Teoria delle perturbazioni indipendente dal tempo - infm udr padova

Capitolo 2
Teoria delle perturbazioni
indipendenti dal tempo
2.1 Perturbazioni di un livello non degenere
(Rayleigh-Schrödinger)
Supponiamo che l’ hamiltoniana indipendente dal tempo H di un sistema possa essere
espressa come
H = H + ! H' (2.1.1)
0
dove l’ “hamiltoniana imperturbata” H0 sia sufficientemente semplice che la corrispondente
equazione di Schrödinger
H0 ! (0) (0) (0)
= En ! (2.1.2)
n
n
possa essere risolta esattamente e che il temine !H' costituisca una piccola perturbazione.
Supponiamo che le soluzioni dell’ equazione di Schrödinger imperturbata (2.1.2) costituiscano
un set completo di funzioni di base ortonormali, che valgano cioè le
(0) (0)
! ! = "l
l j j
# #
l
j
(0)
! l
(0) (2.1.3)
! = 1 j
Noi vogliamo risolvere il problema agli autovalori perturbato definito dall’ equazione di
Schrödinger
H! n = E n ! n
Ci aspettiamo che al tendere a zero del parametro ! si abbia (per un livello non degenere)
(0)
limE
= E
!"0
n n
(0)
lim#
= #
!"0
n n
(2.1.4)
(2.1.5)
L’ assunzione di base della teoria delle perturbazioni consiste nell’ assumere che sia le
autoenergie perturbate E n che le autofunzioni perturbate ! n possano essere espresse in
serie di potenze del parametro ! . Cioè
E = ! n j "
( j)
# En j=0
"
#
$ n = ! j $ n
j=0
( j)
Sostituendo le (2.1.6) nella (2.1.1) si ha
H ( + ! H'
0 ) " n
(0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) (0) ( + !" + ! " +!
n
n ) = ( E + ! En + ! En +!
n
) " + !" n
n
(2.1.6).
(1) 2 (2) ( + ! " +! n )
(2.1.7)
1

Per soddisfare la (2.1.7) è necessario che valgano simultaneamente le
(0) (0) (0)
H ! = En ! 0 n
n
(1) (0) (0) (1) (1) (0)
H ! + H'! = En ! + En ! 0 n
n
n
n
(2) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (0)
H ! + H'! = En ! + En ! + En ! 0 n
n
n
n
n
!
( j) ( j"1) (0) ( j) (1) ( j"1) ( j) (0)
H ! + H'! = En ! + En ! +!+ En ! 0 n
n
n
n
n
(2.1.8)
Per ricavare la correzione al primo ordine nell’ energia, moltiplichiamo scalarmente a sinistra
(0)
per ! n
che diventa
la seconda delle (2.1.8), ottenendo
! (0) (0) (1) (0) (1) (0)
Ho " E ! + ! H'" En ! = 0 (2.1.9)
n
n n
n
n
! (0) (1) (0) (0) (1) (0) (0) (1) (0) (0)
Ho ! " En ! ! + ! H' ! " En ! ! = 0 (2.1.10)
n
n
n n
n
n
n n
Tenendo conto che
e che
! (0) (1) (1) (0)
Ho ! = ! Ho ! n
n
n
n
*
(0) (1) (0)
= E ! ! n n n
*
(0) (0) (1)
= E ! ! n n n
(2.1.11)
! (0) (0)
! = 1 (2.1.12)
n n
la (2.1.10) diventa
E (1) (0) (0)
= ! H' ! n n
n
(2.1.13).
La correzione perturbativa al primo ordine dell’ energia è data dal valore di aspettazione del
termine perturbativo dell’ hamiltoniana sui corrispondenti stati imperturbati del sistema.
Nello stesso modo dalla terza delle (2.1.8) si ottiene
! (0) (0) (2) (0) (1) (1) (2)
H0 " E ! + ! H'" En ! " En = 0 (2.1.14)
n
n n
n
n
Di nuovo il primo termine si annulla, e la correzione al secondo ordine dell’ energia è data
dalla
E (2) (0) (1) (1)
= ! H'" En ! n n
n
e così via per le correzioni di ordine superiore.
2.1.1 Il metodo di Rayleigh-Schrödinger
(2.1.15)
Si sviluppano le autofunzioni perturbate al primo ordine nella base delle autofunzioni
dell’ hamiltoniana imperturbata
(1) (1) (0)
! = ank!
n " (2.1.16)
k
k
Sostituendo la (2.1.16) nella seconda delle (2.1.8) si ottiene
2

(0) ( H ! E 0 n ) # ank k
(1) (0)
" k
(0)
e, moltiplicando scalarmente a sinistra per ! l
( ) # ank (0) (0)
! H0 " E l
n
k
(1) (0)
+ ( H'! En )" = 0 (2.1.17)
n
(1) (0)
! k
(1)
" ank (0) (0)
! H0 ! l
k # " ank k
k
, si ottiene
(0) (1) (0)
+ ! H'" En
l ( ) ! = 0 n
(1) (0) (0) (0)
! En ! l
k
(0) (0) (0) (1) (0)
+ ! H' ! # ! En ! = 0
l
n
l
n
a (1) (0) (0) (0) (0) (1)
El ! En
nl ( ) + " H' " ! En #nl = 0 (2.1.18)
l
n
Per n=l la (2.1.18) diventa
E (1) (0) (0)
= ! H' ! n n
n
che non è altro che la (2.1.13), mentre per n ! l si ha
(0) (0)
! H' !
(1) l
n
a = (2.1.19).
nl
(0) (0)
E " El
n
(1)
Dalla (2.1.19) parrebbe che rimanesse indeterminato il coefficiente a . In realtà l’ equazione
nn
(2.1.4) determina le ! n a meno della normalizzazione e della fase. Si può quindi senz’ altro
(1) (0) (1)
imporre che la ! sia ortogonale alla ! e che quindi sia a = 0 .
n
n
nn
Per ottenere i termini di ordine più elevato si procede analogamente: si espandono i termini
del secondo ordine ottenendo
(2) (2) (0)
! = ank!
n " (2.1.20)
k
k
e si sostituiscono nella terza delle (2.1.8) e otteniamo
(0) ( H ! E 0 n ) # ank k
(2) (0)
" k
( ) # ank (1)
+ H'! En k
(1) (0)
" k
(0)
moltiplicando scalarmente a sinistra per la ! l
( ) + # " l
(2) (0) (0)
a El ! En
nl
Per l=n si ottiene
(2) (0) (0)
E = ! H' ! n " n
k
k
"
(0) (0)
= ! H' ! n
k
k$n
k
(0) (0)
H' " k
(2) (0)
! E " = 0 (2.1.21)
n n
si ottiene
(1) (1) (1) (2)
a ! En anl ! En $nl = 0 (2.1.22)
nk
(1) (1) (1) (0) (0)
a # En anl = ! H' ! nk " n
k
k
(1)
ank e, utilizzando la (2.1.19) si ottiene
(2) (0) (0)
E = ! H' ! n # n
k
k"n
(0) (0)
! H' ! k
n
(0) (0)
E $ Ek
n
Tenendo conto della (2.1.13) si ottiene infine
(0) (0) (0)
E = E + ! H' ! +
n n n
n
(1) (0) (0) (1)
a # ! H' ! ann =
nk n
n
2
(2.1.23)
(0) (0)
! H' ! k
n
= # (2.1.24)
(0)
k"n
(0) (0)
! H' ! k
n
(0) (0)
E " Ek
n
2
(0)
E $ Ek
n
$ (2.1.25).
k#n
3

2.2 Caso degenere
Qualora il livello imperturbato E k sia ! volte degenere, a priori non possiamo sapere a quale
delle autofunzioni imperturbate tenda la soluzione quando ! " 0 .
Supponiamo che si sia costruito un set di ! autofunzioni imperturbate mutuamente
ortogonali.
! kr ! ks = " r,s = 1,2,!#
rs ( ) (2.1.26)
Supponiamo sia ! kr la autofunzione di ordine zero corretta e di scrivere l’ autofunzione
perturbata esatta in serie di potenze di !
! kr = " kr + #$ (1) 2 (2)
+ # $ +! (2.1.27)
kr
kr
E le autoenergie in maniera analoga
Ekr = E (0) (1) 2 (2)
+ !Ekr + ! Ekr +! (2.1.28)
k
Avremo quindi l’ equazione di Schrödinger
H ( + ! H'
0 )" = E " (2.1.29)
kr kr kr
e sostituendovi le (2.1.27) e (2.1.28) ed imponendo l’ uguaglianza dei termini nella stessa
potenza in ! si hanno le
H0 ! (1) (0) (1) (1)
+ H' "kr = E ! + Ekr "kr (2.1.30)
kr
k kr
possiamo scrivere la ! kr come
#
(0)
! = c " kr ks ks
s=1
e nello stesso modo
$ (2.1.31)
" "
(2.1.32)
(1) (1) (0)
! = akr,ms!
kr
ms
m s
con queste espansioni la (2.1.30) diventa
(1) (0) (0) (0)
# # a Em ! Ek
kr,ms ( )" + ms
$
(1) (0)
c H'! E rs ( kr )" ks
m s
s=1
dove si è tenuto conto che
# = 0 (2.1.33)
Ho ! (0) (0) (0)
= Em ! (2.1.34)
ms
ms
(0)
moltiplicando scalarmente a sinistra per ! ku
( ) " ku
, si ha
)
(1) (0) (0) (0) (0)
# # a Em ! Ek " + c % (0) (0) (1)
" H' " ! Ekr $us
kr,ms
ms
rs & ku ks
m s
s=1
# ' = 0 (2.1.35)
(
(0) (0)
la prima sommatoria si annulla perché ! ! = 0 se k ! m e E = E se k=m. Quindi la
ku ms
k m
(2.1.35) si riduce alla
(
(0) (0) (1)
) c $ ! H' ! " Ekr #us & = 0 u = 1,2,!(
rs % ku ks '
s=1
( ) (2.1.36)
4

che costituisce un set di ! equazioni lineari nelle incognite cr1 ,cr 2 ,!c che ha soluzione non
r!
banale purché il determinante delle quantità fra parentesi quadre si annulli
det ! (0) (0) (1)
H' ! " Ekr #us = 0 s,u = 1,2,!$
ku ks
( ) (2.1.37)
La (2.1.37) costituisce il sistema di equazioni nelle incognite E k1
(1) ,Ek2
(1) !Ek!
(1) .
Se queste soluzioni sono distinte la perturbazione H’ ha completamente rimosso la
degenerazione.
5