matteotti, 20
38100 Trento
firmani@ing.unitn.it
ROVIGO
Lisa Lorenzetti
Liceo Paleocapa
45100 Rovigo
SALERNO
Giovanni Vincenzi
Dip. di Matematica e Informatica
Via Ponte Don Melillo
84084 Fisciano (SA)
gvincenzi@unisa.it
SERRA SAN BRUNO
Vincenzo Iorfida
Piazza Mastro Bruno Pelaggi
89822 Serra San Bruno (VV)
SEREGNO
Luigi Landra
Viale Santuario, 70
20038 Seregno (MI)
tel. 0362 230557
landra.luigi@libero.it
SUD SALENTO
Lorenzo Barone
Via Adriatica, 177
73100 Lecce
tel. 0832 493558; 328 2896778
enzo.barone@libero.it
TERNI
Ivano Argentini
c/o Liceo Ginnasio Tacito Viale
Fratti, 12
05100 Terni
tel. 0744 274134
i.argentini@tin.it
TREVIGLIO
Annamaria Manenti
Via Oberdan, 14
24047 Treviglio (BG)
manenti.annamaria@simail.it
UDINE
Paolo Giangrandi
c/o ISIS “A. Malignani”
Viale Leonardo da Vinci, 10
33100 Udine
paolo.giangrandi@uniud.it
VASTO
Antonella Pellegrini
Via delle Gardenie, 11
66054 Vasto (CH)
tel. 0873 58541
pelant@tiscali.it
VERBANIA
Marisa Capra
Via Pola, 3
28922 Verbania (VB)
tel. 0323 503335
marisa.capra@gmail.com
VERONA
Luciano Corso
Via IV Novembre, 11 b
37126 Verona
tel. 045 8344785
lcorso@iol.i
VICENZA
Andrea Centomo
Liceo Scientifico di Schio
andrea.centomo@gmail.com
www.editricerotas.it
dicembre 2011

Ottant’anni fa, nel 1931, K. Gödel pubblicava,
su un periodico scientifico tedesco, l’articolo «Sulle
proposizioni formalmente indecidibili dei “Principia
Mathematica” e di sistemi affini» la cui proposizione
VI “tutte le assiomatizzazioni coerenti dell’aritmetica
contengono proposizioni indecidibili” è passata
alla storia come il teorema di Gödel. Un risultato
che ha avuto così tante conseguenze e interpretazioni
da renderlo punto di riferimento di studiosi e
intellettuali in ogni settore del sapere e segnato così,
inequivocabilmente, la storia del pensiero.
Uno dei significati più eccitanti del teorema di
Gödel è che la matematica non finirà mai. Mai potremo
dire di aver trovato un ultimo risultato della
matematica e porre così la parola fine alla ricerca,
scoperta o invenzione che sia, matematica. Che la
matematica sia la scoperta dei caratteri nei quali il
Signore ha scritto le leggi che regolano l’universo o
sia pura e semplice invenzione della mente umana,
il risultato di Gödel afferma che si tratta di attività
che non avranno fine… Gödel porta la matematica
ad indagare su se stessa, ad essere introspettiva, a
dare nuovo slancio ai problemi educativi e formativi
che sono comunque nell’essenza della matematica,
nel significato etimologico del termine: ciò che può
essere insegnato e ciò che può essere appreso. I matematici
non amano tanto indugiare su un tale lavoro
di introspezione… Eppure come si fa ad insegnare
ed apprendere la matematica se non si ha un’idea
o una fede in ciò che essa è e rappresenta? (ea)
Mathesis
Società Italiana di Scienze Matematiche e Fisiche
Dipartimento di Matematica, Facoltà di Scienze
Seconda Università di Napoli
Via Vivaldi 43 – 81100 Caserta
www.mathesisnazionale.it
ISSN: 1582-8832