Introduzione al corso di Analisi delle Serie Temporali

L’ordine di integrazione 

Come già accennato un punto fondamentale nella definizione 

dell’integrazione è la decisione dell’ordine di integrazione. 

Tale scelta può essere operata valutando: 

Analisi Serie Temporali 

• in primo luogo, la presenza di integrazione nella serie storica 

originaria; 

• e poi valutando di volta in volta la presenza di integrazione nelle 

serie già differenziate. 

Attenzione la differenziazione di ordine d è legata all’applicazione del 

polinomio (1 − L) d alla serie e quindi equivale a differenziare 

sequenzialmente d volte la serie. 

∆ 2 yt = yt − yt−2 

∆ 2 yt = (yt − yt−1) − (yt−1 − yt−2) 

Lezione 3. Udine, 15-16 marzo 2010 1/ 29


I test formali per la presenza di unit root 

Come già accennato oltre all’analisi grafica della funzione di 

autocorrelazione e autocorrelazione parziale esistono dei test statistici in 

grado di identificare la presenza di radici unitarie: 

• Dickey-Fuller test 

• Augmented - DF test 

• Phillips-Perron test 

Ci concentreremo sui primi due test. 


Dickey-Fuller Tests 


Per identificare la presenza di radici unitarie sarebbe necessario verificare 

l’ipotesi φ1 = 1 del modello yt = φ1yt−1 + ɛt. Equivalentemente è possibile 

ridefinire il modello come segue: 

∆yt = γyt−1 + ɛt dove γ = φ1 − 1. 

Ovviamente in questa forma l’ipotesi posta in precedenza corrisponde a γ = 0. 

Dickey e Fuller considerano a tal fine tre diversi casi: 

∆yt = γyt−1 + ɛt 

∆yt = φ0 + γyt−1 + ɛt 

camminata casuale 

trend costante 

∆yt = φ0 + δt + γyt−1 + ɛt trend lineare rispetto al tempo 

Il test utilizzato sarà quindi basato sulla statistica t la cui distribuzione non è 

riconducibile ad uno dei modelli classici quali: curva di Gauss o t di Student. 

Si ricorda che il test è svolto rispetto all’ipotesi alternativa H1 : γ < 0. 


La distribuzione Dickey-Fuller 


La strategia di verifica dell’ipotesi è assolutamente identica nei tre casi 

presentati nel lucido precedente. La selezione del modello di riferimento ha 

però effetto sul calcolo dei valori critici del test essendo la distribuzione del test 

dipendente dall’ipotesi di non-stazionarietà imposta. 

In particolare la distribuzione dipende anche dalla numerosità delle osservazioni 

e deve essere simulata per poter calcolare i quantili di riferimento. 

Un esempio di distribuzione della statistica t è 


Il test di Dickey-Fuller: un esempio 


Supponiamo di aver stimato un modello autoregressivo di ordine 1 ed aver 

ottenuto i seguenti risultati: 

e 

yt = 0.9546(0.030)yt−1 + ɛt 

yt = 0.164 + 0.9247(0.037)yt−1 + ɛt 

I test di DF in questo esempio permettono di identificare la presenza di unit 

root dal momento che: 

• nel primo caso la statistica test assume valore 

t = ˆγ −0.0454 

= = −1.5133 

sd 0.030 

che deve essere confrontato con i valori critici simulati che risultano 

essere {−1.61, −1.95, −2.60} ai livelli di significatività di 10, 5 e 1 %. 

• nel secondo caso invece 

t = ˆγ −0.0753 

= = −2.035 

sd 0.037 

che va confrontato con i valori critici {−2.58, −2.89, −3.51} ai livelli di 

significatività di 10, 5 e 1 %. 


Il test esteso di Dickey-Fuller 


Se vogliamo considerare il test DF in un caso di regressione AR(p) dobbiamo 

estendere lo stesso considerando nelle regressioni anche le variabili differenziate 

ritardate avremo le seguenti specificazioni: 

∆yt = γyt−1 + 

∆yt = φ0 + γyt−1 + 

∆yt = φ0 + δt + γyt−1 + 

pX 

i=2 

pX 

i=2 

pX 

i=2 

βi∆yt−i+1 + ɛt 



dove βj indica il generico parametro associato alle variabili differenziate 

ritardate (∆yt−i+1). 

La procedura di verifica dell’ipotesi nulla H0 : γ = 0 rimane invariata rispetto al 

caso precedente. 

É inoltre possibile estendere la verifica d’ipotesi agli altri coefficienti riguardanti 

i trend costante e lineare nel tempo. 


Perchè risulta essere 

Il test esteso di Dickey-Fuller 

p 

i=2 

Si definisca, ad esempio, il modello: 

βi∆yt−i+1 

yt = φ0 + φ1yt−1 + φ2yt−2 + ɛt 


che può essere riformulato (aggiungendo e sottraendo yt−1 e φ2yt−1) 

come 

yt − yt−1 = −yt−1 + φ0 + φ1yt−1 + φ2yt−2 + φ2yt−1 − φ2yt−1 + ɛt 

raccogliendo i termini in modo utile si può riscrivere il modello come: 

e quindi 

∆yt = φ0 + (φ1 + φ2 − 1)yt−1 + φ2yt−2 − φ2yt−1 + ɛt 

∆yt = φ0 + γyt−1 − φ2∆yt−1 + ɛt 

Gli stessi passaggi algebrici possono essere svolti anche per p > 2 

arrivando quindi alla soluzione del precedente lucido. 



Le statistiche test per la verifica multipla 

Nel caso in cui si voglia verificare l’ipotesi multipla H0 : γ = φ0 = δ = 0 oppure 

H0 : γ = δ = 0 (ecc.) si dovrà ricorrere alla statistica test F (che assume la 

stessa forma della classica statistica test F di Fisher ma non segue la stessa 

distribuzione): 

dove 

φi = 

[SSR(vincolata) − SSR(non vincolata)] /r 

SSR(non vincolata)/(T − k) 

• SSR (sum of squared residuals) indica la somma dei quadrati dei residui 

delle regressioni (il vincolo imposto è quello posto sotto ipotesi nulla cioè, 

ad esempio, γ = φ0 = δ = 0 più restrittivo dei casi); 

• r è il numero di vincoli; 

• T è il numero di osservazioni utilizzabili; 

• k è il numero di parametri stimati nel modello non vincolato. 


Un esempio 


Dove a0 è l’intercetta indicata con φ0 nei lucidi e a2 è il 

coefficiente legato al tempo t indicato in precedenza con δ. 

Il test DF (con la stessa logica già citata per l’analisi grafica dei 

correlogrammi) può essere replicato sui dati differenziati per 

identificare integrazioni di ordine superiore al primo. 


L’uso dei modelli Integrati 


L’applicazione dei modelli ARMA ai dati differenziati porta alla 

definizione dei modelli ARIMA(p,d,q) dove d indica il generico 

ordine di integrazione. 

Considerare l’operazione di integrazione permette di trattare: 

• trend stocastici; 

• trend deterministici; 

• trend deterministici polinomiali (di ordine d). 


Un concetto parallelo: l’invertibilità 


Alla stregua della stazionarietà delle serie identificata dalla stima 

dei modelli AR(p) si può definire il concetto di invertibiiltà. 

Un processo che segue una modellazione MA(q) qualsiasi è sempre 

stazionario in covarianza ma una proprietà che è desiderabile in 

questo tipo di processi è l’invertibilità. 

Un processo è detto invertibile quando è possibile ricostruire il 

valore dello shock al tempo t partendo dai valori del processo 

concomittanti e antecedenti al periodo t stesso. 

In altri termini se un processo è invertibile esso può essere espresso 

in termini di un modello AR(∞). I processi AR(p) sono infatti 

sempre invertibili... 


L’invertibilità di un processo MA(1) 

Si supponga di definire un processo MA(1) generico 

esplicitando ɛt si ottiene 

yt = ɛt + θ1ɛt−1 

ɛt = 

yt 

1 + θ1L 


dove L è l’operatore lag già visto in precedenza. Ricordandoci 

inoltre che 1 

1+a = ∞ 

i=1 (−a)i allora 

ɛt = 

∞ 

i=1 

yt(−θ1L) i = yt − θ1yt−1 + θ 2 1yt−2 − θ 3 1yt−3 + . . . 



Strategie di specificazione del modello - 1 

Le fasi di analisi da seguire sono: 

(1) calcolo di alcune statistiche di sintesi dei dati osservati; 

(2) comparazione dei risultati ottenuti con i valori teorici legati a 

particolari modelli; 

(3) stima dei parametri per i modelli suggeriti dal passo 2; 

(4) valutazione del modello attraverso opportuni strumenti 

diagnostici; 

(5) riformulazione del modello (quando necessario); 

(6) uso del modello per fini descrittivi o di previsione. 




Limitandosi alla classe di modelli ARIMA il principale obiettivo dei primi due 

passi d’analisi riguarda la determinazione dell’ordine più appropriato da 

assegnare alle componenti AR e MA - p e q rispettivamente. 

La procedura di identificazione del modello ARIMA (Box and Jenkins, 1970) è 

basata principalmente sul calcolo della cosidetta “autocorrelation function” 

(ACF) e della “partial ACP” (PACF): 

Valori teorici: 

ρk = γk 

γ0 

(ACF) e φkk = |P ∗ k | 

|Pk| (PACF) 

dove |·| indica l’operazione di calcolo del determinante di una matrice e 

0 

B 

Pk = B 

@ 

1 

ρ1 

. 

ρ1 

1 

. 

· · · 

· · · 

. .. 

ρk−1 

ρk−2 

. 

1 

C 

A 

ρk−1 ρk−2 · · · 1 

e P ∗ k si ottiene da questa sostituendo la k-esima colonna con 

ρ(k) = (ρ1, . . . , ρk) T . 




In pratica le due funzioni si possono ottenere semplicemente: 

ACF calcolando correlazione campionaria 

ˆρk = 

PACF stimando il modello 

1 n n 

t=k+1 (yt − ¯y) (yt−k − ¯y) 

1 

n 

n 

t=1 (yt − ¯y) 2 

yt − ¯y = ψ (k) 

1 (yt−1 − ¯y) + · · · + ψ (k) 

k (yt−k − ¯y) + vt 

Il valore stimato del parametro ψ (k) 

k è la k-esima 

autocorrelazione parziale. 




Tipici comportamenti di alcuni processi stocastici 



Strategie di specificazione del modello - 4 a 




La stima dei parametri di un modello AR(p) può essere condotta 

semplicemente applicando i minimi quadrati ordinari. I risultati di stima 

godono delle classiche proprietà dei modelli lineari sotto le classiche 

ipotesi riguardanti i residui di regressione. 

Per i modelli di tipo (AR)MA le strategie di stima sono varie e si basano 

prevalentemente su procedure di stima iterative. Infatti, la stima dei 

parametri della parte MA del modello è legata alla conoscenza dei valori 

pregressi dei residui di regressione che al momento della stima non 

possono essere noti. 




Un esempio: il modello ARMA(1,1) 

Si scriva il modello nella forma: 

(1 + θ1L) −1 yt = φ1 (1 + θ1L) −1 yt−1 + ɛt 

e denotando zt = (1 + θ1L) −1 yt (con y0 = 0) si può ottenere la stima di 

φ1 sfruttando i risultati visti per i modelli AR(1). Infatti, per la variabile 

zt così ottenuta possiamo definire: 

zt = φ1zt−1 + ɛt 



Strategie di specificazione del modello - 6 cont. 

Ovviamente si necessita di una stima iniziale per il parametro θ1. 

I residui di tale modello possono poi essere utilizzati come termini noti 

per l’aggiornamento della stima di θ1 definita considerando la regressione: 

 

ˆɛt − yt − ˆ 

φ1yt−1 = −θ1ˆɛt−1. 

Una volta aggiornata la stima di θ1 si procede a ricalcolare zt e quindi 

ristimare il modello. 

zt = φ1zt−1 + ɛt 

Questi passi debbono essere ripetuti più volte fino a convergenza delle 

stime. 




Test diagnostici per l’autocorrelazione residuale. Dopo aver 

stimato il modello della classe ARIMA(p,d,q) si deve procedere alla 

verifica del rispetto delle assunzioni alla base della stima puntuale e 

dell’inferenza legata al modello. 

La serie storica dei residui ɛt dovrebbe seguire 

approssimativamente un processo stocastico WH. L’idea è quindi 

quella di verificare che non ci sia nessuna autocorrelazione tra i 

residui stimati. A tal fine si calcola: 

rk (ˆɛ) = 

n 

t=k+1 ˆɛtˆɛt−k 

n t=k+1 ˆɛ2 , 

t 

per k = 1, 2, 3, . . . . I valori osservati dell’autocorrelazione vanno 

confrontati con i limiti (−1.96/ √ n, 1.96/ √ n) per verificarne la 

significatività. 




L’autocorrelazione può anche essere investigata sfruttando: 

• il test di Durbin-Watson (per l’autocorrelazione di ordine 1) la cui 

statistica test è: 

T t=2 DW = 

(ˆɛt − ˆɛt−1) 2 

T t=1 ˆɛ2 t 

la cui distribuzione è non standard ma può essere simulata (gli 

autori stessi hanno fornito le tavole della statistica test nelle quali 

sono riportati i valori critici della stessa). 

• il test di Ljung & Box (per l’autocorrelazione fino all’ordine m) la 

cui statistica test è 

m 

LB (m) = n (n + 2) (n − k) −1 r 2 k (ˆɛ) 

k=1 

la cui distribuzione è segue una χ 2 con (m − p − q) gradi di libertà. 

• il test del moltiplicatore di Lagrange 




Le ipotesi riguardanti gli errori considerano anche la caratteristica 

di omoschedasticità. 

In presenza di eteroschedasticità le classiche procedure inferenziali 

legate alla verifica: 

• di significatività delle stime dei parametri di regressione; 

• e della presenza di non-linearità nei dati; 

risultano impraticabili. 

In quest’ottica la verifica di omoschedasticità dei residui assume 

una notevole importanza. 




L’omoschedasticità dei residui può essere investigata sfruttando: 

• il contronto della varianza dei residui prima e dopo un certo tempo t 

prefissato; 

• con il test di Breusch e Pagan che essendo un test del moltiplicatore 

di Lagrange si basa sul calcolo di una regressione ausiliaria; 

• con il test di Goldfeld-Quandt per l’eteroschedasticità addittiva; 

• con il test di White che essendo una generalizzazione del test di 

B&P permette di identificare casi più generali di eteroschedasticità; 

• considerando il test di McLeod e Li che di fatto considera la stessa 

statistica di Ljung & Box ma sul quadrato dei residui. 




Una tipica assunzione relativa alla serie dei residui di regressione è 

che le realizzazioni di questa siano indipendenti ed identicamente 

distribuite come una Normale di media nulla e varianza σ 2 (in 

simboli ɛt ∼ NID 0, σ 2 ). 

Nel contesto della stima di modelli non-lineari l’identificazione della 

Gaussianità dei residui assume una particolare importanza. Infatti, 

l’applicazione di modelli lineari a dati che presentano pattern 

tipicamente non lineari porta ad ottenere dei residui che non sono 

i.i.d. 




Per identificare la normalità dei residui si possono utilizzare i tipici 

strumenti statistici quali, ad esempio: 

• il test di Kolmogorov-Smirnov; 

• il test di Shapiro-Wilk; 

• il test di Normal probability plot; 

• il test di Jarque-Bera. 

In particolare il vostro libro cita il test di Jarque-Bera basato sul calcolo 

degl’indici di assimetria e di curtosi: 

norm = n 

6 SKˆɛ + n 

2 Kˆɛ − 3 

24 

dove SKˆɛ e Kˆɛ sono rispettivamente la assimetria e la curtosi dei dati. 

Tale statistica test sotto l’ipotesi nulla di Gaussianità della distribuzione e 

di autocorrelazione nulla ha una distribuzione asintotica χ 2 (2). 




La selezione del modello può avvenire sfruttando due metodi: 

• valutazione della bontà di adattamento del modello ai dati; 

• valutazione della bontà delle previsioni del modello. 

In entrambi i casi l’idea è che il miglior modello è quello che meglio 

si adatta ai dati. Nel primo caso l’attenzione del ricercatore è 

focalizzata sulla descrizione degli andamenti temporali delle serie. 

Nel secondo caso invece si pone maggior attenzione sulla capacità 

del modello di predire i valori futuri del fenomeno. 




Nel caso in cui due o più modello lineari (o non-lineari) soddisfino le ipotesi di 

base testate con le diagnostiche di cui abbiamo ampiamente parlato si deve 

trovare un modo per selezionare il migliore modello. 

Due sono i principali criteri individuati in alternativa al classico R 2 : 

• Akaike Information Criterion (AIC) che si ottiene come segue 

AIC(k) = n ln ˆσ 2 + 2k 

dove k = p + q + 1 (in un classico contesto di modelli ARIMA) e 

ˆσ 2 = 1 Pn n t=1 ˆɛ2 t con ˆɛt residui del modello ARIMA. 

• Bayesian Information Criterion (BIC) - Schwarz criterion il cui valore è 

BIC(k) = n ln ˆσ 2 + k ln n 

dove la penalizzazione legata al numero di parametri è superiore al caso 

precedente. 



Strategie di specificazione del modello - 14 a 

I due criteri individuati possono essere calcolati anche sulla base della funzione 

di verosimiglianza: 

• Akaike Information Criterion (AIC) che si ottiene come segue 

AIC(k) = −2 ln L( ˆ θ, ˆσ 2 ) + 2k; 

• Bayesian Information Criterion (BIC) - Schwarz criterion il cui valore è 

BIC(k) = −2 ln L( ˆ θ, ˆσ 2 ) + k ln n.

Introduzione al corso di Analisi delle Serie Temporali

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