Il metodo degli Elementi Finiti - Esercizi e Dispense

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Indice1 Spazifunzionalilineari 12 Metodivariazionali 42.1 IlmetododiGalerkin .................................. 42.2 Formulazionideboli.................................... 73 Ilmetododeglielementifiniti 93.1 Elementifinitimono-dimensionali............................ 93.2 Elementifinitilagrangiani . ............................... 133.3 Elementifinititriangolari . ............................... 174 Soluzioneaglielementifinitidell’equazionediPoisson 194.1 Caso1-D ......................................... 194.2 Caso2-D ......................................... 23Esercizi 26I
1 SpazifunzionalilineariUnospaziolineareèun’entitàmatematicachedescriveuninsiemedioggettidotatidiparticolariproprietà. Inparticolare,dettoX ={x,y,z,...}taleinsieme,essodefinisceunospaziolinearerealese:1.perognixeyappartenentiaX, èpossibiledefinirel’elementosommax+y anch’essoappartenenteaX;2.perogniscalareα∈R,èpossibiledefinireilprodottoαxappartenenteaX;3.leoperazioniprecedentementedefinitegodonodellaproprietàcommutativa,associativaedistributiva;4.perognixeyappartenentiaX,èpossibiledefinireunprodottointernoilcuirisultatosiaunoscalareinR.Unospaziolinearerealeè,adesempio,lospaziovettorialeR n icuielementisonocostituitidaennupledinumerirealiedilprodottointernoèilprodottoscalare.Seglielementidiunospaziolinearerealesonofunzioni,allorasiparladispaziofunzionalelineare.Inquestosenso,unospaziofunzionalepuòessereinterpretatocomeunageneralizzazionedelconcettodispaziovettorialeconanalogheproprietà.Quandounacombinazionelinearedinelementidiunospaziolineare:α 1 x 1 +α 2 x 2 +...+α n x n (1)dàl’elementonulloseesoloseα 1 = α 2 = ... = α n = 0, alloraglielementix 1 ,x 2 ,...,x nsidiconolinearmente indipendenti. Qualoraqualsiasicombinazionelinearedin+1elementiappartenentiaX siadipendente,sidicecheladimensionedellospazioènecheogniinsiemedinelementilinearmenteindipendentinecostituisceunabase. Viceversa,seperognin>0esistesempreuninsiemedinelementilinearmenteindipendenti,sidicechelospazioXhadimensioneinfinita. Glispazivettorialisonoesempidispaziadimensionefinita,mentreglispazifunzionalihannodimensioneinfinita. Taleproprietàconsentedigeneralizzarefacilmentealcuneoperazionidefiniteinunospaziovettorialeinterpretandounafunzionecomeunvettoreadinfinitecomponenti.Ciòimplica,insostanza,ilpassaggiodaoperazionidisommatoriadiscretaadintegrazioninelcontinuo.Siano,adesempio,uevduevettoridiR n .Comenoto,illoroprodottoscalareu T vsidefiniscecomesommadeiprodottidellecomponenti,cioè:n∑u T v= u i v i (2)i=1Dueelementiu(x)ev(x)definitiinundominioRedappartenentiadunospaziofunzionalelineare,invece,sonodotatidiinfinitecomponentieladefinizionediprodottoscalaresipuòfacilmente1
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