Teoria delle perturbazioni indipendente dal tempo - infm udr padova

2.2 Caso degenere
Qualora il livello imperturbato E k sia ! volte degenere, a priori non possiamo sapere a quale
delle autofunzioni imperturbate tenda la soluzione quando ! " 0 .
Supponiamo che si sia costruito un set di ! autofunzioni imperturbate mutuamente
ortogonali.
! kr ! ks = " r,s = 1,2,!#
rs ( ) (2.1.26)
Supponiamo sia ! kr la autofunzione di ordine zero corretta e di scrivere l’ autofunzione
perturbata esatta in serie di potenze di !
! kr = " kr + #$ (1) 2 (2)
+ # $ +! (2.1.27)
kr
kr
E le autoenergie in maniera analoga
Ekr = E (0) (1) 2 (2)
+ !Ekr + ! Ekr +! (2.1.28)
k
Avremo quindi l’ equazione di Schrödinger
H ( + ! H'
0 )" = E " (2.1.29)
kr kr kr
e sostituendovi le (2.1.27) e (2.1.28) ed imponendo l’ uguaglianza dei termini nella stessa
potenza in ! si hanno le
H0 ! (1) (0) (1) (1)
+ H' "kr = E ! + Ekr "kr (2.1.30)
kr
k kr
possiamo scrivere la ! kr come
#
(0)
! = c " kr ks ks
s=1
e nello stesso modo
$ (2.1.31)
" "
(2.1.32)
(1) (1) (0)
! = akr,ms!
kr
ms
m s
con queste espansioni la (2.1.30) diventa
(1) (0) (0) (0)
# # a Em ! Ek
kr,ms ( )" + ms
$
(1) (0)
c H'! E rs ( kr )" ks
m s
s=1
dove si è tenuto conto che
# = 0 (2.1.33)
Ho ! (0) (0) (0)
= Em ! (2.1.34)
ms
ms
(0)
moltiplicando scalarmente a sinistra per ! ku
( ) " ku
, si ha
)
(1) (0) (0) (0) (0)
# # a Em ! Ek " + c % (0) (0) (1)
" H' " ! Ekr $us
kr,ms
ms
rs & ku ks
m s
s=1
# ' = 0 (2.1.35)
(
(0) (0)
la prima sommatoria si annulla perché ! ! = 0 se k ! m e E = E se k=m. Quindi la
ku ms
k m
(2.1.35) si riduce alla
(
(0) (0) (1)
) c $ ! H' ! " Ekr #us & = 0 u = 1,2,!(
rs % ku ks '
s=1
( ) (2.1.36)
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