Luca Salasnich – FISICA MEDICA - infm udr padova
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<strong>Luca</strong> <strong>Salasnich</strong> <strong>–</strong> <strong>FISICA</strong> <strong>MEDICA</strong> <strong>–</strong> Cap. 4<br />
4.1 Principi della dinamica<br />
4. DINAMICA<br />
I tre principi della dinamica per un corpo puntiforme<br />
(detto anche punto materiale o particella) sono:<br />
1) principio di interzia di Galilei;<br />
2) legge dinamica di Newton;<br />
3) principio di azione e reazione.<br />
Il principio di interzia di Galilei afferma che un corpo libero, cioè<br />
non sottoposto all’azione di altri corpi, si muove di moto rettilineo<br />
uniforme. Quindi la sua velocità è costante, e si indica con v 0<br />
r .<br />
Il vettore costante v 0<br />
r può essere nullo ed in questo caso si dice<br />
che il corpo è in quiete.<br />
La legge dinamica di Newton afferma che nel generico moto di un<br />
corpo di massa m, l’accelerazione istantanea del corpo è<br />
determinata da una causa esterna secondo la relazione<br />
r v<br />
F = m a ,<br />
dove la grandezza vettoriale F r è detta forza agente sul corpo.<br />
La forza si misura in Newton (N), dove 1 N = 1 kg m/s 2 .<br />
Dalla legge di interzia e dalla legge dinamica di Newton si<br />
deduce che per un corpo libero, la cui accelerazione è nulla,<br />
deve essere nulla la forza agente sul corpo:<br />
r r r r<br />
a = 0 ⇔ F = 0 .
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Va notato che la forza agente su un corpo può essere la somma<br />
vettoriale di forze diverse che agiscono sul corpo.<br />
Cioè, se N F F F<br />
v v r<br />
1 , 2,...,<br />
sono le N forze che agiscono sul corpo, la<br />
forza risultante sarà<br />
v<br />
F<br />
N<br />
= ∑<br />
i=<br />
1<br />
r<br />
F<br />
i<br />
r<br />
= F<br />
1<br />
r<br />
+ F<br />
2<br />
r<br />
+ ... + F<br />
Ed è questa la forza risultante che determina il moto del corpo.<br />
Il principio di azione e reazione afferma che dati due corpi<br />
la forza F12 r che agisce sul primo corpo a causa del secondo corpo<br />
è uguale e contraria alla forza F21 r<br />
che agisce sul secondo corpo a<br />
causa del primo corpo. Ovverosia:<br />
r r<br />
F12<br />
= − F21<br />
.<br />
Questo principio a volte si enuncia dicendo che “ad ogni azione<br />
corrisponde una reazione uguale e contraria”.<br />
4.2 Quantità di moto<br />
Dato un corpo di massa m e velocità v r , la sua quantità di moto è<br />
la grandezza vettoriale definita come<br />
r r<br />
p = mv<br />
.<br />
La quantità di moto si misura in kg m/s = N s.<br />
Se vi sono N corpi, ognuno con la propria quantità di moto,<br />
la quantità di moto totale è la somma vettoriale delle quantità di<br />
moto dei singoli corpi. Inoltre, si dimostra la conservazione della<br />
quantità di moto: se non agiscono forze esterne sul sistema la<br />
quantità di moto totale di conserva.<br />
N<br />
.
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4.3 Forze agenti su un corpo<br />
La dinamica di un corpo puntiforme è determinata dalle legge di<br />
Newton<br />
r v<br />
F = m a .<br />
Consideriamo alcuni semplici casi.<br />
4.3.1 Forza peso<br />
Se la forza è costante anche l’accelerazione è costante e quindi il<br />
corpo si muove di moto uniformemente accelerato.<br />
È questo il caso della forza peso, che ora analizziamo.<br />
La forza peso è la forza a cui è soggetta un corpo in caduta libera<br />
nel vuoto. Essa è data da<br />
r<br />
F =<br />
r<br />
mg<br />
dove m è la massa del corpo mentre g r è un vettore noto come<br />
accelerazione di gravità, diretto verso il centro della terra ed il cui<br />
modulo vale circa<br />
g = 9.81 m/s 2 .<br />
Dunque l’intensità della forza peso è proporzionale alla massa del<br />
corpo. Nel linguaggio parlato spesso le parole “peso” e “massa”<br />
vengono considerate sinonimi.
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Se un corpo è in caduta libera nel vuoto su di esso agisce la sola<br />
r r<br />
forza peso F = m g e quindi dalla legge di Newton<br />
r<br />
m g =<br />
v<br />
m a<br />
si ricava l’accelerazione, che è l’accelerazione di gravità.<br />
Lungo l’asse verticale z:<br />
a = − g ,<br />
dove il segno meno è dovuto al fatto che l’accelerazione di gravità<br />
è diretta verso il basso.<br />
Si tratta di una moto uniformemente accelerato.<br />
Se il corpo parte da fermo da un’altezza h, la sua posizione nel<br />
tempo lungo l’asse verticale z risulta data da<br />
1 2<br />
z = h − gt<br />
2<br />
,<br />
con z = 0 quando il corpo tocca il suolo. In quel caso si avrà<br />
1 2<br />
h = gT<br />
2<br />
,<br />
dove T è il tempo impiegato dal corpo per raggiungere il suolo.
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4.3.2 Forza elastica<br />
La forza elastica è la forza che segue la seguente legge, nota<br />
come legge di Hooke:<br />
r r<br />
F = −kr<br />
,<br />
dove r r è la posizione del corpo sulla quale agisce la forza<br />
e k è una costante, detta costante elastica, che si misura in<br />
Newton/metro.<br />
Essa è detta forza elastica perché è la forza esercitata da un<br />
elastico o una molla per piccole deformazioni. La forza elastica<br />
è una forza di richiamo perché ha sempre segno opposto alla<br />
deformazione e tende a riportare l’elastico o la molla nello stato<br />
di riposo.<br />
Se un corpo di massa m è sottoposto all’azione di una forza<br />
elastica si dimostra che esso è soggetto ad un moto armonico,<br />
la cui frequenza angolare è data da<br />
ω =<br />
k<br />
m<br />
.
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4.3.3 Forza di reazione vincolare<br />
La forza di reazione vincolare è la forza esercitata da una<br />
superficie solida su un corpo a contatto con la superficie.<br />
La forza di reazione vincolare F r , essendo un vettore, si può<br />
pensare come la somma vettoriale di<br />
una forza di reazione FT r<br />
tangente (parallela) alla superficie ed<br />
una forza di reazione FN r<br />
normale (perpendicolare) alla superficie:<br />
r r r<br />
F = FT<br />
+ FN<br />
.<br />
La forza FN r<br />
di reazione normale alla superficie è sempre tale da<br />
impedire il moto del corpo nella direzione normale (entrante) alla<br />
superficie, se la superficie non si deforma o spezza.<br />
La forza T Fr di reazione tangente alla superficie è anche detta forza<br />
di attrito. Per essa si distinguono due casi:<br />
i) superficie liscia (o vincolo liscio): 0 r r F T =<br />
ii) superficie scabra (o vincolo scabro): 0 r r F ≠ .<br />
Dagli esperimenti si trova che la forza di attrito T Fr agente su un<br />
corpo che si muove su una superficie solida scabra è data da<br />
F = − μ F<br />
T<br />
N<br />
dove μ è un coefficiente, detto coefficiente di attrito<br />
(solitamente compreso tra 0 ed 1).<br />
T
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Es. Le forze agenti su un corpo fermo su un piano orizzontale<br />
r r<br />
sono: la forza peso W = mg<br />
e la forza di reazione normale N r<br />
La forza peso W è perpendicolare al tavolo e la forza di<br />
reazione vincolare N è uguale e contraria alla forza peso.<br />
4.3.4 Forza di attrito in un fluido<br />
La forza di attrito in un fluido (gas o liquido) è la forza<br />
esercitata dal fluido su un corpo che si muove con una<br />
velocità v r all’interno del fluido. La forza è data da<br />
r<br />
F<br />
=<br />
r<br />
−cv<br />
dove c è un coefficiente, detto coefficiente di attrito viscoso,<br />
che dipende dalla forma del corpo e dalla natura del fluido.<br />
Si osservi che questa espressione per la forza di attrito viscoso è<br />
valida se la particella si muove a bassa velocità. A velocità altre la<br />
dipendenza dalla velocità non è più lineare.<br />
Nel caso di una sfera di raggio R che si muove in un fluido Stokes<br />
ha dimostrato che il coefficiente di attrito viscoso è dato dalla<br />
seguente formula<br />
c = 6πRη<br />
dove η è un coefficiente noto come viscosità del fluido.<br />
Una semplice analisi dimensionale mostra che la viscosità η si<br />
misura in Ns/m 2 , dove 1 N s/m 2 = 1 Poiseuille (Po).
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4.3.5 Forza di tensione di un cavo<br />
Quando un cavo (o una fune, una corda, un filo) è fissato ad un<br />
corpo e tirato , si dice che è sotto tensione.<br />
Il cavo esercita sul corpo una forza di tensione, indicata<br />
solitamente con T r , applicata al punto di fissaggio del cavo e<br />
orientata lungo il cavo nel verso di allontanamento dal corpo.<br />
4.4 Statica di un corpo rigido<br />
Affinché il corpo rigido non trasli deve essere nulla la somma<br />
vettoriale delle forze esterne agenti su di esso:<br />
r =<br />
∑i i<br />
0 r<br />
F .<br />
Ma per avere un corpo rigido fermo questo non basta.<br />
Infatti, affinché il corpo rigido non ruoti deve essere nullo il<br />
momento risultante delle forze esterne:<br />
∑ i<br />
r =<br />
0 r<br />
M i .<br />
Non abbiamo però ancora definito il momento di una forza.<br />
Ecco la definizione.<br />
Data la forza F r r<br />
ed il raggio vettore r = OP,<br />
si dice momento della<br />
forza applicata nel punto P rispetto all’origine O, la seguente<br />
grandezza vettoriale:<br />
r r r<br />
M = r ∧ F .
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Es. In figura sono rappresentati due corpi, una a sinistra di<br />
massa mS e distanza rS dal fulcro, ed uno a destra<br />
di massa mD e distanza rD dal fulcro,<br />
appoggiati su una asta rigida, di massa trascurabile,<br />
appoggiata al fulcro grigio.<br />
r<br />
Le frecce indicano la forza peso mS g agente sul corpo<br />
r<br />
di sinistra, la forza peso mDg agente sul corpo di destra e<br />
la forza di reazione vincolare N r dell’asta e dell’appoggio.<br />
Per l’equilibrio:<br />
g+<br />
m g = N<br />
mS D<br />
ma anche, calcolando i momenti delle forze dispetto al fulcro<br />
Dalla prima equazione:<br />
dalla seconda equazione:<br />
rS S D D<br />
⋅ m g = r ⋅m<br />
g.<br />
N = ( mS + mD ) g ,<br />
rS mS = rD mD .
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4.5 Trazione cervicale<br />
Mostriamo due esempi di trazione cervicale.<br />
La forza F1 esercitata sulle vertebre cervicali di un paziente nel<br />
dispositivo di trazione mostrato in figura è di intensità pari a<br />
quella della forza peso P del corpo collegato con una cinghia ed<br />
una puleggia al mento del paziente.<br />
La testa del paziente è appoggiata su una piattaforma mobile in<br />
modo da eliminare l’attrito tra la testa e il tavolo.<br />
Il sistema è all’equilibrio:<br />
- la forza peso P è equilibrata dalla forza F di tensione<br />
verticale della cinghia;<br />
- la forza F1 di tensione orizzontale della cinghia è equilibrata<br />
dalla forza <strong>–</strong>F1 di reazione vincolare della cervicale.
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Nella figura sottostante la trazione cervicale sul paziente è<br />
esercitata utilizzando un corpo di forza peso P = 10 N.<br />
La forza verticale F che agisce sulla cervicale è la somma<br />
vettoriale delle due forze trasversali di tensione P del cavo.<br />
Dato che queste due forze sono uguali in modulo e formano un<br />
angolo di 90 o ne segue che la forza F è di lunghezza pari alla<br />
diagonale del quadrato di lato P.<br />
Si ha perciò<br />
F = 2 P .
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4.6 Esercizi svolti sulla dinamica<br />
1. Una forza agisce su un corpo di 5 kg di massa riducendo la<br />
sua velocità da 7 a 3 metri al secondo in 2 secondi.<br />
Calcolare la forza in Newton.<br />
Soluzione:<br />
posto M = 5 kg , v1 = 7 m/s , v2 = 3 m/s , Δt = 2 s<br />
si ha<br />
F = M a = M (v2 <strong>–</strong> v1)/Δt = 5 kg×4 m/s / (2 s)<br />
= 10 kg m/s 2 = 10 N .<br />
2. Una cabina di massa 2000 kg scende nel pozzo di uan<br />
miniera con una accelerazione di 1m/s 2 .<br />
Determinare la tensione nel cavo quando la cabina si muove.<br />
Soluzione:<br />
posto M = 2×10 3 kg , a = 1 m/s 2 , g = 9,81 m/s 2<br />
e detta T la tensione del cavo, la forza risultante F agente<br />
sulla cabina è data da<br />
F = M a = M g <strong>–</strong> T ,<br />
da cui segue<br />
T = M (g <strong>–</strong> a) = 2×10 3 kg × 9,81 m/s 2 =<br />
= 17,62×10 3 kg m/s 2 = 17,62×10 3 N .
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3. Una forza orizzontale di 20 N agisce per 3 s su un blocco di<br />
5 kg posto su un terreno scabro orizzontale (coefficiente di<br />
attrito 0,25). Determinare la velocità del blocco<br />
dopo 3 secondi sapendo che la velocità iniziale è nulla.<br />
Soluzione:<br />
posto Fe = 20 N , M = 5 kg , v1 = 0 ,<br />
Δt = 3 s , μd = 0,25 , g = 9,81 m/s 2<br />
e detta Fa la forza di attrito data da<br />
Fa = μ M g ,<br />
la forza risultante F nella direzione orizzontale è<br />
F = Fe <strong>–</strong> Fa = Fe <strong>–</strong> μ M g = M (v2 <strong>–</strong> v1)/Δt<br />
da cui si ricava la velocità finale<br />
v2 = (Fe <strong>–</strong> μ M g)Δt/M<br />
= (20 N <strong>–</strong> 0,25×5 kg×9,81 m/s 2 )×3 s/(5 kg)<br />
= 4,5 m/s .<br />
4. Una macchina lanciatrice di palline da tennis è posta in uno<br />
stagno ghiacciato. La macchina lancia una pallina di 0,15 kg<br />
orizzontalmente con una velocità di 36 m/s. Qual’è la<br />
velocità di rinculo della macchina se la sua massa è di 50 kg?<br />
Soluzione:<br />
posto mp = 0,15 kg , M = 50 kg , vp =36 m/s ,<br />
e detta v la velocità di rinculo della macchina,<br />
poiché il sistema pallina e macchina lanciatrice è isolato<br />
e lo stagno ghiacciato permette di trascurare l’attrito,<br />
la quantità di moto totale del sistema, che prima del lancio è<br />
zero, si conserva. Quindi:<br />
mp vp <strong>–</strong> M v = 0<br />
da cui<br />
v = (mp/M) vp = (0,15 kg/50 kg) × 36 m/s =<br />
= 0,11 m/s .
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5. Una leva è incernierata in un punto distante 1/3 della sua<br />
lunghezza da un estremo. Indicando con F1 e con F2 le due<br />
forze agenti, perpendicolarmente alla leva, ai due estremi (F1<br />
sul braccio più corto ed F2 sul braccio più lungo), indicare il<br />
valore del rapporto F1/F2 affinché la leva sia in equilibrio.<br />
Soluzione:<br />
detta L la lunghezza della leva,<br />
il modulo del momento della forza F1 con punto di<br />
applicazione sul fulcro (cerniera) è dato da<br />
M1 = (L/3) F1 ,<br />
Il modulo del momento della forza F2 con punto di<br />
applicazione sul fulcro è dato da<br />
M2 = (2L/3) F2 .<br />
Per l’equilibrio deve essere M1 = M2 e quindi<br />
(L/3) F1 = (2L/3) F2 da cui F1/F2 = (2/3) / (1/3) = 2 .<br />
6. Una leva è incernierata nel suo punto di mezzo. Su di un<br />
braccio sono sospesi due corpi di masse 5 kg e 3 kg a<br />
distanze dal fulcro di 75 cm e 120 cm, rispettivamente.<br />
Calcolare la massa che, sospesa sull’altro braccio ad una<br />
distanza di 100 cm, mantiene la leva in equilibrio orizzontale.<br />
Soluzione:<br />
posto m1 = 5 kg , m2 = 3 kg , g = 9,81 m/s2 ,<br />
L1 = 0,75 m , L2 = 1,2 m , L2 = 1 m ,<br />
ed indicata con m3 la massa incognita,<br />
il modulo del momento della forza peso agente<br />
sulla i-esima massa risulta<br />
Mi = mi g Li , con i = 1,2,3 .<br />
Per l’equilibrio deve essere<br />
da cui<br />
ed infine<br />
M1 + M2 = M3<br />
m1 g L1 + m2 g L2 = m3 g L3<br />
m3 = (m1 L1 + m2 L2)/L3 = 7,35.