Il metodo degli Elementi Finiti - Esercizi e Dispense

LaureaMagistraleinIngegneriaperl’InnovazionedelProdottoCorsodiCalcoloNumericoIlmetododegliElementiFiniti

Indice1 Spazifunzionalilineari 12 Metodivariazionali 42.1 IlmetododiGalerkin .................................. 42.2 Formulazionideboli.................................... 73 Ilmetododeglielementifiniti 93.1 Elementifinitimono-dimensionali............................ 93.2 Elementifinitilagrangiani . ............................... 133.3 Elementifinititriangolari . ............................... 174 Soluzioneaglielementifinitidell’equazionediPoisson 194.1 Caso1-D ......................................... 194.2 Caso2-D ......................................... 23Esercizi 26I

1 SpazifunzionalilineariUnospaziolineareèun’entitàmatematicachedescriveuninsiemedioggettidotatidiparticolariproprietà. Inparticolare,dettoX ={x,y,z,...}taleinsieme,essodefinisceunospaziolinearerealese:1.perognixeyappartenentiaX, èpossibiledefinirel’elementosommax+y anch’essoappartenenteaX;2.perogniscalareα∈R,èpossibiledefinireilprodottoαxappartenenteaX;3.leoperazioniprecedentementedefinitegodonodellaproprietàcommutativa,associativaedistributiva;4.perognixeyappartenentiaX,èpossibiledefinireunprodottointernoilcuirisultatosiaunoscalareinR.Unospaziolinearerealeè,adesempio,lospaziovettorialeR n icuielementisonocostituitidaennupledinumerirealiedilprodottointernoèilprodottoscalare.Seglielementidiunospaziolinearerealesonofunzioni,allorasiparladispaziofunzionalelineare.Inquestosenso,unospaziofunzionalepuòessereinterpretatocomeunageneralizzazionedelconcettodispaziovettorialeconanalogheproprietà.Quandounacombinazionelinearedinelementidiunospaziolineare:α 1 x 1 +α 2 x 2 +...+α n x n (1)dàl’elementonulloseesoloseα 1 = α 2 = ... = α n = 0, alloraglielementix 1 ,x 2 ,...,x nsidiconolinearmente indipendenti. Qualoraqualsiasicombinazionelinearedin+1elementiappartenentiaX siadipendente,sidicecheladimensionedellospazioènecheogniinsiemedinelementilinearmenteindipendentinecostituisceunabase. Viceversa,seperognin>0esistesempreuninsiemedinelementilinearmenteindipendenti,sidicechelospazioXhadimensioneinfinita. Glispazivettorialisonoesempidispaziadimensionefinita,mentreglispazifunzionalihannodimensioneinfinita. Taleproprietàconsentedigeneralizzarefacilmentealcuneoperazionidefiniteinunospaziovettorialeinterpretandounafunzionecomeunvettoreadinfinitecomponenti.Ciòimplica,insostanza,ilpassaggiodaoperazionidisommatoriadiscretaadintegrazioninelcontinuo.Siano,adesempio,uevduevettoridiR n .Comenoto,illoroprodottoscalareu T vsidefiniscecomesommadeiprodottidellecomponenti,cioè:n∑u T v= u i v i (2)i=1Dueelementiu(x)ev(x)definitiinundominioRedappartenentiadunospaziofunzionalelineare,invece,sonodotatidiinfinitecomponentieladefinizionediprodottoscalaresipuòfacilmente1

estenderedalla(2)come:∫= u(x)v(x)dx (3)RInmodoanalogoèpossibiledefinireunanozionedinormaintesacomemisuradellagrandezzadiunafunzione.Adesempio,comeinR n lanormaeuclideadiunvettoreusidefiniscecome:‖u‖ 2 = ( u T u ) 1/2(4)cosìinunospaziofunzionalelanormaeuclideadiu(x)risulta:[∫ 1/2‖u‖ 2 = u(x)dx] 2 (5)RUnospaziofunzionaleincuisiapossibiledefinireunanormacomein(5)èdettonormato.Inoltre,quandoilprodottoscalare(3)èfinitoperognicoppiadifunzioni,lospaziofunzionaleèdettomisurabile.DatiduesottoinsiemiS 1 eS 2 diunospaziolineareS,èpossibiledefinireunatrasformazionechecolleghiognielementodelprimoinsieme,dettodominio,adunsoloelementodelsecondoinsieme,dettocodominio.Chiamiamooperatorelarappresentazionesimbolicaditaletrasformazione:Ax=y (6)dovex∈S 1 ,y∈S 2 eAdenotalaregolachetrasformaxiny. L’operatoreAèdettolineareseperogniαeβrealivaleche:A(αx+βy)=αAx+βAy (7)Adesempio,nellospaziovettorialeR n l’operatoreApuòessererappresentatodaunamatricequadratadidimensionenconlatrasformazionedaessoattuatadefinitadaunprodottomatricevettore.Inmanieraanalogainunospaziofunzionalesipossonodefiniredeglioperatorilineariditipodifferenziale,contenenticioèoperazionididerivazioneparziale. Adesempio,l’operatoredifferenziale:A= ∂2 ∂2∂x2+ ∂y 2 (8)ènormalmenteindicatocomeoperatorelaplacianoedesegueunatrasformazionelinearesuunafunzioneu(x,y)inf(x,y).L’equazionedifferenzialediPoisson:∂ 2 u u∂x 2+∂2 ∂y2=f (9)sipuòpertantointerpretarecomel’applicazionedell’operatorelaplacianoaduperotteneref.Illaplacianoin(8)èfrequentementeindicatoancheconilsimbolo∇ 2 .L’equazionedifferenziale(9),pertanto,siscriveanchecome:∇ 2 u=f (10)2

enedaunpolinomio.Èintuitivochelarappresentativitàdelsottospaziogeneratodaquestefunzioniaumentaalcresceredin:tantomaggioreèn,tantomiglioresaràilgradodiapprossimazionediû n rispettoadu.Invecelasuccessione1,x 2 ,x 4 ,...,x 2n nonècompletaperchénonconsentedirappresentarelefunzionidisparineldominio[0,1].2 MetodivariazionaliSiconsideriilseguenteproblemadifferenzialelineare:Au = f suR (17)Gu = q su∂R (18)doveuedfsonofunzionidefiniteneldominioR,qèdefinitalungolafrontiera∂R,eAeGsonodeglioperatoridifferenzialilineari. Ilproblemaailimiticostituitodalle(17)e(18)descrivenelformalismodeglispazifunzionalilaricercadellasoluzioneudiun’equazionedifferenzialedefinitainRcondeterminatecondizionialcontorno. RisulteràpertantoG=1lungolaporzionedifrontiera∂R 1 incuisiimpongonocondizioniprincipali(odiDirichlet)eG=∂/∂nlungo∂R 2incuisiimpongonocondizioninaturali(odiNeumann). Seq=0la(18)definiscecondizionialcontornoomogenee.SiaFlospaziofunzionalelinearechecontienetuttelefunzionidefiniteinRchesoddisfanolecondizionialcontorno(18). Lasoluzioneudelproblema(17)-(18)appartieneadF. Imetodivariazionalicercanounaapprossimazioneû n diuinunsottospazioadimensionefinitaF n diFcomecombinazionelinearedellasuccessionedifunzioniinidpendentiξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n chenecostituisconolabase.Setalesuccessioneècompleta,lasoluzioneesattaupotràessereapprossimatasufficientementebenedaû n apattodiscegliereunvalorenabbastanzaelevato.Poichélefunzionibaseξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n sonosceltedall’operatore,lasoluzioneapprossimatadelproblema(17)-(18)siriduceallaricercadeicoefficientiα 1 ,α 2 ,...,α n dellacombinazionelineare(15)cheminimizzanoinqualchemodoladistanzadiû n dau.2.1 IlmetododiGalerkinSiaû n definitadall’equazione(15)lasoluzioneapprossimataalproblema(17)-(18). Ingenerale,lafunzioneresiduor n :r n =Aû n −f (19)risulteràesserenonnullainR.Lenincogniteα 1 ,α 2 ,...,α n devonoesseredeterminatemediantencondizionitalidaminimizzareinqualchemodor n inR.Perintrodurrelatecnicadiminimizzazioneadottataèutiletornareall’analogiaconglispazivettoriali. SiconsideripersemplicitàunvettorerdefinitoinR 2 . Unmodoperimporrecher4

x2v1v2x1Figura1:EsempiodiduevettoriindipendentiinR 2 .abbialunghezzaminima,cioèsianullo,èche,datiduevettoriv 1 ev 2 indipendentiinR 2 (Figura1),valga: ⎧⎨ r T v 1 =0(20)⎩r T v 2 =0valeadirechersiasimultaneamenteortogonaleav 1 ev 2 . È,infatti,immediatoosservarechel’unicovettorediR 2 ortogonalesiaav 1 cheav 2 èilvettorenullo. Sinotichelacondizionediindipendenzadiv 1 ev 2 èfondamentale. Seperassurdov 1 ev 2 fosserodipendenti,cioèparalleliinR 2 ,esisterebbeun’infinitàdivettorirnonnullicontemporanementeortogonaliadentrambi.Lacondizione(20)evidenziatainR 2 perviageometricapuòesserefacilmenteestesaaR n .Inquestocasorèminimo, cioènullo, sesimultaneamenteortogonaleanvettorilinearmenteindipendentiv 1 ,v 2 ,...,v n :r T v i =0 i=1,...,n (21)LaminimizzazionedirinR n medianteleequazioni(21)puòfacilmenteessereestesaalcasodiunospaziofunzionalelinearedatal’analogiaevidenziatanelprecedenteparagrafo. Ser n èunafunzioneinF n ev 1 ,v 2 ,...,v n unasuccessionedifunzionilinearmenteindipendenti,lacondizionediminimoperr n vieneottenutaimponendoche:=0 i=1,...,n (22)cioè,ricordandoledefinizioni(3)e(19):∫(Aû n −f)v i dR=0 i=1,...,n (23)RLenequazioni(23)costituisconounsistemadeterminatonellenincogniteα 1 ,α 2 ,...,α n che,risolto,consentedicalcolarelasoluzioneapprossimatacercata.Lecondizionidiortogonalitàimposte5

mediantele(23)sononotecomecondizionidiPetrov-Galerkin.Poichélefunzioniv 1 ,v 2 ,...,v n costituisconounabaseperunnuovosottospaziofunzionaleLn ,sidiceanchecheû n vienedeterminatainF n ortogonalizzandoilresiduoaL n .Unadellesceltepiùsempliciperlasuccessionedifunzioniv 1 ,v 2 ,...,v n èrappresentatadall’assumere:v i =ξ i i=1,...,n (24)datochelasuccessioneξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n costituiscepropriouninsiemedifunzionilinearmenteindipendenti.Inquestocasogliintegrali(23)diventano:∫(Aû n −f)ξ i dR=0 i=1,...,n (25)ReprendonoilnomediintegralivariazionalidiGalerkin. Ilmetodovariazionalechediscendedall’applicazionedelle(25)ènotocomemetododiGalerkin.Nelcasoincuil’operatoredifferenzialeAsiasimmetricoedefinitopositivosecondoledefinizioni(12)e(14),lasoluzioneapprossimataû n soddisfaun’interessanteproprietàottimale.Definitalafunzioneerroree n come:e n =û n −u (26)lasoluzioneû n ètaledarendereminimalaquantità:∫= A(û n −u)(û n −u)dR (27)Rnotacomenormaenergiaassociataall’operatoreA.Infatti,ricordandola(17)elalinearitàdiA,l’integralein(27)puòessereriscrittocome:∫Ω(û n )= (Aû n −f)(û n −u)dR (28)RPoichéû n ,fissatalabaseξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n ,dipendesolamentedagliscalariα 1 ,α 2 ,...,α n utilizzatinellacombinazionelineare(15),perminimizzarel’integralein(28)èsufficienteannullaretuttelederivatediΩfatterispettoadα j (j=1,...,n):∫∂Ω= [Aξ j (û n −u)+(Aû n −f)ξ j ]dR=0 j=1,...,n (29)∂α j RSfruttandooralasimmetriadiAleequazioni(29)diventano:∫2(Aû n −f)ξ j dR=0 j=1,...,n (30)Rchecoincidonoconle(25).PertantoseAèsimmetricoedefinitopositivolasoluzioneapprossimataû n rappresentaancheilpuntodiminimoinF n perl’energiaassociataadA.6

2.2 FormulazionideboliGliintegralidiGalerkin(25)possonoessereriscritticomesegue:∫ ∫(Aû n )ξ i dR= fξ i dR i=1,...,n (31)RRdoveilmembroadestradelsegnodiuguaglianza,nonessendofunzionediû n ,costituisceunterminenoto.Evidenziamoladipendenzadalleincognitenell’integraleaprimomembrointroducendoin(31)ladefinizione(15)diû n esfruttandolalinearitàdiA:n∑[∫ ] ∫(Aξ j )ξ i dR α j =Rj=1Rfξ i dR i=1,...,n (32)Leequazioni(32)mostranochelefunzionibaseξ i devonoesserederivabiliunnumerodivoltealmenopariall’ordinedell’operatoredifferenzialeA.Adesempio,seA=∇ 2 lefunzioniξ i dovrannoesserederivabilialmenoduevolterispettoadxeyaffinchél’integraleaprimomembronelle(32)sianonnullo.Se,tuttavia,siapplicaopportunamentelaformuladiintegrazioneperpartièpossibileridurrel’ordinemassimodiderivabilitàrichiestoperlefunzionibase.Mostriamoquestorisultatoconunesempioinunproblemadifferenzialemono-dimensionale.SiaA=d 2 /dx 2 conu(x)ev(x)duefunzionidefinitenell’intervallo[0,L]. L’integraleaprimomembrodelleequazioni(32)applicatoadu(x)ev(x)vienesviluppatoperparti,ottenendo:∫ L0d 2 ] L ∫u du Ldx2vdx= dx v −0 0dudvdx (33)dx dxAffinchéiltermineasecondomembrodella(33)esistaèorasufficienteassicurarecheu(x)ev(x)sianoentrambederivabiliunasolavolta,mentrelaformainizialedell’integralenecessitavadiunafunzioneu(x)derivabilealmenoduevolte.Quandou(x)=v(x),comenelcasodelmetodovariazionalediGalerkin,l’applicazionedella(33)consentediabbassareilgradodiregolaritàrichiestoperlafunzionebaseprescelta.Inaltritermini,lefunzionibasepossonoesseresceltedaunsottospazioFn diordineinferiore,nelsensochecontienefunzionimenoregolari,equindipiù“semplici”.Adesempio,nelcasoappenaesaminatodiventasufficienteutilizzarefunzionibaselinearianzichéparaboliche.OgniqualvoltasiapplichiunaintegrazioneperpartiagliintegralivariazionalidiGalerkinsiottieneunacosiddettaformulazionedeboleacuicorrispondeunasoluzionedeboleû n .Comeprecedentementechiarito,lasoluzioneèdebolenelsensochepossiedecaratteristichediregolaritàinferioriaquellerichiestedalproblemadifferenzialedipartenza.Sipuò,tuttavia,dimostrarechealcresceredelladimensionendelsottospaziocontenenteûn lasoluzionedeboleconvergeadunasoluzionegeneralizzatachecoincideconlasoluzioneesattadell’equazionedifferenzialedata.L’integrazioneperpartipuòesserefacilmenteestesaaproblemibi-dimensionali.Dateu(x,y),v(x,y)ew(x,y),funzionisufficientementeregolaridefiniteinundominiopianoR,valelaseguente7

nxdyRdsγ2γdx1γ1γ2nnyδ RFigura2:Orientazionedellacoordinatacurvilineadefinitalungolafrontiera∂Redellanormaleuscente.identità:∫R( ) ∫ ( ∂u∂x +∂v wdxdy=− u ∂w ) ∫∂y R ∂x +v∂w dxdy+ w(un x +vn y )ds (34)∂y ∂Rdovesèlacoordinatacurvilineadefinitalungolafrontiera∂Ren x en y sonoicosenidirettoridellanormalenuscenteda∂R(Figura2).Insostanza,si“scarica”laderivatadau(x,y)ev(x,y)elasi“carica”suw(x,y)alcostodiunintegraleaggiuntivodacalcolarsilungolafrontieradeldominioR.Laformula(34)ènotacomelemmadiGreenepuòessereestesainmodoimmediatoadundominiotri-dimensionale.Dimostriamolarelazione(34). Sisviluppil’integraledellederivatedeiprodottidiu(x,y)ev(x,y)perw(x,y):∫R[ ∂∂x (uw)+ ∂ ] ∫∂y (vw) dxdy=R(u ∂w ) ∫ ( ) ∂u∂x +v∂w dxdy+∂y R ∂x +∂v wdxdy (35)∂yIlprimomembrodell’equazione(35)puòesseresostituitodaunintegralecalcolatosullafrontiera∂RusandoilteoremadiGreeninbasealqualesePeQsonofunzionicontinueederivabilinellachiusuradiRvale:∫R( ) ∫ ∂Q∂x −∂P dxdy= (Pdx+Qdy) (36)∂y ∂RApplicandoilrisultato(36)alla(35)incuisièassuntoQ=uweP=−vwsiricava:∫ ∫ (w(udy−vdx)= u ∂w ) ∫ ( ) ∂uR ∂x +v∂w dxdy+∂y R ∂x +∂v wdxdy (37)∂y∂RIntroduciamooranell’integraleaprimomembrodella(37)unacoordinatacurvilineaslungolafrontiera∂R. DallarappresentazionegraficadiFigura2siosservache,inbaseall’orientazionedell’elementoinfinitesimodsedellanormalen,vale:dyds =cosγ 2=n x− dxds =cosγ 1=n y (38)8

Esplicitandonella(37)l’ultimointegraleedintroducendoledefinizioni(38)segueimmediatamentela(34),chiudendoquindiladimostrazione.Atitolodiesempio, applichiamoillemmadiGreenalcasoincuisiconsideril’operatorelaplacianoA=∇ 2 conduefunzioniu(x,y)ev(x,y)definiteinR:∫ ( ∂ 2 ) ∫ ( ) ∫ (u u ∂u ∂v∂x 2+∂2 ∂y 2 vdxdy=−R ∂x ∂x +∂u ∂v ∂udxdy+ v∂y ∂y ∂R ∂x n x+ ∂u )∂y n y ds (39)RÈfacileosservarechenell’integraledibordodella(39)compareladerivatanormaledellafunzioneu(x,y):∂u∂x n x+ ∂u∂y n y= ∂u∂nComevedremopiùavanti,questorendeagevoleeconvenienteilcalcoloditaleintegraleinquantoèpossibilesfruttarelecondizionialcontornodiNeumann.L’utilizzodiunaformulazionedebole,quindi,consentedifacilitareancheiltrattamentodellecondizionialcontornoditiponaturale.(40)3 IlmetododeglielementifinitiAsecondadellasceltaoperataperlefunzionibaseξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n sipossonoottenerediversimetodivariazionali.Ilmetododeglielementifinitiècaratterizzatodalladefinizionediξ i comeunpolinomiodiinterpolazioneasupportolocalecontinuoatratti. Questoconsentedueimportantivantaggi:1.icoefficientiα j dellacombinazionelineare(15)chedescrivelasoluzioneapprossimatasonodirettamenteivaloridellafunzioneincognitasuglinnodiindividuatineldominiodicalcoloR;2.lascritturadelleequazionidiGalerkin(32)conduceadunsistemaalgebricodiequazionicherisultaassaisparso,consentendoquindiunimportanterisparmiodimemoriacomputazionaleconlapossibileselezionediungrandenumerodinodisucuicalcolarelasoluzionenumericadelproblemaconsiderato.3.1 Elementifinitimono-dimensionaliSiau(x)unafunzionedefinitanell’intervalloreale[a,b]cherisolveundeterminatoproblemadifferenzialedeltipo(17)-(18)esianou1 ,u 2 ,...,u n ivaloripuntualicheessaassumeneglinpuntix 1 ,x 2 ,...,x n ,conx 1 =aex n =b.Unsemplicemodoperapprossimareu(x)in[a,b]consistenelcollegareciascunacoppiadipunticonunsegmentodiretta(Figura3). Èintuitivonotarecomealcresceredinlacurvaspezzatatendaallafunzioneesatta,assicurandocosìlaconvergenzadiû nadu.9

a=x x x x x x2 3 4x 5x =b1Figura3:Esempiodiinterpolazioneconpolinomilinearicontinuiatratti.n−2n−1nIlpolinomiodiprimogradonelj-esimointervallofrax j ex j+1 avràlaforma:P (j) (x)=l j (x)u j +l j+1 (x)u j+1 (41)dovel j el j+1 sonoipolinomibasedell’interpolazionediLagrangea2nodi:l j = x j+1−xx j+1 −x jl j+1 = x−x jx j+1 −x j(42)Èimmediatoosservarechel j (x)èlineareevale1sulnodox j e0sulnodox j+1 .Analogamente,l j+1 (x)èlineareevale1sulnodox j+1 e0sulnodox j . Lafunzioneû n cheapprossimau(x)èquindidatadallasommadeipolinomiP (j) (x)definitiin(41)incuirestaintesocheciascunpolinomioesistesolamentenell’intervalloj-esimo:û n =n∑P (j) (x) (43)j=1SinoticheognipolinomioP (j) (x)ècombinazionelinearedeivaloripuntualiassuntidallafunzioneu(x)suinodiselezionatiechepolinomidefinitiinsegmentiadiacentidipendonoentrambidalvaloreassuntodau(x)nelnodoincomune.Raccogliendotalivalorinodali,lafunzioneû n in(43)puòesserecosìriscritta:û n =n∑j=1ξ (1)j u j (44)doveleξ (1)j sonorisultanofunzionilinearicontinueatrattidefinitecome:ξ (1)1 =⎧⎨⎩x 2 −xx 2 −x 1x∈[x 1 ,x 2 ]0 x∈]x 2 ,x n ](45)10

1ξ(1)1ξ(1)jξ(1)nx x x x x x x12j−1 j j+1 n−1 nFigura4:Comportamentodellefunzionibasepiramidali.ξ (1)j =⎧⎪⎨⎪⎩0 x∈[x 1 ,x j−1 [x−x j−1x j −x j−1x∈[x j−1 ,x j ]x j+1 −xx j+1 −x jx∈]x j ,x j+1 ]0 x∈]x j+1 ,x n ]⎧⎨ξ (1)n =⎩0 x∈[x 1 ,x n−1 [x−x n−1x n −x n−1x∈[x n−1 ,x n ]j=2,...,n−1 (46)L’equazione(44)risultaformalmenteidenticaalladefinizione(15)incuilefunzioniξ (1)j conj=1,...,nnelle(45)-(47)rappresentanolabasedellospazioF n edicoefficientidellacombinazionelineareα j coincidonoconivalorinodalidellafunzioneincognita. Leξ (1)jsonoanchechiamatefunzionibasepiramidaliorooffunctions. LaragioneditaledenominazioneappareevidentedalcomportamentoriportatoinFigura4.Talifunzionisonodetteasupportolocaleperchérisultanononnullesolamenteinunintornodelnodoacuisiriferiscono. Sinotichelarappresentazionediû n offertadallefunzionibaseditipopiramidaleècontinuamalasuaderivataprimanonloèsuinodi. Ilsegmentoindividuatodaunacoppiadinodiadiacentinelqualevienedefinitounpolinomiointerpolatoreasupportolocalevienechiamatoelementofinitolinearein1-D.Qualoralaû n descrittadalleξ (1)j nonsoddisfiairequisitiminimidiregolaritàrichiestidallasoluzionediundeterminatoproblemadifferenzialeèpossibilemigliorarelarappresentazioneaumentandoilnumerodinodicoinvoltinell’interpolazionelocale. Supponiamo,adesempio,diconsideraredelleterneconsecutivedinodi.Lagenericaternaindividuatadainodix j−1 ,x j ex j+1ècaratterizzatadalseguentepolinomiolocale:(47)P (j) (x)=l j−1 u j−1 +l j u j +l j+1 u j+1 (48)doveipolinomibasedell’interpolazionediLagrangea3nodirisultano:l j−1 =(x j −x)(x j+1 −x)(x j −x j−1 )(x j+1 −x j−1 )l j = (x−x j−1)(x j+1 −x)(x j −x j−1 )(x j+1 −x j )11

l j+1 =(x−x j−1 )(x−x j )(x j+1 −x j−1 )(x j+1 −x j )Insostanza,lafunzioneu(x)vieneapprossimatacomeunasuccessionediarchidiparabola.Sommandoleinterpolazionilocaliinciascunaternadinodieraccogliendoivalorinodalidellafunzioneincognitasiottienelaseguenteformaperlasoluzioneapprossimataû n :û n =n∑j=1(49)ξ (2)j u j (50)dovelefunzionibaseξ (2)j sonopolinomiquadraticicontinuiatrattidefiniticome:⎧⎪⎨ξ (2)1 =ξ (2)2 =⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩(x 2 −x)(x 3 −x)(x 2 −x 1 )(x 3 −x 1 )x∈[x 1 ,x 3 ]0 x∈]x 3 ,x n ](x−x 1 )(x 3 −x)(x 2 −x 1 )(x 3 −x 2 )x∈[x 1 ,x 3 ]0 x∈]x 3 ,x n ](51)(52)0 x∈[x⎧⎪ 1 ,x j−2 [⎨ξ (2)j−1 = (x−x j−2 )(x j −x)x∈[x j−2 ,x j ](x j−1 −x j−2 )(x j −x j−1 )⎪ ⎩ 0 x∈]x j ,x n ]⎧0 x∈[x 1 ,x j−2 [(x−x j−2 )(x−x j−1 )⎪⎨ x∈[x j−2 ,x j [ξ (2) (xj= j −x j−2 )(x j −x j−1 )(x j+1 −x)(x j+2 −x)x∈[x j ,x j+2 [(x j+1 −x j )(x j+2 −x j−1 )⎪⎩ 0 x∈]x j+2 ,x n ]j=4,...,n−2conpasso2 (53)j=4,...,n−2conpasso2 (54)ξ (2)⎧⎪⎨ 0 x∈[x 1 ,x n−2 [n−1 = ⎪(x−x n−2 )(x n −x) ⎩ x∈[x n−2 ,x n ](x n−1 −x n−2 )(x n −x n−1 )⎧⎪⎨ 0 x∈[x 1 ,x n−2 [ξ n (2) = (x−x n−2 )(x−x n−1 )⎪⎩ x∈[x n−2 ,x n ](x n −x n−2 )(x n −x n−1 )Unarappresentazionedellefunzionibaseξ (2)j nelle(51)-(56)èmostratainFigura5.Ilsegmentoindividuatodaunaternadinodiconsecutivièchiamatoelementofinitoquadraticoin1-D.Inmodoanalogoèpossibileaumentareilnumerodinodipresentiinognielementofinitoedilcorrispondentegradodelpolinomiobase,definendoquindielementicubici,quartici,ecc. Lagestionedeipolinomidiinterpolazione,tuttavia,diventarapidamentemal-condizionataancheperunnumerorelativamentepiccolodinodiperelemento. L’usodielementiin1-Dconpolinomiointerpolatoredigradosuperiorea3èestremamenteraro.(55)(56)12

1ξ(2)2(2)ξ(2)j+1ξ(2)nξ j−1ξ(2)n−1ξ(2)1ξ(2)jx x x x x x x x x x x1 2 3 j−2 j−1 j j+1 j+2 n−2 n−1 nFigura5:Comportamentodellefunzionibasiquadratiche.3.2 ElementifinitilagrangianiL’interpolazioneconpolinomicontinuiatrattiutilizzataperdefinireglielementifinitimonodimensionalipuòesserefacilmenteestesaaproblemiin2opiùdimensioni.Siau(x,y)lasoluzionedell’equazionedifferenziale(17)concondizionialcontorno(18)definitasuundominioRquadrangolare:R={(x,y):a≤x≤b,c≤y≤d} (57)Si selezionino n punti x 1 ,x 2 ,...,x n nell’intervallo [a,b], con x 1 = a e x n = b, ed m puntiy 1 ,y 2 ,...,y m nell’intervallo[c,d],cony 1 =cey m =d(Figura6). Sipensioradifissarelacoordinatay,inmodochelafunzioneu(x,y)dipendadallasolavariabilexesipossapertantoapplicarel’interpolazionelineareatratti(44):û n =n∑j=1ξ (1)j(x)u(x j ,y) (58)dove le funzioni base ξ (1)j(x) sono quelle definite in (45)-(47). Consideriamo ora il termineu(x j ,y)nella(58). Quest’ultimopuòasuavoltaessereinterpretatocomeunafunzionedellasolacoordinatayavendofissatox=x j epertantovenireanch’essointerpolatomediantela(44):u(x j ,y)≃m∑k=1ξ (1)k(y)u(x j ,y k ) (59)dove le funzioni base ξ (1)k(y) sono sempre quelle definite in (45)-(47) in cui la coordinata yèutilizzatainluogodellax.Introducendola(59)nella(58)eponendoperdefinizioneu(x j ,y k )=u jk ,siricavalaseguenteapprossimazionedellafunzioneu(x,y)inR:û nm =n∑m∑j=1k=1ξ (1)j (x)ξ (1)k(y)u jk =n∑m∑j=1k=1ξ (1)jk u jk (60)dovelen×mfunzionibaseξ (1)jk sonodatedalprodottodellefunzionibaselineari(45)-(47)inxey.Pertaleragioneessevengonochiamateanchetensor-productbasisfunctions.Lefunzionibaseξ (1)jk13

Figura8:Elementiserendipitya8(sinistra)e12(destra)nodi.separatamentecubichenelleduevariabilixey.I16coefficientic 0 ,c 1 ,...,c 15 delpolinomiobaseperilnodo(x j ,y k )sideterminanoalsolitoimponendocheξ (3),ejkvalga1sutalenodoe0sututtiglialtri. Sipotrebberodefinireelementilagrangianidiordinesuperioreconunnumerodinodirapidamentecrescente. Ladeterminazioneaccuratadeipolinomibase,tuttavia,puòdiventarefacilmenteunproblemamal-condizionato.L’estensionedeglielementilagrangianiadominitri-dimensionalièimmediata.Lefunzionibasesiottengonosempremedianteilprodottodipolinomidiinterpolazionelocalemono-dimensionali.Glielementifinitilagrangianiin3-Dsonocomunementechiamatibrickerisultanodefinitida8nodiperpolinomibaseseparatamentelineariinx,yez,27nodiperpolinomibaseseparatamentepolinomiodiinterpolazione.quadratici,64nodiperpolinomibaseseparatamentecubici,ecc. Comesinota,indominitridimensionaliilnumerodinodiperciascunelementocrescemoltovelocementeconl’ordinedelRiprendiamoorainconsiderazionel’elementolagrangianobiquadraticodiFigura7.Sesopprimiamoilnodocentraleotteniamounnuovoelementoa8nodi(Figura8)perilqualeilgenericopolinomiobaseξ (2,s),ejksaràcaratterizzatoda8coefficienti:ξ (2,s),ejk=c 0 +c 1 x+c 2 y+c 3 xy+c 4 x 2 +c 5 y 2 +c 6 x 2 y+c 7 xy 2 (65)determinatiimponendocheessovalga1sulnodo(x j ,y k )e0sututtiglialtrinodidell’elemento.Insostanza,dalpolinomiobase(64)dell’elementobiquadraticosieliminailcontributolegatoalprodottox 2 y 2 ,mantenendoquindilasimmetriadiξ (2,s),ejkrispettoalleduevariabilixey.Ilnuovoelementofinitocosìdeterminatoprendeilnomedielementoserendipitya8nodi. Inmanieraanaloga,sipossonoeliminareinodicentraliancheinelementidiordinesuperiore.Adesempio,sedaunelementolagrangianobicubicosisopprimonoi4nodiinternisiottieneunnuovoelementoserendipitya12nodi(Figura8). Inquestocasosidevonoeliminare4coefficientidalpolinomiobasecorrispondentecoincidentipermotividisimmetriaconquellichemoltiplicanoiterminix 2 y 2 ,x 2 y 3 ,x 3 y 2 ex 3 y 3 .16

imporresonoesplicitamente: ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩c 0 +c 1 x i +c 2 y i =1ymxejiFigura9:Elementofinitotriangolarea3nodi.ξmξi1m1miijjξjmi1jFigura10:Funzionibaselocaliperunelementofinitotriangolarea3nodi.3.3 ElementifinititriangolariQuandoildominiodiintegrazionepresentaunaformapoligonalecomplessapuòessereutilericorrereadelementifinitipiùflessibilicomequellidiformatriangolare.Siconsideril’elementofinitoa3nodii,jeminFigura9.Lafunzionebaseξi erelativaalnodoieristrettaall’elementoedeveassumerevaloreunitariosuienullosujedm. Essendotresolelecondizionidisponibiliperlasuadeterminazione,ξi eavràlaseguenteforma:ξi=c e 0 +c 1 x+c 2 y (66)valeadireunpolinomiolineareinxey. Taleespressionedescriveunpianonellospaziocheassumevaloreunitariosulnododiriferimentoenullosuglialtridue(Figura10).Determiniamoivalorideicoefficientic 0 ,c 1 ec 2 perlafunzionebaseξi e.Letrecondizionidac 0 +c 1 x j +c 2 y j =0c 0 +c 1 x m +c 2 y m =0(67)17

dovex k ey k sonolecoordinatedelnodok,conk=i,j,m. Ilsistemalinearediequazioni(67)puòessereriscrittoinmodocompattocome:⎡ ⎤⎛⎞ ⎛ ⎞1 x i y i c 0 1⎢ 1 x⎣ j y j ⎥⎜c ⎦⎝1 ⎟⎠ = ⎜ 0⎟⎝ ⎠ ⇒ Cc=e 1 (68)1 x m y m c 2 0Ilvettoresoluzionecrisulta:c=C −1 e 1 (69)dovelamatricedeicoefficientiC èsempreinvertibileseinodii, j edmsonononallineati.RicordandolaformuladiLaplaceperl’inversadiunamatriceregolaresiottiene:⎡ ⎤xC −1 1j y m −y j x m x m y i −x i y m x i y j −x j y i= ⎢ ydet(C) ⎣ j −y m y m −y i y i −y j ⎥⎦x m −x j x i −x m x j −x iIlvettoredeicoefficientic 0 ,c 1 ec 2 perξ e i risultabanalmentepariallaprimacolonnadiC −1 .Perdeterminareξ e j eξe mèsufficientesostituirein(69)alvettoredeitermininotiiversorie 2 =(0,1,0) T ee 3 =(0,0,1) T ,rispettivamente,percuiicoefficientiditalifunzionibasecorrispondonosemplicementeallasecondaeterzacolonnadiC −1 in(70).Ènotoche:(70)det(C)=2∆ e (71)dove ∆ e rappresenta l’area dell’elemento considerato. La funzione base ξ e i puòessere quindiriscrittacome:con:ξ e i =a i+b i x+c i y2∆ e(72)a i =x j y m −x m y j b i =y j −y m c i =x m −x j (73)Analogamente,lefunzionibaseξ e j eξe mavrannolaforma(72)concoefficienti:a j =x m y i −x i y m b j =y m −y i c j =x i −x m (74)a m =x i y j −x j y i b m =y i −y j c m =x j −x i (75)Globalmente,lafunzionebaseξ i associataalnodoisaràdatadall’unionedellefunzionibaselocaliξ e i definitesututtiglielementitriangolariaventiincomuneilnodoi(Figura11). Laconseguenterappresentazionedellafunzioneapprossimataû n risulterà, pertanto, continuamanonderivabilelungoilatiesuiverticideglielementitriangolari.Talifunzionibasecostituisconoquindiunanaturaleestensionedellefunzionibaselineariin1-D(Figura3).Èpossibileaumentarel’ordinedell’approssimazioneutilizzataperdescrivereû n introducendounnuovonodoincorrispondenzaalpuntomediodiciascunlatodiunelementotriangolare. Si18

ξ iiyFigura11:Funzionebaserelativaadunnodoconelementifinititriangolaria3nodi.xottengonocosìdeglielementia6nodineiqualilafunzionebaseξ q,ei relativaalnodoieristrettaall’elementoerisulta:ξ q,ei =c 0 +c 1 x+c 2 y+c 3 xy+c 4 x 2 +c 5 y 2 (76)cioèunpolinomiodigrado2completoinxey.Èimmediato,tuttavia,osservareche,purutilizzandopolinomidigradosuperiorealcasodielementitriangolaria3nodi,lafunzioneûn basatasulleξ q j ,conj=1,...,nottenutedalla(76)nonpossiedederivateprimecontinuesuilatideglielementi. Globalmente,quindi,larappresentazionesaràsemplicementecontinuaseppurconunamaggioreaccuratezzalocalerispettoaglielementitriangolaria3nodi.4 Soluzioneaglielementifinitidell’equazionediPoisson4.1 Caso1-DSiconsideril’equazionediPoissonin1-DdefinitaneldominioRcostituitodall’intervallo[0,L]:d 2 udx2=f(x) 0≤x≤L (77)conleseguenticondizionialcontorno:⎧⎪⎨⎪⎩x(0)=0( ) dudxDefiniamounasoluzioneapprossimataû n come:x=L=q(78)û n =n∑α j ξ j (x) (79)j=1essendoξ j (x),j=1,...,n,delleopportunefunzionibaseindipendenti.Icoefficientiincognitiα jvengonocalcolatimedianteilmetodovariazionalediGalerkin,risolvendocioèilseguentesistemadiequazioni:∫ L0d 2 û ndx 2ξ idx=∫ L0fξ i dx i=1,...,n (80)19

Applichiamooraalla(80)unaformulazionedebolegrazieallaqualel’integraleaprimomembrodiventa:∫ L0d 2 û ndx 2ξ idx = dû L ∫ Lni]dx ξ −0 0( dûn= qξ i (L)−dxdû ndx)dξ idx dxξ i (0)−x=0∫ L0dû ndxdξ idx (81)dxPoichénella(81)compaionosolamentederivatedelprimoordinedellefunzionibaseξ i oppuredellasoluzioneapprossimataû n èsufficientescegliereleξ i comepolinomilineariatratti. Adottiamo,pertanto,unasuddivisionedeldominioinn−1elementifinitilinearimediantelaselezionedinnoditalichex 1 =0ex n =L. Supponiamo,persemplicità,chetalinodisianoequidistanti,cosicché,dettalladimensionediciascunelementofinitopariaL/(n−1),valga:x i =(i−1)l i=1,...,n (82)Lefunzionibaseξ i assumonolaformaanalitica(45)-(47),mentreilloroandamentoèriportatoinFigura4. Poichétalifunzionivalgono1sulnodoi-esimoe0suglialtri,icoefficientiα i dellacombinazionelineare(79)coincidonoconilvaloreassuntodaû n nelpuntox i epertantoverrannoindicaticonilsimbolou i . Osserviamo,inoltre,chenella(81)compaionoivaloriξ i (0)eξ i (L),iqualirisultanononnullisolamenteperi=1ei=n,rispettivamente.Ilsistemadiequazioni(80),conlaformulazionedebole(81)eladefinizione(79),risultaquindi:⎧ (n∑ ∫ )L ∫dξ j dξ L( )1j=1 0 dx dx dx dûnu j =− fξ 1 dx−0 dxx=0( ⎪⎨ n∑ ∫ )L ∫dξ j dξ Lij=1 0 dx dx dx u j =− fξ i dx i=2,...,n−10(n∑ ∫ )L ∫dξ j dξ Ln⎪⎩dx dx dx u j =− fξ n dx+qDefinendo:j=10h ij =ilsistemadiequazioni(83)puòessereriscrittoinmodocompattocome:∫ L00(83)dξ j dξ idx (84)dx dxHu=b (85)doveH∈R n×n èlamatricedeicoefficientih ij ,uilvettoredelleincogniteu i ,i=1,...,nebilvettorecontenenteivaloriaterminenotonelle(83).Lasoluzioneaglielementifinitidell’equazionedifferenziale(77)siotterràrisolvendoilsistemalineare(85).Valutiamoorailvaloredeicoefficientih ij .Consideriamoilcasoincuii=jconi≠1ei≠n.Ilcoefficientediagonaleh ii dalla(84)risulta:h ii =∫ L0( ) 2 dξidx (86)dx20

(a)(b)ξ iξ i−1ξ iξ i+1i−1 i i+1(c)i−2 i−1 i i+1 i+2ξ iξ ji−1 i i+1 j−1 j j+1Figura12: Assemblaggiodeicontributilocalisuelementifinitilineari: (a)terminediagonale;(b)nodiadiacenti;(c)nodinonadiacenti.incuilafunzionebaseξ i èquellariportatainFigura12a. Poichéξ i ènonnullasolamentenell’intervallo[xi−1 ,x i+1 ],valeadireneidueelementifinitichecondividonoilnodoi,èpossibilerestringereilcalcolodell’integrale(86)escomporlonellasommadidueaddendi:∫ xi( ) 2 ∫ xi+1( ) 2 dξi dξih ii = dx+ dx (87)x i−1dx dxInaltreparole, ilcoefficienteh ii vienecalcolatomediantel’assemblaggio deicontributilocalivalutatisuglielementifinitichecondividonoilnodoi.DallaFigura12aedall’espressioneanalitica(46)sivedeimmediatamentecheladerivatadiξ i vale1/l nell’intervallo[x i−1 ,x i ]e−1/l in[x i ,x i+1 ].Pertantodalla(87)h ii vale:h ii = 1 ∫ xil 2 dx+ 1 ∫ xi+1x i−1l 2 dxx ix i= 2 l(88)Consideriamoorailcasoj=i+1. Leduefunzionibaseξ i eξ i+1 sonoriportateinFigura12b. Lafunzioneintegrandanelladefinizione(84)dih ij risultanonnullasolodoveξ i eξ j sonocontemporaneamentenonnulle,valeadirenell’elementofinitochecollegailnodoialnodoi+1.L’integralein(84)puòquindiessereristrettoalsolointervallo[x i ,x i+1 ]doveladerivatadiξ i vale−1/leladerivatadiξ i+1 vale1/l,ottenendo:h i,i+1 = − 1 ∫ xi+1l 2 dxx i= − 1 l(89)Ancheinquestocaso,ilcoefficienteh i,i+1 èstatoottenutoassemblandoicontributilocalicalcolatisututtiglielementifinitichecondividonoinodiiedi+1,cioèilsoloelementodefinito21

dall’intervallo[x i ,x i+1 ].Conunragionamentoanalogosiricavaancheh i,i−1 (Figura12b):h i,i−1 =h i,i+1 =− 1 l(90)InFigura12cèinfineriportatoilcasoincuijnonèunnodoadiacenteadi. Poichéleduefunzionibaseξ i eξ j nonsonomaicontemporaneamentenonnulleinnessunintervallodeldominio,lafunzioneintegrandanelladefinizione(84)risultasemprezeroequindih ij =0.Questosipotevaaltresìdedurreosservandochenonesistonoelementifinitichecondividonosiailnodoicheilnodoj. Diconseguenza,larigai-esimadellamatriceH possiedesolamente3coefficientinonnullidispostisimmetricamenterispettoalladiagonale.LamatriceHrisultapertantosimmetricaesparsa.Rimangonodatrattareicasii=1edi=n.Lefunzionibaseξ 1 eξ n sonononnullesolamenteneglielementifinitidibordo. L’integraleperilcalcolodeiterminidiagonalih 11 eh nn risultapertantoestesoadunsoloelementofinito,dando:h 11 = 1 l 2 ∫ x2h nn = 1 l 2 ∫ xnx 1dx= 1 lx n−1dx= 1 lIndefinitiva,ilsistemadiequazioni(85)risultaesplicitamente:⎡ ⎤⎛⎞ ⎛1 −1 0 0 ··· ··· 0 u 1−1 2 −1 0 ··· ··· 0u 20 −1 2 −1 ··· ··· 0u 3. . .. . .=0 ··· ··· −1 2 −1 0u n−2⎢⎣0 ··· ··· 0 −1 2 −1 ⎥⎜⎦⎝u n−1⎟ ⎜⎠ ⎝0 ··· ··· 0 0 −1 1 u n⎞b 1b 2b 3 . ⎟⎠b nb n−2b n−1(91)(92)(93)dove,ricordandoilsupportolocaledellefunzionibaseξ i ,lecomponentidelterminenotobsono:∫ x2( ) dûnb 1 = −l fξ 1 dx−lx 1dxb i = −lb n = −l∫ xi+1x=0x i−1fξ i dx i=2,...,n−1 (94)∫ xnx n−1fξ n dx+lqLamatriceHricavatain(93),tuttavia,risultasingolare. Ciòsiverificaimmediatamente,adesempio,pern=3.Intalcaso,infatti,siha:⎡ ⎤1 −1 0H= ⎢ −1 2 −1 ⎥⎣ ⎦0 −1 1(95)22

ovelasommacambiatadisegnodellaprimaeterzarigadàlasecondariga. QuestasituazioneècoerenteconilfattochenonsonoancorastateimposteinalcunmodolecondizionidiDirichletinx=0(equazione(78))eche,quindi,amenoditalicondizionil’equazionedifferenziale(77)ammetteun’infinitàdisoluzioni.Persoddisfarela(78)inx=0ènecessarioimporre:u 1 =0 (96)Questosieffettuafacilmentemodificandolaprimaequazionedelsistema(93)inmododafarlacoincidereconla(96).AtalfineèsufficientemodificarelaprimarigadellamatriceHannullandoiltermineextra-diagonaleeponendob 1 =0:⎡ ⎤⎛1 0 0 0 ··· ··· 0−1 2 −1 0 ··· ··· 00 −1 2 −1 ··· ··· 0. . . ... .0 ··· ··· −1 2 −1 0⎢⎣0 ··· ··· 0 −1 2 −1 ⎥⎜⎦⎝0 ··· ··· 0 0 −1 1⎞ ⎛u 1u 2u 3..=⎟ ⎜⎠ ⎝u nu n−2u n−1⎞0b 2b 3 . .⎟⎠b nb 1 evitandolastimadelladerivatadellafunzioneû n (equazione(94)). PertantoaterminenotoLamatriceH èoranonsingolareedilsistema(97)puòessererisolto. Siosservichel’imposizionedellacondizionediDirichletalnodo1semplificanotevolmenteilcalcolodelterminenotosaràsufficienteconsiderareilsoloeffettodellecondizioniditiponaturaleodiNeumann,trascurandoqualsiasicontributodatolungolaporzionedifrontierasullaqualesonoimpostecondizioniprincipaliodiDirichlet. Siosservi,infine,cheincorrispondenzadeinodidibordosuiqualisiaassegnataunacondizionediNeumannnullailterminenotorisultantedalleequazioni(80)nonvab n−2b n−1modificato.Talecondizionealcontornorisulta,pertanto,naturalmentesoddisfatta.(97)4.2 Caso2-DSiconsideril’equazionediPoissonin2-DdefinitainungenericodominioRsottoinsiemechiusodiR 2 :∂ 2 u u∂x 2+∂2 ∂y2=f(x,y) (x,y)∈R (98)concondizionialcontornoditipoprincipalelungolaporzionedifrontiera∂R u editiponaturalelungolaporzione∂R q :⎧⎨⎩u(x,y)=u(x,y) ∀(x,y)∈∂R u∂u∂n =q(x,y) ∀(x,y)∈∂R q(99)23

incui∂R u ∪∂R q =∂R.Siaû n un’approssimazioneinRdellasoluzionealla(98)concondizionialcontorno(99):û n =n∑α j ξ j (x,y) (100)j=1doveξ j ,j=1,...,n,sonodelleopportunefunzionibase. LeequazionivariazionalidiGalerkinapplicatealproblemaconsideratooffrono:∫ ( ) ∫ ∂2û n û n∂x 2 +∂2 ∂y 2 ξ i dxdy= fξ i dxdy i=1,...,n (101)RRUtilizzandounaformulazionedeboleperl’integraleaprimomembrosiricava:∫ ( ) ∫ ( ) ∫∂2û n û n ∂ûn ∂ξ iR ∂x 2 +∂2 ∂y 2 ξ i dxdy=−R ∂x ∂x +∂û n∂ξ i ∂û ndxdy+∂y ∂y ∂R ∂n ξ ids (102)ComeosservatonelcasodelproblemadiPoissonin1-D,ilcontributocalcolatosullafrontieradiRin(102)puòessereristrettoallaporzionedi∂RsucuisonoimpostecondizionidiNeumannnonnulle.Introducendola(102)in(101)ericordandoladefinizione(100)diû n siottieneilseguentesistemadiequazionialgebrichenelleincogniteα j :n∑[∫j=1R( ∂ξi ∂ξ j∂x ∂x +∂ξ i∂y) ] ∫ ∫∂ξ jdxdy α j =− fξ i dxdy+ qξ i ds i=1,...,n (103)∂y R ∂R qLeequazioni(103)mostranochelefunzionibaseξ i devonoesserederivabilialmenounavolta.Èpertantopossibileutilizzareunadiscretizzazioneconelementifinititriangolaria3nodilecuifunzionibasesonocaratterizzatedall’espressioneanaliticalocale(72)edalcomportamentoriportatoinFigura11.Avendotalifunzionibasevaloreunitariosuunnododellagrigliadicalcoloenullosututtiglialtri,icoefficientiincognitiα j coincidonoconivaloridellasoluzioneapprossimatasulnodoj. Connotazionecompatta,ilsistemadiequazioni(103)sipuòesprimerecomein(85)incuiglielementih ij dellamatriceHrisultano:∫h ij =R( ∂ξi ∂ξ j∂x ∂x +∂ξ i∂y)∂ξ jdxdy (104)∂yDatoilsupportolocaledellefunzionibaseprescelte,costituitodall’unionedeglielementitriangolarichehannoincomuneundeterminatonododellagrigliadicalcolo,ilcalcolodell’integralein(104)sipuòscomporrenellasommatoriadeicontributilocalivalutatisuisingolitriangoli:h ij = ∑ e∫∆ e(∂ξ (e)i∂x∂ξ (e)j∂x +∂ξ(e) i∂y∂ξ (e) )jdxdy (105)∂yIn particolare, analogamente alcaso 1-D, nel calcolo deltermine h ii la sommatoria in (105)saràestesaatuttiglielementichehannoincomuneilnodoi; nelcalcolodih ij ,coni≠j,lasommatoriasaràestesaatuttiglielementichehannoincomunesiailnodoicheilnodoj.Inaltritermini,sitrattadeidueelementichecondividonoillatoi−j. Seinodiiejnonsi24

iferisconoanessunlatodellagrigliadicalcoloilcorrispondentevaloredih ij sarànulloinquantononesistealcunaporzionedeldominioRincuiξ i cheξ j sianocontemporaneamentenonnulle.Diconseguenza,lamatriceHsaràsparsainquantoperlarigai-esimagliunicitermininonnullisonoilcoefficientediagonaleediterminiextra-diagonalicorrispondentiailatichehannoalmenounestremoini.Ilcontributolocalesull’elementoealcoefficienteh ij sipuòcalcolareassaiagevolmente. Ricordando,infatti,la(72)siottiene:∫∆ e(∂ξ (e)i∂x∂ξ (e)j∂x +∂ξ(e) i∂y∂ξ (e) )jdxdy= b ib j +c i c j(106)∂y 4∆ edoveb i ,b j ,c i ec j sonofunzionedellecoordinatedeiverticideltriangoloemediantele(73)e(74).Icontributiaterminenotodipendono,infine,dallaformaanaliticaassuntadallefunzionif(x,y)eq(x,y),perilcalcolodeiqualiègeneralmenteconvenientericorrereaformulediintegrazionenumericaditipogaussiano.DopoaverottenutolamatriceHedilvettorebèsemprenecessarioimporrelecondizionidiDirichlet(99)modificandoleequazionicorrispondentiainodichecadonosulbordo∂R u :u i =u(x i ,y i ) ∀(x i ,y i )∈∂R u (107)ContalimodifichelamatriceHrisultanonsingolareedilsistemalinearealgebricocorrispondentepuòessererisolto.25

Esercizi1.Siconsideril’equazionedifferenziale:∂ 2 u u∂x 2+∂2 ∂y 2=4−2x2 −2y 2neldominioquadrangolareS={(x,y):−1≤x≤1,−1≤y≤1}concondizionialcontornoprincipali(odiDirichlet)omogenee. Risolverel’equazionedatamedianteilmetodovariazionalediGalerkindiscretizzandoildominioSmediante16elementilagrangianibilinearidilatoh=0.5(Figura13)econfrontarelasoluzioneottenutasuinodidellagrigliadicalcoloconquellaricavatanellaesercitazionen.3mediantedifferenzefinite.yxhhFigura13:2.DimostrarechelamatriceHottenutarisolvendoun’equazionediPoissonsuldominioSdelprecedenteesercizioconladiscretizzazioneadelementifinititriangolarirettangolidiFigura14coincideconquellaottenutamediantedifferenzefinitedelsecondoordine.y21 22 23 24 2516 17 18 19 2011 12 13 14 156 7 8 9 10xh1 2 3 4 5hFigura14:26

3.Siconsideril’equazionedifferenziale:d 2 udx 2−du dx =f(x)definitanell’intervallo[0,L]conlecondizionialcontorno(78). DeterminarelamatriceHottenutadiscretizzandoildominioin(n−1)elementifinitilinearicondimensionecostantel=L/(n−1)edutilizzandoilmetodovariazionalediGalerkin.QualèladifferenzaconlamatriceHriportatanella(97)?4.Siconsideril’equazionedifferenziale:d 2 udx 2+u+x=0definitadell’intervallo[0,1]concondizioniprincipaliomogeneesulcontorno.RisolveretaleequazioneconilmetodovariazionalediGalerkinedassumendounasoluzioneapprossimata:û=α 1 ξ 1 (x)+α 2 ξ 2 (x)conξ 1 =x(1−x)eξ 2 =x 2 (1−x).Sapendochelasoluzioneesattaè:u(x)= sinxsin1 −xconfrontareilvalorediûconquellodiusuipuntix=0.25,x=0.5ex=0.75.27