ESERCITAZIONE 1 Aritmetica di macchina

ESERCITAZIONE 1
Sulla rappresentazione interna dei numeri nel calcolatore
Aritmetica di macchina
L’insieme R dei numeri reali è infinito, ma soltanto un sottoinsieme di R, limitato inferiormente
e superiormente, è rappresentabile in un calcolatore. In seguito denoteremo
con F il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili in un calcolatore.
Per memorizzare ogni numero è disponibile una quantità limitata di bit, più precisamente
64 (di cui 52 per la mantisssa); di conseguenza i numeri che costituiscono
l’aritmetica del calcolatore hanno necessariamente un numero finito di cifre binarie.
In particolare, i numeri irrazionali come π oppure i numeri razionali periodici come
1/3 o perfino numeri decimali con rappresentazione finita, ma che hanno una
rappresentazione binaria periodica, ad esempio 0.1, sono sostituiti da una loro approssimazione
con un numero finito di bit, ottenuta mediante troncamento oppure
mediante arrotondamento. Attualmente la scelta di arrotondare è la più diffusa.
Esercizio 1 Ricordando lo standard IEEE-754r visto a lezione (mantissa della forma (1 + F)
ed esponente in traslazione con bias = 1023), calcolare la rappresentazione dell numero x =
2 −4 in virgola mobile normalizzata. Si noti che x è un numero di macchina (nessun errore di
rappresentazione) perché è una potenza di due. (Facoltativo: usando Octave confrontare la
stringa di bit ottenuta con quella visualizzata per x usando il formato format bit.)
Sul massimo e minimo numero rappresentabile
Non sempre un’operazione tra due o più numeri di macchina produce come risultato
un numero macchina; se tale operazione ha come risultato un numero più grande
dell’estremo superiore di F, si genera una situazione di overflow, se ha come risultato
un numero più piccolo dell’estremo inferiore di F si produce un underflow. In
Matlab/Octave si possono identificare l’elemento più piccolo e più grande di F con
le variabili predefinite realmin e realmax. Sappiamo che il minimo numero rappresentabile
nello standard IEEE-754r, F(2, 53, −1022, 1023), è quello con la minima
mantissa possibile (1) moltiplicata per 2 elevato al minimo esponente possibile (-1022),
per cui scrivendo nella shell di Matlab/Octave :
>>> 2^( −1022)
ans = 2.2251 e−308
1

2 Calcolo Numerico LT Informatica A. A. 2011–2012
vediamo che questo valore coindice esattamente con il valore della variabile realmin:
>>> realmin
ans = 2.2251 e−308
>>>
Esercizio 2 Determinare, in maniera analoga a quanto appena effettuato per realmin, il valore
del massimo numero macchina in virgola mobile normalizzata, usando doppia precisione
secondo lo standard IEEE-754r Confrontare il valore ottenuto con quello della variabile
Matlab/Octave realmax.
Poiché realmax è il massimo numero rappresentabile, assegnando ad una variabile
un numero maggiore di realmax Matlab/Octave restituisce come valore Inf
(overflow):
>>> a =1. e310
a = I n f
Differentemente, è ancora possibile assegnare ad una variabile un valore inferiore a
realmin, perché il più piccolo numero rappresentabile in Matlab/Octave è:
>>> realmin /2^52
ans = 4.9407 e−324
anche se tutti i numeri macchina compresi tra realmin (escluso) e realmin/2 52
fanno parte dei cosidetti numeri denormalizzati e cioè del tipo
(−1) s · (0.F) · 2 −1023
e sono quindi numeri con esponente codificato uguale a zero, come il numero zero,
ma con parte frazionaria della mantissa non nulla.
Esercizio 3 Verificare che realmin non è il più piccolo numero rapresentabile in Matlab/Octave
assegnando ad una variabile a un valore minore di realmin e vedendo che si ha
ancora un risultato diverso da zero. Che valore viene assegnato ad a quando proviamo a dare
valori più piccoli di 4.9407E − 324? Come si chiama questo fenomeno?
. Che risultato si ottiene? (Facoltativo: usando
Octave visualizzare cambiando il formato a format bit la codifica interna del risultato
ottenuto.)
Esercizio 4 Eseguire l’assegnazione a = 1
0
Esercizio 5 Eseguire l’operazione aritmetica a − a. Che risultato si ottiene? (Facoltativo:
usando Octave visualizzare cambiando il formato a format bit la codifica interna del
risultato ottenuto. Spiegare che criterio si usa per codificare internamente NaN (not a number).
Qual è la differenza con Inf?)

Esercitazione 1: Aritmetica di macchina 3
Sulla distanza assoluta e relativa di due numeri macchina consecutivi. Precisione
di macchina
È a tutti noto che l’insieme R dei numeri reali è denso, cioè tra due numeri reali r1 e
r2 esiste sempre un numero reale r3 tale che r1 < r3 < r2. Invece il sottoinsieme F,
oltre ad essere limitato inferiormente e superiormente, è anche bucato, ovvero attorno
ad ogni elemento x di F esiste un piccolo intervallo vuoto, tra x e il suo successivo
numero macchina che chiameremo x+. In altre parole, a differenza di quello che
occorre in R, in F la distanza tra x e il suo elemento successivo x+ non è infinitamente
piccola, ma ha un valore ben determinato. Essendo x = (−1) s · (1 + 0.d1d2d3 · · · dτ) ·
2 E e x+ = (−1) s · (1 + 0.d1d2d3 · · · dτ + 1) · 2 E , la distanza assoluta tra x e x+ è:
∆x = |x − x+| = 2 −52 · 2 E .
Questo valore in Matlab/Octave si ottiene scrivendo eps(x). Si noti che questa
distanza è uguale per tutti i numeri macchina aventi lo stesso esponente. Si noti anche
che l’incremento/decremento di una unità dell’esponente comporta un incremento/decremento
di in fattore 2 (pari alla base) della distanza assoluta tra due numeri
macchina consecutivi. Infatti se calcoliamo con Matlab/Octave quanto vale eps(x)
per numeri x presi a caso nell’intervallo [4,8), che in virgola mobile normalizzata condividono
l’esponente E = 2 1 , otteniamo per tutti la stessa distanza assoluta con il
loro successivo numero macchina:
>>> eps ( 4 )
ans = 8.88178419700125 e−16
>>> eps ( 5 )
ans = 8.88178419700125 e−16
>>> eps ( 5 . 9 8 7 6 5 4 )
ans = 8.88178419700125 e−16
>>> eps ( 6 . 7 )
ans = 8.88178419700125 e−16
>>> eps ( 7 . 9 9 9 9 9 9 9 )
ans = 8.88178419700125 e−16
Calcolando invece:
>>> eps ( 8 )
ans = 1.77635683940025 e−15
Realizzando la verifica
>>> eps ( 4 ) ==eps ( 8 ) /2
ans = 1
1 Il numero 4 in base 10 si scrive in binario come 100, e quindi viene codificato come 1.0 · 2 2 . Ci sono
2 52 mantisse possibili partendo da quella del numero 4 prima di arrivare a codificare il numero 8 che in
binario è 1000 e si rappresenta internamente come 1.0 · 2 3 .

4 Calcolo Numerico LT Informatica A. A. 2011–2012
e ricordando che in un costrutto logico il valore 1 significa true, vediamo che il valore
della distanza assoluta tra 8 e il suo successivo numero macchina è il doppio rispetto
a quella ottenuta precedentemente per i numeri con esponente 2, perché 8 si codifica
internamente con esponente 3. Questo mette in evidenza il fatto che i numeri macchina
non sono equispaziati, ma più addensati intorno ai numeri piccoli e si diradano
man mano che il loro valore assoluto aumenta.
Esercizio 6 Calcolare la distanza assoluta tra x e il suo succesivo numero macchina, per
x = 1, 100, 10 6 , 10 9 , 10 12 . Cosa si osserva? Quanto vale eps(realmax)?
La distanza relativa, invece, si ottiene dividendo quella assoluta per il numero
x, e poiché il numeratore sarà uguale per tutti i numeri macchina x che hanno lo
stesso esponente E, ma la mantissa può assumere valori tra 1 e quasi 2 (2 − 2 −52 ),
questa distanza relativa assumerà valori variabili di poco (nell’intervallo (2 −53 , 2 −52 ]),
essendo il massimo valore possibile 2 −52 . La metà di questa quantità è il valore della
precisione di macchina, u (in inglese unit roundoff), che rappresenta il massimo errore
relativo che si commette nell’approssimare il numero reale x con il suo corrispondente
numero macchina, fl(x).
Il minor numero che sommato a x da un numero maggiore di x è, tenendo conto
dell’arrotondamento, la metà della distanza assoluta che lo separa dal successivo
numero macchina, e quindi è uguale a |x − x+|/2 = eps(x)/2. Purtroppo in Matlab/Octave
, questo non è esattamente così perché nel caso di un numero che cade
esattamente a metà tra due numeri di macchina consecutivi, x e x+, lo standard IEEE
adottato da Matlab/Octave stabilisce che il numero venga arrotondato al valore più
piccolo dei due, cioè x (schema di arrotondamento chiamato ties to even).
Comunque ci si può accertare che sommando a x un numero appena più grande
di eps(x)/2, ad esempio, eps(x)/1.999 il risultato è il numero macchina successivo ad
x. Ad esempio per il numero 1:
>>> 1+eps ( 1 ) −1
ans = 2.22044604925031 e−16
>>> (1+ eps ( 1 ) /2)−1
ans = 0.00000000000000 e+00
>>> (1+ eps ( 1 ) /1.9999)−1
ans = 2.22044604925031 e−16
Indipendentemente da questo, la distanza |x − x+| determina l’ordine di grandezza
del minor numero che sommato ad un numero macchina x fornirà come risultato
un numero maggiore di x. Infatti calcolando:
>>> format long e
>>> 1+eps ( 1 )
ans = 1.00000000000000 e+00
>>> 1+eps ( 1 ) −1
ans = 2.22044604925031 e−16

1000+ eps ( 1 )
ans = 1.00000000000000 e+03
>>> 1000+ eps ( 1 ) −1000
ans = 0.00000000000000 e+00
Esercitazione 1: Aritmetica di macchina 5
vediamo che il calcolatore non è in grado di interpretare come un incremento diverso
da zero il numero eps(1) quando viene sommato a 1000, mentre lo riconosce come
numero non nullo quando viene sommato a 1. Il più piccolo incremento del numero
1000 riconosciuto dal calcolatore e dell’ordine di eps(1000):
>>> 1000+ eps ( 1 0 0 0 )
ans = 1.00000000000000 e+03
>>> 1000+ eps ( 1 0 0 0 ) −1000
ans = 1.13686837721616 e−13
Esempi di errori numerici. Cancellazione numerica
Vediamo adesso alcuni esempi di errori numerici che ci permettono di comprendere
meglio quelli che sono i problemi legati all’aritmetica finita usata dal calcolatore.
Un noto problema numerico è quello della cancellazione di cifre significative nella
sottrazione di due numeri quasi uguali alla precisione di macchina. Ad esempio,
calcolando con Matlab/Octave l’espressione ((x + 1) − 1)/x per x = 10 −15 , il cui
risultato esatto ovviamente è 1, si ottiene:
>>> x = 1 . e−15
x = 1.0000 e−15
>>> ( ( 1 + x ) −1)/x
ans = 1.1102
Se effettuiamo le operazioni precedenti in quest’altro ordine:
>>> (1 −1)+x
ans = 1.00000000000000 e−15
possiamo vedere che in generale la somma non è associativa in F.
Esercizio 7 Si prenda x = 1.005, il calcolo del valore del polinomio q7(x) = (x − 1) 7
in questo punto produce come risultato il valore α = 7.8125 · 10−17 , mentre quello del
polinomio p7(x) = x7 − 7x6 + 21x5 − 35x4 + 35x3 − 21x2 + 7x − 1 da come risultato
¯α = −8.88178419700125 · 10−16 . Perché?
α − ¯α
Quanto vale l’errore relativo |
α |?
Svolgimento:
Introduciamo in Matlab/Octave il valore di x = 1.005 e calcoliamo q7(x) e p7(x):
>>> x =1.005
x = 1.0050
>>> alpha =(x−1)^7
alpha = 7.8125 e−17

6 Calcolo Numerico LT Informatica A. A. 2011–2012
>>> alpha_bar=x^7−7∗x^6+21∗x^5−35∗x^4+35∗x^3−21∗x^2+7∗x−1
alpha_bar = −8.8818e−16
>>>
L’errore relativo calcolato è:
>>> e r r _ r e l =abs ( ( alpha−alpha_bar ) /alpha )
e r r _ r e l = 12.369
Se arrestassimo il calcolo precedente dopo aver effettuato le operazioni x 7 − 7x 6 +
21x 5 − 35x 4 + 35x 3 − 21x 2 + 7x, otterremmo il valore:
>>> format long
>>> beta_bar=x^7−7∗x^6+21∗x^5−35∗x^4+35∗x^3−21∗x^2+7∗x
beta_bar = 0.999999999999999
che dovremmo confrontare con il valore vero q7(x) + 1, cioè, β = 1 + α = 1 +
7.8125 · 10 −17 che in aritmetica di macchina vale 1. L’errore relativo in questo caso è:
>>> e r r _ r e l 2 =abs ( ( beta−beta_bar ) /beta )
e r r _ r e l 2 = 8.88178419700125 e−16
Osserviamo dunque che l’errore relativo accumulato fino alla penultima operazione
è piccolissimo (dell’ordine della precisione di macchina), mentre dopo l’ultima sottrazione
l’errore relativo passa ad essere ben maggiore del cento per cento (1236.9%).
Vediamo dunque che i piccoli errori assoluti introdotti durante il calcolo di p7(x), che
sono dell’ordine della precisione di macchina, diventano preponderanti dal momento
che nell’ultima operazione il valore risultato è molto piccolo. Questo ci dice che
gli inevitabili errori introdotti durante le operazioni aritmetiche saranno più o meno
significativi in funzione del valore assoluto del risultato.
Stabilità di un algoritmo
Ricordiamo che un metodo numerico (formula, algoritmo) si dice stabile se non
propaga eccessivamente gli errori presenti nei dati iniziali. Altrimenti si dice instabile.
La stabilità è quindi un concetto legato all’algoritmo usato per risolvere un
determinato problema. Si consideri il seguente esercizio:
Esercizio 8 Per il calcolo della successione di integrali definiti
In = 1
1
x
e 0
n e x dx,
si consideri la seguente formula ricorsiva per il calcolo di In:
s0 = 1
1
e
e 0
x dx = 1 − 1
e
sn+1 = 1 − (n + 1)sn, n ≥ 0
Ricordando che la successione In è descrescente e verifica 0 < In < 1, ∀n, si scriva un m-file
che implementa l’algoritmo precedente e calcola sn per un n fissato. Si calcoli ad esempio I25.
La ricorrenza è stabile?

Esercitazione 1: Aritmetica di macchina 7
Per calcolare I25 utilizzare un algoritmo stabile. Posto m = 40, si implementi la seguente
ricorrenza:
tm = 1
1
x
e 0
m e x dx
tk−1 = 1 − tk , k = m, m − 1, . . . , 26, . . . , 2
k
dove si pone per esempio tm = 0.5 (valore arbitrario minore di 1).
Una possibile implementazione di quanto richiesto nell’esercizio potrebbe essere la
seguente:
% SCRIPT MATLAB PER IL CALCOLO DELLA
% SUCCESSIONE RICORRENTE .
% SUCCESSIONE " s_n " ( IN AVANTI) .
%CALCOLA s_n=I_n , PER n=1:25
s ( 1 ) =exp( −1) ;
n=25;
f o r k =1:n−1
s ( k+1)=1−(k+1) ∗ s ( k ) ;
end
% SUCCESSIONE " t_n " (ALL’ INDIETRO) .
% PER CALCOLARE I VALORI TRA
% 25 E 1 , PARTO DAL VALORE I_40 approssimato con 0 .
N=n+15;
% INIZIALIZZAZIONE DEL VETTORE " t " DEI VALORI
%GENERATI CON LA RICORRENZA ALL’ INDIETRO
t =zeros (N, 1 ) ;
f o r k=N: −1:2
j =k−1;
t ( j ) =(1− t ( k ) ) /k ;
end
% ESEGUE UNA MATRICE 2 x 1 DI GRAFICI .
% IL PRIMO GRAFICO LO METTE IN ( 1 , 1 ) .
f i g u r e ( 1 ) ;
c l f ;
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
% PRIMO GRAFICO : PLOT SEMI−LOGARITMICO.
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
subplot ( 2 , 1 , 1 ) ;
semilogy ( 1 : n , abs ( s ) , ’k−’ , 1 : n , abs ( t ( 1 : n ) ) , ’m−’ ) ;
t i t l e ( ’ Valori c a l c o l a t i in avanti e i n d i e t r o ’ ) ;
% IL SECONDO GRAFICO LO METTE IN ( 1 , 2 ) .
z=s ’− t ( 1 : n ) ;
subplot ( 2 , 1 , 2 ) ;

8 Calcolo Numerico LT Informatica A. A. 2011–2012
semilogy ( 1 : n , abs ( z ) , ’g−’ ) ;
t i t l e ( ’ Differenza t r a i v a l o r i c a l c o l a t i in avanti e i n d i e t r o ’ ) ;
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
% ANALISI DI t ( 1 ) PARTENDO DA DIFFERENTI
% t (m) =0; m= 2 , 3 , . . . , 2 0
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
t _ 1 _ e x a c t =exp( −1) ;
f o r m=2:20
t t = 0 . 5 ; % INIZIALIZZAZIONE " t " .
f o r k=m: −1:2 % SI OSSERVI CHE IL CICLO VA DA "m" A 2 .
t t =(1− t t ) /k ;
end
e r r _ t _ 1 (m) =abs ( t_1_exact −t t ) ;
f p r i n t f ( ’\n \ t [M] : %2.0 f [ERR . ] : %10.15 f ’ ,m, e r r _ t _ 1 (m) ) ;
end
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
% TERZO GRAFICO : ERRORI ASSOLUTI .
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
f i g u r e ( 2 ) ;
semilogy ( 2 : 2 0 , abs ( e r r _ t _ 1 ( 2 : 2 0 ) ) , ’b−’ ) ;
t i t l e ( ’Andamento d e l l ’ ’ e r r o r e su I1 ottenuto partendo da m a l l ’ ’ i n d i e t r o ’ ) ;
x l a b e l ( ’m’ ) ;
Dopo aver digitato sulla shell di Matlab/Octave il nome del file contenente questo
script (senza l’estensione .m) otteniamo tre grafici 2 . I primi due confrontano i valori
ottenuti con le due successioni: si vede che quella in avanti (in nero) non converge,
mentre quella all’indietro sembra convergere a zero. Il terzo grafico mostra gli errori
della successione all’indietro nell’approssimazione del valore iniziale I0 partendo da
diversi valori m. Si osserva come, evidentemente, al crescere di m, l’approssimazione
diventa sempre più accurata, arrivando ad avere errore nullo dopo 17 iterazioni all’indietro
(si noti che dopo questo numero di iterazioni all’indietro l’errore iniziale è
stato diviso per 17!).
Esercizi proposti
Esercizio 1 Al variare di x = 10−1 , 10−2 , 10−3 , . . . , 10−15 , si definiscano i numeri reali
a = 1 + x e b = −1. Si confronti il valore numerico della somma a + b calcolato con Matlab/Octave
con il valore esatto della somma, cioè x (impostare il formato di visualizzazione
|(a + b) − x|
a format long e ). Calcolare l’errore relativo . Commentare l’andamento
x
degli errori al variare di x. Qual è la percentuale dell’errore relativo per x = 10−15 ?
Suggerimento:
si possono usare ad esempio le seguenti istruzioni:
x = 1 0 . ^ ( − [ 1 : 1 5 ] ) ’ ;
2 Il comando subplot permette di plottare più grafici nella stessa finestra di Matlab/Octave senza
sovrapporli. Per ulteriori informazioni consultare la help di Matlab/Octave .

a=ones ( 1 5 , 1 ) +x ;
b=−ones ( 1 5 , 1 ) ;
e r r _ r e l =abs ( ( a+b−x ) ./ x ) ;
[ a+b , x , e r r _ r e l ]
Esercitazione 1: Aritmetica di macchina 9
Esercizio 2 Si scriva uno script Matlab/Octave per il calcolo della radice di minimo modulo
(s1) dell’equazione di secondo grado x 2 + bx + c = 0, usando la formula canonica di
risoluzione (ALG.1) e anche la formula stabile (ALG.2). Assumere b = 10 7 e c = 10 −2 . Per il
calcolo dell’errore relativo usare come soluzione vera la radice ottenuta con la formula stabile
(t1 = −10 −9 ).
Suggerimento:
Per la formattazione dell’output, si possono usare i comandi:
f p r i n t f ( ’\n \ t [ALG. 1 ] [ 1 ] : %10.19 f ’ , s1 ) ;
f p r i n t f ( ’\n \ t [ALG. 2 ] [ 1 ] : %10.19 f ’ , t1 ) ;
f p r i n t f ( ’\n \ t [REL . ERR . ] [ ALG. 1 ] : %2.2e ’ , r e l e r r s 1 ) ;
che producono il seguente risultato:
[ALG. 1 ] [ 1 ] : −9.31322575e−10
[ALG. 2 ] [ 1 ] : −1.00000000e−09
[REL . ERR . ] [ ALG . 1 ] : 6 . 8 7 e−02
Esercizio 3 Sia
Sn(x) = 1 + x + x2
2
x3 x4 xn
+ + + · · · +
3! 4! n!
la troncata n-esima di exp(x). Si prenda x = −20 e si calcoli per n = 1, 2, . . . , 80 l’errore
relativo
|Sn(x) − exp(x)|
exp(x)
Cosa si osserva? Perché ciò accade?
Ripetere l’esercizio con x = 20. Quanto vale l’errore relativo? Commentare i due grafici e
spiegare il perché dei due differenti risultati ottenuti.
Nota: nel grafico semilogaritmico che si ottiene per per x = −20 si osserva una
gobba che arriva fino a 10 16 e poi scende fino a 1 (errore del 100%). La gobba si
spiega analiticamente in connessione all’approssimazione fornita dalla troncata nesima
della serie di Taylor quando |x| ≫ 0. In questo caso, all’inizio (con n piccolo)
ci si allontana dal valore vero, e poi, al crescere di n, ci si avvicina al valore vero
e l’errore di approssimazione tende a 0 in aritmetica infinita. Al calcolatore invece
l’errore di approssimazione del valore finale sarà più o meno grande in funzione del
suo valore: risultato grande implica errore relativo piccolo, mentre risultato piccolo
implica errore relativo grande!

10 Calcolo Numerico LT Informatica A. A. 2011–2012
Suggerimento:
si implementi in un m-file (file con estensione .m) una function Matlab/Octave
che prenda come input n e x, calcoli il valore di Sn(x) per ogni n = 1, 2, . . . , 80 e il
vettore degli errori relativi usando come valore vero exp(x). Plottare in un grafico
semilogaritmico l’andamento degli errori al crescere di n. Ad esempio si può usare il
seguente m-file:
function [ val , e r r ]= troncata_exp ( x , n )
%Calcola i l valore approssimato di exp ( x ) come t r o n c a t a n−esima
%dell ’ espansione in s e r i e di Taylor .
add =1; val =1; vero=exp ( x ) ;
f o r i =1:n
add=add∗x/ i ;
val=val+add ;
e r r ( i ) =( val − vero ) /vero ;
end
semilogy ( 1 : n , abs ( e r r ) , ’ r−’ )
Esercizio 4 (Facoltativo) Per il calcolo della seguente successione di integrali definiti
1
In =
0
x n
x + 5 dx,
si consideri la seguente formula ricorsiva per il calcolo di In:
s0 = ln(1.2)
sn = 1
n − 5sn−1
n
> 0
Ricordando che la successione In è descrescente e verifica 0 < In < 1/6, ∀n, si scriva un mfile
che implementa l’algoritmo precedente e calcola sn per un n fissato. Si calcoli ad esempio
I40. La ricorrenza è stabile? Per calcolare I40 utilizzare un algoritmo stabile.
Suggerimento. Si proceda come nel precedente Esercizio 8. Per l’algoritmo stabile si parta
ad esempio da un valore approssimato di I65.
NOTA BENE: Si porti all’esame orale una relazione scritta con la soluzione di
questi esercizi, i grafici ottenuti e gli m-files Matlab/Octave utilizzati.